三角计算及其应用习题及答案(选择和简答)
三角计算及应用测试题(含答案)
第十二章 三角计算及应用测试卷一、 选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1.化简sin18°cos42°+cos18°sin42°= （ ） A.√32B.√22 C. 12D.12.已知tan α= 12,tan(α−β)= 25，则tan β= （ ）A.110B. −110C. 112 D. -1123.计算 （cos π8+sin π8）（cos π8-sin π8）= （ ）A. −√22B.√22C. 0D. 14.在∆ABC 中， A=30°，a=3, b=3√3, 则 B= （ ）A. 30 °B. 60°C. 60°或120°D.120°5. 函数 y=sinxcosx 的最小值为 （ ）A. -1B. −12C.− 14D. − 186. 已知cos α= 23, 则 cos(π−2α)= （ ）A. −√53B. −19C.19D. √537.下列周期函数中，最小周期为2 π的是 （ ） A. y =sin x2B. y =12cosx C.y = 2cos 2x D.y =sinxcosx8.若tan α= −3，则cos2α= （ ） A. 35B. − 35C. 45D. −459. 在∆ABC 中,a 2=b 2+c 2−bc ,bc =4，则∆ABC 的面积为 （ ） A. 12 B. 1 C. √3 D. 210.已知cos (π2+α)=35,−π2<α<0,sin2 α= （ ）A.2425B.1225C. − 1225D. −242511. 在∆ABC 中,AB=7,BC=5,AC=6,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. -19B. -14C.18D. 1912.已知cos (x−π4)=√26, sin2x的值为（）A. −89B. 89C.109D.−10913.在∆ABC中,ccosB=bcosC，则 ∆ABC是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.等边三角形14.已知sin(π6+α)=14则 cosα+√3sinα= （）A. −14B. 12C.2D. -115.函数y=3sin (2x−π3)的单调递增区间为（）A. [−π12+2kπ,5π12+2kπ](k∈z)B. [−π12+kπ,5π12+kπ](k∈z)C. [5π12+2kπ,11π12+2kπ](k∈z) D. [5π12+kπ,11π12+kπ](k∈z)16.函数y=2√3sinxcosx+2 cos2x−1的最大值为（）A. 2B. 2√3+1C.2√3D. 417.tan24°+tan36°+√3 tan24°tan36°= （）A.√2B. √3C.√5D. √3+118.在∆ABC中,若cosA=35,cosB=513,则cosC= （）A. 5665B. −5665C. 3365D. −336519.已知函数y=sin （ωx+φ）|φ|<π2)的一段图别为（）A. 1 π6B. 2 −π6C.1 −π3D. 2 π320. 能将函数y=sinx的图像变换为y=sin(2x+π4）为的图像的方法是（）①先向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩小为原来的12②先向右平移π8个单位，再将每个点的横坐标缩小为原来的12③ 先将每个点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位④ 先将每个点的横坐标缩小为原来的12，再向左平移π8个单位A. ① ③B. ① ④C. ②③D. ②④ 二、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21.在等式5sinx −12cosx =a −1中，a 的取值范围是 22.若sinα=√55,sinβ=√1010,且α、β均为锐角，则α+β=23. 在∆ABC 中，若tanAtanB=1,则sinC+cosC= 24．已知sinα=15， π2<α<π，cos α2−sin α2=25.有一个长为10米的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度为 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 26. （本小题7分）已知sin θ+2cos θ=0, 求cos2θ−sin2θ1+cos 2θ的值27.（本小题8分）.已知∆ABC 的边a,b 是方程x 2−2√3x +2=0的两个实数根，C=60°求边c 的长度和三角形的面积28. （本小题8分）化简 2cos10°−sin20°sin70°29. （本小题8分）在∆ABC 中，bsinA =√3acosB （1）求B 的大小（2）若a=√3,sinC=2A,求S ∆ABC30. （本小题9分）已知函数f (x )=2sinx (sinx +cosx )−1 （1）求函数最小正周期，并求f (5π4)；（2）求函数的最大值，并求取得最大值时自变量的取值集合； （3）求该函数的单调递增区间。
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
三角计算及其应用习题及答案(选择和简答)
三角计算及其应用1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则角A 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( )A．π3 B ．π6 C ．2π3D ．π3或2π33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，若，则cos B ＝( )A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，已知面积S ＝ (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°6．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．12B ．212C ．28D ．6 37．三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为35，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（ ）A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,78.在中，角、、的对边分别为、、.若，且成等差数列，则的面积是（ ） A ．B ．C ．3D ．ABC △A B C a b c 22()6c a b =-+,,A C B ABC △3393339．在中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果，，的面积，那么a 等于（ ） AB ．7CD ．1710．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，那么的最大内角的余弦值为 A ．0.125B ．0.25C ．0.75D ．0.511．已知中，，则等于（ ）AB ．C ．D ．12. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等边三角形13．