状态空间分析法(1-4)
自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法资料
zn an1zn1 a1z a0z u
y n1zn1 1z 0z
(2-17)
定义如下一组状态变量
x1 z，x2 z， ，x0 zn1
(2-18)
可得状态方程
x1 x2
x2 x3
xn a0z a1z
它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方 程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。
状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一 些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方 程在状态变量图中形成和引出。
例2-1的状态变量图见图2-3，图中s 为拉普拉斯算子。
图2-3 状态变量图
x2
x3
a2
y
2u
yn2
an1 yn3
un3
n2
an2
yn4
n2un4
a2 y 2u
x1 x2 a1 y 1u yn1 an1yn2 n1un2 an2 yn3 n2un3 a1 y 1u
考虑式(2-11)可得
x1 a0 y 0u a0xn 0u
故有状态方程：
x1 a0xn 0u
线性定常连续系统的动态方程的形式： ➢ 一般形式
x Ax Bu，y Cx Du
➢ 典型形式
一 物理系统动态方程的建立
实际物理系统动态方程的建立的原则： ➢根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程； ➢选择可以量测的物理量作为状态变量。
例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x、加
1
b 2
n1
x1
x2
x x3
xn
c 0
现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
状态空间分析方法
状态空间分析方法一、模型的建立则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=02110010v F m cm x x m cmR x，,ma f =∑ ()y m ky c y v F =--+0则，即：0cv F ky y c ym +=++ 令y x y x ==21,，则⎪⎩⎪⎨⎧++--===m cv m Fm cx m kx y x x x021221，如对()()u b y a ya y a y n n n n 1111...=++++-- ，令()121,...,-===n n y x y x y x 则11121113221x y u b x a x a x a x x x x x x xn n n n n n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+----====--输出方程：，或[]xy u b x a a ax n n 0010001001000010111=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-例1：由传递函数来求()()()()()s U s Q s U s Y a s a sa sb s b sb sb s G nn n n mm m m⋅=++++++++=----1111110 ，则 ()()nn n na s a sa s s U s Q ++++=--1111，()()m m mb s b sb s U s Y +++=-10()()[]()s Q a s a sa s U s Q s n n n n++-=--111则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----====--n n n n n n x a x a x a u xx x x x x x 121113221，即 []xb b b y u x a a axm m n n 00100010010000100111--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=例2：()()()()35222112167201742232+++++-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G ，有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=321332221152322x x x y u x x u x x x x x 即：[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 512110300020012 可见-2为重根，则此为约当标准型。
第三章 状态空间分析法
状态向量——将几个状态变量看作是向量Z(t)的各个分量，
Z(t)就叫做状态变量。
状态空间——由x1轴，x2轴, ……，xn轴所组成的n维空间叫做
状态空间，任意状态则为其中一个点。 例： R v (t ) L i (t )
di 量矩阵方程表示： L + Ri + Vc = V dt dvc vc (t ) C =i dt . − R − 1 1 L i i = L . V + L [V ] 1 0 c 0 vc C
y ɺyɺ + 6 ɺɺ + 11y + 6 y = 6u ɺ ɺ
1 S = λ1 2 λ1
0 1 λ3 1 2 2λ1 λ3
例： 解：
