【最新】一章节三角计算及其应用解读
2024年中考重点之三角函数的计算与应用
2024年中考重点之三角函数的计算与应用一、引言三角函数是数学中的重要分支，被广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在2024年中考中，三角函数的计算与应用是重点考察的内容。
本文将针对这一重点进行详细讲解，并给出相关的计算和应用案例。
二、基本概念及计算方法1. 正弦、余弦、正切函数在直角三角形中，我们定义了三种重要的三角函数：正弦、余弦和正切。
它们分别表示了一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边之间的比值。
它们的计算公式如下：正弦函数sinθ = 对边 / 斜边余弦函数cosθ = 邻边 / 斜边正切函数tanθ = 对边 / 邻边通过这些计算公式，我们可以方便地求解角度的三角函数值。
2. 三角函数的基本性质三角函数具有一些重要的基本性质，如周期性、奇偶性等。
其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
此外，三角函数还具有诱导公式和倍角公式等重要的计算性质，这些性质在计算过程中经常被应用。
三、三角函数的应用案例1. 三角函数在几何中的应用三角函数在几何中有着广泛的应用。
例如，在求解不规则图形的面积时，我们可以利用三角函数求解其中某些特殊角的正弦、余弦值，将其代入相关公式进行计算。
另外，对于高中数学中常见的一些几何题目，如求解直角三角形的边长、角度，利用三角函数可以快速解决。
2. 三角函数在物理中的应用三角函数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，当物体作简谐振动时，其位移关于时间的变化可以用正弦函数或余弦函数来表示。
在光学中，光的波动性质也可以通过正弦函数来进行数学表示和分析。
此外，声音、电磁波等在传播过程中也会涉及到三角函数的运算和应用。
3. 三角函数在工程中的应用在工程领域，三角函数也有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，利用三角函数可以计算出某个角度下的水平距离和垂直距离，从而方便地进行测量和布局。
在电力工程中，通过三角函数可以计算出电流和电压的相位差，从而实现电路的稳定运行。
《解三角形的实际应用》 讲义
《解三角形的实际应用》讲义一、引言三角形是我们在数学学习中经常接触到的几何图形，而解三角形则是利用三角形的边长、角度等已知条件来求解未知量的过程。
在实际生活中，解三角形有着广泛的应用，从测量物体的高度、距离，到设计建筑结构、规划道路走向等等，都离不开解三角形的知识。
接下来，我们将详细探讨解三角形在实际生活中的具体应用。
二、解三角形的基础知识在探讨实际应用之前，让我们先来回顾一下解三角形的一些基础知识。
1、正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于外接圆的直径。
即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。
2、余弦定理对于任意三角形，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$，＄b^2 ＝ a^2＋ c^2 2ac\cos B$，＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
3、三角形的面积公式＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些定理和公式是我们解三角形的重要工具，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的定理和公式来求解。
三、解三角形在测量中的应用1、测量物体的高度假设我们要测量一座塔的高度。
我们可以在塔外的平地上选择一个点，测量出该点到塔底的距离，以及在该点观测塔顶的仰角。
然后，利用正切函数$＼tan\theta ＝＼frac{h}｛d}＄（其中$＼theta$为仰角，＄h$为塔的高度，＄d$为点到塔底的距离），就可以求出塔的高度$h ＝ d\tan\theta$。
例如，在距离塔底$100$米的地方，观测塔顶的仰角为$60^｛＼circ}＄，则塔的高度为$100\tan 60^｛＼circ} ＝ 100\sqrt{3} ＼approx1732$米。
三角函数的计算与应用
余弦函数（cosine）
sinθ = y/r，表示单位圆上一点与x轴正方 向夹角θ时的y坐标值。
cosθ = x/r，表示单位圆上一点与x轴正方 向夹角θ时的x坐标值。
正切函数（tangent）
其余三角函数
tanθ = y/x，表示直角三角形中一个锐角θ 的对边与邻边之比。
如余切cotθ、正割secθ、余割cscθ等，均 可由上述三个基本函数推导得出。
实际应用问题中恒等变换技巧
在解三角方程时，利用恒等变换化简方程，如将高次方程化为低次方程、将多元方 程化为一元方程等。
在求三角函数的值域、最值等问题时，利用恒等变换将原函数转化为易于求解的形 式。
在解决一些与三角函数有关的实际问题时，如物理中的振动、波动等问题，利用恒 等变换建立数学模型并求解。
04
三角函数的和差化积与积化和差公式
掌握和差化积、积化和差公式的推导和应用，能够灵活运用进行三角 函数的计算。
典型错误类型及避免策略
01
计算错误
由于三角函数计算涉及到多个公式和性质，容易出现计算错误。避免策
略包括熟练掌握公式和性质，进行足够的练习以提高计算准确性。
02 03
概念混淆
如对正弦、余弦、正切的定义和性质理解不清，导致在解题过程中出现 混淆。避免策略包括深入理解概念，对比记忆不同函数之间的区别和联 系。
cos(-θ) = cosθ，图像关于y轴对 称。
正切函数为奇函数
tan(-θ) = -tanθ，图像关于原点对 称。
基本恒等式与变换公式
和差公式
sin(α ± β)、cos(α ± β)、tan(α ± β)的表 达式，用于将复杂角度的三角函数转化为
简单角度的三角函数计算。
初中数学知识归纳三角形的运算与计算
初中数学知识归纳三角形的运算与计算三角形是初中数学中重要的几何概念之一，了解三角形的运算与计算方法对于解决与三角形相关的问题至关重要。
本文将对初中数学中关于三角形的运算与计算方法进行归纳总结。
1. 三角形的周长计算三角形的周长是指三角形三边的长度之和。
假设三角形的边长分别为a、b和c，则三角形的周长P可以通过下列公式计算得出： P = a + b + c例如，已知一个三角形的边长分别是5cm、7cm和8cm，那么该三角形的周长为：P = 5 + 7 + 8 = 20cm。
2. 三角形的面积计算三角形的面积是指三角形所围成的平面内的空间大小。
根据三角形的底边长度和高，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高例如，已知一个三角形的底边长度为6cm，高为4cm，那么该三角形的面积为：面积 = 1/2 * 6 * 4 = 12cm²。
3. 三角形的相似性两个三角形如果对应角度相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形之间的边长比例相等，可以通过以下公式进行计算：边长比例 = 较长边长 / 较短边长例如，已知两个相似三角形中，较长边长为10cm，较短边长为5cm，那么边长比例为：边长比例 = 10 / 5 = 2。
4. 三角形的勾股定理勾股定理是三角形中的重要公式，它可以用于计算直角三角形中的边长关系。
根据勾股定理，设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，可以得到以下公式：c² = a² + b²例如，已知一个直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，那么斜边的长度c可以通过计算得到：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此c的长度为5cm。
5. 三角形的正弦定理与余弦定理正弦定理和余弦定理是用于解决非直角三角形中的边长和角度关系的重要定理。
