第4章讲义2受弯构件变形验算
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钢筋混凝土受弯构件的变形计算
f 5 qL4 384 EI
当集中荷载作用在简支梁跨中时，梁的最大挠度为：
f 1 PL3 48 EI
EI 值反映了梁
的抵抗弯曲变形
的能力，故 EI
又称为受弯构件 的抗弯刚度。
《公路桥规》规定受弯构件变形时的抗弯刚度
B
B0
( M cr Ms
)2
1
( M cr Ms
)2
B0 Bcr
式中：
对结构构件进行正常使用极限状态验算时，应当考虑短期效应 组合、长期效应组合或短期效应组合并考虑长期效应组合的影响。 应当使用荷载的标准值和准永久值，材料强度采用标准值。
3 受弯构件的刚度
对于普通的匀质弹性梁在不同荷载作用下的变形（挠度）计算，可用 《结构力学》中的相应公式求解。例如：
在均布荷载作用下，简支梁的最大挠度为：
总结
1. 钢筋混凝土结构构件除需进行承载力计算外，根据其使用条 件还需要进行裂缝宽度和变形验算，以保证其适用性和耐久性。
2.考虑作用长期效应的影响，受弯构件在使用阶段的长期挠度为 按作用短期效应组合计算的挠度值，乘以挠度长期增长系数。
3.按上述计算的长期挠度值，在消除结构自重产生的长期挠度后 不应超过《公路桥规》规定的允许值。
B ——开裂构件等效截面的抗弯刚度； B0 ——全截面的抗弯刚度，B0 0.95Ec I0 Bcr ——开裂截面的抗弯刚度，Bcr Ec I cr Ec ——混凝土的弹性模量；
4 受弯构件的挠度计算
受弯构件的 挠度计算
确定了钢筋混凝土梁的刚度之后，即可采用结构力学公式进行挠度计
算，但须将EI用B代替。
1）梁式桥主梁的最大挠度处不应超过计算跨径的1/600； 2）梁式桥主梁的悬臂端不应超过悬臂长度的1/300。
4-混凝土结构规范受弯与变形计算资料
ξ与配筋率 ρ的关系
由方程（1）可得：
f y As f y
a fc bh0
a fc
(3)
相对受压区高度ξ不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ρ），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材
料配比本质的参数。
桥梁工程系－杨 剑
界限相对受压区高度ξb
ecu
x>xb’ Xb’
Ts＝σsAs＝fyAs
桥梁工程系－杨 剑
一. 基本假定
1. 截面应变保持平面；
2. 钢筋的应力-应变关系为理想的弹塑性关系，受拉钢筋
的极限拉应变取0.01。
3. 混凝土的受压应力-应变关系给定；
4. 忽略受拉区混凝土的抗拉作用。 Mu
xn
C
xt Tc
Ts
桥梁工程系－杨 剑
钢筋受拉和受压： Ese fy
ρ>ρmax
ρ<ρmax
x<xb’
ρ=ρmax
ey
桥梁工程系－杨 剑
h0
有明显屈服点钢筋：
x'b
e cu ecu e y
h0
b
xb' h0
b xb'
h0
becu ecu e y
b
1 fy
ecu Es
桥梁工程系－杨 剑
无明显屈服点钢筋：
σ σ 0.2
0
0.2%
《桥梁规范》采用的混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤C50 C55
C60
C65
C70
C75
C80
a
1.0
b
0.8
0.79
0.78
由方程（1）可得：
f y As f y
a fc bh0
a fc
(3)
相对受压区高度ξ不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ρ），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材
料配比本质的参数。
桥梁工程系－杨 剑
界限相对受压区高度ξb
ecu
x>xb’ Xb’
Ts＝σsAs＝fyAs
桥梁工程系－杨 剑
一. 基本假定
1. 截面应变保持平面；
2. 钢筋的应力-应变关系为理想的弹塑性关系，受拉钢筋
的极限拉应变取0.01。
3. 混凝土的受压应力-应变关系给定；
4. 忽略受拉区混凝土的抗拉作用。 Mu
xn
C
xt Tc
Ts
桥梁工程系－杨 剑
钢筋受拉和受压： Ese fy
ρ>ρmax
ρ<ρmax
x<xb’
ρ=ρmax
ey
桥梁工程系－杨 剑
h0
有明显屈服点钢筋：
x'b
e cu ecu e y
h0
b
xb' h0
b xb'
h0
becu ecu e y
b
1 fy
ecu Es
桥梁工程系－杨 剑
无明显屈服点钢筋：
σ σ 0.2
0
0.2%
《桥梁规范》采用的混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤C50 C55
C60
C65
C70
C75
C80
a
1.0
b
0.8
0.79
0.78
5杨建4.44.5第四章受弯构件的弯扭失稳
B、轧制普通工字形简支梁
可查附表b 16得到。
C、其他截面的稳定系数计算详见规范。
上述稳定系数时按弹性理论得到的，当 b 0.6
时梁已经进入弹塑性工作状态，整体稳定临界力
显著降低，因此应对稳定系数加以修正，即：
当b 0.6，稳定计算时应以b代替b，其中：
b
1.07
0.282
b
1
当截面同时作用Mx 、 My时： 规范给出了一经验公式：
0.8 修正系数;
(4 85)