在中，，，，则的面积为（ ）A ．B ．1C D14．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a ，灯塔A 在C 北偏东300，B在C 南偏东600，则A 、B 之间相距：A ．aBC aD ．2a15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ，,B ＝120°，则边b 等于( )AB ．2C DABC ∆60A =︒3b =ABC ∆S =ABC ∆sin :sin :sin 1:2A B C =::a b c 221:3:2C A B sin sin cos 2=⋅ABC ∆1AB =3AC =1AB BC ⋅=u u u r u u u rABC ∆1215A =︒16．在中，，，，则（ ）A ．B ．或C ．或D ．17.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）A.23B. 23-C. 13-D. 14-18．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（ ）ABC ．2D ．319．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A ．35 B ．53 C ．37D ．5720. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m21在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，且BC=2，BA=1, 求AC 的长。
三角计算及应用测试题(含答案)范本
三角计算及应用测试题（含答案）范本一、直角三角形的计算（10题）1. 已知直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边长为3cm，求另一条直角边的长度。
解：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设另一直角边长为x，则5² = 3² + x²25 = 9 + x²x² = 16x = 4答：另一条直角边的长度为4cm。
2. 已知直角三角形的斜边长为13cm，一条直角边长为5cm，求另一条直角边的长度。
解：同样利用勾股定理，设另一直角边长为x，则13² = 5² + x²169 = 25 + x²x² = 144x = 12答：另一条直角边的长度为12cm。
3. 直角三角形的两条直角边分别为7cm和24cm，求斜边的长度。
解：设斜边的长度为x，则x² = 7² + 24²x² = 49 + 576x² = 625x = 25答：斜边的长度为25cm。
4. 直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
解：同样利用勾股定理，设另一直角边长为x，则10² = 6² + x²100 = 36 + x²x² = 64x = 8答：另一条直角边的长度为8cm。
5. 已知直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为8cm，求另一条直角边的长度。
解：设另一直角边长为x，则17² = 8² + x²289 = 64 + x²x² = 225x = 15答：另一条直角边的长度为15cm。
6. 直角三角形的两条直角边分别为10cm和24cm，求斜边的长度。
解：设斜边的长度为x，则x² = 10² + 24²x² = 100 + 576x² = 676x = 26答：斜边的长度为26cm。
三角计算及应用测试题(含答案)
三角计算及应用测试题（含答案）一、选择题1. 已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB的长度为：A. 7B. 13C. 17D. 253. 三角形ABC中，已知AB=7，AC=8，BC=9，那么这个三角形的类型是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 一般三角形4. 已知三角形ABC，∠C=90°，BC=5，AC=10，则AB的长度为：A. 5B. 10C. 12D. 155. 已知三角形ABC，AB=5，AC=7，BC=8，则该三角形的类型是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 一般三角形二、填空题1. 已知三角形ABC中的边长满足a=3，b=4，c=5，则这个三角形是__________三角形。
2. 已知三角形ABC中的边长满足a=10，b=10，c=10，则这个三角形是__________三角形。
3. 已知三角形ABC中的边长满足a=12，b=16，c=20，则这个三角形是__________三角形。
4. 已知三角形ABC中的边长满足a=6，b=8，c=10，则这个三角形是__________三角形。
5. 已知三角形ABC中的边长满足a=5，b=5√3，c=10，则这个三角形是__________三角形。
三、计算题1. 已知直角三角形ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，求AB的长度。
解：根据勾股定理，AB的长度为：AB = √(AC^2 + BC^2)= √(6^2 + 8^2)= √(36 + 64)= √100= 10所以，AB的长度为10。
2. 已知三角形ABC，AC=5，BC=7，∠C=60°，求AB的长度。
解：根据余弦定理，AB的长度可以通过以下公式求得：AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠C)= 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos(60°)= 25 + 49 - 70 * 0.5= 25 + 49 - 35= 39所以，AB的长度为根号39。
三角计算及其应用举例最终版
在它的北偏东°方向上，该轮船以/的速度匀速由西向东航行，后，轮船
航行到处，此时测得灯塔在它的北偏东°方向上.如果轮船继续由西向东航行，是
（已知： ≈ . ， ≈ . ）
练习5.如图所示，从景点出发有, 两条不同的游览路线，且 = ，甲、乙
两人都从景点出发，沿这两条不同的路线匀速行进，他们的速度分别为/和
/，当甲出发后，乙开始出发，则乙出发多久后与甲的距离最短？最短
距离是多少？（精确到. ）
三角计算及其应用举例
例1.山东省济南市又称“泉城”，在有“联合国国际艺术广场”之称的泉城广场上，
矗立着一座泉标，它的整个造型流畅别致，是泉城的重要标志.泉标周围有喷泉池，
为了测量泉标的高度，某人站在处测出此时的仰角为°，然后他沿到的方
向前进. 到达处，再测得此时的仰角为°，如图所示.试计算泉标的高度.
练习4.如图所示，某职业学校数学兴趣小组的同学欲测量被障碍物隔开的和两点
之间的距离，他们采用了下面的方法：在障碍物的两侧选取两点和，并测得 =
= ，∠ = °，∠ = °，∠ = °，这里, , , 四点在同一
平面内.根据以上数据，请你帮助他们计算出和两点间的距离（精确到）.
留一位小数）（已知： ≈ . ）
例3.某城市欲绿化一块三角形的空地，如图所示.经测量， = ，
= °， = °.若每平方米需投入元，则绿化这块空地共需投入
多少元？（精确到元）（已知： ≈ . ）
练习2.如图所示，在设计自动卸货汽车的车厢时，需要计算油泵顶杆的长度.
