数学分析(华东师大版)第三章习题详解
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
华东师大数学分析答案第三章函数极限
第三章 函数极限§1 函数极限概念一、按概念证明以下极限: (1);656lim=+∞→xx x (2)2)106(lim 22=+-→x x x ;(3) ;115lim 22=--∞→x x x (4) 04lim 22=-→x x ; (5) 0cos cos lim 0x x x x =→证: (1)当0>x 时,xx x 5656=-+,于是对任给正数ε,只要取ε5=M ,当M x >时,有ε<-+656xx .故656lim=+∞→x x x (2) 当120<-<x 时,有422)106(2-⋅-=-+-x x x x 23)22(2-<+-⋅-≤x x x ,对任给正数ε,只要取}3,1min{εδ=,那么当δ<-<20x 时,有ε<-+-2)106(2x x ,故2)106(lim 22=+-→x x x .(3)当2>x 时, x x x x x 411411522<+-=---.对任给正数ε,只要取}4,2{ε=M ,当M x >时,便有ε<---11522x x ,故115lim 22=--∞→x x x . (4)设)2,1[∈x ,那么x x x -⋅+=-2242x -≤22.0>∀ε,取42εδ=,那么当820<-<x ,即21<<-x δ时,ε<-24x ,故04lim 22=-→x x .(5)因为00002sin 2sin2cos cos x x x x x x x x -≤+-=-. 从而对任给正数ε,只要取εδ=,当δ<-<00x x 时,就有ε<-0cos cos x x .0cos cos lim 0x x x x =→故0cos cos lim 0x x x x =→.二、参照概念2正面陈述A x f x x ≠→)(lim 0.解:设函数f 在点0x 的某空心邻域),(00δ'x U 内有概念,A 是一个确信的常数.假设存在某个正数0ε,使得对任意的正数δ,总存在x ',知足δ<-'<00x x ,且0)(ε≥-'A x f 那么称当0x x →时)(x f 不以A 为极限,记为A x f x x ≠→)(lim 0.3、 证明: )(lim )(lim 00h x f x f h x x +=→→.证明: 设A x f x x =→)(lim 0,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.从而当δ<<h 0时,有δ<-+<00)(0x h x ,于是ε<-+A h x f )(0, 故A h x f h =+→)(lim 00.反之,设A h x f h =+→)(lim 00,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<<h 0时,有ε<-+A h x f )(0.从而当δ<-<00x x 时,0x x h -=知足δ<<h 0, 从而=-A x f )(ε<-+A h x f )(0 故A x f x x =→)(lim 0.4、 证明A x f x x =→)(lim 0,那么A x f x x =→)(lim 0.但反之不真.证: 设A x f x x =→)(lim 0,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.因此当δ<-<00x x 时, 有ε<-≤-A x f A x f )()( 故A x f x x =→)(lim 0.但逆命题不真.如对⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0,10,00,1)(x x x x f ,有⎩⎨⎧=≠=0,00,1)(x x x f且1)(lim 0=→x f x x ,但)(lim 0x f x x →不存在.5、 证明定理定理 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=A =.证: 必要性 设A x f x x =→)(lim 0,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.因此,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.故A x f x x =+→)(lim 0当δ<-<x x 00时,有ε<-A x f )(.故A x f x x =-→)(lim 0.充分性 设A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0,那么对任给正数ε,别离存在正数1δ和2δ,使适当δ<-<00x x 或δ<-<x x 00时,都有ε<-A x f )(. 现取},min{21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有1000δδ≤<-≤-<x x x x ,或2000δδ≤<-≤-<x x x x因此由(1)知ε<-A x f )(故A x f x x =→)(lim 0.6.研究以下函数在0=x 处的左右极限或极限(1)x x x f =)(; (2)][)(x x f =; (3) ⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=0,10,00,2)(2x x x x x f x解: (1)当0>x 时, 1)(==xx x f ,故1)(lim 0=+→x f x x .当0<x 时, 1)(-==xx x f ,故1)(lim 0-=-→x f x x ,因此)(lim 0x f x →不存在.(2) 当01>>x 时, ][)(x x f =0=,故0)(lim 0=+→x f x x .当01<<-x 时, ][)(x x f =1-=,故1)(lim 0-=-→x f x x .因此)(lim 0x f x →不存在.(3) 当0>x 时, x x f 2)(=,故12lim )(lim 0==++→→x x x x f . 当0<x 时, 21)(x x f +=,故1)1(lim )(lim 20=+=--→→x x f x x . 因此1)(lim 0=→x f x .7.证明: )1(lim )(lim 0xf x f x x +→∞→=. 证: 设A x f x =∞→)(lim ,B xf x =+→)1(lim 0,下证B A =. 对任给正数ε,存在0>M ,0>δ,使适当M x >时,有2)(ε<-A x f .当δ<<x 0时,有2)1(δ<-B xf .