高等数学级数2(2)资料
高等数学(数二)知识重点及复习计划
重点
高阶导数求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）
习题2－3：2，3，10，11，12
2.4
重点
由参数方程确定的函数的求导法，隐函数的求导法，相关变化率
习题2－4：2，4，7，8，9，10，11
2.5
函数微分的定义，微分的几何意义，微分运算法则
注：P119 微分在近似计算中的应用（不用看）
习题2－5：2，3，4
习题9—8：1—12
总复习题九：1.3.4.5.6.8.9.10.11.12.
注：9.9与9.10不用看
第十章 重积分（时间1周，每天2-3小时）
10.1
二重积分的概念与性质（二重积分的定义及6个性质），
习题10－1：1，4，5
1.了解二重积分的概念与基本性质
2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
4．会用导数判断函数图形的凹凸性.
5.会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
6．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
习题2－1：6，7，9，11，14，15，16，17，18,19,20
1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高数2知识点总结
高数2知识点总结
高等数学2是大学数学的一门课程，是高等数学的延伸和拓展。
它包含了多个知识点，总结如下：
1. 无穷级数：
- 收敛和发散的概念；
- 正项级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等； - 任意级数的绝对收敛和条件收敛概念。
2. 函数的连续性和可导性：
- 函数的连续性概念及连续性定理；
- 可导函数的导数定义及性质，如导数的四则运算、链式法则、隐
函数导数等。
3. 多元函数的偏导数：
- 多元函数的偏导数定义和求导法则，如常见的偏导函数的求导法则；
- 高阶偏导数、混合偏导数及其次序可换性。
4. 多元函数的极值和最值：
- 多元函数的极值和最值的概念及存在性定理；
- 极值和最值的求解方法，如拉格朗日乘数法。
5. 重积分：
- 二重积分和三重积分的概念；
- 重积分的计算方法，如累次积分法、极坐标法、柱坐标法、球坐
标法等；
- 坐标变换的雅可比行列式及其应用。
6. 曲线与曲面积分：
- 曲线积分和曲面积分的概念；
- 曲线积分与路径无关性质的应用，如格林公式、斯托克斯公式；
- 曲面积分的计算方法，如参数化计算、高斯公式。
以上是高等数学2的主要知识点总结，通过学习这些知识点，可以进一步理解和应用高等数学的相关内容。
第4章级数2
时收敛， 时发散，
令： 1 r R1
即：在
| z z0 | r，时收敛； | z z0 | r，时发散。
下一页 ╬
注: r和R的求法
z z0
R 1 / lim cn1 c n
n
lim cn c n
n1
1 z z0
R1
1/
lim
m
c ( m 1) c m
z z0
r
1 R1
lim c(m1) c m
f (z) an (z z0 )n n0
两边求ｎ阶导数，得：
f (n) (z) n!an (n 1) n3 2an1(z z0 )
(n 2) (n 1) n4 3an2 (z z0 )2
f (n) (z0 ) n!an
所以：
an
f
(n) (z0 ) n!
cn
上一页
返回 ╬
（其中 cn , z0 为复常数）
(2)定义2 : 若正幂次项 cn (z z0 )n ,
n0
及负幂次项 cn (z z0 )n n1
都收敛，则称洛朗级数收敛，否则称洛朗级数发散。 返回 ╬
二、洛朗级数的收敛域
cn (z z0 )n cn (z z0 )n cn (z z0 )n
|z|1,|z|2
1
1 1
2(1 z ) z 1 1
2
z
1 ( z )n 1 (1)n
2 n0 2
z n0 z
n0
1 2n1
z
n
n0
z (n1)
①
③
返回 ╬
解：③
f (z)
1
(z 1)( z 2)
2 | z |
高等数学 第十二章 级数
12)1()(x f 0x x =)(00x f a =!)(0)(k x f a k k =ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππn n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 34求收敛半径定理，幂级数展开定理，1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12x =． 柯西指出：以上解法犯∑∞=--11)1(n n2 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nup2 1π3sin4n nn ∞=∑ π303sin π44nnn ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1π3sin4n nn ∞=∑ 11π3sin341π43sin 4n n n n ++=< 1π3sin4n n n ∞=∑ 3 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u 0lim =∞→n n u∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u3 ∑∞=---+-11)11()1(n n n n1111211)11()1(1+>-++=--+=--+--n n n n n n n n∑∑∞=∞==+01111n n nn ∑∞=---+-11)11()1(n n n n0112limlim =-++=∞→∞→n n u n n n0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n4 ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n∑∑∑∞=∞=∞==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22112121111n n k k n n n 11k k ∞=∑∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 4 0n n n a x ∞=∑nn n a a 1lim+∞→R ),(R R -R x ±=nn n a a 1lim +∞→0x x -5 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛151n nx n111155nnnn n x x n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭∑∑ 11511lim lim lim lim1(1)55(1)551n n n n n n n na n na n n n ++→∞→∞→∞→∞⋅====+⋅⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭5=R )5,5(-5=x ∑∞=11n n 5-=n ∑∞=-1)1(n n n)5,5[-6 2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑2221(21)!1limlim lim 0(21)!2(21)n n n n nu n x x x u n n n +→∞→∞→∞-===⋅+++∞=R ),(+∞-∞7 11(1)(1)nn n x n∞-=--∑ 1-=x t ∑∞=--11)1(n nn nt 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n1=R )1,1(-1-=t ∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 