正弦定理可以通过以下公式计算，在三角形中，边长a、b、c与对应的角度A、B、C满足以下关系：a / sinA =b / sinB =c / sinC余弦定理可以通过以下公式计算，在三角形中，边长a、b、c与对应的角度A、B、C满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab * cosC这些定理为解决三角形或者三角形内部角度的大小和边长关系提供了方便。
高中数学-解三角形及其应用
解三角形及其应用解三角形及其应用正余弦定理及应用正余弦定理与变形正弦定理aAsin=bBsin=cCsin=2R余弦定理a2=b2+c2-2bc Acosb2=a2+c2-2ac Acosc2=a2+b2-2ab Acos解三角形中的常用结论内角和定理A+B+C=π三角关系A+Bsin=CsinA+Bcos=-CcosA+B2sin=C2cosA+B2cos=C2sin射影定理a=b Ccos+c Bcosb=a Ccos+c Acosc=a Bcos+b Acos大角对大边A>B⇔a>b⇔Asin>Bsin 三角形常用面积公式S=12ah=12ab Csin=12ac Bsin=12bc Asin=12a+b+cr解三角形的实际应用位角与俯角方位角方向角知识点1：正、余弦定理及应用1.正、余弦定理与变形定理正弦定理余弦定理内容asin A=bsin B=csin C=2Ra2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C变形(1)a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C；(2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；(3)a+b+csin A+sin B+sin C=asin A=2Rcos A=b2+c2-a22bc；cos B=c2+a2-b22ac；cos C=a2+b2-c22ab【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2.解三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A+B+C=π；变形：A+B2=π2-C2．(2)三角形中的三角函数关系①sin(A+B)=sin C；②cos(A+B)=-cos C；③sin A+B2=cos C2；④cosA+B2=sin C2．(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=b cos C+c cos B；b=a cos C+c cos A；c=b cos A+a cos B．(4)三角形中的大角对大边：在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B．3.三角形常用面积公式(1)S=12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A；(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)．知识点2：解三角形的实际应用名称意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角铅垂线目标视线水平视线目标视线仰角俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°O东北135°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：东北α东北α一、正(余)弦定理解三角形解三角时，正余弦定理的选择：(1)已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，b=4，cos C=14，则c=()A.2B.4C.16D.262.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=23，则角B的值为()A.45°B.45°或135°C.90°D.135°3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，B=π6，cos A=-35，则a=()A.252 B.852 C.8156 D.21564.△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a2+b2-c2=-ab，则角C的大小()A.π6B.π3C.π2D.2π3二、边角互化的应用边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题转化为三角恒等变换问题，并从角的角度来审视三角形的特征，要熟练掌握边化角的三角形考题的特征，一般来说，当条件中含有特殊数，如3(往往和特殊角有关)或者齐次特征明显时，常进行边化角处理对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型：一是利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换，进而达到减元的目的，也就可以盯着目标进行三角恒等变换：二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三角恒等变换转化为一个角的三角函数问题．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B=c-2a，b=2a，则()A.2a=3cB.3a=2cC.b=2cD.2b=c6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cb +2bc=3cos A，1tan A+1tan C=2tan B，则sin B=()A.64B.105C.156D.2177.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c sin C-a sin A=4b sin B，且cos C=-15，则sin Asin B=()A.215B.265C.5612D.1528.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的周长为a sin Bsin A+sin B-sin C，则()A.C=2π3B.B=2π3C.C=π3D.B=π3三、判断三角形解的个数1、从代数上来说，可由“大边对大角”来判断；2、从几何上来说，已知两边及一边对角，解三角形(三角形多解问题)在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：AH C a b ca <CH =b Asin 无解A H C abc a =CH =b A sin 仅有一个解AHC ab cCH =b A sin <a <b有两个解AHC ab ca ≥b 仅有一个解当A 为钝角时ABC ab A B Cab仅有一个解仅有一个解9.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是()A.a =20，b =11，B =30°B.a =6，c =4，C =60°C.b =18，c =20，B =120°D.a =30，b =25，A =150°10.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列判断正确的是()A.B =30°，c =4，b =5，有两解B.B =30°，c =4，b =3.9，有一解C.B =30°，c =4，b =3，有一解D.B =30°，c =4，b =1，无解11.在△ABC 中，a =x ，b =2，B =45°，若满足条件的△ABC 有且仅有一个，则x 的取值范围是()A.0,2 ∪22B.2,22C.0,2 ∪22D.0,2212.在△ABC 中，∠A =30°，AC =23，满足此条件△ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为()A.(23，4)B.(3，23)C.(23，+∞)D.