Y (s) 6 6 = 3 = 2 U ( s ) s + 6 s + 11s + 6 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) 3 −6 3 = + + s +1 s + 2 s + 3
式中：
β 0 = b0 β1 = b1 − a1 β 0 β 2 = b2 − a1 β1 − a2 β 0 β 3 = b3 − a1 β 2 − a2 β1 − a3 β 0 ⋯⋯ β n = bn − a1 β n −1 − ⋯ − an −1 β1 − an β 0
就能保证状态方程解的存在性和唯一性。 由上述可得：
ɺ x1 0 x 0 ɺ 2 ⋮ = ⋮ x 0 ɺ n −1 x n − a n ɺ
1 0 ⋮ 0 − a n −1
状态空间分析法的特点及其应用
状态空间分析法的主要特点及其应用1.引言60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。
在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。
这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。
利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题，显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。
2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。
现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述
1 x3 s
1 s
1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、 比例器（k）及加法器组成。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s） 的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变 量的一阶导数dxi/dt。 第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )
s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换
1 s3
u(t )
1 s2
1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )
1 x4 s
(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量 其中 c c1，c2， 的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定 常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p
自动控制原理课件8状态空间分析法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
北京理工大学自动控制原理考研知识点
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因为专一所以专业，理硕教育助您圆北理之梦。
详情请查阅理硕教育官网北京理工大学自动控制原理考研考点第二章 控制系统的数学模型一 主要知识点传递函数会求各类传递函数：开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数。
针对典型系统结构图来记：图结构图化简。
把握住等效原则即可。
等效原则，即化简前后回路上传递函数的乘积不变、且前向通道上传递函数的乘积不变。
信号流图熟练运用Mason 公式：（关键是每一个量代表的含义）二 需要记忆的：常见的拉氏变换、拉式反变换（掌握留数法）三 备考策略本章内容较简单且单独出题的可能性不大，注意与其他章节的结合，尤其是非线性那章中结构图的化简。
第三章一 主要知识点1 二阶系统的时域分析数学模型单位阶跃响应取不同值时对应的单位阶跃响应曲线：不同情况下系统的根。
欠尼阻二阶系统的动态过程分析动态性能指标公式，要记住并理解各公式的由来。
2 稳定性分析)s s 1i （）（∑∆∆=i i P P 2n n 22n s 2s )()(s ωζωω++==ΦS R S C ）（ζ理解稳定的充要条件劳斯判断：列劳斯表（两种特殊情况的处理）；稳定性判断及稳定范围的确定。
3 稳态误差（首先想到以稳定性为前提）稳态误差的计算：终值定理、由稳态误差系数确定。
扰动作用下的稳态误差：主要取决于扰动作用点前的传递函数。
降低稳态误差的方法：增大系统开环总增益，以降低给定输入作用下的稳态误差；增大扰动作用点前系统前向通路的增益，以降低扰动作用所引起的稳态误差第四章根轨迹法一 主要知识点理解根轨迹的含义、根轨迹增益与开环增益的区别、两个基本条件根轨迹的绘制根轨迹图的分析二 需要记忆的：根轨迹绘制规则三 备考策略本章内容是每年单独出题的章节，是比较重要的章节。
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
(精校版)矩阵在自动控制中的应用+
完整word版,矩阵在自动控制中的应用+编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（完整word版,矩阵在自动控制中的应用+）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为完整word版,矩阵在自动控制中的应用+的全部内容。