1=t ∑∞=--111)1(n n n ∑∞=--11)1(n nn nt ]1,1(-]2,0( 5 )(x f )(x f 0lim ()0n n R x →∞=)(x f)1()2()3()4()5( 8 2()12xf x x x=+-x ⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=x x x x x x f 2111131)21)(1()(+++++=-n x x x x2111)11(<<-x+-++-+-=+n n x x x x x )2(842121132⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121x∑∞=-+=)2)1(1()(n n n nx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121xn n 9 x x f ln )(=2-x2()ln[2(2)]ln 2ln 12x f x x -⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭22-=x t )1ln(221ln t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++-+-=-nn t nt t t t 1432)1(432t <-1(1) 2312322(2)(2)(1)(2)ln 12222322n nnx x x x x n -------⎛⎫+=-++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ x <0(≤)4+⋅--++-+---+=-n nn n x x x x x 2)2()1(2)2(312)2(21222ln ln 13322x <0(≤)4 10 ∑∞=+++12)2)(1(n n n n x1)3)(2()2)(1(lim=++++=∞→n n n n R n 1±=x ]1,1[-．∑∞=+++=12)2)(1()(n n n n x x S∑∞=++='111)(n n n x x S ∑∞==''1)(n nx x S∑∞=-=11n n x x x xxx S -=''1)()11(<<-x ⎰⎰---=-=''='-'x xx x x xxx x S S x S 00)1ln(d 1d )()0()()11(<<-x 0)0(='S )1ln()(x x x S ---=')11(<<-x⎰⎰---='=-x xx x x x x S S x S 0d )]1ln([d )()0()(⎰--+---=x x xx x x x 02d 1)1ln(2 )1ln()1(22x x x x --+-= )11(<<-x 0)0(='S)1ln()1(2)(2x x x x x S --+-= )11(<<-x11 ∑∞=+02!12n nx n n 0)1)(12(32lim !12)!1(32lim 2232=+++=+++∞→+∞→x n n n x n n xn n n n n n),(+∞-∞∑∞=+=2!12)(n nx n n x S2212200021()d d e !!!n nx x n x n n n n x x S x x x x x x n n n +∞∞∞===+====∑∑∑⎰⎰()2220()()d (e )e (12)x x x S x S x x x x ''===+⎰222021()e (12)!n x n n S x x x n ∞=+==+∑),(+∞-∞∈x )1(10)1)(2(2+++n n x n )2(11nx n n 2!12+1)3(106 )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f [π,π]-n a n b ∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f [π,π]-n a n b)(x f x )(x f )(x f )(x f 2)()()(-++=x f x f x f∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f )(x f12 +-+-=!6!4!21cos 642x x x x 13246357cos isin 1i 2!4!6!3!5!7!θθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23456i i 1i 2!3!4!5!6!θθθθθθ=+--++--，2i 1=-3i i =-4i 1=5i i =23456i (i )(i )(i )(i )(i )cos isin 1i e 2!3!4!5!6!θθθθθθθθθ+=+++++++=i cos isin e θθθ+=14 10年，每年向球300?假设存储30003000B p B 元． r t nntn r p B ⎪⎭⎫⎝⎛+=1ntn r B p ⎪⎭⎫⎝⎛+=1， re rt B p =e ertrt B p B -==．10300万元，第一次付款是在签约当%5113=(百万元)， 2205.013+=33205.13=10905.13=1029131 1.05333324.3211.05 1.05 1.051 1.05⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++=≈-， 2432300?%5 13= 20.053e-=)，30.0523(e )-=)，0.050.0520.05333e 3(e )3(e )---=++++，0.05ex -=0.05361.51e -=≈-(百万元)．（ √ ） )(x f )(x f 能展开成0x x -的幂级)(x f（ ⨯ ） )(x f )(x f 时，)(x f,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu收敛； （ ⨯ ）0lim =∞→n n u 正项级数∑∞=1n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=11n n 01lim =∞→n n ∑∞=11n n(),11∑∞=-n n na ,0lim =∞→n n a ∑∞=-1)1(n n n a ⨯),2,1(1=≥+n u u n n∑∞=1n na0lim =∞→n n a 1lim1<+∞→n nn a a1lim1n n na a +→∞≤ 1lim 1>=+∞→λn n n a a1lim 1<=+∞→nn n a a q∑∞=+1)4(n n nx a2-=x 2=x4+=x t ∑∞=1n nn ta 2-=x 2=t ∑∞=1n nn ta 2-2(,2)∪(2,)-∞-+∞2=x 6=t ∑∞=+1)4(n n nx a∑∞=1n nn x1<x 1≤x11<≤-x 11≤<-x 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n 1)1,1(-1=x ∑∞=11n n 1-=x ∑∞=-1)1(n n n )1,1[-∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a n n nc b a <<),2,1( =n∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nb∑∞=1n nc∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb)(x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim 00)(=-∞→n n n x x n x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim00)(=-∞→n n n x x n x fe x = 212!!n x x x x n +++++∈R ；=x sin 35211(1)3!5!