最新代数学选讲教学大纲

代数学选讲教学大纲

《代数学选讲》教学大纲

适用专业：数学与应用数学

执笔人：王庚

审定人：王宏勇

系负责人：张从军

南京财经大学应用数学系

《代数学选讲》教学大纲

课程代码：120010

英文名：Selected Topics in Advanced Algebra

课程类别：专业选修课

适用专业：数学与应用数学

前置课：数学分析、线性代数、概率论、数理统计

后置课：抽象代数（续），泛代数等

学分：3学分

课时：54课时

主讲教师：周惠新等

选定教材：[1] 陈志杰, 陈咸平, 林磊, 瞿森荣, 韩士安，高等代数与解析几何习题精解[M]. 北京: 科学出版社, 2002.[2]北京大学数学系几何与代数教研室小组，高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2003.

课程概述：

本课程主要讲授高等代数(行列式及其计算、线性方程组理论、矩阵初步、二次型理论、线性空间和线性变换、Euclid空间)解题方法和内容再认识、专题选讲（如线性代数应用、用数学软件做线性代数、从模的观点来认识线性代数、特殊矩阵的研究）。

高等代数选论课程是数学类专业及相关专业的主干基础课高等代数的归纳整理、再认识，以及某些专题的深入，使学生在更好的掌握线性代数的基础知识和基础理论，并补充详讲多项式理论，了解高等代数的应用、软件实现、抽象代数中群、环、域的基本概念及线性代数的最新发展方向，进一步熟悉和掌握抽象的、严格的代数解题方法。

教学目的：

通过高等代数的教学，应使学生系统掌握高等代数的知识和理论，深入理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，提高分析问题和解决问题的能力。进一步向学生渗透现代数学的研究结构和研究方式。同时，提高运用代数方法解决实际问题的能力；能在较高的理论水平的基础上，处理实际应用的有关问题。作为代数选论课程，学习本课程，要求学生对其他代数能有一些了解。

教学方法：

高等代数选论主要为课堂教学，辅助以上机实践和模拟测试，增强学生对有关内容的理解和掌握。

各章教学要求及教学要点

第一章多项式内容与解题方法

学时分配：8课时

教学要求：

1．理解数域上一元多项式环的概念及多项式和与积的性质。

2．理解最大公因式概念、性质及多项式互素的概念和性质。

3．了解不可约多项式概念，理解多项式唯一因式分解定理。

4．理解重因式的概念和多项式根的概念。了解多元多项式和对称多项式概念。

教学内容：

一、数域，一元多项式环的基本概念，

二、整除概念，最大公因式，

三、不可约多项式，因式分解定理，

四、重因式，

五、多项式的根，多项式函数，

六、代数基本定理，

七、实系数多项式，多元多项式环，对称多项式。

第二章行列式及其计算

学时分配：6课时

教学要求：

1.理解和掌握n阶行列式的概念与性质。

2.熟练并掌握n阶行列式的计算方法。

教学内容：

一、基本要求与主要内容。

二、基本题型与典型例题。

第三章线性方程组

学时分配：8课时

教学要求：

1.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。

2.理解非齐次线性方程组有解的充要条件。

3.掌握齐次方程组有解判别定理和基础解系及通解的求法。

4.掌握非齐次线性方程组通解的求法。

5.熟练运用矩阵的初等变换解一般线性方程组。

教学内容：

一、基本要求与主要内容，

二、基本题型与典型例题。

第四章矩阵

学时分配：6课时

教学要求：

1.理解矩阵的概念、性质和相关的基础知识。

2.会求逆矩阵和掌握矩阵的相关计算。

3.了解广义逆矩阵概念，了解广义逆矩阵与齐次方程组解的关系。教学内容：

一、基本要求与主要内容，

二、基本题型与典型例题。

第五章二次型

学时分配：3课时

教学要求：

1.理解二次型概念及其相关理论，掌握合同变换与合同矩阵概念。

2.熟练运用配方法和初等变换法化二次型为标准形。

教学内容：

一、基本要求与主要内容，

二、基本题型与典型例题。

第六章线性空间

学时分配：4课时

教学要求：

1.理解线性空间概念及其相关理论。

2.熟练掌握相关的计算。

教学内容：

一、基本要求与主要内容，

二、基本题型与典型例题。

第七章线性变换学时分配：3课时

教学要求：

1.理解线性变换概念及其相关理论。

2.熟练掌握相关的计算。

教学内容：

一、基本要求与主要内容，

二、基本题型与典型例题。

第八章λ—矩阵

学时分配：3课时

教学要求：

1.理解λ—矩阵概念及其相关理论。

2.熟练掌握相关的计算。

教学内容：

一、基本要求与主要内容，

二、基本题型与典型例题。

第九章欧几里得空间学时分配：3课时

教学要求：

1.理解欧几里得空间概念及其相关理论。

2.熟练掌握相关的计算。

现代代数基础复习资料

1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33 a b ba =，证明ab ba =。证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166 b a b a -=。又a 为5阶元，所以5a e =，所以1 b ab a -=，即ab ba =。 2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1 xy -也属于H ，证明H 是一个子群。证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11 ,,x H e xx H x xe H --?∈=∈=∈， 1 111 ,,()y H y e y H x y x y H ----?∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。 3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。证明：因为()1 ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。设ab n =，若()m ba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|m ab e n m =? 所以||||ab ba n ==。 4 置换群4S 中有多少个2阶元？解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。故二阶元有9个，为：（1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。 5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠?故由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群（1）AutG 对于映射的合成封闭： ,(),()A u t G a b G a b G στττ?∈?∈?∈，，故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。（2）下证1 AutG AutG σσ -?∈?∈ '''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈?∈?∈====使即则1 1 ' ' 1 '' 1 '' '' 1 1 ()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ -∈。故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。 6 设G 是一个群。证明由()n x x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。

近世代数基础练习题

1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。对,a b ?∈S ,?,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ 由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。 2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。对?,a b ∈S ，?,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈ ∴a b S -∈,ab S ∈ 故S 是R 的一个子环。 3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。对,a b A ?∈,r R ?∈, ?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈

∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。 4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。证明: A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。对于?,a b ∈A ，?r R ∈，?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈ ∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3.1 集合、映射、二元运算与整数 3.1.1 集合集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ?”表示“x 不就是集合A 的元”。设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈?)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ?。若B A ?且A B ?,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。若B A ?,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ?。不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。例如: {}c b a A ,,=; {})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。本文中常用的集合及记号有: 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ; 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==* Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ; 有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用∞=A 表示A 就是无限集,∞