此公式适用于双 轴对称截面
x 弯矩作用平面内轴压构件的稳定系数；
M x 计算区段的最大弯矩； W1x 在弯矩作用平面内对较大受压纤维的毛截面模量；
x 塑性发展系数； mx 等效弯矩系数，取值如下：
规范βmx对作出具体规定：
1、无侧移框架柱和两端支承构件
侧向弯曲，伴随扭转——出平面弯扭屈曲 。
一、原因： 受压翼缘应力达临界应力，
其弱轴为 1 -1轴，但由于有
1Y 1 XX
腹板作连续支承，（下翼缘和 腹板下部均受拉，可以提供稳 Y
定的支承），只有绕y轴屈曲，
侧向屈曲后，弯矩平面不再和
截面的剪切中心重合，必然产
生扭转。
梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载或最大弯
π2 EA
N Ex
2 x
——欧拉临界力;
N M x N e0 1 (1)
Np
M
e
(1
N NEx
)
在上式中，令Mx=0，则式中的N即为有缺陷的轴心 受压构件的临界力N0，得：
e0 Me
N p N0 NEx N0 N p N0 NEx
(2)
将式（2）代入式（1），并令：N0 x Np ，经整理得：
第四章 钢筋混凝土受弯构件
•
•
• • • •
方法二 查表法
第一步：求ξ。
ξ=fyAs/(α1fcbh0) 第二步：由附表3-2查得αs。 第三步：求Mu。当ξ≤ξb时，则 Mu=αsα1fcbh02
•
• • •
当ξ＞ξb时，说明超筋，此时的正截面受 弯承载力根据公式求得
Mu,max=α1fcbh02ξb(1-0.5ξb) 或 Mu,max=αs,maxα1fcbh02 第四步：验算最小配筋率条件ρ≥ρmin。
受 弯 构 件
截面类型
Ｍ
正常使用极限状态
斜截面破坏:主要由剪力引起 变形验算： f max ≤f lim 双筋截面 裂缝宽度验算：ｗmax ωlim 同时在受拉区配置 Ｖ 纵向受力钢筋的截面
设计内容
构造措施
构件各连接部位均应满足
4.1 受弯构件基本构造要求
一、钢筋混凝土板
板厚度h
施工要求
现浇板 hmin≦60mm
屈服→压碎 对应极限弯矩Mu
Ⅰa状态：计算Mcr的依据 应力状态与 Ⅱ阶段：计算裂缝、刚度的依据 Ⅲa状态：计算Mu的依据
计算关系
钢筋混凝土梁受力特点
1、截面应变仍呈直线分布，中和位置随M增大而上升
第Ⅰ阶段：σs 小而慢， Ⅰa有突变 2、钢筋应力
第Ⅱ阶段： σs 增长快， Ⅱa达fy
第Ⅲ阶段： σs=fy，产生流幅至混凝土压碎 第Ⅰ阶段：f 增长慢
x = h0 h0 2M a1 f cb
•
第二步：求纵向钢筋AS。
a1 f c bx ， fy
若x ? xb h0 , 则As
若x > xb h0 , 属于超筋，截面小重新设计
•
第三步：选筋。除满足计算外，还应满足 构造要求。
第4章受弯构件的正截面受弯承载力精选全文
图形在第I阶段前期是直线，后期是曲线。 3）弯矩与截面曲率基本上是直线关系。 #Ia阶段可作为受弯构件抗裂度的计算依据。
*第II阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段
M0=Mcr0时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的某一截面处， 当受拉区边缘纤维的拉应变值到达混凝土极限拉应变实验
值εtu0时，将首先出现第一条裂缝，一旦开裂，梁即由第
3
结构和构件要满足承载能力极限状态和正常使用极 限状态的要求。梁、板正截面受弯承载力计算就是从满 足承载能力极限状态出发的，即要求满足
M≤Mu
(4—1)
式中的M是受弯构件正截面的弯矩设计值，它是由结构 上的作用所产生的内力设计值；Mu是受弯构件正截面受
弯承载力的设计值，它是由正截面上材料所产生的抗力。
侧面构造钢筋—用以增强钢筋骨架的刚性，提高梁的抗 扭能力，并承受因温度变化和混凝土收缩所产生的拉应力 ，抑制梁侧裂缝开展。
2）梁纵向受力钢筋应采用HRB400、HRB500、HRBF400、
HRBF500钢筋 ，常用直径为12mm、14mm、16mm、18mm、
20mm、22mm和25mm。根数最好不少于3(或4)根。
4
因此，进行钢筋混凝土构件设计时，除了计算满足以外， 还必须满足有关构造要求。
4.1.1截面形状与尺寸
1.截面形状：梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心 板和倒L形梁等对称和不对称截面。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
5
2.截面尺寸 确定原则：A.考虑模板模数；B.尽量统一、方便施工。
1000mm等尺寸。800mm以下的级差为50mm，以上的为l00mm。 （3）现浇板的宽度一般较大，设计时可取单位宽度
*第II阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段
M0=Mcr0时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的某一截面处， 当受拉区边缘纤维的拉应变值到达混凝土极限拉应变实验
值εtu0时，将首先出现第一条裂缝，一旦开裂，梁即由第
3
结构和构件要满足承载能力极限状态和正常使用极 限状态的要求。梁、板正截面受弯承载力计算就是从满 足承载能力极限状态出发的，即要求满足
M≤Mu