(21)!n n x x x x x n ---+-+-+∈-R ；=x cos 2421(1)2!4!(2)!nnx x x x n -+-+-+∈R ；=+)1ln(x ]1,1()1(32132-∈+-+-+-+x nx x x x nn ；mx )1(+=)1,1(!)1()1(!2)1(12-∈++--++-++x x n n m m m x m m mx n；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R ；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=1n n n x a 的收敛区间为),(R R -．21nn n a x∞=∑R x <<20⇒R x R <<-，所以，∑∞=12n n n x a 的收敛R)(x f 2π[π,π]-的表达式为{1,π0,()1,0π,x x f x x x --≤<=+≤<则)(x f πx = 1π+ ．ππlim ()lim(1)1πx x f x x --→→=+=+， ππlim ()lim(12π)1πx x f x x ++→→=-+=+， πlim ()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ，)(x f πx =)(x f πx =处收敛于(π)f =1π+ ．∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域与和函数；∑∞=+1)1(n nxn n =∑∞=-+11)1(n n nxn x=∑∞=++0)1)(2(n nxn n x，)(x s ∑∞=++0)1)(2(n nxn n 1-11)(x u 0()d x s x x ⎰00(2)(1)d x nn n n x x ∞=++∑⎰∑∞=++01)2(n n x n()d x u x x ⎰100(2)d x n n n x x ∞+=+∑⎰∑∞=+02n n xxx -12)(x u )1(2'-x x 22)1()1(2x x x x -+-22)1(2x x x -- )(x s ])(['x u ])1(2[22'--x x x 3)1(2x -∑∞=+1)1(n n x n n )(x xs 3)1(2x x- )1,1(-∈x ∑∞=-11n n nx∑∞=+1212n nn x)(x s ∑∞=-11n n nx()d x s x x ⎰101d x n n nx x ∞-=∑⎰∑∞=1n n x xx-1 )(x s )1('-xx2)1(1x -∑∞=-11n n nx 2)1(1x - )1,1(-∈x∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x)(x u ∑∞=++11212n n n x='])([x u )12(112'+∑∞=+n n n x ∑∞=12n nx 221x x - )(x u 0()d x u x x '⎰220d 1xx x x -⎰201d 1x x x -⎰0d x x ⎰x x x --+11ln 21∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x 111ln 21--+x xx xx f 1)(=3-x x x f 1)(=3)3(1+-x 331131-+⋅xx+11)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x nnx x f 1)(=331131-+⋅x 31]33)1()33(331[2 +⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--nn x x x ∑∞=+--01)3(3)1(n nn n x )1,1(33-∈-x )6,0(∈xx sin π6x +x sin ππsin[()]66x +-3π1πsin()cos()2626x x +-+ )6sin(π+x 35211πππ()()()π666()(1)63!5!(21)!n n x x x x x n --++++-+-+-+∈-R ，πcos()6x +242πππ()()()6661(1)2!4!(2)!nnx x x x n +++-+-+-+∈R ，x sin 3π1πsin()cos()2626x x +-+ 234πππ()()()13π131666()22622!23!24!x x x x +++-+++⋅--⋅+22111ππ()()1366(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n x x x n n ---+++-⋅+-⋅+∈-R ．{0,()π,f x x =-π0,0π,x x -≤<≤<将)(x f 在[π,π]-上展成傅里叶级数，傅叶级数在0=x0a ππ1()d πf x x -⎰π01(π)d πx x -⎰2π011(π)π2x x -π2n a ππ1()cos d πf x nx x -⎰π01(π)cos d πx nx x -⎰π1(π)d(sin )πx nx n -⎰π01(π)sin πx nx n -π01sin d πnx x n ⎰π021cos πnx n -20,21,2,2,πn k n k n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ n b ππ1()sin d πf x nx x -⎰π01(π)sin d πx nx x -⎰π01(π)d(cos )πx nx n --⎰π01(π)cos πx nx n -π01cos d πnx x n ⎰0cos 1n n1 )(x f)(x f π421211[cos(21)sin(21)sin 2](21)π212k k x k x kx k k k ∞=-+-+--∑ )(lim 0x f x +→0lim(π)x x +→-π)(lim 0x f x -→ 0=x π2∑∞=-211n n n11-n n 1)1(1--n n 23)1(1-n∑∞=-223)1(1n n ∑∞=1231n n312p =>p ∑∞=-211n n n11πtan 2n n n ∞+=∑nn n a aq 1lim +∞→=21π(1)tan2limπtan 2n n n n n +→∞++⋅⋅21π(1)2limπ2n n n n n +→∞++⋅⋅n n n 21lim +∞→2111πtan2n n n ∞+=∑∑∞=+-111)1(n nnn n u ∞→lim 11lim+∞→n n1+n u 21+n 11+n n u∑∞=+-111)1(n nn1000 n B ∞→n%)51(10001+⨯=a n %)51(%)51(10001+++⨯=-n n a a1221223323211211000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=⨯+++⎧⎪+=⨯+++⎪+=⨯+++⎨⎪⎪+=⨯+++⎩n a 1112%)51(]%)51(%)51(%)51[(1000--++++++++⨯n n an n %)51(1000%)51(1]%)51(1%)[51(10001+⨯++-+-+⨯- ]1%)51(-+nn n a ∞→lim ∞，n B ]1%)51(-+n元，当∞→n。
成教 高等数学二教材
成教高等数学二教材高等数学二教材高等数学二是成人教育中的一门重要课程，它是高等数学的延伸和拓展。
本教材旨在为成教学生提供全面而深入的高等数学知识，帮助他们掌握相关概念、理论和方法，并能够运用于解决实际问题。
第一章无穷级数1.1 序列和数列极限无穷级数的概念和性质，数列极限的定义和判准，特殊数列的收敛性判定。
1.2 数项级数的性质正项级数的性质，级数的收敛和发散判定，收敛级数的性质。
1.3 幂级数幂级数的概念和收敛域，常见幂级数的展开式。