矩阵理论在控制中的应用吴祥 矩阵5班 201022070738摘要：本文就控制中的常见问题进行了讨论，并应用矩阵，对控制中的一些问题进行描述,运用矩阵的线性变换对控制理论中一些问题的求解进行了简化。
关键字:状态空间、对角标准型、约当标准型 1、引言20世纪60年代,随着计算机技术的进步,航空航天技术和综合自动化的发展需要，推动了以状态空间为基础，最优控制为核心，主要在时域研究多输入多输出系统的现代控制理论的诞生。
经典控制理论是以系统的输入输出为研究依据,其基本数学模型为线性定常高阶微分方程、传递函数。
对线性定常离散系统，其数学模型为线性定常高阶微分方程、脉冲传递函数。
这些模型仅仅描述系统输入、输出之间的外部特性,不能揭示系统的内部物理状态量的运动规律.若要揭示系统内部特性，就引入了状态空间。
2、用矩阵来建立状态空间假设单输入、单输出线性定常n 阶连续系统,n 个状态变量为1x ，2x ……。
n x .其状态方程的一般形式为：'111112211'221122222'1122.............................n n n n n n n nn n n x a x a x a x b u x a x a x a x b u x a x a x a x b u=++++=++++=++++输出方程为1122......n n n y c x c x c x b u =++++其向量—矩阵法方程形式的状态空间表达式为：'11111121'21222222'12....................n n n n nn n n nx x b a a a a a a x x b u a a a x x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212[.....]..n n x x y c c c Du x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦简单记为:'x Ax Bu =+ (1-1） y Cx Du =+ (1—2）其中1—1和1-2叫做状态空间.1—1式叫做状态方程，1-2式叫做输 出方程。
状态空间分析法
第二章状态空间分析法2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。
设系统有n个状态变量x1，x2，…，x n，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，x n为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X = (x1，x2，…，xn)TX称作系统的状态向量。
设系统的控制输入为：u1，u2，...，u r，它们也是时间t的函数。
记：U = (u1，u2，...，ur)T那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。
………………………………………………………………（2－1）其中F = (f1，f2，...，f n)T是一个函数矢量。
设系统的输出变量为y1，y2，...，y m，则Y = (y1，y2，...，y m)T 称为系统的输出向量。
表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。
…………………………………………………………. (2－2)其中G = (g1，g2，...，g m)T是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙线性定常(时不变)系统（LTI-Linear Time Invariant）；∙线性不定常(时变)系统；∙非线性定常系统；∙非线性时变系统。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。
这时，系统的动态方程可以表示如下：…………….（2－3）………………（2－4）写成矢量形式为：……………………………………………………………………………（2－5）上式中，A nxn称为系统矩阵，B nxr称为输入(或控制)矩阵。
知识表示方法-状态空间法
用计算机技术解决实际问题的一般思路:
实际 问题
问题表达 知识表达 数学建模
结果的解释
求解的方法 或者算法
例：求侧面积为150平方米的体积最大的长方体？
y x
z
设长、宽、高分别为 x, y, z 侧面积为：2(xy + yz + xz) 体积为：xyz 数学模型
max xyz s.t. 2(xy + yz + xz)=150
注：有向弧的旁边可以标以具体算符
状态 操作符
节点 有向弧
问题：寻找从初始状态到目标 状态的某个操作符序列
转 化 为
问题：寻找图中初始节点（对应初 始状态）到目标节点（对应于目标 状态）的一条路径
在某些情况下，每个操作符作用、成本是不
一样的，需要引入代价的概念
ni
c (ni , nj) 表示从节点 ni
指向节点 nj （相邻）的
那一段弧的代价
nj
（不相邻的）两个节点
间路径的代价等于连接 该路径的各个节点的所
有弧线的代价之和
k 1
c(ni , ni1)
i0
n0 c(n0,n1)
c(nk-1,nk) nk
引入代价的概念后，我们的问题可能是：
寻找初始节点到目标节点之间的代价最小的 路径
对应的原始问题：寻找从初始状态到目标状 态的操作符代价之和最小的操作符序列
②问题的求解：从问题表示方法出发，找到一个 合理的办法来求解 在人工智能中，常有的方法有：