(3，23)四、判断三角形的形状判断三角形形状的两种途径1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若b cos A +a cos B =b ，则△ABC 的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2a cos B =c ，则该三角形为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A 2=c -b2c ，则△ABC 的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形16.(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是()A.若b cos C +c cos B =b ，则△ABC 是等腰三角形B.若a sin A +b sin B >c sin C ，则△ABC 为锐角三角形C.若a cos A =b cos B =ccos C ，则△ABC 一定是等边三角形D.若a cos A =b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形五、三角形的周长与面积1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式；2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化；3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足a+b+ca-b+c=42，B=π4，则△ABC的面积为()A.2-2B.4-22C.2+2D.4+2218.在△ABC中，已知b=2，B=30°，sin A=3sin C，则△ABC的面积为()A.4B.3C.2D.119.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且ab =cos A2-cos B．(1)求ac；(2)若cos C=14，△ABC的面积为15，求△ABC的周长．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知23ac sin B=a2-b2-c2(1)求A；(2)若a=7，且△ABC的周长为1+3+7，求△ABC的面积六、三角形的外接圆问题利用正弦定理：asin A =bsin B=csin C=2R可求解三角形外接圆的半径．若要求三角形外接圆半径的范围，一般将R用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围．21.在△ABC中，已知a=42，b=1，C=π4，则△ABC的外接圆的直径为()A.43B.5C.52D.6222.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c cos B+b cos C=a2，若B+C=2A，则△ABC外接圆半径为．23.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c cos A=(2b-a)cos C．若A=π12，点D在边AB上，AD=BC =1，则△BCD的外接圆的面积是()A.2+33π B.4+33π C.6+33π D.8+33π24.现给出两个条件：①2b sin A =a tan B ，②a sin A -sin C =b sin B -c sin C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．(选出一种可行的条件解答，若两个都选则按第一个解答计分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若．(1)求B ；(2)若△ABC 的面积为43，求△ABC 外接圆半径的最小值．七、三角形的中线问题1、中线长定理：在ΔABC 中，AD 是边BC 上的中线，则AB 2+AC 2=2(BD 2+AD 2)．2、中线向量化：由2AD =AB +AC (核心技巧)得AD 2=14(b 2+c 2+2bc cos A )(结论)．3、邻角互补应用：核心技巧：∠ADB +∠ADC =π⇒cos ∠ADB +cos ∠ADC =0在ΔADB 中有：cos ∠ADB =DA 2+DB 2-AB 22DA ×DB ；在ΔADC 中有：cos ∠ADC =DA 2+DC 2-AC 22DA ×DC．25.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =8，b =9，c =7．则BC 边上的中线AM 的长为．26.如图，在△ABC 中，已知AB =4，AC =10，∠BAC =60°，M ，N 分别为BC ，AC 边上的中点，AM ，BN 相交于点P ．ABCMNP(1)求BC ；(2)求cos ∠MPN 的值．27.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin C =3b sin A ，cos A =13．(1)证明：△ABC 为等腰三角形．(2)若D 是边BC 的中点，AD =34，求△ABC 的面积．28.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，27b cos A sin B+a cos2B-a=0．(1)求tan A的值；(2)若a=2，点M是AB的中点，且CM=1，求△ABC的面积．八、三角形的角平分线问题如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1)利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD(2)内角平分线定理：AD为ΔABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC =BDDC．说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
中职数学课件6.5三角计算的应用
在日常生活中，人们会遇到一些求最大面积的问 题．对于这类问题，可以“角”为自变量建立函数关 系式，利用三角函数的最值来解决．
6.5 三角计算的应用
2 2
×
3 2
+
2 2
×
1 2
=
因此，CD=BCsin75°=40
6×
6+ 4
2 =20(
3 +3)≈94.64(m) ．
6+ 4
2．
答：河宽约为94.64m.
6.5 三角计算的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供 选择的间接测量方案．例如，可以应用以前学过的全等三 角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结 果．学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理 解决这些问题．
6.5 三角计算的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
情境与问题（2）
在日常生活中，我们的家庭用电都是交
流电(如图) ．若交流电的电压U(单位：V)与
时间t(单位：s)之间的函数关系可用
U=220
2 sin
100πt+
π 6
来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
6.5 三角计算的应用
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 如图所示，有一长为 10m、倾斜 角为75°的斜坡 AB ．在不改变坡高和 坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的 倾斜角变为30°．问坡底延长了多少米？
中职数学 拓展模块 第1章 三角公式及应用
OB· OC = OB · OC ·cos(α+β)=cos(α+β)，
1.1 和角公式
学习提示
设向量 a =(x1,y2), b =(x2,y2)，且< a , b >=θ，则 a · b =| a |·| b |·cos θ，又 由于 a · b =x1x2+y1y2，则| a |·| b |·cos θ=x1x2+y1y2.