(4—1)
式中的M是受弯构件正截面的弯矩设计值，它是由结构 上的作用所产生的内力设计值；Mu是受弯构件正截面受
弯承载力的设计值，它是由正截面上材料所产生的抗力。
侧面构造钢筋—用以增强钢筋骨架的刚性，提高梁的抗 扭能力，并承受因温度变化和混凝土收缩所产生的拉应力 ，抑制梁侧裂缝开展。
2）梁纵向受力钢筋应采用HRB400、HRB500、HRBF400、
HRBF500钢筋 ，常用直径为12mm、14mm、16mm、18mm、
20mm、22mm和25mm。根数最好不少于3(或4)根。
4
因此，进行钢筋混凝土构件设计时，除了计算满足以外， 还必须满足有关构造要求。
4.1.1截面形状与尺寸
1.截面形状：梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心 板和倒L形梁等对称和不对称截面。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
5
2.截面尺寸 确定原则：A.考虑模板模数；B.尽量统一、方便施工。
1000mm等尺寸。800mm以下的级差为50mm，以上的为l00mm。 （3）现浇板的宽度一般较大，设计时可取单位宽度
混凝土结构设计原理第4章：钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
◆判别条件：f y As 1 fcb'f h'f
第一类T形截面
满足：
0M 1 fcb'f h'f h0 h'f 2 否则为第二类截面
混凝土结构设计原理
第4章
■第一类T形截面的计算公式及适用条件
图4.13 第一类T形截面计算简图
◆计算公式： 1 fcbf x f y As
0M
1
f cbf x(h0
由式（4-27）可得：
x h0
h02
M 2
fyAs(h0
1 fcb
as)
As
fyAs 1 fcbx
fy
…4－34 …4－35
混凝土结构设计原理 情形2：已知条件
第4章
M1
0M
f
' y
As'
h0
as'
x h0
h02
M1
0.51 fcb
x h0 b N
Y
x 2as'
按 A未s' 知，重新计算 和As' As
x) 2
◆适用条件： 1.防止超筋破坏： x bh0 2.防止少筋破坏 ： As minbh
按 bf h的单筋
矩形截面计算
混凝土结构设计原理
第4章
■第二类T形截面的计算公式及适用条件
图4.14 第二类T形截面计算简图
◆计算公式： 1 fcbx 1 fc (bf b)hf fy As
0M
② 由式（4-27）求 Mu
Mu
fyAs(h0 as) 1 fcbx(h0
x) 2
…4－37
③ 验算： Mu M ?
混凝土结构设计原理
《混凝土结构设计原理》第四章_课堂笔记
《混凝土结构设计原理》第四章受弯构件正截面承载力计算课堂笔记◆知识点掌握：受弯构件是土木工程中用得最普遍的构件。
与构件计算轴线垂直的截面称为正截面，受弯构件正截面承载力计算就是满足要求：M≤Mu。
这里M为受弯构件正截面的设计弯矩,Mu为受弯构件正截面受弯承载力，是由正截面上的材料所产生的抗力，其计算及应用是本章的中心问题。
◆主要内容受弯构件的一般构造要求受弯构件正截面承载力的试验研究受弯构件正截面承载力的计算理论单筋矩形戴面受弯承载力计算双筋矩形截面受弯承载力计算T形截面受弯承载力计算◆学习要求1.深入理解适筋梁的三个受力阶段，配筋率对梁正截面破坏形态的影响及正截面抗弯承载力的截面应力计算图形。
2.熟练掌握单筋矩形、双筋矩形和T形截面受弯构件正截面设计和复核的握法，包括适用条件的验算。
重点难点◆本章的重点:1.适筋梁的受力阶段，配筋率对正截面破坏形态的影响及正截面抗弯承载力的截面应力计算图形。
2.单筋矩形、双筋矩形和T形截面受弯构件正截面抗弯承载力的计算。
本章的难点：重点1也是本章的难点。
一、受弯构件的一般构造（一）受弯构件常见截面形式结构中常用的梁、板是典型的受弯构件:受弯构件的常见截面形式的有矩形、T形、工字形、箱形、预制板常见的有空心板、槽型板等；为施工方便和结构整体性，也可采用预制和现浇结合，形成叠合梁和叠合板。
（二）受弯构件的截面尺寸为统一模板尺寸，方便施工，宜按下述采用:截面宽度b=120, 150 , 180、200、220、250、300以上级差为50mm。
截面高度h=250, 300,…、750、800mm，每次级差为50mm，800mm以上级差为100mm。
板的厚度与使用要求有关，板厚以10mm为模数。
但板的厚度不应过小。
（三）受弯构件材料选择与一般构造1.受弯构件的混凝土等级提高砼等级对增大正截面承载力的作用不显著。
受弯构件常用的混凝土等级是C20~C40。
2.受弯构件的混凝土保护层厚度纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的最小垂直距离，称为混凝土保护层厚度，用c表示。
《钢结构设计原理》受弯构件计算原理
钢结构设计原理 Design Principles of Steel Structure
第四章 受弯构件的计算原理
§4.2 受弯构件的强度和刚度
4.2.1 弯曲强度
a)
y
σ<fy
b) σ=fy
c) σ=fy
d)
塑性
σ=fy
a a
x
εy
弹性
全部塑性
塑性
M<My
M=My My<M<Mp
M=Mp
图4.2.1 各荷载阶段梁截面上的的正应力分布
I nx t w