➢搜索法 ➢推理法 ➢计算方法
状态空间法
在日常的一些智力游戏（八数码、走八卦阵、走
迷宫等）中，我们采用的策略：试着向前走，如
状态空间分析法
状态空间分析法一、内容概要《状态空间分析法》是一篇介绍状态空间理论及其应用的分析文章。
本文首先简要概述状态空间分析法的概念及其相关领域的研究背景。
接着阐述状态空间分析法的理论基础，包括其基本原理、数学工具以及相关技术的理论基础。
然后介绍状态空间分析法在不同领域中的应用实例，包括物理系统、控制系统、信号处理、通信系统等领域的应用情况。
文章还将探讨状态空间分析法的优势与局限性，以及未来可能的发展方向和潜在应用。
对全文进行总结，强调状态空间分析法在科学研究、工程实践等领域的重要性和价值。
1. 介绍状态空间分析法的概念及其在工程、科学、经济等领域的应用状态空间分析法是一种强大的数学工具，广泛应用于工程、科学和经济等多个领域。
本文将详细介绍状态空间分析法的概念及其在各个领域的应用。
状态空间分析法是一种以系统状态为研究对象的数学分析方法。
它以系统的状态变量为核心，通过对状态变量的描述和分析，揭示系统的行为模式和内在规律。
状态空间分析法通过构建状态空间模型，将复杂的系统问题转化为数学模型，便于进行理论分析和数值计算。
在状态空间中，系统的状态可以通过一系列的状态变量来描述，这些状态变量随时间变化，反映了系统的动态行为。
工程领域：在控制工程、信号处理等领域中，状态空间分析法被广泛应用于分析和设计动态系统。
通过构建系统的状态空间模型，可以方便地分析系统的稳定性、响应特性和控制性能。
此外状态空间分析法还可以用于故障诊断和系统识别等领域。
科学领域：在物理学、生物学和医学等自然科学领域，状态空间分析法同样发挥着重要作用。
例如在量子力学和电路分析中，系统的状态可以通过状态空间模型来描述，从而揭示系统的内在规律和特性。
此外在生物医学信号处理中，状态空间分析法也被广泛应用于生物电信号的分析和处理。
经济领域：在经济和金融领域，状态空间分析法被用于分析和预测经济系统的动态行为。
通过构建经济模型的状态空间表示，可以分析经济增长、市场波动和金融风险等问题，为经济决策提供支持。
工学自动控制原理8状态空间分析法
例1 某机械动力系 统如图所示
质量-弹簧-阻尼系统 的微分方程式为：
x K
F(t)
f
M
d2 x dx M dt 2 f dt Kx F (t )
d2 x f dx K
1
dt 2 M dt M x M F (t )
选择位移 x(t) = x1(t) 和速度 x&(t) = x2(t) 作为系统的
n
L2
m
43
1
0
0
0
B 0 ,
M
1
C
例 已知系统的 传递函数为：
s2 2s 3 G(s) 2s3 4s2 6s 10
求出其对应的可控标准型
1 s2 s 3
解:
G(s)
s3
2
直接写出系统的可控标准型:
2
s
2xx&&123s2500 x&3 5
1 0 3
0
1
2
x&1 0 1 0 x1 0
0
an1
x2
M
0 M
an2 M
x3 M
b0 0
u
0 1
a2
xn1
a1 xn
M
0
n
m
1
Y 0 0 0 L
状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程：
d2 x dt 2
f M
dx dt
K M
x
1 M
F (t )
x(t) = x1(t)
x&(t) = x2(t)
x&1
x&
x2
x&2
K M
x1
f M
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根据牛顿第二定律:
xi
mx0 = ky + μ y
将 x0 = xi- y代入:
mxi = ky + μ y + my 令: x1 = y
xi :壳体相对于惯性空间的位移; x0 :质量m相对于惯性空间的位移; y = xi - x0 为质量m相对于壳体的位移.
串联实现……
当z1-zm为G(s)的m个零点， p1-pn 为G(s)的 n个极点，那么G(s)可以表示为：
对于其中的模块可做如下变换：
一阶系统
(m=n-1)
根据前节所述方法，令各个积分器的输出为系统状态变量， 则得系统动态方程为:
矢 量 形 式
串联实现例子:
传递函数的并联实现(无重根)
当Den(s)=0有n个不等的特征根（p1-pn）时， G(s)可以分解为n个分式之和，即：
K
+
1 - s
M
Ex2: 二阶环节的等效变换
1 s 2 + Ms + N
1 s 2 + Ms 1 1+ 2 N s + Ms
+
1 2 - s + Ms
N
1 s 2 + Ms
1 s( s + M )
1 1 i s s+M
Ex3: 求下列方块图的动态方程
Ex3: 续
系统的动态方程为:
Ex4: 求下列方块图的动态方程
T =Jθ + μθ
Ex2:电枢控制式电机(续1)
令三个状态变量为:
x1 = i x2 = θ x3 = θ
系统输出为
y = x2 = θ
系统输入为控制电压 u
Ex2:电枢控制式电机(续2)
矢量形式为:
Ex3:多输入多输出系统（MIMO）
机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的作用， 其相对静平衡位置的位移分别为x1，x2.
系统实现的直接法
不失一般性，假设m=n，传递函数可表示为：
其中： 令：
则：
是一个严格正常型系统 ，可分子分母分别处理 引入新变量Y1(S)，并且令：
则
将上述二式分别作拉氏反变换:
选择状态变量如下:
其中:
状态方程为:
系统的输出y，可由下式作拉氏反变换得到:
最后得到整个动态方程为: 当m<n时，bn=0， 系数直接可以从传递函 数的分子、分母多项式 的系数写出!