令}1,min{M δη=,那么当η<<x 0时,M x>1, 从而由(1)知2)1(ε<-A xf .于是当η<<x 0时,由(2)与(3)知ε<-+-≤-B xf x f A B A )1()1(. 可见ε≤-B A ,由于ε的任意性可得, B A =8.证明:对黎曼函数)(x R 有0)(lim 0=→x R x x ,]1,0[0∈x (当0=x 或1时,考虑单侧极限)证: [0,1]上的黎曼函数概念如下: ⎪⎩⎪⎨⎧===或无理数当时当1,0,0,1)(x q p x q x R仍取]1,0[0∈x ,对任意给定的正数ε,知足不等式ε1≤n 的自然数n 最多有有限个.于是在[0,1]中最多有有限个既约分数qp ,使得ε≥=q q p R 1)(.因此咱们可取0>δ,使得0x 的空心邻域),(00δx U 内不含如此的既约分数, 于是只要δ<-<00x x (对00=x ,只要δ<<x 0;对10=x ,只要δ<-<x 10). 不论x 是不是为有理数,有ε<)(x R 故0)(lim 0=→x R x x ,]1,0[0∈x .§2 函数极限的性质一、求以下极限:(1))cos (sin 2lim 22x x x x --→π; (2) 121lim 220---→x x x x ;(3) 121lim 221---→x x x x ; (4) 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; (5) 11lim 1--→m n x x x (n 、m 为自然数);(6) 2321lim4--+→x x x ; (7) xax a x -+→20lim ,(0>a );(8) xx x x cos lim-∞→; (9) 4sin lim 2-∞→x xx x ;(10) 902070)15()58()63(lim --+∞→x x x x 解:(1))cos (sin 2lim 22x x x x --→π)41(22π-=.(2) 121lim 220---→x x x x 110010=---=.(3) 121lim 221---→x x x x 32121lim 1=++=→x x x . (4) 32302)31()1(lim xx x x x +-+-→3123lim 0-=+-=→x x x . (5) 11lim 1--→mn x x x mnx x x x x x m m n n x =++++++++=----→11lim 21211 . (6) 2321lim4--+→x x x 34321)2(2lim4=+++=→x x x . (7) x ax a x -+→20lim a ax a x 211lim 20=++=→. (8) x x x x cos lim-∞→1cos 1lim =-=∞→xxx .(9) 4sin lim 2-∞→x x x x 0411sin lim 2=-⋅=-∞→xx x x . (10) 902070)15()58()63(lim --+∞→x x x x 902070902070583)15()58()63(lim ⋅=--+=∞→xx x x .2.利用迫敛性求极限:(1) xx x x cos lim --∞→; (2) 4sin lim 2-+∞→x xx x .解: (1)因为1cos 1≤≤-x ,因此xx x x x x x 1cos 1-≤-≤+ )0(<x 而1)11(lim 1lim=+=+-∞→-∞→x x x x x ,1)11(lim 1lim =-=--∞→-∞→xx x x x 因此1cos lim=--∞→xxx x (2) 因为1sin 1≤≤-x ,因此44sin 4222-≤-≤--x xx x x x x , (2>x )而00411lim 4lim 22=-=--=--+∞→+∞→x x x x x x ,0411lim 4lim 22=-=-+∞→+∞→xx x xx x 因此04sin lim 2=-+∞→x xx x3.证明定理定理 假设极限)(lim 0x f x x →与)(lim 0x g x x →都存在,那么g f ±,g f ⋅在0x x →时极限也存在,且(Ⅰ) =±→)]()([lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →±;(Ⅱ) =⋅→)]()([lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →⋅;(Ⅲ)假设0)(lim 0≠→x g x x ,那么g f 在0x x →时极限存在,且有)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=. 证:设A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,那么对任给的正数ε,别离存在正数1δ和2δ,使当100δ<-<x x 时,有2)(ε<-A x f . (1)当200δ<-<x x 时,有2)(ε<-B x f . (2)(Ⅰ)取},min{21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有(1)、(2)同时成立，于是有ε<-+-≤±-±B g A f B A g f )()(，故B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0.(Ⅱ)由B x g x x =→)(lim 0知, 存在正数3δ,使)(x g 在),(300δx U 上有界,即存在正数M ,对任给),(300δx U x ∈,有M x g ≤)(. (3)取},,min{321δδδδ=,当δ<-<00x x 时,有(1)、(2)、（3）同时成立， 因此AB x g x f -⋅)()())(())()((B x g A A x f x g -+-=B x g A A x f x g -⋅+-⋅≤)()()(ε2A M +<。
数学分析教案(华东师大版)第三章函数极限
第三章函数极限教课目标：1.使学生坚固地成立起函数极限的一般观点，掌握函数极限的基天性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判断某些函数极限的存在性；3. 掌握两个重要极限和，并能娴熟运用；4.理解无量小（大）量及其阶的观点，会利用它们求某些函数的极限。
教课重（难）点：本章的要点是函数极限的观点、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教课时数： 14 学时§ 1函数极限观点（2学时）教课目标：使学生成立起函数极限的正确观点；会用函数极限的定义证明函数极限等相关命题。