——剪应力
钢结构设计原理
图4.2.5 、 、c的共同作用
Design Principles of Steel Structure
第四章 受弯构件的计算原理
M、V—验算截面的弯矩及剪力；
In—验算截面的净截面惯性矩； y1—验算点至中和轴的距离； S1—验算点以上或以下截面面积对中和轴的面积矩；
钢结构设计原理 Design Principles of Steel Structure
第四章 受弯构件的计算原理
（塑性发展系数）与截面形状有关，而与材料的性质无
关，所以又称截面形状系数。不同截面形式的塑性发展系数
见P110表4.2.1 。
梁的抗弯强度应满足：
（1）绕x轴单向弯曲时
Mx fy f xWx R
剪力中心S位置的一些简单规律
（1）双对称轴截面和点对称截面（如Z形截面），S与截面形心重合； （2）单对称轴截面，S在对称轴上； （3）由矩形薄板中线相交于一点组成的截面，每个薄板中的剪力通过
该点，S在多板件的交汇点处。
钢结构设计原理 Design Principles of Steel Structure
第四章 受弯构件的计算原理
§4.2 受弯构件的强度和刚度
4.2.1 弯曲强度
a)
y
σ<fy
b) σ=fy
c) σ=fy
d)
塑性
σ=fy
a a
x
εy
弹性
全部塑性
塑性
M<My
M=My My<M<Mp
M=Mp
图4.2.1 各荷载阶段梁截面上的的正应力分布
I nx t w
——剪应力
钢结构设计原理
图4.2.5 、 、c的共同作用
Design Principles of Steel Structure
第四章 受弯构件的计算原理
M、V—验算截面的弯矩及剪力；
In—验算截面的净截面惯性矩； y1—验算点至中和轴的距离； S1—验算点以上或以下截面面积对中和轴的面积矩；
钢结构设计原理 Design Principles of Steel Structure
第四章 受弯构件的计算原理
（塑性发展系数）与截面形状有关，而与材料的性质无
关，所以又称截面形状系数。不同截面形式的塑性发展系数
见P110表4.2.1 。
梁的抗弯强度应满足：
（1）绕x轴单向弯曲时
Mx fy f xWx R
剪力中心S位置的一些简单规律
（1）双对称轴截面和点对称截面（如Z形截面），S与截面形心重合； （2）单对称轴截面，S在对称轴上； （3）由矩形薄板中线相交于一点组成的截面，每个薄板中的剪力通过
该点，S在多板件的交汇点处。
钢结构设计原理 Design Principles of Steel Structure
混凝土结构设计原理-04章-受弯构件的正截面受弯承载力
fsd
即：
截面应力图
截面等效应力图
fcdb x k1 fcdb xc
x 2 xc yc 2 1 k2 xc
令：x xc ，可求出 21 k2 ,
k1
21 k2
对 C50 及以下混凝土， 1.0 ， 0.8 ；C80时， 0.94
0.74 ，中间内插值。《公路桥规》直接取 1.0。
k2 xc
cu c c d c
0
式中k1、k2与混凝土的 强度等级有关，对C50 及以下混凝土，积分 可得 k1=0.797
k2=0.588
4.3 正截面受弯承载力计算原理
第4章 受弯构件的正截面受弯承载力
3.等效矩形应力图
fcd
等效原则：
合力大小C 相等
合力点位置 yc不变
fsd
4.3 正截面受弯承载力计算原理
第4章 受弯构件的正截面受弯承载力
4.适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率 （1）界限破坏
适筋破坏：受拉钢筋先屈服，
然后混凝土受压区边缘达到极限压
应变。
超筋破坏：受拉钢筋不屈服，
混凝土受压区边缘达到极限压应变。
界限破坏：受拉钢筋屈服的同 时混凝土受压区边缘达到极限压应
适筋、超筋、界限破坏时的截面应变
4.1 梁、板的一般构造
第4章 受弯构件的正截面受弯承载力
常用直径为8mm、10mm、12mm和14mm。 ■ 板内钢筋： 受力钢筋宜采用HPB300、HRB400和HRBF400钢筋。 常用直径为8mm、10mm、12mm和14mm。 分布钢筋宜采用HPB300、HRB335钢筋。 常用直径为6mm、8mm。 ■ 钢筋净距、保护层及有效高度 截面有效高度h0为受拉钢筋合力点至受压区边缘的距离。 h0 h as
受弯构件变形与裂缝宽度验算
受弯构件变形与
裂缝宽度验算
一、梁的挠度验算
对建筑结构中的屋盖、楼盖及楼梯等受弯构件，由于使用上的要
求并保证人们的感觉在可接受的程度之内，需要对其挠度进行控制。
对于吊车梁或门机轨道梁等构件，变形过大时会妨碍吊车或门机的
正常行驶，也需要进行控制变形验算。
≤ []
式中 ——荷载效应标准组合下，考虑荷载长期作用的影
裂缝控制等级
三级
0.30（0.40）
三级
0.20
0.20
0.10
二b
二级
—
三a、三b
一级
—
注：对处于年平均相对湿度小于60%地区一类环境下的受弯构件，最大裂缝宽度限
值可采用括号内整数值。
谢 谢 观 看
行计算时构件受拉边边缘的混凝土不应产生拉应力。
二级：一般要求不出现裂缝的构件，即按荷载效应标准组合进
行计算时，构件受拉边边缘的混凝土不宜产生拉应力，当有可靠
经验时可适当放松。
三级：允许出现裂缝的构件，但荷载效应标准组合并考虑长期
作用影响求得的最大裂缝宽度 ,不应超过《混凝土结构设计规
范》规定的最大裂缝宽度限制 .