1.1 和角公式
例14 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin15°cos15°； （2）2sin222.5°－1.
解 （1）sin15°cos15°= 1/2 ×(2sin15°cos15°) = 1/2 sin(2×15°)= 1/2 sin30°= 1/4 .
（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°) =－cos(2×22.5°)=－cos45°=－ 2 .
1.2 正弦型函数
1.2.1 正弦型函数的概念和性质
我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物 理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的函数，这类函数称为 正弦型函数 .它与正弦函数y=sin x有着 密切的关系.
我们先来讨论正弦型函数的周期. y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令
.
1 tan15
2.已知tan α= 1/2 ,tan（α-β）=- 2 /5 ，求tan（2α-β）
的值.
3.已知：tan α、tan β分别是关于x的二次方程x2-5x+6=0的
三角函数的应用解析与归纳
三角函数的应用解析与归纳三角函数是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的应用解析与归纳，在不同领域中它们的具体应用，并介绍相关概念和公式。
一、三角函数的基本概念与性质在解析与归纳三角函数的应用前，我们首先要了解三角函数的基本概念与性质。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期为2π的函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它与单位圆上的角度和弦的关系密切。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期为2π的函数，其定义域为实数集，值域同样为[-1, 1]。
余弦函数定义为对应角的临边与斜边的比值。
3. 正切函数（tan）：正切函数的周期为π，其定义域为实数集（除去其奇数倍的π），取值范围为整个实数集。
正切函数定义为对应角的纵坐标与横坐标的比值。
此外，三角函数还有诸如余割函数、正割函数、余切函数等等，它们在具体应用中也会用到。
二、三角函数在几何学中的应用在几何学中，三角函数主要用于解决求解三角形的各种问题。
例如，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的边长、角度以及面积。
1. 正弦定理：对于任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC2. 余弦定理：同样是对于三角形ABC，其边长为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC根据这些定理，我们可以解决诸如求解未知边长、未知角度、面积等问题。
三、三角函数在物理学中的应用三角函数在物理学中的应用广泛，涉及到波动、振动、力学、电磁学等多个领域。
1. 波动与振动：正弦函数在波动与振动的描述中非常常见。
例如，我们可以利用正弦函数来描述周期性的波形、震动等现象。
正弦函数的周期性和振幅可以帮助我们分析和解决这些问题。
数学三角函数的运用知识点解析
数学三角函数的运用知识点解析三角函数是数学中常见而重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它们在解决各类实际问题中起着至关重要的作用。
本文将对三角函数的一些常见应用进行解析。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)，其中x为任意实数角度。
1. 正弦函数sin(x)：定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。
它表示一个角的对边与斜边的比值。
2. 余弦函数cos(x)：定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。
它表示一个角的邻边与斜边的比值。
3. 正切函数tan(x)：定义域为实数集合，它的周期为π，值域为全体实数。
tan(x)等于sin(x)除以cos(x)，表示一个角的对边与邻边的比值。
二、三角函数在几何中的应用三角函数在几何中有广泛的应用，常用于解决与三角形和圆的相关问题。
下面以两个具体的例子加以说明。
1. 三角形中的角度计算三角函数可用于计算三角形中的角度大小。
例如，已知一个三角形的两条边长分别为a、b，夹角为θ，则根据余弦定理可以得到cos(θ) =(a² + b² - c²) / (2ab)，进而可以通过反余弦函数得到θ的值。
这在定位和导航系统中有广泛应用。
2. 圆的弧长和扇形面积的计算三角函数可用于计算圆的弧长和扇形面积。
对于半径为r的圆，弧长长度为s，弧对应的圆心角度数为θ，则弧长s = rθ，扇形面积A = (1/2) r²θ。
这在工程测量和建筑设计中有实际应用。
三、三角函数在物理中的应用三角函数在物理学中具有重要的应用，常用于描述周期性变化和波动现象。
以下是几个典型的示例。
1. 周期性变化的描述许多自然现象具有周期性变化，如天体运行、电流变化等。
三角函数可以描述这些变化。
例如，正弦函数可以用来表示弧度与时间之间的关系，而频率(f)则表示每秒内周期数量的多少。
2. 波动现象的分析声波、光波等波动现象可以通过三角函数进行分析。
中职数学人教版拓展模块第一章三角公式及其应用《三角形的面积及正弦定理(第2课时)》课件
=
=
，所以
=
°
≈ . ．
用函数型计算器计算可得
∠ ≈ °′或∠ ≈ °′．
但°′+° > °，舍去°′．
所以∠ ≈ °′ ．
温故知新
1. 正弦定理：
2. 正弦定理在解三角形中的应用主要有以下两种情况：
=
2 3sin 45°
2 2
=
3
，
2
所以∠ = 60°或∠ = 120° （如图）．
练习巩固
练习2 在△ 中，已知＝15， = ，∠ = °，
求∠ （角度精确到1分） ．
解: 因为
=
=
，所以
=
°
中职数学人教版拓展模块第一
章三角公式及其应用
1.4.2 三角形的面积及正弦定理
（第2课时）
复习提问
1．写出正弦定理公式，并说说你是怎样把握公式的特征去进行记忆的．
2．应用正弦定理可解怎样条件下的斜三角形．
新知探究
➢ 正弦定理
我们把以上公式称为正弦定理，即在一个三角形中，各边与
它所对角的正弦的比相等．
= ，
用函数型计算器计算可得
∠ ≈ °′或∠ ≈ °′．
所以∠ ≈ °′或∠ ≈ °′．
新知探究
例4 在△中，已知 = ， = ，∠ = °，求∠，
（角度精确到1分）．
解
sin
因为
=
sin =
sin
，所以
sin 6sin 60°
三角计算及其应用电子-教案(全)
第一课时：两角和与差的余弦（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】本节课的教学重点是两角差的余弦公式．~【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，进而提出如何计算cos()αβ-的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论πcos()sin 2αα-=，πsin()cos 2αα-=都是初中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导sin()αβ±的公式作准备．教材利用cos()αβ-的公式推导cos()αβ+的公式的步骤是：利用[]cos()cos ()αβαβ+=--，推出cos()αβ+．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题、1．1两角和与差的余弦公式 创设情境 兴趣导入问题 我们知道，1cos60cos302︒=︒=，显然 ()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-． 动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．—因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =． 于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1）又 []cos()cos ()αβαβ+=--cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅-cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅．（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式…cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （） cos()cos cos sin sin ,αβαβαβ-=⋅+⋅ （）公式（１.１）反映了αβ+的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反映了αβ-的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系． 巩固知识 典型例题例1 求cos75︒的值．分析 可利用公式（），将75°角看作45°角与30°角之和．解cos75cos(4530)︒=︒+︒cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒12==（转下节）、第二课时：两角和与差的余弦（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式．能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】-本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式．【教学难点】难点是公式的运用．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）巩固知识典型例题例1求cos75︒的值．&分析可利用公式（），将75°角看作45°角与30°角之和．解cos75cos(4530)︒=︒+︒cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒12==例2设34cos cos55αβ==，，并且α和β都是锐角，求cos()αβ+的值．分析可以利用公式（），但是需要首先求出sinα与sinβ的值．解因为3cos5α=，4cos5β=，并且α和β都是锐角，所以@4sin5α=，3sin5β．因此 cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， 344305555=⨯-⨯=.例3 分别用sin α或cos α，表示πcos()2α-与πsin()2α-解 πcos()2α-=ππcos cos sin sin 22αα⋅+⋅0cos 1sin sin ααα=⋅+⋅=． 故 πcos()sin 2αα-=．令π2αβ-=,则π2αβ=-,代入上式得 ！πcos sin()2ββ=-，即 πsin()cos 2αα-=.运用知识 强化练习1．求cos105︒的值. 2．求cos15︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两角和与差的余弦公式内容是什么·结论：两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅ （）自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 已知11sin sin 23αβ==，，且αβ，均为锐角，求cos()αβ+的值． 继续探索 活动探究 ](1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）(3)实践调查：用两角和与差的余弦公式印证一组诱导公式 课后反思：—第三课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．:【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．~【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式．*创设情境 兴趣导入问题πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭？动脑思考 探索新知由于πcos()2α-=sin α对于任意角都成立，所以）ππsin()cos ()cos ()22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ππcos()cos sin()sin 22αβαβ=-⋅+-⋅sin cos cos sin αβαβ=⋅+⋅.[]sin()sin ()sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=⋅-+⋅-sin cos cos sin αβαβ=⋅-⋅.由此得到，两角和与差的正弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅.巩固知识 典型例题例5 求sin15︒的值.分析 可以利用公式（），将15°角可以看作是60°角与45°角之差． 解 sin15sin(6045)︒=︒-︒sin60cos45cos60sin45=︒︒-︒︒12==． 例6 已知3cos (0)52παα=∈-，，，求sin6πα+（）的值． 、解 由于π(0)2α∈，，故4sin 5α==-，所以πππsin sin cos cos sin666431()552ααα+=+=-+⨯==（）（转下节）;第四课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：|通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．【教学备品】&教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）巩固知识 典型例题例7 求sin105cos75cos105sin75︒︒+︒︒的值．分析 所给的式子恰好是公式（）右边的形式，可以考虑逆向使用公式．》解 sin105cos75cos105sin75︒︒+︒︒=sin(10575)︒+︒sin1800=︒=．【小提示】逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化．运用知识 强化练习…1．求sin165︒的值． 2．求sin 255︒的值．3．求sin25cos85cos25sin85︒︒-︒︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两角和与差的正弦公式内容是什么 结论：两角和与差的余弦公式(sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何已知12cos 13α=-，且π＜α＜3π2，求πsin()4α-的值．继续探索 活动探究 /(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的正弦公式印证一组诱导公式课后反思：…~第五课时：倍角公式（一）【教学目标】知识目标： 了解二倍角公式．．】能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是32α的二倍角，α是2α的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式22cos2cos sin ααα=-的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和2cos212sin αα=-是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式21cos2sin 2αα-=和21cos2cos 2αα+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．`【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． 动脑思考 探索新知在公式（）中，令αβ=，可以得到二倍角的正弦公式《sin2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα=+=．即sin22sin cos ααα=同理，公式（）中，令αβ=，可以得到二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=-因为22sin cos 1αα+=，所以公式又可以变形为2cos22cos 1αα=-，或 2cos212sin αα=-.\还可以变形为21cos2sin 2αα-=， 或 21cos2cos 2αα+=. 公式（）、（）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用． 【小提示】二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角．如4α与2α，α与α，α与4α等．例8已知3sin5α=，且α为第二象限的角，求sin2α、cos2α的值．#解因为α为第二象限的角，所以24cos5α==-，故24sin22sin cos25ααα==-，27cos212sin25αα=-=．例9已知1cos23α=-，且(π,2π)α∈，求sinα、cos4α的值．分析2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算解由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以sin2α=，。