教课要求：使学生逐渐成立起函数极限的定义的清楚观点。
会应用函数极限的定义证明函数的相关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈说。
教课要点：函数极限的观点。
教课难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的观点、性质等二、讲解新课：（一）时函数的极限：学好料迎下以介符号 : 定 ( 和例引入 .的意 ,和. )的直意.几何意介域此中充足大的正数．而后用些域言介几何意．例 1例 2例 3（二）函数的极限：由考定函数极限的“”定. 几何意 .用定函数极限的基本思路. 的极限引入.⋯⋯例4 考证例5 考证例6 考证证由=为使为使需有需有于是 , 倘限制, 就有例 7 考证例 8 考证(近似有（三）单侧极限 :1．定义：单侧极限的定义及记法 .几何意义 :介绍半邻域而后介绍等的几何意义 .例9考证证考虑使的2.单侧极限与两侧极限的关系 :Th近似有 :例 10证明:极限不存在.例 11设函数在点的某邻域内单一.若存在,则有=§2函数极限的性质（2学时）教课目标：使学生掌握函数极限的基天性质。
教课要求：掌握函数极限的基天性质：独一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教课要点：函数极限的性质及其计算。
教课难点：函数极限性质证明及其应用。
教课方法：讲练联合。
一、组织教课：我们引进了六种极限 :, . 以下以极限为例议论性质.均给出证明或简证.二、讲解新课：（一）函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.独一性 :2.局部有界性 :3.局部保号性 :4.单一性 ( 不等式性质 ):Th 4若和都存在,且存在点的空心邻域, 使，都有证设=(现证对有)註:若在Th 4的条件中,改“”为“” ,未必就有以举例说明.5.迫敛性 :6.四则运算性质 : ( 只证“ +”和“” )（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用 . 在计算一些简单极限时 , 有五组基本极限作为公式用 , 我们将陆续证明这些公式 .利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：经过相关性质 , 把所求极限化为基本极限 , 代入基本极限的值 , 即计算得所求极限 .例1(利用极限和) 例 2例 3註:对于的有理分式当时的极限.例4[利用公式]例 5例 6例 7例 8例 9例10已知求和增补题:已知求和()§ 3函数极限存在的条件（ 4 学时）教课目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判断某些函数极限的存在性。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案01
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案01第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。
证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗7、设x>0，b>0，a ≠b 。
证明x b x a ++介于1与ba 之间。
8、设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|§2数集、确界原理1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<=""></b（4）sinx ≥22。
2、设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。
3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n 21，n ∈+N }。
数学分析(华东师大)第三章函数极限
第 三 章 函 数 极 限§1 函数极限概念一 x 趋于∞时函数的极限设函数 f 定义在 [ a , + ∞ ) 上 , 类 似于 数列情 形 , 我们 研究 当自变 量 x 趋 于 + ∞时 , 对应的函数值能否无 限地 接近 于某 个定 数 A .例如 , 对 于 函数 f ( x ) =1x, 从图象上可见 , 当 x 无限增大时 , 函数值无限 地接近 于 0; 而对 于函 数 g ( x) = arctan x , 则当 x 趋于 + ∞时函数值无限地接近于 π2 .我们称这 两个函数 当 x趋于 + ∞时有极限 .一般地 , 当 x 趋于 + ∞时函数极限的精确定义如下 :定义 1 设 f 为定义在 [ a , + ∞ ) 上的函数 , A 为定数 .若对任给的 ε> 0 , 存 在正数 M ( ≥ a) , 使得当 x > M 时有f ( x ) - A < ε,则称函数 f 当 x 趋于 + ∞时以 A 为极限 , 记作lim x → + ∞f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → + ∞ ) .在定义 1 中正数 M 的作用与数列 极限 定义 中的 N 相类似 , 表 明 x 充分 大 的程度 ; 但这里所考虑的是比 M 大的所有 实 数 x , 而不仅仅是正 整数 n .因 此 , 当 x → + ∞ 时函数 f 以 A 为极限意 味着 : A 的任 意小 邻 域内必含有 f 在 + ∞的某邻 域内的全 部函 数 值 .定义 1 的几何意义如图 3 - 1 所示 , 对 任 给的 ε> 0 , 在坐标平面上平行于 x 轴的两 条 直线 y = A + ε与 y = A - ε, 围成 以直 线 y =图 3 - 1A 为中心线、宽为 2ε的带形区域 ; 定义中的“当 x > M 时 有 | f ( x ) - A | < ε”表 示 : 在直线 x = M 的右方 , 曲线 y = f ( x) 全部落在这个带形区域之内 .如果正数 ε给得小一点 , 即当带形区域更窄一点 , 那么 直线 x = M 一般 要往 右平移 ; 但 无 论带形区域如何窄 , 总存在这样的正数 M , 使得曲线 y = f ( x ) 在直线 x = M 的§1 函数极限概念 43右边部分全部落在这更窄的带形区域内 .