为了保持车厢有最大仰角，要求∠ = °′，油泵顶点与车厢支点之间的
三角函数的应用题及解答
三角函数的应用题及解答三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。
本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。
1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。
设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。
解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。
因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。
2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。
设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。
解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。
因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。
3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。
解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。
设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。
解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。
因此，航天器的真实高度约为433.01公里。
通过以上例题，我们可以看到三角函数在实际问题中的应用。
无论是建筑物的观察角、汽车的倾斜角度还是航天器的视线角度，三角函数都能提供准确的数学描述和解答。
总结起来，三角函数是数学中一项重要而实用的工具，通过对角度和长度之间的关系的研究和运用，我们可以解决各种实际问题。
解三角形应用题及答案
解三角形的实际应用（1)测量高度问题； （2)测量角度问题； （3)测量距离问题； （4)计算三角形面积。
例：习题部分 1、如图1-2-22，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为600，塔基的俯角为450，那么这座塔的高度是（ ）A 、m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33120 B 、m )31(20+ B 、 C 、m )26(10+ D 、m )26(20+2、有一长为10m 的斜坡，倾斜角为750，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为300，则坡底要延长（ ） A 、5m B 、10m C 、m 210 D 、m 3103、一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东150方向，与灯塔S 相距20n miel,随后货轮按北偏西300的方向航行3h 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A 、n )26(310+ mile/h B 、n )26(310- mile/h C 、n )36(310+ mile/h D 、n )36(310- mile/h4、海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成600，从B 岛望C 岛和A 岛成750的视角，则B ，C 之间的距离为（ ） A 、n 310 mile B 、n 3610 mile C 、n 25 mile D 、n 65 mile 5、某人向正东方向走x km 后向右转1500，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值是（ ） A 、3 B 、32 C 、32或3 D 、36、如图1-2-23，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）A 、βα,,,b aB 、αB 、C 、γ,,b aD 、b ,,βα7、已知两座灯塔A 与B 与海洋观测站C 的距离相等，灯塔A 在观测站C 的北偏东400，灯塔B 在观测站C 的南偏东600，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）0 0008、如图1-2-24，从气球A 测得正前方的济南全运会两个体育馆B 、C 的俯角分别为βα、。
完整版三角计算及其应用测试题
第十二章《三角公式及应用》测试卷时间：120分钟满分：120分得分：一 一 •选择题(25 X 2分=50分)1. sin(21° )cos(24°) cos(21°)si n(240)（ ）一 A -—Bcos2C 12Dcos( 3 2 )— 2.函数 y cos3x cos2x sin3xsin2x(xR ）的图像关于（)z 线 A x轴对称B . y 轴对称 C直线y x 对称D-原点对称3.已知向量0P （4,4）,将其绕坐标原点旋转-90 0到0P ,的位置，则R 的坐标为（ 号 一 考一 A (-4,4 )B(-4 ,-4 )C(4, -4 )D(-8 , -8 )z 一 4.如果 2sin 2a 3, 则实数a 的取值范围是（)z 封 A.』,5)2 2B •鳥C (2D.丄？2，25.在 ABC 中，已知sin（A，则 ABC 是（B) cos B cos( A B)si nB1 A.1B.1 C. 3D .-3332 9.已知cos — 且 _0，则 tan 2()32A.4 5B.5 C.D. 4 5710. 已知tan （)£,tan(4)3，则tan(）的值为（ A. ,2B. 1C.D. 2211.cos150-sin 15 0'的值是（)) 6 口C.A .B D .222212. 下列各式中， 值为 二的是（)2A. 2si n15o cos15oB. cos 215° sir |215oC. 2sin 215o 1D. sin 215° cos 215o13.为了得到函数y (X sin （2xR ）上所有的点（ R ）的图像，只需把正弦曲线 y sin 2x一 三角形A. 向左平移4个单位B 向右平移-个单位密 6.已知tanA 和tanB 是方程7x 28x 1 0的两个根，则 tan （A+B ）等于（ ）。
三角函数计算练习题及答案详解
三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。
高中数学三角函数应用复习 题集附答案
高中数学三角函数应用复习题集附答案高中数学三角函数应用复习题集附答案1. 问题描述：已知角A是第一象限角，sinA = 2/3，并且cosB = -1/2，角B是第三象限角，求sin(A+B)和cos(A-B)的值。
解答：由已知条件sinA = 2/3，cosB = -1/2，可以得到以下信息：sinA的值为正，故sinA = 2/3，由此可得cosA的值。
sinA = 2/3cos^2A+sin^2A=1 (三角函数的基本关系式)cos^2A+(2/3)^2=1cos^2A+4/9=1cos^2A=5/9cosA=±√(5/9) (cosA的值可以是正或负，在第一象限cos值为正数)由cosA = ±√(5/9)，可得cosB = -1/2时，sinB的值为负。
cosB = -1/2sin^2B+cos^2B=1 (三角函数的基本关系式)sin^2B+1/4=1sin^2B=3/4sinB=±√(3/4) (sinB的值可以是正或负，在第三象限sin值为负数)知道sinA、cosA和sinB的正负后，我们可以进一步求解sin(A+B)和cos(A-B)的值。
sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB= (2/3)*(-1/2) + (√(5/9))*(√(3/4))= -1/3 + (√15/18)= (√15-6)/18cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB= (√(5/9))*(-1/2) + (√(3/4))*(√(2/3))= -√(5/36) + √(6/12)= -√5/6 + √2/2= (√2-√5)/6综上所述，sin(A+B) = (√15-6)/18，cos(A-B) = (√2-√5)/6。
2. 问题描述：已知在直角三角形ABC中，∠B = 90°，sinA = 3/5，求角C的正弦值。
高考数学(理)专题辅导：23 三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例 Word版含解析
课时分层训练(二十三) 三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a k m，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()图3-7-9A．a k m B.3a k mC.2a k m D．2a k mB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝3a.]2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()图3-7-10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BC D＝60°，所以∠CB D＝30°，所以∠D BA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()【导学号：57962183】A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里A[如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．]4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 k m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 k m，水的流速为2 k m/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()图3-7-11A．8 k m/h B．6 2 k m/hC．234 k m/h D．10 k m/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v k m/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.]5．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a 为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D [由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.] 二、填空题6．在地上画一个∠B D A ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边D A 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠B D A 的另一边B D 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为________米．16 [如图所示，设B D ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x ×cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，x ＝－6(舍去)，x ＝16，∴x ＝16(米)．]7．如图3-7-12，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠B D C ＝45°，则塔AB 的高是________米.图3-7-12【导学号：57962184】106[在△BC D中，C D＝10，∠B D C＝45°，∠BC D＝15°＋90°＝105°，∠D BC＝30°，BCsin 45°＝C Dsin 30°，BC＝C Dsin 45°sin 30°＝10 2.