第二章函数的多项式逼近2.1 泰勒级数函数的泰勒展开，常用函数的泰勒展开式。
2.2 函数的极限与连续性函数极限的定义和性质，连续函数的判定和性质。
2.3 微分学的应用函数的$n$阶导数和高阶导数，函数的凹凸性和拐点，函数图形的描绘。
第三章一元函数的积分学3.1 定积分定积分的概念和性质，微元法求定积分，定积分的计算公式。
3.2 不定积分不定积分的概念和性质，基本积分表和换元法，分部积分和分式积分法。
3.3 定积分的应用定积分的应用，曲线下面积及其计算，定积分的物理及几何应用。
第四章二元函数与偏导数4.1 二元函数的极限和连续性二元函数的极限定义和性质，二元函数的连续性和间断点。
4.2 偏导数偏导数的定义和几何意义，高阶偏导数，隐函数求导。
4.3 方向导数与梯度方向导数的定义和计算，梯度的定义和性质。
第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的微分多元函数的全微分和一阶微分近似，多元复合函数微分法。
5.2 隐函数及其导数隐函数存在定理，隐函数求导。
5.3 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定，条件极值的求解。
第六章多元函数的积分学6.1 二重积分二重积分的定义和性质，二重积分的计算方法。
6.2 三重积分三重积分的定义和性质，三重积分的计算方法。
6.3 广义积分广义积分的概念和性质，广义积分的计算方法。
通过对以上章节的学习及练习，学生将对高等数学的概念和方法有一个更加深入的了解，并能够运用所学知识解决实际问题。
高等数学2 课本教材
高等数学2 课本教材高等数学2是一个涉及复杂概念和公式的学科。
它是数学的一个分支，主要研究了微积分、线性代数和概率论等内容。
本节文章将以教科书的形式，按照章节的顺序来介绍高等数学2课本的主要内容。
第一章微分方程微分方程是高等数学2中最重要的章节之一。
它涉及到描述变化过程的方程。
本章首先介绍了常微分方程的概念和基本理论。
然后，详细讨论了一阶和二阶常微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法和常数变易法等。
接着，介绍了线性常微分方程的解法及其应用。
最后，通过一些实际问题的案例，说明微分方程在物理、经济和生态学等领域的应用。
第二章无穷级数无穷级数是高等数学2中的另一个重要概念。
本章首先介绍了数列和数列极限的概念。
然后，引入了无穷级数的定义，并详细讨论了级数和部分和的性质。
接着，讨论了正项级数的收敛性质，包括比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，介绍了幂级数和傅里叶级数的基本概念及其应用。
第三章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的一个重要分支。
本章首先引入了多元函数的概念，并讨论了极限和连续等基础理论。
然后，详细讨论了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等概念。
接着，介绍了多元复合函数的求导法则和隐函数的求导法则。
最后，引入了多元函数的泰勒公式和拉格朗日乘数法，通过实例讲解了这些概念的应用。
第四章多重积分多重积分是高等数学2中涉及到空间区域的重要内容。
本章首先引入了二重积分和三重积分的概念，并讨论了累次积分和重积分的性质。
然后，介绍了换元积分法和坐标变换法来计算多重积分。
接着，讨论了二重积分和三重积分的应用，包括质量、质心和转动惯量等问题。
最后，介绍了曲线积分和曲面积分的基本概念及其应用。
第五章曲线与曲面的方程曲线和曲面的方程是高等数学2中的一个重要内容。
本章首先介绍了参数方程和方程组的基本概念。
然后，详细讨论了平面曲线和空间曲线的一般方程及其性质。
接着，介绍了曲线的切线和法平面方程的求解方法。
成人高等教育《高等数学(理工类二)》复习资料
【公式总结】无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：ΛΛ+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n nk kn u u u u uS ++++==∑=Λ3211，正项级数：∑∞=1n n u ，0≥n u 交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 2）级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1n n u 收敛，否则称级数∑∞=1n n u 发散3）条件收敛：∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1n n u 发散；绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛。
2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=±1)(n n n b a 收敛；3）级数∑∞=1n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛⇒0lim =∞→n n u .（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：∑∞=1n n u ，0≥n u 1）定义：S S n n =∞→lim 存在；2）∑∞=1n nu收敛⇔{}n S 有界；3）比较审敛法：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，且),3,2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散.4）比较法的推论：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，若存在正整数m ，当m n >时，n n kv u ≤，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m ，当m n>时，n n kv u ≥，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.5）比较法的极限形式：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，若)0(lim+∞<≤=∞→l l v u nnn ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→nnn v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.6）比值法：∑∞=1n n u 为正项级数，设l u u nn n =+∞→1lim ，则当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l时，级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7）根值法：∑∞=1n n u 为正项级数，设l u n n n =∞→lim ，则当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数，若0lim >⋅∞→nn u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ，则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ，使得)0(lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1(1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛。
高等数学二教材目录
