人教新课标版数学高二-选修4-5训练 2.3反证法与放缩法

数学·选修4－5(人教A版)2.3 反证法与放缩法一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( )A．分析法 B．综合法C．反证法 D．直接法答案：C证明不等式的基本方法3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．a ，b ，c ，d ∈R，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则abcd 的最小值等于( )A.14 B ．－14 C.12 D ．－12 答案：B5．A ＝1＋12＋13＋…＋1n 与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1； 当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．若正数a ，b 满足ab ≥1＋a ＋b ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋2 28．A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2.答案：A ＜29．已知x ，y >0，且x ＋y >2. 证明：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋yx ≥2，则⎩⎨⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾．∴1＋x y ，1＋yx 中至少有一个小于2.三层练习10．若数列{x n }的通项公式为x n ＝n n ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n－1<1－x n1＋x n .证明：∵1－x n1＋x n＝1－n n ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x1·x3·x5·…·x2n－1＝12×34×…×2n－12n<13×35×…×2n－12n＋1＝12n＋1.∴x1·x3·x5·…·x2n－1< 1－x n 1＋x n.11．(2014·佛山一模·节选)数列{a n}的通项公式a n＝4n(n＋1)．(1)记1c n＝1a n＋1a n＋1，求证：对一切正整数n，有1c1＋1c2＋1c3＋…＋1c n<38.(2)求证：对一切正整数n，有1a1－1＋1a2－1＋1a3－1＋…＋1a n－1<27.答案：(1)证明：方法一1a n＝14n2＋4n＝141n－1n＋1，所以1c n＝1a n＋1a n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1n－1n＋2.于是1c1＋1c2＋1c3＋…＋1c n＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1n－1－1n＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2＝141＋12－1n ＋1－1n ＋2<38. 方法二 1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n (n ＋1)＋14(n ＋1)(n ＋2)＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2. 于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝141＋12－1n ＋1－1n ＋2<38.(2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 方法一 首先证明14n 2＋4n －1<271n －1n ＋1(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n ⇔7n 2＋7n <8n2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. 方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋3. 当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14⎝⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋3<17＋123＋14⎝⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27. 当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.12．(2013·广东卷·节选)若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1(n －1)·(n ＋1).1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋…＋1n 2＋<1＋11×3＋12×4＋…＋1(n －2)n ＋1(n －1)·(n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n －1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12－1n －1n ＋1<74. ∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.13．(2013·江西卷·节选)正项数列{a n }的通项公式a n ＝2n ，令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .求证：对于任意的n ∈N *，都有T n <564.证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n . 则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝1161－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2＝1161＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1(n ∈N *)，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解析：(1)2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1,2S n ＋1＝a n ＋2－2n ＋2＋1 相减得：a n ＋2＝3a n ＋1＋2n ＋1而2S 1＝a 2－3⇔a 2＝2a 1＋3，则a 3＝3a 2＋4＝6a 1＋13 故a 1，a 2＋5，a 3成等差数列 ⇔a 1＋a 3＝2(a 2＋5)⇔a 1＝1.(2)a 1＝1，a 2＝5，得a n ＋1＝3a n ＋2n 对∀n ∈N *均成立．a n ＋1＝3a n ＋2n ⇔a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )得a n ＋2n ＝3(a n －1＋2n －1)＝32(a n －2＋2n －2)＝…＝3n －1(a 1＋2)⇔a n ＝3n －2n .(3)当n ＝1时，1a 1＝1<32；当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫322>2⇔3n >2×2n ⇔a n >2n ⇔1a n <12n .1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋123＋…＋12n ＝1＋12－12n <32， 由上式得：对一切正整数n ，有 1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.15．(2013·广州二模·节选)设a n 是函数f (x )＝x 3＋n 2x －1(n ∈N *)的零点，且0<a n <1，求证：nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.证明：先证明左边的不等式：因为a 3n ＋n 2a n －1＝0.由0<a n <1，得a 3n <a n ，即1－n 2a n ＝a 3n <a n .所以a n >1n 2＋1.所以a 1＋a 2＋…＋a n >112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1. 以下证明112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1≥n n ＋1.① 因为a n >1n 2＋1≥1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 所以a 1＋a 2＋…＋a n >⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 不等式①对应任何n ∈N *都成立．所以a 1＋a 2＋…＋a n >n n ＋1. 再证明右边的不等式：当n ＝1时，f (x )＝x 3＋x －1.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋12－1＝－38<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋34－1＝1164>0， 所以12<a 1<34. 由(1)知0<a n <1，且a 3n ＋n 2a n －1＝0，所以a n ＝1－a 3n n 2<1n 2. 因为当n ≥2时，1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，所以当n ≥2时， a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n <34＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12－1n <32. 所以当n ∈N *时，都有a 1＋a 2＋…＋a n <32. 综上所述，n n ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.1．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，等等，推导出的矛盾必须是明显的．2．放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．3．当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方法．4．放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大．这其中的平衡就需要从练习中去把握．。