土的抗拉强度时即开裂。由此看来，截面受有拉应力的钢筋混凝土构
件在正常使用阶段出现裂缝是难免的，对于一般的工业与民用建筑来
说，也是允许带有裂缝工作的。
在进行结构构件设计时，应根据使用要求选用不同的裂缝控制等
级。《混凝土结构设计规范》将裂缝控制等级划分为三级：
二、梁的裂缝验算
一级：严格要求不出现裂缝的构件，按荷载效应的标准组合进
二、梁的裂缝验算
由于混凝土的抗拉强度很低，在荷载不大时，混凝土构件受拉区
裂缝宽度验算
一、梁的挠度验算
对建筑结构中的屋盖、楼盖及楼梯等受弯构件，由于使用上的要
求并保证人们的感觉在可接受的程度之内，需要对其挠度进行控制。
对于吊车梁或门机轨道梁等构件，变形过大时会妨碍吊车或门机的
正常行驶，也需要进行控制变形验算。
≤ []
式中 ——荷载效应标准组合下，考虑荷载长期作用的影
裂缝控制等级
三级
0.30（0.40）
三级
0.20
0.20
0.10
二b
二级
—
三a、三b
一级
—
注：对处于年平均相对湿度小于60%地区一类环境下的受弯构件，最大裂缝宽度限
值可采用括号内整数值。
谢 谢 观 看
行计算时构件受拉边边缘的混凝土不应产生拉应力。
二级：一般要求不出现裂缝的构件，即按荷载效应标准组合进
行计算时，构件受拉边边缘的混凝土不宜产生拉应力，当有可靠
经验时可适当放松。
三级：允许出现裂缝的构件，但荷载效应标准组合并考虑长期
作用影响求得的最大裂缝宽度 ,不应超过《混凝土结构设计规
范》规定的最大裂缝宽度限制 .
土的抗拉强度时即开裂。由此看来，截面受有拉应力的钢筋混凝土构
件在正常使用阶段出现裂缝是难免的，对于一般的工业与民用建筑来
说，也是允许带有裂缝工作的。
在进行结构构件设计时，应根据使用要求选用不同的裂缝控制等
级。《混凝土结构设计规范》将裂缝控制等级划分为三级：
二、梁的裂缝验算
一级：严格要求不出现裂缝的构件，按荷载效应的标准组合进
二、梁的裂缝验算
由于混凝土的抗拉强度很低，在荷载不大时，混凝土构件受拉区
第四章第二节钢筋混凝土受弯构件
（3）解二次联立方程式，求 As （4）验算适用条件：1） b ，若 b ，说明是超筋梁，改用双筋 梁或增大截面尺寸或提高混凝土强度等级重新计算 h （5）以实际采用钢筋面积验算条件（2）即 min ，如不满足，则纵 h0 向受拉钢筋应按 A bh 配置。 s min
前期为直线，后期 为有上升段的直线， 应力峰值不在受拉区 边缘 直线
受压区高度减小， 混凝土 压应力图形为上升段的曲 线， 应力峰值在受压区边缘
凝土压应力图形为较丰满的曲 线，后期为有上升段和下降段 的曲线，应力峰值不在受压区 边缘而在边缘的内侧
受 拉 区
大部分退出工作
绝大部分退出工作
纵向受拉钢筋应力 在设计计算中的作 用
简支板可取h = (1/25 ~ 1/35)L0
纵向钢筋
梁常用HRB400级、HRB335级钢筋，板常用HPB235级、HRB335 级和HRB400级钢筋；
as 的确定
d as c 2
梁受拉钢筋为一排时 梁受拉钢筋为两排时 平板
as 35mm
as 60mm as 20mm
单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算
一、受弯构件的正截面受力特性
第二节 钢筋混凝土受弯构件
正截面受弯的三种破坏形态
(1)少筋破坏形态( min
h h0
)
构件一裂就坏，无征兆，为“脆性 破坏”。（混凝土的抗压强度未得到发挥）
(2)适筋破坏形态( min h b) 0
受拉钢筋先屈服，受压区混凝土后 压坏，破坏前有明显预兆——裂缝、变 形急剧发展，为“延性破坏”。（钢筋
的抗拉强度和混凝土的抗压强度都得到发挥）
h
(3)超筋破坏形态（ b ）
混凝土结构设计原理 第四章 受弯构件正截面承载力的计算
3.2 梁板结构的一般构造
第4章 受弯构件正截面承载力
分布钢筋的作用：
抵抗混凝土收缩和温度变化所引起的内力； 浇捣混凝土时，固定受力钢筋的位置； 将板上作用的局部荷载分散在较大的宽度上，以便 使更多的受力钢筋参与工作； 对四边支撑的单向板，可承受在计算中没有考虑的 长跨方向上实际存在的弯矩。
板中单位长度上的分布钢筋，其截面面积不应小于 单位长度上受力钢筋截面面积的15%，且配筋率不宜小于 0.15%。间距不应大于250mm，直径不宜小于6mm。
