2013大纲版高考数学理科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

乐享玲珑，为中国数学增光添彩 免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

2．()

3

=

（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()

m n m n +⊥-，则=λ

（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为

（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+

> ⎪⎝⎭

的反函数()1

=f x - （A ）

()1021x x >- （B ）()1

021

x

x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 6．已知数列{}n a 满足124

30,3

n n a a a ++==-

，则{}n a 的前10项和等于 （A ）()

10

613--- （B ）

()101

139

-- （C ）()10313-- （D ）()1031+3- 7．()()84

11+x y +的展开式中22x y 的系数是

（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168

8．椭圆22

:143

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是

（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤

⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤

⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，

9．若函数()2

1=f x x ax x ++

在1,+2⎛⎫

∞ ⎪⎝⎭

是增函数，则a 的取值范围是 （A ）[-1,0] （B ）[1,)-+∞ （C ）[0,3] （D ）[3,)+∞

10．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中12AA AB =，则

CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于

（A ）

23 （B （C ）3

（D ）13 11．已知抛物线2

:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若

0MA MB =，则k =

（A ）

12 （B

）2

（C

（D ）2 12．已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是

（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称 （B ）()y f x =的图像关于直线2

x π

=对称

（C ）()f x

的最大值为

2

（D ）()f x 既奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知α是第三象限角，1sin 3

a =-，则cot a = .

14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）。

15．记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 公共点，则a 的取值范围

是 .

16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3

2

OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60，则球O 的表面积等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式。 18．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=。

（I ）求B

（II

）若sin sin A C =C 。 19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形。 （I ）证明：;PB CD ⊥ （II ）求二面角A PD C --的大小。

20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为

1

,2

各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判. （I ）求第4局甲当裁判的概率；

（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.

21．（本小题满分12分）已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为3，

直线2y =与C

（I ）求,;a b ；

（II ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：

22AF AB BF 、、成等比数列。

22．（本小题满分12分）已知函数()()()

1=ln 1.1x x f x x x

λ++-

+

（I ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值； （II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n

=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：