现设 f 为定义在 U( - ∞ ) 或 U ( ∞ ) 上的 函数 , 当 x → - ∞ 或 x →∞ 时 , 若 函数值 f ( x ) 能无限地接近某定数 A , 则称 f 当 x → - ∞或 x → ∞时 以 A 为 极 限 , 分别记作lim x → - ∞ lim x → ∞f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → - ∞ ) ;f ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → ∞ ) .这两种函数极限的精确定义与 定义 1 相 仿 , 只 须把 定义 1 中 的“ x > M ”分别 改 为“ x < - M ”或“ | x | > M ”即可 .读者不难证明 : 若 f 为定义在 U ( ∞ ) 上的函数 , 则lim x → ∞f ( x) = A ! lim x → + ∞f ( x ) = lim x → - ∞f ( x ) = A .( 1)例 1 证明 lim 1= 0 .x → ∞x证 任给 ε> 0 , 取 M = 1ε, 则当 | x | > M 时有所以 l im 1= 0 .1 1 x - 0 =x<1 M= ε, x → ∞x例 2 证明 : 1) limarctan x = - π; 2) lim arctan x = π. x → - ∞证 任给 ε> 0 , 由于2x → + ∞2arctan x --π 2< ε( 2)等价于 - ε-π < arctan x < ε- π, 而此不等式的左半部分对任 何 x 都 成立 , 所 2 2以只要考察其右半部分 x 的变化范围 .为此 , 先限制 ε< π, 则有2x < tan ε - π 2 = - tan π2 - ε .故对任给的正数 ε <π 2 , 只须 取 M = tan π- ε , 则 当 x < - M 时 便有 ( 2) 2式成立 .这就证明了 1 ) .类似地可证 2 ) .注 由结论 (1 ) 可知 , 当 x →∞时 arctan x 不存在极限 .二 x 趋于 x 0 时函数的极限设 f 为定义在点x0 的某个空心邻域U°( x0 ) 内的函数.现在讨论当x 趋于x0 ( x≠x0 ) 时, 对应的函数值能否趋于某个定数 A .这类函数极限的精确定义如下:2 044第三章 函 数 极 限定义 2 ( 函 数 极 限 的 ε - δ 定 义 ) 设 函 数 f 在 点 x 0 的 某 个 空 心 邻 域 U °( x 0 ;δ′) 内有定义 , A 为定数 .若对任给 的 ε> 0 , 存在正数 δ( < δ′) , 使得当 0 < | x - x 0 | < δ时有f ( x ) - A < ε, 则称函数 f 当 x 趋于 x 0 时以 A 为极限 , 记作lim x → xf ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → x 0 ) .下面我们举例说明如何应 用 ε- δ定义 来验 证 这种 类型 的函 数极 限 .请 读 者特别注意以下各例中 δ的值是怎样确定的 .例 3 设 f ( x) = x- 4 , 证明lim f ( x) = 4 .x - 2证 由于当 x ≠ 2 时 ,2x → 2 f ( x) - 4 =x - 4x - 2- 4 = x + 2 - 4 = x - 2 ,故对给定的 ε> 0 , 只要取 δ= ε, 则当 0 < | x - 2 | < δ时 有 | f ( x ) - 4 | < ε .这 就 证明了lim f ( x ) = 4 .x → 2例 4 证明 : 1) lim sin x = sin x 0 ; 2 ) lim cos x = cos x 0 .x → xx → x证 先建立一个不等式 : 当 0 < x < π时有2sin x < x < tan x . ( 3)事实上 , 在如图 3 - 2 的单位圆内 , 当 0 < x < π时 , 显 然2有S △ O A D < S 扇 形 O A D < S △ O AB ,1 2 sin x < 12 x < 1 2 tan x , 由此立得(3 ) 式 . 图 3 - 2又当 x ≥π时有 sin x ≤1 < x , 故对一切 x > 0 都有2sin x < x; 当 x < 0 时 , 由 sin ( - x) < - x 得 - sin x < - x .综上 , 我 们又得到 不 等式sin x ≤ x , x ∈ R ,( 4)其中等号仅当 x = 0 时成立 .现证 1) . 由 ( 4) 式得sin x - sin x 0 = 2 cosx + x 02sinx - x 0≤ x - x .2对任给的 ε> 0 , 只要取 δ= ε, 则当 0 < | x - x 0 | < δ时 , 就有sin x - sin x 0< ε .即0 1 - x 2 -1 - x 0 2或 等 § 1 函数极限概念 45所以 lim sin x = sin x 0 . 2) 的证明留给读者作为练习。
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
数学分析课件(华东师大版)(三)
d2y d = [− csc2 ( x + y )] 2 dx dx
= −2 csc( x + y ) ⋅ [ − csc( x + y ) cot( x + y )] ⋅ (1 + y′ )
例3 ①
求下列函数的导数
1 y = arccos x
−1 y′ = − ⋅ 2 = 1 x 1− 2 x 1 = | x | x2 − 1 1
②
| x| 1 ⋅ 2 2 x −1 x
f ( x ) = max{ x , x 2 } ,0 < x < 2
x 0< x<1 f ( x) = 1 x =1 x2 1 < x < 2 故 当0 < x < 1时 f ′( x ) = 1 当1 < x < 2时 f ′( x ) = 2 x
| sin x | 而 lim 不存在 x →0 x
故f ( 0 ) = 0
证二 F ( x ) = f ( x )(1+ | sin x |)在x = 0处可导,即
F ′(0)存在 ⇔ F−′ (0) = F+′ (0) f ( x )(1 − sin x ) − f (0) F−′ (0) = lim− x →0 x sin x f ( x ) − f ( 0) = lim− − f ( x) ⋅ x →0 x−0 x = f ′( 0 ) − f ( 0 ) f ( x )(1 + sin x ) − f (0) F+′ (0) = lim+ x →0 x sin x f ( x ) − f ( 0) = lim+ + f ( x) ⋅ x →0 x−0 x = f ′( 0 ) + f ( 0 )
华东师大数学分析答案完整版
历年考研真题评析!