4.2 梁板结构的一般构造
第4章 受弯构件正截面承载力
弯起钢筋 架立钢筋
腰筋
箍筋
纵向钢筋
梁的钢筋构造
梁中钢筋由纵向受力钢筋、弯起钢筋、箍筋和架立钢筋组 成，纵向受力钢筋的作用是承受由弯矩在梁内产生的拉力。 常用直径：10～32mm。 当h ≥ 300mm，直径不小于10mm；当h<300mm，直径 不小于8mm。
第4章 受弯构件正截面承载力
梁的配筋率ρ 很小，梁拉区开裂后，钢筋 应力趋近于屈服强度，即开裂弯矩Mcr趋近于拉 区钢筋屈服时的弯矩 My，这意味着第Ⅱ阶段的 缩短，当ρ 减少到当 Mcr=My 时，裂缝一旦出现，
钢筋应力立即达到屈服强度，这时的配筋百分
率ρ 称为最小配筋率ρ
min。
min b max
h0
h
第4章 受弯构件正截面承载力
正截面受弯的三种破坏形态
(1) 适筋破坏形态——破坏始自受拉区 钢筋的屈服
受拉钢筋先屈服，受压区混凝土后 压坏，破坏前有明显预兆——裂缝、变 形急剧发展，为“塑性破坏”。
(2) 超筋破坏形态——破坏始自受压混 凝土的压碎
受压区混凝土先压碎，钢筋不屈服， 破坏前没有明显预兆，为“脆性破坏”。 钢筋的抗拉强度没有被充分利用。
第四章钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形验算
第四章钢筋混凝⼟受弯构件的应⼒、裂缝和变形验算第四章钢筋混凝⼟受弯构件的应⼒、裂缝和变形验算对钢筋混凝⼟构件，除应进⾏承载能⼒极限状态计算外，还要根据施⼯和使⽤条件进⾏持久状况正常使⽤极限状态和短暂状况的验算。
第⼀节抗裂计算桥梁构件按短暂状况设计时，应计算其在制作、运输及安装等施⼯阶段，由⾃重和施⼯荷载等引起的应⼒，并不应超过规范规定的限值。
施⼯荷载除有特别规定外均采⽤标准值，当进⾏构件运输和安装计算时，构件⾃重应乘以动⼒系数，当有组合时不考虑荷载组合系数。
在钢筋混凝⼟受弯构件抗裂验算和变形验算中，将⽤到“换算截⾯”的概念，因此，本章先引⼊换算截⾯的概念，然后依次介绍各项验算⽅法。
4.1.1 换算截⾯依据材料⼒学理论，对钢筋混凝⼟受弯构件带裂缝⼯作阶段的截⾯应⼒计算作如下假定：1、服从平截⾯假定由钢筋混凝⼟受弯构件的试验可知，从宏观尺度看平截⾯假定基本成⽴。
据此有同⼀⽔平纤维处钢筋与混凝⼟的纵向应变相等，即：s c εε= （4.1-1）2、钢筋和混凝⼟为线弹性材料钢筋混凝⼟受弯构件在正常施⼯或使⽤阶段，钢筋远未屈服，可视为线弹性材料；混凝⼟虽为弹塑性体，但在压应⼒⽔平不⾼的条件下，其应⼒与应变近似服从虎克定律。
故有c c c E εσ=，s s s E εσ= （4.1-2）3、忽略受拉区混凝⼟的拉应⼒钢筋混凝⼟构件在受弯开裂后，其受拉区混凝⼟的作⽤在计算上可近似忽略。
将式（4.1-1）代⼊式（4.1-2）可得：c s c c c E E εεσ==''因为 s ss E σε=所以 s ES c s sc E E σασσ1'== （4.1-3）其中：ES α－钢筋与混凝⼟弹性模量之⽐，即c s ES E E =α。
为便于利⽤匀质梁的计算公式，通常将钢筋截⾯⾯积s A 换算成等效的混凝⼟截⾯⾯积sc A ，依据⼒的等效代换原则：1、⼒的⼤⼩不变：换算截⾯⾯积sc A 承受拉⼒与原钢筋承受的拉⼒相等。
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αE=Es/Ec； ρ ──纵向受拉钢筋配筋率；
γ f ── 受压翼缘截面面积与腹板有效截面面积的比值：
' f
(bf' b)hf' bh0
当hf′＞0.2h0时，取hf′=0.2h0 。当截面受压区为矩形时，γf′=0。
受弯构件变形验算
考虑部分荷载长期作用的抗弯刚度
挠度验算要求：在荷载标准效应作用下并考虑长期作用影响 后的构件挠度不超过规定的允许挠度限值。
钢筋混凝土构件的截面刚度为一变量： 随弯矩的增大而减小。 随纵向受拉钢筋配筋率的减小而减小。
刚度定义
受弯构件变形验算
短期刚度Bs：钢筋混凝土受弯构件出现裂缝后，
在荷载效应的标准组合作用下的截面弯曲刚度。
长期刚度B：按荷载效应的标准组合并考虑荷载效
应的长期作用影响的刚度。
