8.2.1代入消元法解二元一次方程组优质课公开课课件

解：设胜x场，负y场. 解：设胜x场.
x y 22 ①
2x (22 x) 40 ③
2x y 40 ②
比较一下上面
由①我们可以得到：y 22 x
的方程组与方
再将②中的y换为 22 x 就得到了③
程有什么关系？
③是一元一次方程，相信大家都会解.那么根据上 面的提示，你会解这个方程组吗？
x＋y＝35 ① 2x＋4y＝94 ②
由① ，得 x=35-y. ③ 把③代入② ，得 2(35-y)+4y=94.
70-2y+4y=94 2y=24 y=12
把y=12代入③ ，得 x=23.
xy
23 12
3、今有鸡兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足,问鸡兔各几何.
解：设鸡有x只，兔有y只.
解：设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克.
根据题意可列方程组：
4x 5y 4①60 2x 3y 2②40
x
y
90 20
答：1号电池每节重90克，5号电池每节重20克.
解二元一次方程组的基本思想 ——“消元”。
代入消元法的一般步骤
(1)变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示（即y=ax+b或x=my+n）
②
解：把①代入② ，得 4x+(3x-9)=12
4x+3x-9=12
解得 x=3
把x=3代入① ，得 y=0
∴原方程组的解是
x 3 y 0
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的
二元一次方程，求m
解：由条件可得：
、n
的值. m
3
2m + n = 1 ① 3m – 2n = 1 ②
归 纳：
上面的解法，是由二元一次方程组 中一个方程，将一个未知数用含另一 个未知数的式子表示出来，再代入另 一个方程，实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解，这种方法叫代 入消元法，简称代入法.
例1 用代入法解方程组 2x+3y=16 ①
x+4y=13 ②
解：由② ，得 x=13 – 4y
③
得 b=-1.
4
16b+3(5-3b)=8
把b=-1代入③ ，得 16ab=+21.5-9b=8
∴a=2，b=-1.
7b=-7 b=-1
解:根据题意可列方程组 4a 3b 5 ① 4b 3a 2 ②
由①+② ，得 7a+7b=7 , a+b=1 .
b=1 -a . ③ 把③代入② ，得 4b+ 3(1-b)=2.
x 20000
y
50000
x=20000
再议代入消元法
5x 2y 500x 250y 22500000
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
二 元 一 次 方 程 组
5x 2y 变形 y 5 x
2
代入
500x 250y 22500000
消y
用
5 2
x代替y，
消去未知数y
y=50000
根据题意可列方程组：
4x 5y 4①60 2x 3y 2②40
4x 5y 460 ① 2x 3y 240 ②
由②， 得 2x=240-3y ③
把③代入①，得 2(240-3y)+5y=460 480-6y+5y=460 -y=-20 y=20.
把y=20代入③，得 2x+3×20=240 x=90.
y=ax+b或x=my+n
1、用含x的代数式表示y： x + y = 22 y = 22-x
2、用含y的代数式表示x： 2x - 7y = 8 2x = 8+7y
x 87y 2
篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜 一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较 好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个 队胜、负场数应分别是多少?
35
把③、④代入②，得2（3k+2）-7（5k-4）=90
解得 k=-2 6k+4-35k+28=90
把k=-2代入③、④，6得k--325X9k=k==-495，08-y4=-2-184
∴原方程组的解是
x 4 y 14
K=-2
巩固与提高：
1、用代入消元法解下列方程组
y-2x=0 ⑴
x+y=12
4b+3-3b=2. 得 b=-1. 把b=-1代入③ ，得 a=2. ∴a=2，b=-1.
5．为了保护环境，某校环保小
组成员收集废电池，第一天收集1号电池4 节，5号电池5节，总重量为460克；第二 天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量 为240克.试问1号电池和5号电池每节分别
重多少克？
解：设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克.
x=20000
解得x 一元一次方程
500x 250 5 x 22500000 2
解二元一次方程组的基本思想 ——“消元”。
代入消元法的一般步骤
(1)变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示（即y=ax+b或x=my+n）
(2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去 一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.
6
得 a=2.
例5
用代入法x解3方2程组
y
5
4
①
2x 7 y 90 ②
解：由①，得 5(x-2)=3(y+4)
5x-10=3y+12
5x-3y=22
x 22 3y ③ 5
例5
用代入法解方程组
x 2
3
y4 5
①
2x 7 y 90 ②
解:令 x 2 y 4 = k，则x=3k+2，③y=5k-4，④
2x-y=-5 ⑵
4x+3y=65
x 3 y 1
⑶2
3
5x-2y=-1
3x-9=2y ⑷
4x+2y=12
y-2x=0 ①
⑴ x+y=12 ②
解：由①，得 y=2x ③
把③代入②，得 x+2x=12
解得 x=4
把x=4代入③，得 y=8
∴原方程组的解是
x 4 y 8
2x-y=-5 ① ⑵
4x+3y=65 ②
7
把m 3 代入③，得
由①，得 n = 1 –2m ③ 把③代入②，得
7
n 12 3
3m – 2（1 – 2m）= 1 3m – 2 + 4m = 1
7 n 1
7
7m = 3 m的值为 3，n的值为 1
7
7
3、今有鸡兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足,问鸡兔各几何.
解：设鸡有x只，兔有y只. x＋y＝35 2x＋4y＝94
(3)求解：解一元x 一a次方程，得一个未知数的值. (4)回代：将求得y 的b未知数的值代入到变形后的方程
中求出另一个未知数的值.
3x y 12
例4 二元一次方程组 4x ay 1的2 解中
y与x互为相反数，求a的值.
解:由题意得 3xxyy012，
xy
6 6
x 6
把
y
代入4x+ay=12，
把③代入① ，得 2（13 – 4y）+ 3y=16
把③代入 ②可以吗？
试试看
26 –8y +3y =16 13-4y+4y=13
– 55
∴原方程组的解是
x 5
y
2
把y=2代入① 或②可以吗？
把求出的解 代入原方程 组，可以知 道你解得对
不对。
售数量（按瓶计算）的比为2 : 5.某厂每天生
产这种消毒液 22.5吨，这些消毒液应该分装 大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
由题意得
5x 2 y
①
500
x
250
y
22500000
②
由①，得
y5x 2
把③代入②，得
③
500x 250 5 x 22500000
X+y=22
①
2x+y=40
②
解:由①，得 y=22-x ③ 把③代入②，得 2x+(22-x)=40
2x+22-X=40
得 X=18 把X=18代入③，得 y=4
∴原方程组的解是
x 18 y 4
答:该队胜18场，负4场.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未
知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我 们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将 未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
解：由①，得 y = 2x + 5 ③
把③代入②，得 4 x+3(2x + 5 )=65
解得 x=5
把x=5代入③，得 y=15
∴原方程组的解是
x 5
y
15
（3）
x 3 y 1 ①
2
3
5x-2y=-1
②
解：由①，得 3(x+3)=2(y+1) 3x+9=2y+2 3x+7=2y ③
把③代入② ，得 5x-(3x+7)=-1
(2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去 一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.
(3)求解：解一元x 一a次方程，得一个未知数的值. (4)回代：将求得y 的b未知数的值代入到变形后的方程