高等数学二教材目录1. 导论1.1 数列与极限1.2 无穷级数2. 函数的极限与连续2.1 函数的极限2.2 连续函数2.3 间断点与间断函数3. 导数与微分3.1 函数的导数与导数的概念3.2 导数的运算法则3.3 高阶导数与隐函数求导3.4 微分与泰勒公式4. 函数的应用4.1 函数的极值与最值4.2 函数的凸性与拐点4.3 微分中值定理与泰勒展开4.4 拉格朗日乘数法与极值问题应用5. 定积分5.1 定积分与不定积分5.2 定积分的性质与换元法5.3 定积分的计算方法5.4 广义积分与应用6. 微分方程6.1 常微分方程6.2 一阶常微分方程6.3 高阶常微分方程6.4 变易法与欧拉方程7. 空间解析几何与多元函数微分学7.1 空间解析几何的基本概念7.2 空间中直线与平面7.3 多元函数与偏导数7.4 全微分与多元函数的微分8. 重积分与曲线曲面积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与曲线曲面积分的概念8.4 曲线曲面积分的计算方法9. 向量场与格林公式9.1 向量场的概念与性质9.2 向量场的散度与旋度9.3 格林公式与高斯公式9.4 斯托克斯公式与流形10. 傅里叶级数与傅里叶变换10.1 傅里叶级数的概念与性质10.2 傅里叶级数的计算方法10.3 连续傅里叶变换与离散傅里叶变换10.4 傅里叶变换与偏微分方程这是《高等数学二》教材的目录，按照每个章节所涵盖的内容进行了分类。
通过学习这个教材，你将掌握数列与极限、函数的极限与连续、导数与微分、函数的应用、定积分、微分方程、空间解析几何和多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、向量场与格林公式、傅里叶级数与傅里叶变换等相关知识点。
逐步学习这些内容将使你对高等数学的理解更加全面，能够应用于实际问题的解决中。
希望这本教材能够帮助你更好地掌握高等数学的知识。
高数2复习资料.ppt
2
[
1 2
arcsin
2
1 2
1
4
]
1 0
8
(
2)
十二、直角坐标系、柱坐标系下的三重积分计算
(注意对称性)
作业一.3、 z [0, H]有：(x, y)D(z) {x2 y2 z2}
H
I dz (x y z)dxdy
0
D( z )
D关于x轴及y轴均对称
H
I 0 zdzDdxdy
Dxz：S(Dxz ) 0 Dyz：S (Dyz ) 0
上 3 Dxy dxdy 3S(Dxy) 3H 2 S下 上 3H 2 选(B)
九、解： P 4xz,Q y2, R yz
P x
4z,
Q y
2y,
Q z
y
设围成,由Gauss公式有：
原式 外
( P
D B(1,1,1)
且被积函数关于x奇
xzdxdydz 0
0
Cy
x
C(1,1,0), D(1,1,0)
八(1)解：如图
z z
2 x2
x2 y2
y
2
x2
(消z)
y2
1
Dxy {x2 y2 1}
0 2 ,0 1
且(x, y) Dxy有：
(上半球面) (旋转抛物面)
x2 y2 z 2 x2 y2 即：2 z 2 2
P ex sin y 2 y,Q ex cos y 2
Qx ex cos y, Py ex cos y 2
由Green公式有：
L
L1
I I1 (LL1)正
D (Qx Py )dxdy D 2dxdy 2S(D) 4a2
高数2级数
第6章无穷级数第一讲常数项级数的概念古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1(大于零)的几何级数可以求出和数。
14世纪的法国数学家奥雷姆证明了调和级数阿基米德(Archimedes, BC.287-BC.212)也求出了公比为1/4的几何级数的和。
是发散的，并把一些收敛级数和发散级数区别开来。
111123n+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅他的证明方法至今沿用的基本运算与级数运算的纯形式的结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式。
世纪泰勒、拉格朗日、马克劳林、欧拉等科学家为函数的级数表示及无穷级数收敛性做出了贡献。
17、18世纪对级数的处理还十分粗糙，柯西给出了级数收敛和发散的确切定义。
维尔斯特拉斯给出一致收敛概念的确切表述，狄里克莱证明了绝对收敛级数的性质，形的面积解:做圆的正六边形,求出面积,记为,1a 得A 算出六个弓形上六个等腰三角形面积之和,记为2a 12n a a a ++++""A 的近似值。
这个和逼近于圆的面积A .2n a a +++"": 无穷等比级数就是无穷级数的一种......2+++aq aq a 将其各项依次累加所得的式子⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21设有数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n u u u ∑∞==1n nu 函数项级数常数项级数的概念nnk kn u u u uS +⋅⋅⋅++==∑=211部分和数列:⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n S S S 当∞→n 时,存在极限S ,收敛.并称S 为级数的和,记为i ∑∞=1∑∞若级数121nn uu u ∞==++⋅⋅⋅∑即n lim12n n n S u u ++−=++⋅⋅⋅∑∞=1i i u 第n 项后的余项.误差是aq aq aq +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的敛散性是级数的公比.,其部分和为1n aq−+⋅⋅⋅+q a q aq a n−=−−=110lim =∞nq qa S n n −=∴∞→1lim 收敛且和为∞=nq lim 级数发散级数为a a a a −+−+⋅⋅⋅a S n =;当n 为偶数时=n S 的极限不存在.发散1<q 收敛,当1≥q 级数发散()1是否收敛？若收敛，求其和1112n q =<收敛由于级数的一般项)1(1=+=n n u n 因此部分和为111122334(n n =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅1111lim lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=∞→∞→n S n n n ，所以，此级数收敛，它的和为1.1111223n n ⎞⎛⎞⎛−+−++−⎟⎜⎟⎜⎠⎝⎠⎝L 11n +0)( )( 11212的敛散性判断级数>−∑=−+a a a n n n。
高等数学无穷级数2
这时,只可能有两种情形 这时 只可能有两种情形: 只可能有两种情形
(1) 当n → ∞时, sn → +∞ ,
∑u
n =1
∞
n
必发散 .
( 2) 若{ sn }有上界 , 即sn ≤ µ , lim sn = s.
n→∞
( sn ≤ s ≤ µ )
定理1 基本定理 基本定理) 定理 (基本定理 正项级数收敛 ⇔ sn 有界 有界. 正项级数可以任意加括号,其敛散性 注 正项级数可以任意加括号 其敛散性 不变, 对收敛的正项级数,其和也不变 其和也不变. 不变 对收敛的正项级数 其和也不变
例 讨论正项级数
n
∑3
n =1
∞
n
sin
π
4
n
n
的敛散性. 的敛散性
π
n
解 ： 0 < un = 3 sin
∞
π
4n
3 < 3 ⋅ n = π 4 4
n
3 而等比级数 ∑ π 4 n=1
收敛. 收敛
由比较审敛法， 由比较审敛法， 所以原级数收敛. 所以原级数收敛
ru N + r 2 u N + r 3 u N + L 的对应项 的对应项,
∴ u N +1 + u N + 2 + u N + 3 + L 收敛 ∴ ∑ un收敛 . 收敛.
当ρ > 1时, 由(1)式的 左边, 时 式的 左边
n =1
∞
取ε < ρ − 1, 使r = ρ − ε > 1,
当n > N时, un+1 > run > un , lim un ≠ 0 发散
高等数学下册级数部分的知识点
=0
∈ −∞, +∞
−1
2+1
，
2+1 !
−1
2
，
2 !