传递函数的直接法实现框图
利用MATLAB求系统的直接实现
函数: tf2ss 状态变量的下标次序和上文中定义的颠倒;
矢量形式为：
直接法例子:
利用直接法实现下列传递函数，并试用 MATLAB求解 解:
MATLAB求解:
Ex_directModeling.m
传递函数的串联实现
传递函数为两多项式相除形式 分子多项式（Numerator）为: 分母多项式（Denomirator）为:
在磁场强度不变的情况下，电动机产 生的力矩T与电枢回路的电流成正比:
T =K t i
根据基尔霍夫电压定律:
Li + Ri + eb = u
对电机转轴，根据牛顿定律:
R、L和i(t)分别为电枢回路 的内阻、内感和电流. u(t)为电枢回路的控制电压 Kt为电动机的力矩系数， Kb为电动机的反电动势系数
Ex4: 续1
Ex4: 续2
系统的动态方程为:
由微分方程或传递函数求动态方程
一个线性系统可以用下列线性微分方程表示：
经 Laplace 变换，可得：
m<n时称系统为严格正常型；m=n时为正常型；m>n时称非 正常型，这是不能实现的系统，所以一般假定m≤n。
有三种方法
系统实现的直接法 传递函数的串联实现 传递函数的并联实现
取x1、x2为系统的两个输出:
f2 (t)
k x2, v2
μ
x1, v1
f1(t)
系统的动态方程为:
由系统方块图求动态方程
系统方块图
表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图 形化的模型， 具有形象、直观的优点, 在经典控制中常用.
方块图模型→状态空间表达式的 三个步骤
第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变 换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器 （k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过 串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器 （1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输 入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。 第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写 出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态 方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系 统的输出方程。
x2 = y u = xi
Ex1:加速度仪 (续)
测量壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度 矢量形式:
当加速度 xi 为常数，且系统达到稳定状况时，有：
mxi y= k
ˆ ˆ = ky 所以加速度的估计值为: xi m
Ex2:电枢控制式电机控制系统
根据电机原理，电机转动时， 将产生反电势:
eb =K bω = K bθ
x = Ax + Bu y = Cx + Du
Anxn 系统矩阵 Bnxr 输入(或控制)矩阵 Dmxr 直接转移矩阵 Cmxn 输出矩阵
系统动态方程的方块图结构
建立实际物理系统的动态方程
建立系统的动态方程机理模型,可运用: 牛顿定律、 基尔霍夫电压电流定律、 环节的等效变换(形式1)
+
-
G H
G 1 + GH
逆向推导
K Ts + 1
K Ts 1 1+ Ts
1 K s T 1+ 1 1 T s
1 K + T - s
1 T
Ex1: 一阶环节的等效变换(形式2)
+
-
G H
G 1 + GH
逆向推导
K s+M
K s M 1+ s
1 s K 1 1+ M s
x2 , v2
μ
x1 , v1
f 2 (t )
k
f1 (t )
Ex3:多输入多输出系统（续1）
x2, v2
根据牛顿定律，对m1，m2进行受力分析:
f2 (t)
k
μ
x1, v1
f1(t)
取x1、x2、v1、v2为系统四个状态变量,f1(t)、f2(t)为两个控制输入:
Ex3:多输入多输出系统（续2）
ci为pi的留数
ci = lim( s − pi )G ( s )
s → pi
系统动态方程为:
A为一标准的对角型 (无重根)
并联实现(有重根)
当上述G(s)的分母Den(s)=0有重根时，不 失一般性，假设: p1为q重根，其它为单根。这时G(S)可以分 解为:
i =1,2,…,q
单根的系数求法同前。
并联实现(有重根)方块图
状态变量定义及动态方程
约当标准型
并联实现(有重根)例子
求下列传递函数的并联实现
状态空间分析法（1-4）
1 LTI 动态方程 2 建立实际物理系统的动态方程 3 由控制系统的方块图求系统动态方程 4 由系统的微分方程或传递函数求动态方程 5 系统状态方程的线性变换 6 从系统动态方程求系统传递函数（阵） 7 离散时间系统的状态空间表达式
LTI 动态方程
LTI 动态方程 矢量形式