物理习题中的辅助圆

巧构辅助圆妙解物理题

浙江海盐元济高级中学<314300）王建峰 浙江海盐高级中学<314300）马永芬

解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。b5E2RGbCAP 1矢量圆

矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。p1EanqFDPw 例1一条宽为L 的河流，水流速为u ，船在静水中划

行的速度为v ，且v ＜u 。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？DXDiTa9E3d 解读 水流速u 、船在静水中的速度v 与船的合速度v1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD 与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角。RTCrpUDGiT 2等时圆

如图2所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑

弦加速下滑，其下滑的时间相等，且时间

D

图1

图2

半径，g 为重力加速度），这样的圆环称之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。5PCzVD7HxA

例2两光滑斜面的高度都为h，OC、OD两斜面的总长度都为l，只是OD斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？jLBHrnAILg 解读 <

解法1）本题

往往采用v-t

图象求解，

作出物体分别沿OC、OD斜面运动的v-t图象<如图所示4），由图象可得乙球先到达斜面底端。xHAQX74J0X

<解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC于A点，交OD于B点。由“等

时圆”可知

，。由机械能守恒定律可知

：

，，所

以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，，

所以有，即乙球先到达斜面底端。LDAYtRyKfE

3等势圆

点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化难为易。

例3<2002年江苏等省理综第30题）如图6所示，直角三角形的斜边倾角

为30°，底边BC长为2L，

处在水平位置，斜边AC是光滑绝

缘的，在底边中点O处放置一正电

C

图

D

图图4

B C

O

图6

C

荷Q ，一个质量为m ，电量为q 的带负电的质点从斜面顶端A 沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D 时速度为v 。则：该质点运动到非常挨近斜边底端C 点时速度vc 为多少？没斜面向下的加速度ac 为多少？Zzz6ZB2Ltk 解读 点电荷沿斜面AC 下滑时，电场力在不断变化，无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解，从而使解题陷入困境。dvzfvkwMI1由几何关系可引入图7所示的等势圆，由于D 、C 二点位于同一等势圆上，电荷从D 运动到C 电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在D 点的机械能与C 点的机械能相等，即：rqyn14ZNXI

对电荷在C 点受力<如图8所示），由牛顿第二定律得：

，解得：

。

4动态圆

带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆”，构建系列动态圆能化俗为奇。EmxvxOtOco 例4半径为R=10cm 的圆形匀强磁场，区域边界与

y 轴相切于坐标原点，磁感应强度B=0.332T ，方向垂直纸面向里。在原点O 处有一放射源S ，可沿纸面向各个方向射出速率均为的α粒子，已知已知α粒子的质量为

，电量

，试确定α粒子通

过磁场的最大偏向角。SixE2yXPq5解读 α粒子在磁场中作半径为r 的匀速圆周运动，可得：

图9

图8

N

从而可构建一系列半径为20cm 并交于O 点的旋转动态圆<如图9所示），由各动态圆不难得到要使α粒子的偏向角最大，必然α粒子在磁场区域内的弦最长。6ewMyirQFL 所以α粒子的最大偏向角

例5核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内<否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法<托卡马克装置）。如图10所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只

要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m ，外半径R2=1.0m ，磁场的磁感强度B=1.0T ，若被束缚带电粒子的荷质比为

q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速

度。试计算kavU42VRUs <1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 <2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

解读<1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，构建如图10所示的半径不同的动态圆，要使粒子不能穿越磁场，从各动态圆中不难得到粒子的临界动态圆必须与外圆相切。y6v3ALoS89由图中知，解得

由

得

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的

图11

图

10

最大速度为。

<2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的动态圆，在所有动态圆中粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，则以V2速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界<如图11所示）。由图

中知

，算出对应的速度

，这一速度即为

所有粒子不能穿越磁场的最大速度。M2ub6vSTnP 5谐振圆

当一个物体<质点）在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通常称为“谐振圆”。利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。0YujCfmUCw 例题6如图12所示，一只椭球形的鸡蛋长轴是6cm ，短轴是4cm ，鸡蛋在x 轴上做简谐运动，运动过程中椭球的焦点在x 轴上，鸡蛋的端点正好不碰到A 、B 两点，

即在A 、B 之间往复运动，现有一支枪固定在支架上，以垂直于x 轴的方向射出子弹正好瞄准x=12cm 处，子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大得多，现有一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？eUts8ZQVRd 解读 鸡蛋中心在之间作简

谐运动，但只有在

之间时能被击中。

构建如图13所示的谐振圆，要击中鸡蛋相当于质点位于弧CD 之间。

其对应的相位为

x/c

x/cm

2

-24

图12

12