%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使 得 对 ,#&##,!$$在!#(##= &#$2 (%#;’上 无 界 !
分析!本题采用闭区间套定理证明!
证明!取%#;中点%$&;#则(%#%$&;’#(%$&;#;’中至 少 有 一 个 区 间 使 ,!$$无 界 !如 果 两 个 都 是 可 任 取 一 个 $#记 为 (%! #;!’!
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由 之 可 得 ! ! !8!$$%,!$$($,!($$#9 !$$%,!$$&$,!($$
这里 8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!
+ , %例"&!求数集 ’% !&!&$&!(!$& �& 的上"下确界!
向 的 基 础 !数 学 归 纳 法 是 证 明 某 些 不 等 式 的 重 要 工 具 !
二 !数 集 " 确 界 原 理
!" 邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的 集 合#它 是 描 述 极 限 概 念的基本工具! 在无限区间记号!()#%’#!() #%$#(%#& )$#!%#& )$#!( ) #& )$中 出 现 的 ( ) 与 & )仅是常 用 的 记 号#它 们 并 不 表 示 具 体 的 数!在 数 学 分 析 课 程 范 围 内#不 要 把&)#( )#) 当作数来运算!
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。
因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。
§3.4 两个重要的极限 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0sin lim 1x x x →=1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭*点击以上标题可直接前往对应内容)1(.cos 1sin 1xx x <<不等式中的三个表达式均是偶函数, 证πsin tan 0,2x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭因为所以命题1π0||12x <<时,()式仍成立.后退前进目录退出x 故当sin lim 1x xx →=001lim =1=lim =1cos x x x →→=因为，0lim 1,sin x xx →=所以0sin lim 1.x xx →=即πsin lim πx x x →-解π,t x =-令所以例1 求πsin lim .πx xx →-()sin sin πsin ,x t t =+=-则0sin lim 1.t t t→-==-例2.arctan lim 0x xx →求x x x arctan lim 0→arctan ,tan ,t x x t ==令解.cos 1lim 20xxx -→求例3解2202sin 2lim xx x →=.21=20cos 1lim x x x -→2022sin 21lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x t t t tan lim 0→=t t tt t cos lim sin lim 00→→⋅=1=则命题2e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→xx x .e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-→xx x 和证我们只需证明：();,2,1,1,111 =+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x n n x f n 设两个分段函数分别为1lim 1exx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭().,2,1,1,111=+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x g n显然有()().),1[,11∞+∈≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x g x x f x因为(),e 111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→+∞→nn x n x f (),e 11lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→n n x n x g 所以由函数极限的迫敛性，得到1x§4 两个重要的极限sin lim 1x x x →=.e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 这就证明了())3(.e 1lim 1=+→t t t 注,1xt =若令由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用..e 111111lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→-∞→y y x y y xx .0,→∞→t x 时则1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111xy y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+所以时，因为当,+∞→-∞→y x解),3(由公式例4xx x 1)21(lim +→求()10lim 12xx x →+()2120=lim 12xx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2e .=例51lim(1)xx x →-求解()10lim 1xx x →-()110=lim 1xx x --→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1e .-=,01,e 11lim 2→-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n nn ＝而.e 11lim 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n n 所以由归结原则，.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→求例6解因为2111nn n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1122211111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn n nn n n n .112122--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥n n n n 11e,nn ⎛⎫<+→ ⎪⎝⎭.e 111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn n n 再由迫敛性, 求得。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限可编辑全文
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
前页 后页 返回
证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
解 因为 | x | 1, 1 x2 (1 x) (1 x) 2 (1 x),
所以
0,
取
2
2,
当1
x 1 时, 有
| 1 x2 0 | .