在R t△ABC中，t an 60°＝ABBC，AB＝BCt an 60°＝106(米)．]8．如图3-7-13所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3-7-1363[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得ACsin B＝ABsin∠ACB，所以AC＝AB·sin Bsin∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BA D ＝90°和∠AB D＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3-7-14[解]在△AB D中，∵∠BA D＝90°，∠AB D＝45°，∴∠A D B＝45°，∴A D＝AB＝80，∴B D＝80 2. 3分在△ABC中，BCsin 30°＝ABsin 45°，∴BC＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2. 6分在△D BC中，D C2＝D B2＋BC2－2D B·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴D C＝406，航模的速度v＝40620＝26米/秒. 12分10．如图3-7-15，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3-7-151)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值.【导学号：57962185】[解](1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3分在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时. 7分(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，9分即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 mA[设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．] 2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3-7-16，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图3-7-16150[根据图示，AC＝100 2 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．]3．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量t an θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．图3-7-17【导学号：57962186】[解]在R t△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3. 6分在R t△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在R t△BNQ中，t an θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝55. 9分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米. 12分。
解直角三角形应用专题带答案-
解直角三角形应用专题练习一．解答题（共21小题）1．在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）2．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．3．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D 在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4．小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）5．我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）6．随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．7．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）8．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）9．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l 上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）10．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈l．ll，tan58°≈1.60．11．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）12．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．13．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度．14．某次台风袭击了我国西南部海域．如图，台风来临前，我国海上搜救中心A 接到一渔船遇险的报警，于是令位于A的正南方向180海里的救援队B立即施救．已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？15．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）参考数据：≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）16．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）17．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）18．如图所示，在坡角为30°的山坡上有一竖立的旗杆AB，其正前方矗立一墙，当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）．19．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：．（1）求通道斜面AB的长为米；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（结果保留根号）20．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（精确到1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）21．如图，我市某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼AB的高度，他们在楼梯底部C处测得∠ACB=60°，∠DCE=30°；沿楼梯向上走到D处测得∠ADF=45°，D到地面BE的距离DE为3米．求教学楼AB的高度．（站果精确列1米，参考数据： 1.4，≈1.7）解直角三角形应用答案一．解答题（共21小题）1．在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=x米，∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=x米，∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，∴tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米．2．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．【解答】解：过C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠A=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD=AC=50海里，在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD+BD=50+50≈193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里．3．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D 在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【解答】解：∵EC∥AD，∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD=，在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°∴DB=CD=200，∴AB=AD﹣DB=200﹣200，答：A、B两点间的距离为200﹣200米．4．小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．5．我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米．6．随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．【解答】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里．7．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：由题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，CD=AC•cos∠ACD=27.2海里，在直角三角形BCD中，BD=CD•tan∠BCD=20.4海里．答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．8．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B 的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=km．9．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l 上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：作PD⊥AB于D．设BD=x，则AD=x+200．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴CD=tan30°•AD，即DB=CD=tan30°•AD=x=（200+x），解得：x≈273.2，∴CD=273．答：凉亭P到公路l的距离为273m．10．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB 和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈l．ll，tan58°≈1.60．【解答】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，∴AE=BC=78，AB=CE，在Rt△ACE中，EC=AE•tan58°≈125（m）在RtAED中，DE=AE•tan48°，∴CD=EC﹣DE=AE•tan58°﹣AE•tan48°=78×1.6﹣78×1.11≈38（m），答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m．11．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）【解答】解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=AB=5（m），AE=5（m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．