∞
（5）cos =
=0
∞
（6）ln 1 + =
=0
−1
∈ −∞, +∞
∈ −∞, +∞
+1
，
+1
∈ −1,1
发散，则
n=1
=1 发散
2、比例判别法
+1
→∞
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
=
3、根值判别法
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim =
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
∞
1
=1
1
2
1
3
1
4
1
= 1 + + + + ⋯ + ⋯是发散的
所以收敛的级数一定趋于零，但是趋于零的级数不一定收敛0时，级数发散
→∞
例4、判断下列级数的收敛性，若收敛求其和
∞
1
（1）
=1 2
+
1
3
∞
2 +2
（2）
=1 2 −+3
，
=
，则
=1
=1
=1 ± 收敛，其和s ±
注意：收敛级数的和差仍收敛，发散级数的和差不一定发散，收敛级数与发散
高数2知识点总结
高数2知识点总结高等数学2是大学数学教学中的重要组成部分，主要包括微积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数与逼近理论等内容。
在学习高等数学2的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和方法，下面就对高等数学2中的一些重要知识点进行总结。
1.微积分微积分是高等数学2中的一个重要内容，主要包括函数的极限、导数和积分。
在学习微积分时，首先需要掌握函数的极限概念及其计算方法，包括无穷小量、无穷大量、洛必达法则等。
其次是函数的导数，需要掌握导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数求导等内容。
最后是函数的积分，包括不定积分、定积分、变限积分、定积分的计算方法、定积分的应用等。
2.多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的另一个重要内容，主要包括多元函数的极限、偏导数、全微分和导数、方向导数、梯度、微分中值定理等。
在学习多元函数微分学时，需要掌握多元函数的极限概念及其计算方法，了解多元函数的偏导数定义及计算方法，掌握多元函数的全微分和导数、方向导数、梯度的概念及计算方法，并了解微分中值定理等内容。
3.多元函数积分学多元函数积分学是高等数学2的另一个重要内容，主要包括重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分、格林公式等。
在学习多元函数积分学时，需要掌握多元函数的重积分概念及其计算方法，了解累次积分的概念及其计算方法，掌握曲线积分和曲面积分的概念及计算方法，并了解格林公式等内容。
4.无穷级数与逼近理论无穷级数与逼近理论是高等数学2中的另一个重要内容，主要包括数项级数、函数项级数、收敛性、级数求和、傅里叶级数等。
在学习无穷级数与逼近理论时，需要掌握数项级数和函数项级数的收敛性判别法，了解级数求和的方法，掌握傅里叶级数的概念及计算方法等内容。
总之，高等数学2是一门包含了微积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数与逼近理论等内容的重要课程，在学习这门课程时，我们需要掌握一些基本的知识点和方法，包括函数的极限、导数和积分、多元函数的极限、偏导数、全微分和导数、多元函数的重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数与逼近理论等内容。
高等数学二教材公式汇总
高等数学二教材公式汇总在高等数学二的学习过程中，我们接触到了许多重要的数学公式。
这些公式在解决数学问题、推导定理和解析函数等方面起着关键作用。
本文将对高等数学二教材中的一些重要公式进行汇总，希望能够帮助大家更好地掌握和应用这些公式。
1.极限与连续在极限与连续这一章节中，我们主要学习了函数的极限和连续性。
下面是一些与该章节相关的重要公式：(1) 极限定义公式：lim(x→a) f(x) = L(2) 一些常用的极限公式：- 基本极限：lim(x→0) sinx / x = 1lim(x→0) (e^x - 1) / x = 1lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e- 复合函数极限的计算：若lim(x→a) f(x) = A，lim(y→A) g(y) = B，则lim(x→a) g[f(x)] = B- 唯一极限：若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) f(x) = M，则 L = M(3) 连续函数的性质：- 若 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处连续，则 f(x) + g(x)、f(x) - g(x)、f(x) * g(x) 和 f(x) / g(x) 也在 x = a 处连续；- 若 f(g(x)) 在 x = a 处连续，且 g(x) 在 x = a 处连续，则 f(x) 在 x = g(a) 处连续。
2.微分与导数微分与导数是高等数学二中的另一个重要概念。
通过学习微分与导数，我们能够更准确地研究函数的变化规律。
下面是一些与微分与导数相关的重要公式：(1) 导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)]/h(2) 基本导数公式：- 常数函数：(c)' = 0- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)(3) 导数的运算法则：- 和、差、积法则：若 f(x) 和 g(x) 都可导，则 (f ± g)' = f'(x) ± g'(x)，(f * g)' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 商法则：若 f(x) 和 g(x) 都可导，且g(x) ≠ 0，则 (f/g)' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / g(x)^2(4) 高阶导数：若 f(x) 的 n 阶导数存在，则 f(x) 的 n 阶导数记为 f^(n)(x)，其计算方法根据导数的定义进行逐步求导即可。
《高数2复习资料》课件
3. 典型例题解析
例题1 例题2 例题3
解析解题思路和步骤 解析解题思路和步骤 解析解题思路和步骤
4. 常见考点详解述高数2的二级考点，包括
相关公式和应用技巧。
3
一级考点
深入分析高数2的一级考点，解释 与其他知识点的关联。
三级考点
解释高数2的三级考点，帮助您理 解更复杂的问题和题目。
计算题
给出一些需要计算的题目，并详细解析每道题的步骤和答案。
7. 总结和答疑
复习总结
总结重点内容，并提供复习 建议和备考注意事项。
答疑解惑
回答学生的疑问，确保他们 对重点知识有充分的理解。
团队合作
鼓励学生之间的团队合作， 分享复习心得和答案解析。
课件采用清晰的结构， 使您能够有条不紊地 复习各个部分。
课件将重点放在考试 可能涉及的知识点上， 帮助您高效地备考。
2. 重点知识点回顾
导数定理
积分技巧
回顾导数的基本定理，并解 释如何应用它们来求解问题。
复习不同的积分方法，包括 换元积分法和分部积分法。
复数
回顾复数的概念和操作，以 及它们在图形上的表示。
5. 复习技巧和方法
创造记忆点
学习时使用联想和记忆点 来帮助记忆关键知识。
分组复习
将相关的知识点组合在一 起复习，帮助您更好地理 解和记忆。
经典习题
重复做经典习题，熟悉不 同类型的问题和解决方法。
6. 练习题和答案解析
选择题
提供一系列选择题，并解析每道题的答案和解题思路。
填空题
给出填空题的练习题目，并提供详细的答案和解析。
《高数2复习资料》PPT课 件
这个PPT课件将帮助您复习高数2的重要内容，包括知识点回顾、例题解析、 常见考点详解、复习技巧和方法，以及练习题和答案解析。让我们一起来掌 握高数2的精髓！
高数二知识点.pdf
A
，(
B
0 ).