这就证明了 lim 1 x2 0. x1
同理可证 lim 1 x2 0. x 1
前页 后页 返回
由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
前页 后页 返回
x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
前页 后页 返回
例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
x
2 x
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第三章
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第三章第三章函数极限一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+→x x f x ，则=→20)(lim xx f x _________ 2．=--+-→xxe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ??+-=11)(，则=+∞→)1(lim x f x ____________4．已知??>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=x e x g ，[]=→)(lim 0x g f x ________5．()x x x x ln cos arctan lim -+∞→=_________________6．[]=→xx x tan )sin(sin sin lim0_____________ 7．________24tan lim =+∞→n n x π8．________ln 1ln ln lim 2=??+→x x x x 9．)1ln(lim 2cos 0x x e e xx x x +-→=__________10．=?+-∞→x xx x x cos 1sin 21lim22_________ 11．=-→x x x x tan 11lim 20_________12．310)(1lim e x x fx xx =++→，则+→20)(1lim x x f x =_______ 13．()=+++→) 1ln(cos 11cossin 3lim20x x x x x x ___________ 二、选择填空1．=-→ttt cos 1lim( )A.0B.1C.2D.不存在2．函数xx x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是( ) A.有界的 B.无界的 C.单增 D.单减 3．已知()25lim 2=++-+∞→c yx ax x ，则必有( )A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b a D.2,1==b a4．设nn n x n x f ??-+=+∞→2lim )1(，则=)(x f ( )A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe-5．若22lim 222=--++→x x bax x x ，则必有( ) A.8,2==b a B.5,2==b a C. 8,0-==b a D. 8,2-==b a6．0)(6sin lim30=+→x x xf x x ，则=+→20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36 D.∞7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ≤≤?，且[]0)()(lim =-∞→x x g x ?，则=∞→)(lim x f x ( )A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在 8．当0→x 时，变量x x1sin 12是( ) A.无穷小 B.无穷大C.有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大9．=-+?+∞→π21sin 1])1(1[lim n n n n( )A.πe B.π1e C.1 D.π2e10.=--→xx x xx x tan )(arctan 1lim 220( )A.0B.1C.21 D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小三、计算题1.求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --π→； (2)1x x 21x lim 220x ---→；(3)1x x 21x lim 221x ---→； (4)3230x x 2x ) x 31()1x (lim +-+-→； (5)1x 1x lim m n 1x --→，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim4x --+→;(7))0a (,xax a lim 20x >-+→；(8)xx cos x limx -∞→； (9)4x xsin x lim 2x -∞→ ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+∞→ 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0≠++++++++=---- 0b 0≠，m ≤n ，试求).x (f lim x ∞→ 3．求下列极限(其中n 为自然数)： (1)20 x x 11x xlim+→； (2)20x x11x x lim ++→； (3)1x nx x x lim n 21x --+++→ ；(4)x1x 1limnx -+→;(5)→x 1lim 0x ; (6)[]x x 1lim x +∞→.4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。
华东师范大学数学分析第四版第三章答案
华东师范大学数学分析第四版第三章答案一、填空题。
1.同学们做了80朵纸花,如果每5朵扎一束,可以扎( )束,如果每6朵扎一束,可以扎( )束,还剩下( )朵。
2.用46吨水泥去翻新房子,每套房子会用3吨,这些水泥最多能够翻新( )套房子。
3.有40人排队,至少出去( )人就可以平均站成3路纵队,至少增加( )人也可以站成3路纵队。
4.国庆节摆气球,按照“白、徐、蓝、黑、蓝”的顺序摆,一共摆了50个气球,其中第32个气球就是( )色,第50个就是( )色。
5.找规律填数。
(1)85,80,75,70,( ),( )。
(2)2,6,18,54,( ),( )。
(3)96,48,24,( ),( )。
二、选择题。
(把正确答案的序号填在括号里)1.做一套衣服枕头2米,35米短的布最多可以搞( )套这样的衣服。
A.16B.17C.182.某公司存有44吨货物须要装运,每辆车最多可以装3吨,最少须要( )辆这样的汽车。
A.14B.15C.163.某公园门票就是每张4元,82元最多可以卖( )张门票。
A.20B.21C.224.现在存有80个苹果须要放到包装盒里,至少换成( )个苹果就能够并使每个包装盒里的苹果都就是6个。
A.1B.2C.3三、计算题。
1.直接写出得数。
56÷7=32÷4= 20÷5=45÷9=48÷8=18÷3= 42÷7=84÷4=30×5=13×3= 50×4=80×7=2.列竖式计算。