12．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．【解答】解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF=1：，AD=200米，∴tan∠DAF=，∴∠DAF=30°，∴DF=AD=×200=100，∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC=BF=100（米），∵∠BAC=45°，BC⊥AC，∴∠ABC=45°，∵∠BDE=60°，DE⊥BC，∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=200米，在Rt△BDE中，sin∠BDE=，∴BE=BD•sin∠BDE=200×=100，∴BC=BE+EC=100+100（米）．13．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC===20（米）答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．（2）设CD=2x，则DE=x，CE=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，则BC===60（米），在Rt△BDF中，∵∠BDF=45°，∴BF=DF，∴60﹣x=20+x，∴x=40﹣60，∴CD=2x=80﹣120，∴CD的长为（80﹣120）米．14．某次台风袭击了我国西南部海域．如图，台风来临前，我国海上搜救中心A 接到一渔船遇险的报警，于是令位于A的正南方向180海里的救援队B立即施救．已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？【解答】解：过点C作CD⊥AB延长线于点D，∵∠DAC=34°，∠DBC=63°，∴设BD=x，则tan63°=，故CD=BDtan63°=xtan63°，∴tan34°==，解得：x≈94.3，故cos63°==，解得：BC≈207.7，207.7÷20≈10.4（小时），答：如果救援船每小时行驶20海里，能在台风来到之前赶到C处对其施救．15．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）参考数据：≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【解答】解：（1）设AB与l交于点O．在Rt△AOD中，∵∠OAD=60°，AD=2（km），∴OA==4（km）．∵AB=10（km），∴OB=AB﹣OA=6（km）．在Rt△BOE中，∠OBE=∠OAD=60°，∴BE=OB•cos60°=3（km）．答：观测点B到航线l的距离为3km．（2）在Rt△AOD中，OD=AD•tan60°=2（km），在Rt△BOE中，OE=BE•tan60°=3（km），∴DE=OD+OE=5（km）．在Rt△CBE中，∠CBE=76°，BE=3（km），∴CE=BE•tan∠CBE=3tan76°．∴CD=CE﹣DE=3tan76°﹣5≈3.38（km）．∵5（min）=h，∴v===12CD=12×3.38≈40.6（km/h）．答：该轮船航行的速度约为40.6km/h．16．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=4，x=2 ﹣2，∴点P到海岸线l的距离为（2 ﹣2）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=2km．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=2 km，∴点C与点B之间的距离大约为2km．17．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 2.4米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）【解答】解：据题意得tanB=，∵MN∥AD，∴∠A=∠B，∴tanA=，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tanA=，∵AD=9，∴DE=3，又∵DC=0.5，∴CE=2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠2=90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF=90°，∴∠A=∠FCE，∴tan∠FCE=在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=3x（x＞0），CE=2.5，代入得（）2=x2+（3x）2解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=±，舍负”），∴CF=3x=≈2.4，∴该停车库限高2.4米．故答案为2.4．18．如图所示，在坡角为30°的山坡上有一竖立的旗杆AB，其正前方矗立一墙，当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°，sin∠DBF==，cos∠DBF==，∵BD=8m，∴DF=4m，BF=4m，∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，∴四边形BFCE为矩形，∴BF=CE=4m，CF=BE=CD﹣DF=2m，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=4m，∴AB=4+2．答：旗杆AB的高为（4+2）m．19．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：．（1）求通道斜面AB的长为3米；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（结果保留根号）【解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD=135°，∴∠DCM=45°．∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，∴DM=CM=CD=3，∴AN=DM=3，∵通道斜面AB的坡度i=1：，∴tan∠ABN==，∴BN=AN=6，∴AB==3．即通道斜面AB的长约为3米；故答案为：3；（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3，∴EM=DM=3，∴EC=EM﹣CM=3﹣3，∴BE=BC﹣EC=8﹣（3﹣3）=8+3﹣3．即此时BE的长约为（8+3﹣3）米．20．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（精确到1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB于点M，设AB=x，在Rt△ABF中，∵∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+20．在Rt△AEM中，∵∠AEM=22°，AM=AB﹣CE=x﹣1，tan22°=，即=，解得，x=15．∴办公楼AB的高度为15米；（2）在Rt△AME中，∵cos22°=，∴AE==37米．∴A，E之间的距离为37米．21．如图，我市某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼AB的高度，他们在楼梯底部C处测得∠ACB=60°，∠DCE=30°；沿楼梯向上走到D处测得∠ADF=45°，D到地面BE的距离DE为3米．求教学楼AB的高度．（站果精确列1米，参考数据： 1.4，≈1.7）【解答】解：如图，在Rt△DCE中，∵∠DCE=30°、DE=3，∴CD=2DE=6，∵∠ACB=60°，∴∠ACD=180°﹣∠DCE﹣∠ACB=90°，∵∠CDF=∠DCE=30°，∴在Rt△DCF中，DF===4，设AG=x，∵∠ADF=45°，∴DG=AG=x，FG=DG﹣DF=x﹣4，在Rt△AFG中，∵∠AFG=∠ACB=60°，∴tan∠AFG=，即=，解得：x=6+6，即AG=6+6，∴AB=AG+BG=6+6+3=9+6≈19（米），答：教学楼AB的高度约为19米．。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图某河堤迎水坡AB坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB长是（）A．5 m B．10m C．5m D．8 m2．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．4sinα米C．米D．4cosα米4．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（）A．B．C．m•cos∠1D．m•sin∠15．如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（）A．l•sinθB．C．l•cosθD．6．如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（）A．米B．米C．sinα米D．cosα米7．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．24海里/时B．8海里/时C．24海里/时D．8海里/时二．填空题9．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．10．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．11．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）12．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为m．13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）14．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．15．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81】16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．三．解答题17．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．18．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD ＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠P AD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．19．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）20．如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB＝．（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？21．某综合实验小组利用大厦AC测量楼前一棵树EF的高，小明在大厦的B点能透过树梢F看到小强同学在G点，小明上升到达C点透过F点看到小文同学在D点，已知G，D，E，A在同一直线上，AC⊥AG，EF⊥AG测得GD＝6米，∠C＝27°，∠G＝38.5°，则树的高度约为多少米？（参考数据：tan27°＝0.50，tan38.5°＝0.80）．22．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）参考答案一．选择题1．解：∵tan∠CAB＝＝＝，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．2．解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．3．解：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，故选：B．4．解：在Rt△ABC中，sin∠1＝，∴AB＝，故选：A．5．解：∵sinθ＝，∴h＝l•sinθ，故选：A．6．