B
（ 4）设 P( x) 为多项式 P( x)
n
a0 x
n1
a1x
an ， 则 lim P(x) P(x0) x x0
（ 5）设 P( x), Q ( x) 均为多项式，
且 Q( x)
0， 则
P( x) lim
P ( x0 )
x x0 Q( x) Q( x0 )
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当 x 0 时 ， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arctanx ~ x ， arcsin x ~ x ， ln(1 x) ~ x ，
□
1
其结构可以表示为： lim 1
e
□
□
八、洛必达 (L’Hospital)法则
“ 0 ”型和“ 0
f (x) ”型不定式，存在有 lim
x a g(x)
f ' ( x)
lim
xa
g ' ( x)
A （或 ）。
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数 y f (x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该邻域内）时，相
3 、复合函数求导公式：设
y f (u) , u
dy dy du f ' (u). ( x) 。 dx du dx
(x) ，且 f (u) 及 ( x) 都可导，则复合函数
y f [ ( x)] 的导数为
三、导数的应用
1、函数的单调性
'
f ( x) 0 则 f ( x) 在 (a,b) 内严格单调增加。
1
1 x 2 dx
高数二知识点总结
高数二知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 无穷小与无穷大2. 极限的性质- 唯一性、有界性- 四则运算法则- 夹逼定理3. 极限的计算- 极限的四则运算- 链式法则、导数的定义- 洛必达法则4. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 闭区间上连续函数的性质二、导数与微分1. 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的物理意义2. 导数的计算- 基本导数公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 隐函数求导3. 高阶导数- 高阶导数的定义- 常见函数的高阶导数4. 微分的概念- 微分的定义- 微分与导数的关系三、中值定理与泰勒公式1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒公式- 泰勒公式的定义- 泰勒级数展开- 近似计算四、函数的极值与最值1. 极值的概念- 极值的定义- 极值存在的条件2. 极值的求解- 一阶导数测试- 二阶导数测试- 函数的单调性3. 最值问题- 闭区间上函数的最值 - 应用问题五、一元函数积分学1. 不定积分- 基本积分表- 换元法- 分部积分法2. 定积分的概念- 定积分的定义- 微积分基本定理3. 定积分的计算- 定积分的性质- 定积分的计算方法4. 积分应用- 几何应用- 物理应用- 微分方程的解法六、空间解析几何1. 向量代数- 向量的运算- 向量的坐标表示2. 平面与直线- 平面的方程- 直线的方程3. 曲线与曲面- 空间曲线的方程 - 常见曲面的方程七、多元函数微分学1. 偏导数- 偏导数的定义 - 高阶偏导数2. 全微分- 全微分的定义 - 全微分的计算3. 多元函数的极值 - 极值条件- 拉格朗日乘数法八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义- 三重积分的计算方法3. 重积分的应用- 计算体积- 计算重心与惯性矩请根据以上结构在Word文档中进行编辑和扩展，确保每个部分都有详细的解释和示例。
高数2知识点总结
高数2知识点总结高等数学是大学数学的重要组成部分，其中高数2是高等数学的进阶内容。
本文将对高数2的知识点进行总结，以便读者能够更好地理解和掌握这一学科。
1. 极限与连续极限是高数2中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
极限的计算方法有很多种，如代入、夹逼、洛必达法则等。
连续是指函数在某一区间内无间断的特性，连续函数具有一些重要的性质，如介值定理、零点定理等。
2. 一元函数微分学微分学是研究函数变化率与函数本身的关系的学科。
高数2中的微分学主要包括导数和微分。
导数描述了函数在某一点的变化率，它有一些重要的性质，如可导函数的判定、导数法则等。
微分是导数的几何解释，它用于近似计算和误差估计。
3. 一元函数积分学积分学是研究函数累积与函数本身的关系的学科。
高数2中的积分学主要包括不定积分和定积分。
不定积分是求函数原函数的过程，它有一些常见的积分公式和积分方法。
定积分是求函数在某一区间上的累积量，它有一些重要的性质，如定积分的计算、定积分的应用等。
4. 多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的变化率与函数本身的关系的学科。
高数2中的多元函数微分学主要包括偏导数和全微分。
偏导数描述了多元函数在某一点的各个方向上的变化率，它有一些重要的性质，如混合偏导数的对称性、二阶偏导数的计算等。
全微分是多元函数的线性逼近，它用于近似计算和误差估计。
5. 多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的累积与函数本身的关系的学科。
高数2中的多元函数积分学主要包括二重积分和曲线积分。
二重积分是求多元函数在平面区域上的累积量，它有一些常见的积分公式和积分方法。
曲线积分是求多元函数沿曲线的累积量，它有一些重要的性质，如格林公式、斯托克斯公式等。
总结：高数2是高等数学的重要内容，主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和多元函数积分学。
这些知识点在数学和工程领域都有广泛的应用，对理解和解决实际问题具有重要意义。
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lim(
n
s2n
u2n1 )
s
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 )
rn un1 un2 也是一个交错级数.