第8节解三角形的实际应用--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
高考总复习2025第8节 解三角形的实际应用课标解读能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.1 强基础 固本增分知识梳理1.实际测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:(1)北偏东α:(2)南偏西α:坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫作坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即i= =t an θ2.解三角形实际应用题的步骤所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程微点拨要厘清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是方向角.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.东南方向就是指南偏东45°的方向.( )2.若从A 处看B 处的仰角为α,从B 处看A 处的俯角为β,则α+β=180°.( )3.点A 在B 的南偏西20°方向上,若以点B 为基点,点A 的方位角为200°.( )4.俯角是铅垂线与目标视线所成的角,其取值范围是[0, ].( )√ ×√ ×题组二回源教材5. (湘教版必修第二册1.6.3节练习第2题)如图,为测量河对岸A,B两点的距离,在河的这边取C,D两点观察,测得CD= k m,∠ADB=45°,∠ADC=30°, ∠ACB=75°,∠DCB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求A,B两点之间的距离.解因为∠DAC=180°-∠ADC-∠DCB-∠ACB=30°,∠DBC=180°-∠ADC-∠DCB-∠ADB=60°,6.(人教A版必修第二册6.4.3节例10)如图所示,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.解如图所示,选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上,在G,H 两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h,那么,在题组三连线高考7.(2021·全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )BA.346B.373C.446D.473解析如图,过点C作CD⊥BB',垂足为点D,过点D作DE⊥AA',垂足为点E,连接CE,过点B作BF⊥AA',垂足为点F,则由题意可得∠BCD=15°,∠ABF=45°,FE=BD=BB'-CC'=100,AF=BF=DE,所以AA'-CC'=BF+100.易得CD∥C'B',DE∥B'A',EC∥A'C',所以∠ECD=∠A'C'B'=45°,∠EDC=∠A'B'C'=60°.在Rt△CDB中,8.(2021·全国乙,理9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线A C上,DE和F G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )A2 研考点 精准突破考点一 解三角形在实际测量问题中的应用(多考向探究预测)考向1测量距离问题例1(多选题)(2024·安徽池州模拟)如图所示,为了测量A ,B 处岛屿的距离,小明在D 处观测,A ,B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C 处,观测B 在C 处的正北方向,A 在C 处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是( )A.∠C A D=60°BC解析由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,由正弦定理得考向2测量高度问题例2如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD=300 m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高450 B C= m.[对点训练1](2024·湖南岳阳模拟)如图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ.想在山高C考向3测量角度问题(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里.(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船?解(1)由题意知,当走私船发现了巡逻艇时,走私船在D处,巡逻艇在C所以∠ACB=180°-60°-45°=75°,又∠CBD=180°-45°-45°-60°=30°,[对点训练2]位于灯塔A处正西方向相距( -5)n mile的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西( )B A.30° B.60°C.75°D.45°考点二 解三角形在实际最值问题中的应用例4(2024·江西宜春模拟)某公园为了吸引更多的游客,准备进一步美化环境.如图,准备在道路AB的一侧进行绿化,线段AB长为4百米,C,D都设计在以AB为直径的半圆上.设∠CO B=θ.(1)现要在四边形AB CD内种满郁金香,若∠COD= ,则当θ为何值时,郁金香种植面积最大?(2)为了方便游客散步,现要铺设一条栈道,栈道由线段B C,CD和D A组成,若B C=CD,则当θ为何值时,栈道的总长l最长,并求l的最大值(单位:百米).2 在△DEF中,由余弦定理得EF2=DE2+DF2-2DE·DF·cos∠EDF,即DE2+DF2+DE·DF=3,即(DE+DF)2-DE·DF=3,所以观光线路之和最长是2千米.。
第1部分第一章§9三角函数的简单应用
2．三角函数模型构建的步骤： (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复 现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
第1部分第一章§9三角 函数的简单应用
2020/8/15
[例1] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6 千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4 千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x) ＝ f(x－2)＋2.
1．已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24， 单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的 浪高数据：
t(时刻) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝ Acos ωt＋b的图像．
[思路点拨] (1)求t＝0时所对应的电压，(2)求函数的 周期，(3)求函数的最值．
[一点通] 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电 学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋ b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来 研究物理学中的相关现象．
解：(1)列表如下：
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售 (1)根据题意确定A，B，ω，φ. (2)根据盈利等价于f(x)<g(x)可求解．
∴x＝4,5,6,7,8,12. 故4,5,6,7,8,12月份能盈利． [一点通] 将实际问题的“条件”与“函数模型“y＝ Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数 学问题是解决应用题的关键．
三角函数的应用
45°，求飞机的高度 PO.