挠度验算要求：在荷载标准效应作用下并考虑长 期作用影响后的构件挠度不超过规定的允许挠度 限值。
第4章2受弯构件变形验 算
精品
学习目标
受弯构件变形验算
熟悉截面受弯刚度的计算公式 熟悉最小刚度原则 熟悉挠度验算步骤
掌握提高受弯构件刚度的措施
引言
受弯构件变形验算
安全性
结构构件 的可靠性
适用性 耐久性
具有足够的承载力
在使用荷载下不产生 过大的裂缝和变形
在一定时期内维持其 安全性和适用性的能 力
承载能力 极限状态
2）计算短期刚度Bs； 3）计算长期刚度B ；
4）计算最大挠度f，并判断挠度是否符合要求。
感谢聆听！
纵向钢筋应变不均匀系数
受弯构件变形验算
系数 的物理意义就是反映裂缝间受拉混凝土对纵向受拉钢筋应变的影响程度
1.10.65 ftk te sk
当 <0.2时，取 =0.2； 当 >1.0时，取 =1.0；
te
As A te
ftk——轴心受拉混凝土强度标准值－查附表A2 ρte——按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
ρte<0.01时，取ρte＝0.01。 Ate ——有效受拉混凝土截面面积
受弯、偏拉、偏压构件 轴拉构件
A te0.5bhbfbhf
Ate取全截面
受弯构件变形验算
Mk───按荷载效应标准组合计算的弯矩； αE── 钢 筋 弹 性 模 量 Es 与 混 凝 土 弹 性 模 量 Ec 的 比 值 ， 即
裂缝截面之 均间 应s钢 变 m ＝ 筋 s： ＝ 的 E ssk＝ 平 AsM h k0Es
裂缝截面之 土间 边受 缘压 的c混 平 m ＝ c凝 均 c＝ 应 cE csk ＝ 变 bM 0 2k h ： Es
BsM k sM m kh0cmAsh02Es1bh103Ec
Bs
EsAsh02 EsAs
正常使用 极限状态
受弯构件：挠度验算
挠度验算公式
受弯构件变形验算
f ≤[f]
保证结构常使用的挠度限值（P400：附表4-16 ）
受弯构件变形验算
弹性均质材料简支梁挠度计算公式
截面抗弯刚度EI体现了截面抵抗弯曲变形的能力。 对于弹性均质材料截面，EI是常数。
受弯构件变形验算
钢筋混凝土受弯构件的截面刚度
Bl
Mq（q
MK 1
) +MK
B s
式中 Mq ──按荷载效应准永久组合计算的弯矩； θ──考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数，对钢筋混凝
土受弯构件，取θ=2.0-0.4ρ′/ρ。此处ρ为纵向受拉钢筋的配筋率； ρ′为纵向受压钢筋的配筋率。
对于翼缘位于受拉区的倒T形截面，θ值应增大20%。
最小刚度原则
受弯构件变形验算
取同号弯矩区段内弯矩最大截面的弯 曲刚度作为该区段的弯曲刚度。
在简支梁中取最大正弯矩截面的刚度为全梁 的弯曲刚度；
在外伸梁、连续梁或框架梁中，则分别取最 大正弯矩截面和最大负弯矩截面的刚度作为 相应正、负弯矩区段的弯曲刚度。
挠度验算步骤
受弯构件变形验算
1）计算荷载效应标准组合及准永久组合下的弯矩 Mk、Mq ；
受弯构件变形验算
钢筋混凝土受弯构件挠度计算公式
f
f
条件有关的系数。例如， 简支梁承受均布荷载作用时βf=5/48，简支梁承受 跨中集中荷载作用时βf=1/12。
B —长期刚度。
M k—按荷载效应标准组合计算得到的弯矩。
短期刚度Bs的计算公式推导 受弯构件变形验算
＝ EsAsh02
E
bh0Ec
E
Es Ec
As bh 0
E0.21 6 3E .5f且 ＝ 0.87
Bs
1.15
Es Ash02 0.2
6E
13.5f
受弯构件变形验算
短期刚度Bs的计算公式系数含义
式中Es──受拉纵筋的弹性模量； As──受拉纵筋的截面面积； h0──受弯构件截面有效高度； ψ──裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数；
γ f ── 受压翼缘截面面积与腹板有效截面面积的比值：
' f
(bf' b)hf' bh0
当hf′＞0.2h0时，取hf′=0.2h0 。当截面受压区为矩形时，γf′=0。
受弯构件变形验算
考虑部分荷载长期作用的抗弯刚度
挠度验算要求：在荷载标准效应作用下并考虑长期作用影响 后的构件挠度不超过规定的允许挠度限值。