解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AB＝2.8m，∠ACD＝α，∴AD＝AC•sin∠ACD＝2.8sinα＝sinα米，故选：C．7．解：如图所示，在Rt△ABD中，tan B＝＝．故选：A．8．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AB＝48海里，∴AC＝AB＝24海里，则这艘船航行的速度为24÷3＝8（海里/小时），故选：D．二．填空题9．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．10．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．11．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），故答案为：7.5m．12．解：∵tan∠ADB＝，∴BD＝＝AB（m），∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝AB（m），∵CD＝BD﹣BC，∴6＝AB﹣AB（m），∴AB＝9（m），故答案为9．13．解：在直角三角形中，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701（m），∴CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m），故答案为：1.1．14．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．15．解：过点A作AM⊥CD于点M，则∠DAM＝∠ADE＝39°，如图所示．在Rt△ADM中，AM＝16，∠DAM＝39°，∴DM＝AM•tan∠DAM＝16×0.81＝12.96，∴AB＝CM＝CD﹣DM＝31﹣12.96＝18.04≈18.0．故答案为：18.0．16．解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝4（千米），∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．答：A、B两点间的距离约为11千米．18．解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，∴PC2+CD2＝PD2，∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，∴∠PCB＝90°，在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD＝，∴PB＝＝＝16≈27.7（米），∵∠P AD＝30°，∴∠APB＝∠PBD﹣∠P AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠APB＝∠P AD，∴AB＝PB≈27.7米，∵27.7＞25，∴此车超过了每秒25米的限制速度．19．解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．20．解：（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB＝，∴∴设BC＝3x，DC＝5x，∴BD＝，∵BD＝4m，∴4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5米；（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．∴灯的顶端E距离地面6.8米．21．解：∵AC⊥AG，EF⊥AG，∴∠A＝∠FED＝90°，∴AC∥EF，∴∠DFE＝∠C＝27°，在Rt△GEF和Rt△DEF中，tan∠G＝＝，即＝0.80，tan∠DFE＝＝0.5，即DE＝0.5EF，∴＝0.8，解得EF＝8（米）．答：树的高度约为8米．22．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。
解三角形综合与实际应用
解三角形综合与实际应用（讲案）一、面积公式的应用【例题讲解】★★☆例题1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。
向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行。
（1） 求A ；（2） 若2a b ==，求ABC ∆的面积。
）由//m n 可得sin a★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。
设(,)m a b =，(sin ,sin ),(2,2)n B A p b a ==--． （1） 若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2） 若m p ⊥，2,3c C π=∠=，求ABC ∆的面积。
解析：（1）由//m n 得sin sin a A b B =，即22a b =，所以ABC ∆为等腰三角形；（2）由m p ⊥得(2)(2)0a b b a -+-=，化简得ab a b =+。
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，代★★☆练习2．锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，且2sin a B =。
（1） 求A ∠的大小；（2） 若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积。
二、完全平方公式思想【例题讲解】★★☆例题2．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=。
（1） 求C ；（2） 若c =ABC ∆ABC ∆的周长。
★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知cos cos 1A C a c b+=，且2,b a c =>。
（1） 求ac 的值；（2） 若ABC ∆的面积2S =，求,a c 的值。
★★☆练习2．已知(2cos 23sin ,1),(,cos )a x x b y x =+=，且//a b 。
（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，若()3f B =，9,32BA BC a c ⋅=+=b 。
三角数学试题及答案
三角数学试题及答案1. 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，AC=3，BC=4，求斜边AB的长度。
答案：根据勾股定理，AB的长度为\(\sqrt{AC^2 + BC^2} =\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。
2. 计算正弦函数sin(30°)的值。
答案：sin(30°)的值为\(\frac{1}{2}\)。
3. 如果一个角的正切值是2，求该角的余弦值。
答案：设该角为θ，已知tan(θ) = 2，即sin(θ)/cos(θ) = 2。
由于sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，可以解得cos(θ) =±\(\sqrt{\frac{1}{1 + tan^2(θ)}} = \pm\sqrt{\frac{1}{1 +2^2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}\)。
4. 求角度α的余弦值，如果sin(α) = 0.6。
答案：根据三角恒等式sin^2(α) + cos^2(α) = 1，可以解得cos(α) = ±\(\sqrt{1 - sin^2(α)} = \pm\sqrt{1 - 0.6^2} =\pm\sqrt{1 - 0.36} = \pm\sqrt{0.64} = \pm0.8\)。
5. 在单位圆上，点P的坐标为(cos(θ), sin(θ))，如果θ = 45°，求点P的坐标。
答案：当θ = 45°时，cos(45°) = sin(45°) =\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，因此点P的坐标为\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)。
结束语：以上试题涵盖了三角函数的基本计算和应用，希望同学们通过这些练习能够加深对三角数学概念的理解和掌握。
资料：解三角形及其应用 -答案
解三角形与应用答案 一选择题：1—5：BACDC 6—9：BBAC 10.钝角三角形 11. sin6056sin45AB BC ⨯,== 12. 3或2 3 13. 22a 15.53(m)． 16（1）分6322sin )sin()sin( ==-=+∴A A C B π（2）分123 ==c b17(1) A ＝2π3. (2) ∴△ABC 是等腰三角形 18.(1) 251cos 12sin12284C C =-=-⨯=- (2) 549a b c ++=+=.1.解析 B ∵sin A a ＝sin B b ＝cos B b，∴tan B ＝1，∴B ＝45°. 2解析 A cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∵0<B <π，∴B ＝π6. 3 C 由余弦定理将原等式化为b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，即2b 2＝2a 2，∴a ＝b . 4解析 Dcos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 5.解析 C 由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，∴a ＝2sin A ．∵C ＝60°，∴0°<A <120°. 又∵△ABC 有两个，∴a sin 60°<3<a ，即3<a <2.6解析 B 根据正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2 C ，所以sin C ＝1.即C ＝90°.由S ＝14()b 2＋c 2－a 2得12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，即tan A ＝1，所以A ＝45°，所以B ＝45°，故选B.7解析 B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中， ∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°， 所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝3 2.故选B. 8解析 A 由题意可知c >a ，c >b ，即角C 最大．所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C <π2，即三角形为锐角三角形9解析 C 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB＝5，所以这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)． 10解析 由cos A ＞sin B ，得sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＞sin B .∵A 、B 均为锐角，∴π2－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，∴π2－A ＞B ，即A ＋B ＜π2， ∴C ＝π－(A ＋B )∈⎝⎛⎭⎫π2，π.【答案】 钝角三角形11解析 ACB ∠=180-60-75=45, 根据正弦定理sin6056sin45AB BC ⨯,==. 12解析如图，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x 2－2×3x ×cos 30°，即x 2－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝23，经检测均合题意．答案 3或2 3 13解析 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .①在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .②在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a .答案 22a 14解析 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴2cos C ＝1.∴C ＝60°.又∵ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin 60°＝ 3. 15解析 轴截面如图，则光源高度h ＝15tan 60°＝53(m)． 16【答案解析】 解析： 31cos )1(=A 分2322sin =∴A A C B -=+π又 分6322sin )sin()sin( ==-=+∴A A C B π2sin 212)2(==∆A bc S ABC 得由分83 =∴bc A bc c b a cos 2222-+=又分10622 =+∴c b 由上解得分123 ==c b 17解析 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，故A ＝2π3. (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .。