解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA
C
的延长线于点 C. 则∠PBO =∠CPB P
= 45°，∠CPA = 30°．∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° = AC = AC .
PC 200 AC
∴ AC = 100 100 3 米．∴ PO = BC
tan 30 tan 60
30° 50 m
60°
知识要点
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线 上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方 的夹角叫做俯角.
链接中考
2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB
的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角
铅直 高度h
α B 水平宽度l C
链接中考
3. [十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ， AD = 3 m，坝高 AE = DF = 6 m，坡角∠α = 45°， ∠β = 30°，求 BC 的长. 解：∵AD∥BC，且 AE⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形 AEFD 是矩形.
∴AE = DF = 6m，AD = EF = 3m.
为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物
的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号）
解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.
则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC.
E
设 BE = x . 在Rt△ABE中，∠BAE = 30°，
tan BAE BE , 则AE BE 3x.
（ 3 1.73，2 1.4 ，结果精确到 0.1 n mile ）
三角函数的求解方法及应用
三角函数的求解方法及应用三角函数是数学中的一门重要内容，广泛应用于科学、工程、计算机图形学等领域。
本文将介绍一些三角函数的求解方法及其应用。
一、三角函数的定义及性质三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
我们首先来回顾一下它们的定义：1. 正弦函数sinθ：在直角三角形中，对于给定角度θ，正弦函数等于对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数cosθ：在直角三角形中，对于给定角度θ，余弦函数等于邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数tanθ：在直角三角形中，对于给定角度θ，正切函数等于对边长度与邻边长度的比值。
除了上述基本定义外，三角函数还具有以下几个重要的性质：1. 周期性：三角函数的周期是2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ，tan(θ+2π)=tanθ。
2. 奇偶性：sinθ和tanθ是奇函数，cosθ是偶函数，即sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ，tan(-θ)=-tanθ。
3. 反函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数分别记作arcsin、arccos、arctan，它们的定义域和值域分别限制在[-π/2, π/2]和[-π/2, π/2]之间。
二、三角函数的求解方法1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆一些特殊角的正弦、余弦、正切值来求解其他角度的三角函数值。
例如，我们可以记住30°、45°、60°角的三角函数值，然后利用角度的加减法和三角函数的性质来求解其他角度的值。
2. 利用三角恒等式：三角函数的恒等式是一些三角函数之间的等式关系，利用这些恒等式可以简化计算。
最常用的恒等式包括： - 和差公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB；- 二倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos²θ-sin²θ；- 平方和差公式：sin²A+sin²B=2sin(A+B)sin(A-B)，cos²A+sin²B=cos(A+B)cos(A-B)；- 倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos²θ-sin²θ；- 三角函数的和差形式：sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]，cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]，tanA+tanB=(sinA+sinB)/(cosAcosB)。
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2021/2/2
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教学要求
1.掌握和角公式及倍角公式,能利用和角公式与 倍角公式求特殊角的三角函数值。会证明简单 的三角恒等式。
2.在熟练掌握正弦函数的性质和图象，理解周期函数 与最小正周期的意义的基础上，掌握正弦型函数 y=Asin(wx+q)的性质与图象。会用“五点法”画 正弦型函数和余弦型函数的简图。
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教学建议
▪ 两角和的余弦、正弦公式 ▪ 二倍角公式
▪ 正弦型函数 yA si n x ()
▪ 余弦定理的教学 ▪ 正弦定理的教学 ▪ 三角计算的应用
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两角和的余弦、正弦公式
两角和与差 的余弦
公式
证明
解决二类问 题
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11
教学要求
1、结合具体实例，使学生认识到求两角和与差 的正弦、余弦公式的必要性和实际意义。
2021/2/2
16
教学重点：二倍角公式及其应用。 教学难点：对“二倍”理解以及逆向运用二倍角公式。
教学建议
1、教学时，应通过练习，使学生理解“二倍角”概念的相对性。
2、在教学中，应该加强公式的逆用和变着用。
2021/2/2
17
正弦型函数 yA si n x ()
正弦型函数
问题
概念
图象
性质
应用
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教学重点：正弦定理及其应用。
教学难点：正弦定理的猜想和证明。
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教学建议
1、增加导入： 利用直角三角形ABC，具有角与边的关系：
A
abc b sinA sin B siC n C
c
B
a
猜想锐角三角形与钝角三角形是否成立?
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2、定理的证明，对成绩比较好的学生可以 把斜三角形转化为直角三角形的方法来证 明。
3、对y=Asin(x+)的性质，重点讲最值和周期。
4、掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sinx的图象 变换为y=Asin(x+)的图象的方法.
