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《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c，那么a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b 2， b 2= c2-a2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（7, 24, 25 ）（ 8, 15, 17 ）（9 , 12, 15 ）

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.

2. 如图，以Rt△ ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S,则它们之间的关系是（）

A. S i- S2= S3

B. S i+ S2= S3

C. S2+S3< Si

D. S2- S3=Si

4、四边形ABC［中, / B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形ABCD勺面积。

5、在直线I上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别

是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 $、S2、S3、S4，则S i S2 S3 S4= _______________ 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1在直角二角形中,若两直角边的长分别为5cm 12cm，则斜边长为_______________________

2•已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长的平方是_____________________

3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，求斜边上的高.

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）

A. 2倍

B. 4倍

C. 6倍

D. 8倍

5、在Rt△ ABC中，/ C=90°

①若a=5，b=12，贝卩c= ______ ;

②若a=15，c=25,则b= __________ ;

③若c=61，b=60,则a= ________ ;

④若a : b=3 : 4，c=10 则Rt△ ABC的面积是= ____ 。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为n21，2n （n>1），那么它的斜边长是（）

2 2

A 、2n B、n+1 C、n —1 D n 1

7、在Rt△ ABC中, a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）

A. a2 b2 c2

B. a2c2b2

C. c2 b2 a2

D.以上都有可能

&已知Rt△ ABC中, Z C=90°,若a+b=14cm c=10cm 贝u Rt△ ABC的面积是（）

A、24 cm2

B、36 cm2C 48cm2 D 60cm2

2 2 2

9、已知x、y为正数，且I x -4 | + （y -3 ）=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A、5

B、25

C、7 D 15

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰一?中,

求①AD的长；②厶ABC的面积. ，七是底边上的高，若-匸-「工匸〔’一二匚

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A. 4，5，6

B. 2 ，3，4

C. 11 ，12，13

D. 8 ，15，17

2、若线段a，b，c组成直角三角形，贝尼们的比为（）

A、2 : 3 : 4

B、3 : 4 : 6

C、5：12：13 D 、4 : 6 : 7

3、下面的三角形中：

①厶ABC中，/ C=Z A-Z B;

②厶ABC中, Z A:Z B:Z C=1: 2: 3;

③厶ABC中, a：b: c=3: 4: 5;

④厶ABC中，三边长分别为8，15，17.

其中是直角三角形的个数有（）.

A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个

4、若三角形的三边之比为-I：1：1，则这个三角形一定是（）

2 V2

A.等腰三角形

B. 直角三角形

C.等腰直角三角形

D. 不等边三角形

2 2 2 2 2

5、已知a，b，c ABCE边，且满足（a —b）（a +b -c）= 0，则它的形状为（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

&将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）

A.钝角三角形

B. 锐角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

7、若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c，试判断△ ABC的形状

& △ ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数, 且a+b+c是3的倍数，贝U c应为 _________ 此三角形为______________ 。

例3:求

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是_______________ 度。（2）已知三角形三边的比为1 3 : 2，则其最小角为_________________ 。