交 错
级
满足收敛的两个条件, rn un1
数 及 其
审
定理证毕.
敛 法
常数项级数的审敛法
例 判别级数
n2
(1)n n (1)n
的敛散性.
交错级数
v n n
(1) 当0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当l
0时,若
v
收
n
敛,
则
un收敛;
正 项 级
n1
n1
数
及
(3) 当l 时, 若 vn发散, 则 un发散.
其 审
n1
n1
敛 法
常数项级数的审敛法
5.比值审敛法(达朗贝尔 D,Alembert 判定法)
定理4 设 un , (un 0)
(2) n1 n!
解
(1)
n1
n( n1)
解
lim
n
un
lim
n
n
1 (1)n
0
可知莱布尼茨定理的条件(2)满足, 但条件(1) 不满足, 故用莱氏定理是无法判别的, 但是因为
un
(1)n n (1)n
n n
(1)n (1)n
(1)n[
n n1
(1)n
]
(1)n n 1 n1 n1
(1)n
n 收敛,
1 发散 故 级数 发散.
例
判别级数 sin n n1 n2
的敛散性.
解
sin n n2
1 n2
而 1 收敛
n1 n2
n1
sin n n2
收敛
故原级数绝对收敛.
绝 对 收
敛
与
条
件
收
敛
常数项级数的审敛法
例 判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明 是条件收敛还是绝对收敛.
(1)
n( n1)
(1) 2
n1
1 2n
(n)n
n2 n (1)n
级 数 及 其 审
un un1 (n 2,3) 但级数收敛. 思考题
敛 法
常数项级数的审敛法
(1) un un1(n 1,2,3,)
分析
lim
n
sn
s
lim
n
s2
n
lim
n
s2n1
s
证 s2n (u1 u2) (u3 u4) (u2n1 u2n)
由条件(1): un1 un 0, 数列 s2n是单调增加的.
n2
n1
n2 n 1
常数项级数的审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
定义1 任意项级数 un , un 可正,可负,可0.
n1
思想是: 任意项级数
正项级数
定义2 若| un | 收敛,则称 un为 绝对收敛.
n1
n1
若| un | 发散,若 un收敛,则称 un为
n1
n1
n1
条件收敛.
常数项级数的审敛法
第二节 常数项级数的审敛法
constant term infinite series
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
1
常数项级数的审敛法
定理1(基本定理) 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(sn s )
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
|
un
|)
(n
比较极限审敛法
1,2,)
1 qn 2 (un | un
|)
(n
1,
2,
) 正pn , qn
绝 对
显然, pn 0, 且 pn | u由n |,性质1n,21 pn收敛
收 敛 与 条
又 un ( pn qn),
un收敛
件 收 敛
n1
n1
n1
常数项级数的审敛法
任意项级数
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
交
u1 数列 s2n是有界的.
错 级 数
及
lim
n
s2n
s
u1
其 审 敛
法
常数项级数的审敛法
证 lim n
s2n1
s
s2n1 s2n u2n1
(2)
lim
n
un
0
由条件(2):
lim
n
u2n1
0
lim
n
s2n1
正 项
级
数
及
其
审
敛
法
常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
alternate series
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)
u n1 n
或
(1)nun (其中un 0)
n1
n1
定理6(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件:
(1) un
un1(n 1,2,3,);
(2)
lim
n
un
(1)比值法, un1 un
?1
(2)差值法, un un1 ? 0
交
(3) 由un找出一个连续可导函数 f ( x),
错 级 数
使un f (n),(n 1,2,)考察 f ( x) ?0
及 其 审
敛
法
常数项级数的审敛法
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
注
(1) un un1(n 则级数收敛.
常数项级数的审敛法
3. 比较审敛法
定理2 若0 un vn , 则
vn 收敛 un 收敛
n1
n1
un 发散 vn 发散
n1
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
正 项
级
数
及
其
审
敛
法
常数项级数的审敛法
4.比较审敛法的极限形式
定理3 设 un与 vn都是正项级数, 如 果
n1
n1
lim un l, 则
n1
1
lim un1 n un
1 1
un 收敛
n1
方法失效
un 发散
正 项 级 数
n1
及
其
审
敛
法
常数项级数的审敛法
6. 根值审敛法 (柯西判别法)
定理5 设 un ,(un 0)
n1
1
lim
n
n un
1
1
un 收敛
n1
方法失效
un 发散
n1
适用于:以n为指数幂的因子
0,
则级数收敛,且和s u1, 其余项rn的绝对值
| rn | un1 .
莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716
常数项级数的审敛法
注 用莱布尼茨定理判别交错级数 (1)n1un n1
(un 0)是否收敛时, 要考察un与un+1大小, 比较
un与un+1大小的方法有三种:
1,2,3,);
(2)
lim
n
un
0,
莱布尼茨定理条件中un un1 只是充分条件.
条件(1) (un un1 (n 1,2,3) ) 不是必要条件.
条件(2) 就是说,
某(ln些im交un错级0数) 是即收使敛条的件必(1要)( 条un件.
un1)
不满足也仍有可能是收敛的.
交
错
如
(1)n
不满足莱布尼茨定理的条件:
若| un | 收敛,则称 un为绝对收敛.
n1
n1
绝对收敛与收敛有以下重要关系
定理7 若级数 un绝对收敛,则级数 un必定收敛.
n1
n1
证 设级数 | un |收敛. | un | un | un |
n1
0 un | un | 2 | un |,
0
un
| 2
un
|
|
un
|
pn
1 2
(un