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余弦定理
余弦定理
导入
证明
解决二类问 题
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教学要求
1、了解利用向量证明余弦定理，掌握余弦定理及其 变形。
2、会利用余弦定理证明简单三角形问题，求解简单 斜三角形边角问题。
8
教学要求、重点、难点
重点：正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法 和正弦型函数的性质，余弦定理、正弦定理和解 斜三角形。
难点：正弦型函数 yA si n x ()的图象。
在本章的教学中，要注意结合教学内容作好数学 基本思想方法的培养，例如渗透集合与对应、数形 结合、函数等基本数学思想方法。要注意培养学生 分析、探索、化归和类比的思想方法，同时作好平行 移动、伸长和缩短等基本方法的教学。
教学难点：正确地画出正弦型函数的大致图象 和图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解。
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教学建议 1、在本节教学前先复习正弦函数的图象和性质， 让学生熟悉和掌握研究函数的过程和方法。
2、对y=Asinx， y=sinx， y=sin(x+)与y=sinx图象之间 的关系要研究透，作图过程不宜太快，数量也不宜太少，这样 可以提高学生的作图能力，特别是“五点法”作简图。
2、使学生经历由两角差的余弦公式导出两角和 与差的正弦、余弦公式的探究过程，培养学生的 探索精神。
3、掌握两角和与差的正弦、余弦公式，能运用 公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等。
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12
教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其应用。 教学难点：探索过程的组织和引导，运用已学知识 和方法解决问题。
4、对例题的教学中，建议教师增加公式的逆用， 以培养学生的逆向思维能力。
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二倍角公式
二倍角公式
公式
证明
应用
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教学要求
1、能从和角公式出发推导出二倍角的公式，理解 它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学 规律的发现过程。
2、掌握二倍角公式，通过对倍角公式的正用、逆用 变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、 化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
教学建议
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1、在两角和与差的余弦公式给出之前，可以让学生讨论 cos(a+b)=cosa+cosb是否成立？
2、对公式的证明，本章把它放在了知识延伸中，在课堂的 教学中尽量予以证明。它采用的方法还是用向量方法来证明， 所以有必要对相关知识进行复习。
3、在两角差的余弦公式和两角和与差正弦公式 教学中，建议教师先复习相关的诱导公式。
第一章 三角计算及 其应用的解读
瑞安市职业中专 唐荣洲
2012年3月
主要内容
▪ 教材的定位 ▪ 教学要求 ▪ 教学内容 ▪ 教学建议
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2
教材的定位
三角计算是中学数学的重要内容之一，它源于 测量，是测量学的理论基础。三角计算是相关 专业课程学习的基础（如交流电、简谐振动等）， 同时它也是研究自然界周期现象的重要数学工具。 在本章中，通过三角计算的应用和阅读材料的学 习，体会到在解决有关实际问题中的作用。
2021/2/2
7
课时安排
本章教学约需16课时，具体分配如下（仅供参考）：
1.1.1 两角和的余弦、正弦公式
3课时
1.1.2 二倍角公式
2课时
1.2 正弦型函数 yA si n x () 4课时
1.3.1 余弦定理
2课时
1.3.2 正弦定理
1课时
1.4 三角计算的应用
2课时
小结与复习
2课时
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教学要求
1、了解 yA si n x ()的实际意义，理解参数q,w,A 对 yA si n x () 的图象的影响，理解y=sinx的图象 与 yA si n x () 的图象之间的变换关系。
2、通过本节的学习，体会从特殊到一般，从具体 到抽象的数学思想方法。 教学重点：正弦型函数的图象和性质
2021/2/2
6
与原教材相关内容的比较
1、少了两角和与差的正切、倍角中的正切公式、 三角形的面积公式。
2、增加了三角计算的应用和阅读材料 （潮汐的三角函数模型），以及在内容的编排上有所改变 （如和角公式的证明，本章节安排在知识延伸内）。
3、在正弦型函数 yA sin x ()这一节中，主要讲
正弦型函数，删除了余弦型函数，突出用计算器和数学软件 作出正弦型函数的图象，从而来研究它的性质。
2021/2/2
28
谢谢大家
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29
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对正弦定理的教学
正弦定理
定理
证明
解决二类问 题
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教学要求
1、通过已学过的直角三角形的边角关系，特别是 在直角三角形中正弦与边之间的关系，探讨一般 三角形中角的正弦与边之间的关系，掌握正弦定理 ，能根据定理解决三角形中的简单问题。
2、培养学生的联想和合情推理的能力，以及转化 的思想。
3、在讲解例2和例3时，让学生充分的体会 到已知两边和其中一边的对角求另一角时， 可能会有两解（可以通过大边对大角来判断）。
2021/2/2
Байду номын сангаас27
三角计算的应用
教学建议 1、对例1的教学（y=asinx+bcosx最值问题），应该 要让学生把它作为公式记住，以方便使用。
2、对例2和例3的教学，应该是让学生体会到三角 在周期变化和测量方面的应用。
3、培养学生的数形结合的思想和归纳的能力。 教学重点：余弦定理及其应用。
教学难点：余弦定理的证明。
2021/2/2
22
教学建议
1、在引入的设计上，力求让学生体会到研究余弦定理 的必要性，体现了余弦定理是勾股定理的推广。
2、在例题的教学中，建议增加两种类型的例题 （求三角形的最大（小）角、判断三角形的形状等）， 因为课后的习题和练习中有这样的题型。
3.理解正弦定理、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。
4.会应用三角计算解决一些生产、生活中简单的实际问题。
2021/2/2
4
教学内容
本章目录 知识结构和课时安排 与原教材相关内容的比较
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目录
第一章 三角计算及其应用
1.1 两角和的余弦、正弦公式 1.2 正弦型函数y=Asin(wx+Q) 1.3 余弦定理、正弦定理 1.4 三角计算的应用 阅读材料 潮汐的三角函数模型