75÷5=50÷4= 47÷3=68÷4=78÷6=92÷7= 85÷6=96÷8=四、解决问题。
1.科学小组的同学养了48条金鱼,每个鱼缸里养3条,需要多少个金鱼缸?2.学校图书馆存有故事书89本,平均值让给4个班级,每个班级可以分给多少本?还剩下多少本?一、1.16 13 22.153.1 24.黄蓝5.(1)65 60 (2)162 486 (3)12 6二、1.B 2.B 3.A 4.B三、1.8 8 4 5 6 6 6 21 150 39 200 5602.15 12......215......217 13 13 (1)14 (112)四、1.48÷3=16(个)。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02+03
5
lim x + 3
3 x→0 x + 4 x 2 + 3 1 (9) lim x cos x→0 x 1 1 (11) lim( ) − x →∞ 1 − x 1− x3
(13) lim
1+ x x →∞ 1 − x
2 x →∞
x − cos x x →∞ x 2 x − 2x + 3 (10) lim 2 x →∞ 3x + 4 x + 5 3x 5 − 6 x 3 + 3 (12) lim x →∞ x7 − 2 x +3 (14) lim x →∞ x − 2 lim
存在且相等． 10．若 x1 = a > 0，y1 = b > 0（a > b） x n +1 = 证明： lim x n = lim y n （提示：x n ≤ y n ） ．
n→∞ n→∞
x n y n ， y n +1 =
xn + yn . 2
x1 + x 2 +L + x n =a． n 12．设 {nx n } 非负有界，试证： lim x n = 0 ．
lim lim
( x + x ) sin 2 x x →0 (tan x)3
1+ x −1 x →0 tan 2 x 2x − x lim+ x →0 tan x
sin x sin 2 ( x − 1) (6) lim x →π x − π x →1 x −1 16. 证明：若 lim a n = a ，则 lim a n = a ，逆命题是否成立？
n →∞ n →∞ n→∞ k n →∞
4．试证：若 lim x n = a ，且 x n ≥ 0 ，k 为任意一个自然数，则 lim k x n = 5．应用夹逼性证明：
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P 471.按定义证明：（1）65lim 6;x x x→+∞+= (2)22lim(610)2;x x x →-+= (3) 225lim 1;1x x x →∞-=-(4)2lim 0;x -→= (5)00lim cos cos .x x x x →=证: （1） 不妨设0,x >则6556.x x x +-=0,ε∀>取5,M ε=则当x M >时，有6556,x x x ε+-=<故65lim6.x x x→+∞+=(2)22|(610)2||68||4||2|.x x x x x x -+-=-+=--限制|2|1,x -<则|4||(2)2||2|23,x x x -=--≤-+<进而有2|(610)2|3|2|.x x x -+-<-0,min{1,},:0|2|3x x εεδδ∀>∃=∀<-<有2|(610)2|.x x ε-+-<故得证.(3)22222254488||2,1||.11||2x x x x x x x x ->-=<=<---当时80,max{2,},||M x M εε∀>∃=>当时有 2251,1x x ε--<-故得证. (4) 当021x <-<时有12,x <<进而20(2)(2)4(2),x x x ==≤+-<-对于0,ε∀>取,4εδ=当02x δ<-<时，有0,ε<所以2lim 0.x -→=(5)00001|cos cos |sin sin ||,222x x x x x x x x +--=-≤- (1)0,ε∀>取,δε=当00||x x δ<-<时,由(1)得00|cos cos |||,x x x x ε-≤-<即00lim cos cos .x x x x →=2．根据定义2叙述0lim ().x x f x A →≠解：设()f x 在0x 的某个空心邻域0(;)U x δ'内有定义，A 为定数.若存在某个正数00,ε>对任意正数(),δδ'<存在x '满足00||,x x '<-使得00|()()|,f x f x ε'-≥则称0lim ().x x f x A →≠3．设0lim ().→=x x f x A 证明00lim ().→+=h f x h A证 因为0lim (),→=x x f x A 由定义0,0,εδ∀>∃>当00||δ<-<x x 时，有|()|,ε-<f x A 故当0|0|||,h h δ<-=<时有0|()|,ε+-<f x h A 即得00lim ().→+=h f x h A4．证明：若0lim (),x x f x A →=则0lim |()|||.x x f x A →=当且仅当A 为何值时反之也成立？证：（1）0lim (),x x f x A →=由定义00,0,0||,x x εδε∀>∃>∀<-<有|()|,f x A ε-<进而||()|||||()|,f x A f x A ε-≤-<即0lim |()|||.x x f x A →=（2）当0A =时，|()|||()||||,f x A f x A -=-所以当||()|||||()|,f x A f x A εε-<⇔-<故当lim |()|||x x f x A →=时有0lim ().x x f x A →=但当0lim |()|||,x x f x A →=且0A ≠时，0lim ()x x f x →不一定存在。
例设()sgn ,f x x =则1,0|()|,0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩0lim |()|1,x f x →=但0lim ()x f x →不存在。
综上所述，当且仅当0A =时反之也成立。
5．证明定理3.1:0lim ()lim ()lim ().x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔== 6.讨论下列函数在0x →时的极限或左、右极限：||(1)();x f x x =(2)()[],f x x = (2)22,0()0,01,0xx f x x x x ⎧>⎪==⎨+<⎪⎩.解：(1)当0x >时,||()1,x f x x ==所以(00) 1.f +=当0x <时,||()1,x xf x x x-===-所以(00) 1.f -=-由此得0lim ()x f x →不存在.(2)当01x <<时,()[]0,f x x ==所以(00)0.f +=当10x -<<时,()1,f x =-所以 (00) 1.f -=-由此得0lim ()x f x →不存在.(3) 当0x >时,()2,xf x =由|()1|21xf x ε-=-<可得ln(1).ln 2x ε+<所以对任意0,ε>取ln(1),2εδ+=当0x δ<<时有 |()1|,f x ε-<所以(00) 1.f +=当0x <时,2()1,f x x =+由22|()1||(1)1|f x x x ε-=+-=<可得x -<即,x <所以对任意0,ε>取δ=当0x δ-<<时有|()1|,f x ε-<所以(00) 1.f -=由此可知0lim () 1.x f x →=7.