三角计算及其应用测试题
第十二章《三角公式及应用》测试卷时间：120分钟 满分：120分 得分：一．选择题（25×2分=50分）1．=-++-+)24sin()21cos()24cos()21sin(0000αααα（ ）A22B α2cosC 1D )23cos(α+- 2.函数)(2sin 3sin 2cos 3cos R x x x x x y ∈+=的图像关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ． 直线x y =对称D ． 原点对称3.已知向量)4,4(=OP ，将其绕坐标原点旋转-900到1OP 的位置，则1P 的坐标为（ ）A （-4,4） B （-4，-4） C （4，-4） D （-8，-8）4.如果32sin 2-=a α，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)25,21( B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,21 C ．)23,21( D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,215.在ABC ∆中，已知1sin )cos(cos )sin(=-+-B B A B B A ，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰非直角三角形6.已知tanA 和tanB 是方程01872=+-x x 的两个根，则tan(A+B)等于（ ）。
Ａ．43 Ｂ．34 Ｃ．43- Ｄ．34-7.000015sin 15cos 15sin 15cos +-的值等于（ ） Ａ．33 Ｂ．33- Ｃ．3Ｄ．3-8．若2)4tan(-=+πα ，则αtan 等于（ ） Ａ．31Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ.-39.已知32cos =α且02<<-απ，则=α2tan （ ）A ．54- B. 75- C. 75D. 5410．已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4tan(πβ+的值为（ ）A ．2 B. 1 C. 22D. 211.cos150-sin150的值是（ ）A ．26B ． 26-C ． 22-D ． 2212）A ．2sin15cos15B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+13.为了得到函数)42sin(π+=x y （R x ∈）的图像，只需把正弦曲线xy 2sin =（R x ∈）上所有的点（ ）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位14.函数42sin )(+=x x f 的周期是（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． 2π 15．x x y cos sin +=的值域是（ ）A ． []2,2-B ． ()2,2- C ． []1,1- D ．(-1,1)班级＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿考号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ —————————密————————————封————————————线————————16．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为（ ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 2317.已知正弦型函数在一个周期内的图像如图所示，则该函数的表达式是（ ）A.)4sin(3π-=x y B.)4sin(3π+=x y C ．)62sin(3π-=x y D ．)82sin(3π+=x y 18．函数22cos )(2++-=x x x f 是（ ） 第17题图 A ．奇函数 B ． 偶函数 C ． 既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 19．函数x x y 3cos 3sin 10=是（ ）A ．周期为32π的奇函数 B ．周期为32π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数 D ．周期为3π的偶函数20．在△ＡＢＣ中，已知53cos ,sin 135A B ==，则cos C 的值为（ ）Ａ． 1665 Ｂ．5665 Ｃ．16566565或 Ｄ．1665-21．在△ABC 中，若2:2:22sin :sin :sin =C B A ，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ． 钝角三角形D ．等腰直角三角形22.△ABC 中，已知a=3,b=5,c=7,则△ABC 最大角的度数为（ ） A 300 B 600 C 1200 D 150023.若A C B sin cos sin 2=，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形24．若11cos cos ,sin sin 23αβαβ+=+=，则cos()αβ-的值为 （ ）A ． 5972B ． 5972-C ． 1372D ． 1372-25．已知1312sin -=θ，且θ是第三象限角，则)4cos(πθ+等于( )．A ． 2627B ．26217C ．2627- D ． 26217-21、若一条直线与平面平行，则应符合下列条件中的………………（ ） A 、这条直线与平面内的一条直线不相交 B 、这条直线与平面内的二条相交直线不相交 C 、这条直线与平面内的无数条直线都不相交 D 、这条直线与平面内的任何一条直线都不相交 24、函数 的周期是……………………………………（ ）A 、2πB 、πC 、D 、6π21、异面直线所成角的范围是……………………………………………（ ） A 、（0°，90°） B 、（0，2π） C 、［0，2π］ D 、［0°，90°］1、已知sin αcos α<0, 则角的终边所在的象限是………………（ ） A 、第1，2象限 B 、第2，3象限 C 、第2，4象限 D 、第3，4象限2、若sina<0，tana>0 ，则a 的终边落在………………………………（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限二．填空题（8×3分=24分）1、函数Y=3cosX+4sinX 的最大值是2、过直线外一点，且与这条直线平行的平面有＿＿＿＿个。
三角函数实际生活应用题(讲义)
实际生活应用问题（一）（讲义）➢ 精讲精练1. 如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A ，B 上的观测点进行观测，从A 岛测得渔船在南偏东37°的方向C 处，B 岛在南偏东66°方向，从B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A 岛上维修船的速度为每小时20海里，B 岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）2. 如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m 的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m ．矩形面与地面所成的角α为78°．李师傅的身高为1.78 m ，当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20 m 时，安装起来比较方便．他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便． （参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）3. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5 km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20 km ．一轮船以36 km/h 的速度航行，上午10:00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10:40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12 km ．（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l ？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．1.4 1.7≈≈）4.如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？5.小芳和小亮想通过测量某塔型建筑物的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．计划通过两次测量来得到该建筑物的高度．第一次测量：如图，小芳在小亮和该建筑物之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到该建筑物顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米．第二次测量：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达该建筑物影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出该建筑物的高AB的长度．实际生活应用问题（一）（随堂测试）1.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号．已知A，B两船相距1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求A与C之间的距离AC；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救1.41≈1.73≈）M CD B A N45°60°75°实际生活应用问题（一）（习题）➢巩固练习1.某校有一露天舞台，横断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE表示舞台面，楼梯的坡角∠ABC=45°，坡长AB=2 m．为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC=30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）在楼梯口B的正前方距离舞台底部C点3 m处有一些设备，根据实际情况，楼梯前需要预留1 m作为活动空间，请问这些设备是否需要移走？并说明理由．2.某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长20 m，坡角∠BAD=60°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（结果保留根号）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，则BF至少是多少米？