小学奥数知识系列之--同余的解题规律

在作除法运算时，我们有这样的经验：

（1）一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有

5×1+3=8，

5×2+3=13，

5×3+3=18，

5×4+3=23，

…………

（2）一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.

389÷5=77 (4)

389÷7=55 (4)

389÷11=55 (4)

由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

数最小是多少？读者一定会想到有：

5×7×11+4=389，

5×7×11×2+4=774，

5×7×11×3+4=1159，

…………

答案有无数多个，但最小的只能是389.

现在，我们把这个问题上升到一般形式.

问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？

需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即

5-2=3，

7-4=3，

11-8=3.

于是，我们也可以提这样的问题：

数最小是多少？读者一定会想到是

5×7×11×1-3=382，

5×7×11×2-3=767，

5×7×11×3-3=1152，

…………

答案有无数多个，但最小只能是382.

这个问题的一般形式是：

问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多（也设为k），即

a-A=b-B=c-C=……=k. 求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？

【规律】

某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？答案是

[a，b，c，……]+k.

某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多（设为k），即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少？答案是

[a，b，c，……]-k.

【练习】

1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数

2.求某数最小是多少？（2除外）

2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案？

3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少？

4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少？

5.某数被2000除，余1993；被1999除，余1992；被1998除，余1991.求某数最小是多少？