设lim (),x f x A →+∞=证明:01lim.x f A x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭证:因lim (),x f x A →+∞=由定义,对于任意0,ε>存在0,M >当x M >时有|()|.f x A ε-<取1,M δ=则当10x M <<时,有1,M x>进而 1,f A x ε⎛⎫-< ⎪⎝⎭所以01lim .x f A x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭P 531. 求下列极限:22(1)lim 2(sin cos );x x x x π→-- 2201(2)lim ;21x x x x →---2211(3)lim ;21x x x x →--- 3230(1)(13)(4)lim ;2x x x x x →-+-+ 11(5)lim (,1n m x x n m x →--为正整数);4(6)x →0(7)0);x a →> 702090(36)(85)(8)lim .(51)x x x x →+∞+-- 解 (1) 2222lim 2(sin cos )2sin cos 21.2224x x x x πππππ→⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) 220101lim 1.21001x x x x →--==---- (3) 22111(1)(1)12lim lim lim .21(1)(21)213x x x x x x x x x x x x →→→--++===---++ (4)32232000(1)(13)(3)3lim lim lim 3.2(12)12x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+++ (5)1212121211(1)(1)1lim lim lim.1(1)(1)1n n n n n mm m m m x x x x x x x x x n x x x x x x m--------→→→--++++++===--++++++ (6)44.333x x x →→====+(7)0001.2x x x a→→→=== (8)7020702070209090906538(36)(85)38lim lim .(51)515x x x x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⋅⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 利用迫敛性求极限：cos (1)lim;x x x x →-∞-2sin (2)lim .2x x xx →+∞-解 (1) 1cos 1,x -≤≤1cos 1,x -≤-≤1cos 1,x x x x -≤-≤+当0x <时,1cos 1,x x x x x x x+--≤≤ 而11lim lim 1,x x x x x x →-∞→-∞+-==由迫敛性定理, cos lim 1.x x x x →-∞-= (2)当2x >时22sin 0,11x x xx x <≤--而2lim0,1x x x →+∞=-由迫敛性定理,2sin lim 0,2x x x x →+∞=-进而2sin lim 0.2x x x x →+∞=- 3.设0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==证明:(1)lim[()()];x x f x g x A B →±=±(2)lim[()()];x x f x g x AB →=()(3)lim()x x f x Ag x B→=(当0B ≠时). 证: (2)|()()||(()()())(())||()()()||()||()||()||||()|,f xg x AB f x g x Ag x Ag x AB f x g x Ag x Ag x AB f x A g x A g x B -=-+-≤-+-=≤-+- 因0lim ()x x g x →存在,所以()g x 在0x 的某个邻域内有界,即存在0M >及10,δ>使得001|()|,(;).g x M x U x δ≤∈因0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==根据极限定义,对于任何0,ε>存在230,0,δδ>>当020||x x δ<-<时有|()|,f x A ε-<当030||x x δ<-<时有|()|.g x B ε-<取123min{,,},δδδδ=当00||x x δ<-<时有|()()|||(||),f x g x AB M A M A εεε-<+=+所以0lim ()().x x f x g x AB →=4.设1011001011(),0,0,,m m m mnn n na xa x a x a f x ab m n b x b x b x b ----++++=≠≠≤++++试求lim ().x f x →+∞5. 设0()0,lim (),:limx x x x f x f x A →→>==证明证: 因()0,f x >所以0lim ()0.x x f x A →=≥lim (),x x f x A →=由函数极限定义,对于任何0,ε>存在0,δ>当00||x x δ<-<时有|()|.f x Aε-<(1)若0,A =则当00||x x δ<-<时有()(),fx A f x ε-=<进而有=<即0limx x→=(2)若0,A ≠则当00||x x δ<-<时有1|n n A-=<<++即0limx x →=6.证明0lim 1(01).xx a a →=<<证 对于任何01,ε<<因01a <<,当0x >时有1.x a ε<+由1,xa ε-<得ln(1)ln ,x a ε-<ln(1),ln x aε-<所以取1ln(1)0,ln aεδ-=>当10x δ<<时,有11.x a εε-<<+ 当0x <时有1.x a ε-<由1xa ε<+得ln ln(1),x a ε<+ln(1),ln x aε+>所以取2ln(1)0,ln aεδ+=->当20x δ-<<时有11.x a εε-<<+ 令12min{,},δδδ=则当0||x δ<<时有11,x a εε-<<+所以0lim 1(01).xx a a →=<<7.设0lim (),lim ().x x x x f x A g x B →→==(1)若在某00()U x 上有()(),f x g x <问是否有?A B <为什么? (2)证明:若,A B >则在某00()U x 上有()().f x g x >解 (1)不一定.例如设()0,f x =2(),g x x =则在0(0)U 上恒有()(),f x g x <但lim ()lim ()0.x x f x g x →→==(2) 对00,2A Bε-=>因00lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==存在10,δ>使得在001(;)U x δ上有00(),A f x A εε-<<+3();22A B A Bf x +-<<存在20,δ>在002(;)U x δ上有00(),B g x B εε-<<+3().22B A A Bg x -+<< 取12min{,},δδδ=则在00(;)U x δ上有()().f x g x >P 571.叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim cos x x →+∞不存在。