【高中数学】线面角的最小性

线面角的最小性：线面角是最小的线线角，意思是：平面的斜线和它在平面内ABC 。

用三余弦定理容易证明这一点。

杭州高二统测19)如图，已知正三棱锥,AB=AC=AD=2,点P,Q 分别在棱BC,CD 则直线AP,BQ 所成的角的取值范围是

答案：(,]

︒︒6090提示：线面角的最小性可知，最小值为例2.如图，在直三棱柱111ABC A B -1

面ABC 所成的角为1θ，与直线AC 所成的角为2θ，则1θ，2θ的大小关系是（

）A.12θθ> B.12θθ< C.12θθ= D.不能确定

答案：B

解析：线面角最小易得

例3.（2018年全国数学大联考试题第9题）已知二面角βα--l 是直二面角，α∈A ，β∈B ，设直线AB 与α，β所成的角分别为1θ，2θ，则（）

A.︒=+9021θθ

B.︒≥+9021θθ

C.︒≤+9021θθ

D.︒

<+9021θθ

【解析】：如图，过点A ，B 分别作l 的垂线，分别交于点C ，D ，则β⊥AC ，α⊥BD ，1θ=∠ABC ，2θ=∠BAD ，由最小角定理知：

BAC ∠≤1θ，又︒=+∠902θBAC ，所以

︒≤+9021θθ。

例4.正四面体ABCD ，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成的角θ不可能是（）

A.0

B.6π

C.3π

D.2

π答案：D

解析：直线BE 与CD 所成角的余弦值为36

，又线面角是最小的，故D 练习1：（201904浙江十校9）已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧

棱ABC AA 平面⊥1.过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11A ACC 的交线为l ，记直线l 与直线CA BC AB ,,所成锐角分别为γβα，，，则这三个角的大小关系为

A ．β

γα＞＞B ．γ

βα＞=C ．α

βγ＞＞D ．γ

βα=＞练习2．（201702温州模考）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，△BAC 与BCD 均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（）

A ．（0，）

B ．[0，]

C ．（，）

D ．（，）