（精确到0.1 m≈2.449）3.如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α．当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．过了一会儿，当α=45°时，则小猫能否晒到太阳？请说明理由．1.73）E4.汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB=2.8 m，楼梯洞口宽AF=2 m，阁楼阳台宽EF=3 m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高要小于20 cm，每个台阶宽要大于20 cm，则汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？【参考答案】➢精讲精练1.t A=1.8 h，t B=1.5 h．∵t t>A B∴为及时赶到维修，调度中心应该派遣B岛上的维修船．2.∵0.05＜0.113＜0.20∴李师傅安装起来比较方便3.（1）若轮船照此速度与航向航行，11：00可以到达海岸线l．（2）∵20＜20.4＜21.5∴该轮船可以停靠在码头．4.（1）快艇从港口B到小岛C需要1小时．（2）快艇从小岛C出发后最少需要1小时才能和考察船相遇．5.该建筑物的高AB的长度为99米．【参考答案】1.（1）A与C之间的距离AC为200海里．（2）巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触礁的危险．【参考答案】➢巩固练习1.（1）舞台的高AC．（2）这些设备需要移走．理由略．2.（1）改造前坡顶与地面的距离BE的长为．（2）BF至少是7.4 m．α=︒时，小猫能晒到太阳，理由略．3.当454.（1）楼梯底端C到墙角D的距离CD是1.8 m．（2）汪老师应该将楼梯建15个台阶，理由略．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角计算及其应用1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则角A 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( )A．π3 B ．π6 C ．2π3D ．π3或2π33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，若，则cos B ＝( )A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，已知面积S ＝ (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°6．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．12B ．212C ．28D ．6 37．三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为35，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（ ）A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,78.在中，角、、的对边分别为、、.若，且成等差数列，则的面积是（ ） A ．B ．C ．3D ．ABC △A B C a b c 22()6c a b =-+,,A C B ABC △3393339．在中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果，，的面积，那么a 等于（ ） AB ．7CD ．1710．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，那么的最大内角的余弦值为 A ．0.125B ．0.25C ．0.75D ．0.511．已知中，，则等于（ ）AB ．C ．D ．12. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等边三角形13．在中，，，，则的面积为（ ）A ．B ．1C D14．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a ，灯塔A 在C 北偏东300，B在C 南偏东600，则A 、B 之间相距：A ．aBC aD ．2a15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ，,B ＝120°，则边b 等于( )AB ．2C DABC ∆60A =︒3b =ABC ∆S =ABC ∆sin :sin :sin 1:2A B C =::a b c 221:3:2C A B sin sin cos 2=⋅ABC ∆1AB =3AC =1AB BC ⋅=u u u r u u u rABC ∆1215A =︒16．在中，，，，则（ ）A ．B ．或C ．或D ．17.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）A.23B. 23-C. 13-D. 14-18．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（ ）ABC ．2D ．319．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A ．35 B ．53 C ．37D ．5720. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m21在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，且BC=2，BA=1, 求AC 的长。
ABC ∆AB =1AC =30B ∠=o A ∠=60o 30o 90o 60o 120o 90o a =2c =2cos 3A =22在△ABC中，若AB=4，AC=6，且2cos(B+C)—1=0，求BC的长度。
23在△ABC中，a=6，c=23，面积为33，求∠B的大小。
24在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足b2+c2-a2=bc，（1）求角A的值；（2）若c=2，△ABC的面积等于3，求a ，b的值。
25在△ABC中，∠A=15°，∠B=30°，c=10，求△ABC的面积。
26（2012年高考题）如图所示，甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以25海里/时的速度向东行驶，乙船以15海里/时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A 处，乙船到达B 处。
（1）甲、乙两船间的距离AB 是多少海里？（2）此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？1. 答案： D解析： 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12.∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.2 答案： A解析： 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.3 .答案：A解析： 在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝bc， ∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．4. 答案：B解析：由正弦定理知，故tan B ＝，所以B ＝，所以cos B ＝，5.答案：B解析：∵cosC=，即a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ，S=absinC ，且S=（a 2+b 2﹣c 2）， ∴absinC=abcosC ，即tanC=1， ∵C 为三角形的内角， ∴C=45°．6.答案： D解析： 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝6 3.7.答案：D解析：三角形的两边a-c=2，cosB=35，该三角形的面积是14，∵0＜B ＜π，∴sinB ＝45,又14=12ac 45⨯,所以ac=35, 35{ 2ac a c =∴-= 7{ 5a c =∴=∴这个三角形的此两边长分别是5和7． 8.答案：A解析：成等差数列，，又，，，①又，② 由①②得，9.答案：A解析：因为，所以； 又因为，所以，所以10.答案：A 解析：中，，，的最大内角为A ，且所以cosA=0.12511.答案：D,,A C B Q 2C A B ∴=+A B C π++=3C π∴=222222cos c a b ab C a b ab ∴=+-=+-2222()626c a b a b ab =-+=+-+6ab =11sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯=1sin 2S bc A ===2c =222cos 2b c a A bc+-=2194212a +-=a =解析： 即 12.答案：C解析：在中，总有，利用关系式并化去角，即，运用两角和的正弦公式展开并化简得，又因为的内角，所以.13.答案：C 解析：因为，解得. 所以. 所以的面积为. 14.答案：C解析：如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+22a =，∴AB =。
即则A 、B。
15.答案：Csin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===Q sin :sin :sin ::::222a b cA B C a b c R R R∴==::2a b c =ABC △A B C π++=C A B sin sin cos 2=⋅C ()2cos sin sin B A A B =+()sin 0A B -=A B 、ABC △A B =2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos 3A=sin 3A ==ABC∆11sin 132232AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=解析：由正弦定理得16.答案：B解析：由正弦定理得，得 ，，则或.当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得. 因此，或. 17.答案：D解析：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D 18.答案：D解析：由余弦定理得，解得（舍去），故选D.19.答案：B解析： ∵asin A ＝b sin B ，∴sin A sin B ＝a b ＝53. 20.答案：A解析： 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．21解：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，sin sin sin(18012015)c B b C ====--oo o o sin sin AB AC C B=∠∠1sin 2sin 12AB B C AC ⋅∠∠===AB AC >Q C B ∴∠>∠60C ∠=o 120o 60C ∠=o 18090A B C ∠=-∠-∠=o o 120C ∠=o 18030A B C ∠=-∠-∠=o o 30A ∠=o 90o∴∠B=60°，又BC=2，BA=1, ∴由余弦定理知：AC 2=BC 2+BA 2—2BC ·BAcos ∠B=22+12—2×2×1×cos60°=3 ∴AC=3，即AC 的长为3。
22解：在△ABC 中，∵2cos(B+C)—1=0， ∴cos(B+C)=12 ，∴cosA=﹣12， 又AB=4， AC=6， ∴由余弦定理知：BC 2=AB 2+AC 2—2AB ·ACcos ∠A=42+62—2×4×6×（﹣12 ）=76∴BC= 219 ，即 BC 的长度为219。
23解：由三角形的面积公式知：S △ABC =12acsinB ， 由题意知：在△ABC 中，a=6， c=23，面积为33， ∴33 =12×6×23sinB ，∴sinB=12，又0°＜B ＜180°，∴∠B=30°，或∠B=150°， 即∠B=30°，或∠B=150°。