钢筋混凝土构件的截面刚度为一变量： 随弯矩的增大而减小。 随纵向受拉钢筋配筋率的减小而减小。
刚度定义
受弯构件变形验算
短期刚度Bs：钢筋混凝土受弯构件出现裂缝后，
在荷载效应的标准组合作用下的截面弯曲刚度。
长期刚度B：按荷载效应的标准组合并考虑荷载效
应的长期作用影响的刚度。
挠度验算要求：在荷载标准效应作用下并考虑长 期作用影响后的构件挠度不超过规定的允许挠度 限值。
第4章2受弯构件变形验 算
精品
学习目标
受弯构件变形验算
熟悉截面受弯刚度的计算公式 熟悉最小刚度原则 熟悉挠度验算步骤
掌握提高受弯构件刚度的措施
引言
受弯构件变形验算
安全性
结构构件 的可靠性
适用性 耐久性
具有足够的承载力
在使用荷载下不产生 过大的裂缝和变形
在一定时期内维持其 安全性和适用性的能 力
承载能力 极限状态
2）计算短期刚度Bs； 3）计算长期刚度B ；
4）计算最大挠度f，并判断挠度是否符合要求。
感谢聆听！
纵向钢筋应变不均匀系数
受弯构件变形验算
系数 的物理意义就是反映裂缝间受拉混凝土对纵向受拉钢筋应变的影响程度
1.10.65 ftk te sk
当 <0.2时，取 =0.2； 当 >1.0时，取 =1.0；
te
As A te
ftk——轴心受拉混凝土强度标准值－查附表A2 ρte——按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
ρte<0.01时，取ρte＝0.01。 Ate ——有效受拉混凝土截面面积
受弯、偏拉、偏压构件 轴拉构件
A te0.5bhbfbhf
Ate取全截面
受弯构件变形验算
Mk───按荷载效应标准组合计算的弯矩； αE── 钢 筋 弹 性 模 量 Es 与 混 凝 土 弹 性 模 量 Ec 的 比 值 ， 即
裂缝截面之 均间 应s钢 变 m ＝ 筋 s： ＝ 的 E ssk＝ 平 AsM h k0Es
裂缝截面之 土间 边受 缘压 的c混 平 m ＝ c凝 均 c＝ 应 cE csk ＝ 变 bM 0 2k h ： Es
BsM k sM m kh0cmAsh02Es1bh103Ec
Bs
EsAsh02 EsAs
正常使用 极限状态
受弯构件：挠度验算
挠度验算公式
受弯构件变形验算
f ≤[f]
保证结构常使用的挠度限值（P400：附表4-16 ）
受弯构件变形验算
弹性均质材料简支梁挠度计算公式
截面抗弯刚度EI体现了截面抵抗弯曲变形的能力。 对于弹性均质材料截面，EI是常数。
受弯构件变形验算
钢筋混凝土受弯构件的截面刚度
Bl
Mq（q
MK 1
) +MK
B s
式中 Mq ──按荷载效应准永久组合计算的弯矩； θ──考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数，对钢筋混凝
土受弯构件，取θ=2.0-0.4ρ′/ρ。此处ρ为纵向受拉钢筋的配筋率； ρ′为纵向受压钢筋的配筋率。
对于翼缘位于受拉区的倒T形截面，θ值应增大20%。
最小刚度原则
受弯构件变形验算
取同号弯矩区段内弯矩最大截面的弯 曲刚度作为该区段的弯曲刚度。
在简支梁中取最大正弯矩截面的刚度为全梁 的弯曲刚度；
在外伸梁、连续梁或框架梁中，则分别取最 大正弯矩截面和最大负弯矩截面的刚度作为 相应正、负弯矩区段的弯曲刚度。
挠度验算步骤
受弯构件变形验算
1）计算荷载效应标准组合及准永久组合下的弯矩 Mk、Mq ；
受弯构件变形验算
钢筋混凝土受弯构件挠度计算公式
f
f
条件有关的系数。例如， 简支梁承受均布荷载作用时βf=5/48，简支梁承受 跨中集中荷载作用时βf=1/12。
B —长期刚度。
M k—按荷载效应标准组合计算得到的弯矩。
短期刚度Bs的计算公式推导 受弯构件变形验算
＝ EsAsh02
E
bh0Ec
E
Es Ec
As bh 0
E0.21 6 3E .5f且 ＝ 0.87
Bs
1.15
Es Ash02 0.2
6E
13.5f
受弯构件变形验算
短期刚度Bs的计算公式系数含义
式中Es──受拉纵筋的弹性模量； As──受拉纵筋的截面面积； h0──受弯构件截面有效高度； ψ──裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数；