高职数学三角计算及其应用单元测试演示教学
高教版(2021)中职数学基础模块上册第4单元《任意角的三角函数》教学课件
4.3 任意角的三角函数
掌握：
1.任意角三角函数的定义与求取 2.利用单位圆求取三角函数
重点：1.任意角三角函数的定义与求取 2.利用单位圆求取三角函数
难点：三角函数的求取
复习引入 对于直角三角形 ABC:
斜边
的对边
的邻边
我们在之前所接触的三角比
只适用于锐角 。那么对于 < 0 或 > 90，情况又
探究一 任意角的三角函数
由上可知，对于一个确定的角 都有唯一确定的 sin和cos 与之对应，
即 sin和cos 是与 为自变量的函数，分别称为正弦函数和余弦函数，
定义域均为R
当
k，k Z
2
时，tan 无意义，此外，对于一个确定的角
都有唯一确定的 tan 与之对应， 所以 tan 是与 为自变量的函数
所以x>0
cos x 2 x
r
4
1 2 r 4 2 2
r4
2
x2 r 2 y 2 8
2
5 3
x 3
sin y 5 - 10
r 22 4
tan y 3 15
x 5
5
探究二 利用单位圆求取三角函数 单位圆：一个圆心为原点O，半径为 1 的圆
探究二 利用单位圆求取三角函数
1 2
，23)
课堂小结
作业：《练习册》2.4
感谢您的聆听
x = 1, y = 2 r OP (1)2 22 5
sin y 2 (或 2 5 )
r5
5
tan y 2 2
x 1
cos x 1 (或 5 )
r
5
5
探究与发现
设角 为第四象限角，其终边上一点是 px, 5 ，且cos 2 x 求角 的
中职数学职业模块教案(理工类)第一章《三角计算及其应用》全部教案【配套人教版教材】
人教版中职数学职业模块教案（理工类）第一章三角计算及其应用全部教案目录第一课时：两角和与差的余弦（一） (1)第二课时：两角和与差的余弦（二） (3)第三课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（一） (5)第四课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（二） (7)第五课时：倍角公式（一） (9)第六课时：倍角公式（二） (11)第七课时：正弦型函数（一） (13)第八课时：正弦型函数（二） (15)第九课时：作正弦型函数的图象（一） (17)第十课时：作正弦型函数的图象（二） (19)第十一课时：作正弦型函数的图象（三） (21)第十二课时：正弦定理与余弦定理（一） (23)第十三课时：正弦定理与余弦定理（二） (25)第十四课时：正弦定理与余弦定理（三） (27)第十五课时：正弦定理与余弦定理的应用（一） (29)第十六课时：正弦定理与余弦定理的应用（二） (31)第十七课时：应用举例（一） (33)第十八课时：应用举例（二） (35)第十九课时：应用举例（三） (37)第二十课时：生产中的实际应用举例（一） (39)第二十一课时：生产中的实际应用举例（二） (41)第二十二课时：坐标轴的平移（一） (43)第二十三课时：坐标轴的平移（二） (45)第二十四课时：坐标轴的旋转（一） (48)第二十五课时：坐标轴的旋转（二） (50)第二十六课时：参数方程（一） (52)第二十七课时：参数方程（二） (54)第二十八课时：参数方程与普通方程互化（一） (56)第二十九课时：参数方程与普通方程互化（二） (58)第三十课时：应用举例（一） (60)第三十一课时：应用举例（二） (62)第一章 三角计算及其应用第一课时：两角和与差的余弦（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】本节课的教学重点是两角差的余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，进而提出如何计算cos()αβ-的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论πcos()sin 2αα-=，πsin()cos 2αα-=都是初中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导sin()αβ±的公式作准备．教材利用cos()αβ-的公式推导cos()αβ+的公式的步骤是：利用[]cos()cos ()αβαβ+=--，推出cos()αβ+．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式 创设情境 兴趣导入问题 我们知道，1cos 60cos302︒=︒=，显然 ()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-． 动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα= ，向量(cos ,sin )OB ββ= ，且1OA = ,1OB =．于是 c o s ()c o s ()O A O B O A O B αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1）又 []c o s()c o s ()αβαβ+=--cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅- cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅． （2）利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1）c o s ()c o s c o s s i n s αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）公式（１.１）反映了αβ+的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反映了αβ-的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系． 巩固知识 典型例题例1 求cos 75︒的值．分析可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和．解cos75cos(4530)︒=︒+︒cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒12==（转下节）第二课时：两角和与差的余弦（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式．能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式．【教学难点】难点是公式的运用．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）巩固知识典型例题例1求cos75︒的值．分析可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和．解cos75cos(4530)︒=︒+︒cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒12==例2设34cos cos55αβ==，，并且α和β都是锐角，求cos()αβ+的值．分析可以利用公式（1.1），但是需要首先求出sinα与sinβ的值．解因为3cos5α=，4cos5β=，并且α和β都是锐角，所以4sin 5α=，3sin 5β． 因此 cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， 344305555=⨯-⨯=.例3 分别用sin α或cos α，表示πcos()2α-与πsin()2α-解 πcos()2α-=ππcos cos sin sin 22αα⋅+⋅0cos 1sin sin ααα=⋅+⋅=． 故 πcos()sin 2αα-=．令π2αβ-=,则π2αβ=-,代入上式得 πcos sin()2ββ=-，即 πsin()cos 2αα-=.运用知识 强化练习1．求cos105︒的值. 2．求cos15︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两角和与差的余弦公式内容是什么？ 结论：两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 已知11sin sin 23αβ==，，且αβ，均为锐角，求cos()αβ+的值． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）(3)实践调查：用两角和与差的余弦公式印证一组诱导公式 课后反思：第三课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． *创设情境 兴趣导入问题πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭？动脑思考 探索新知由于πcos()2α-=sin α对于任意角都成立，所以ππsin()cos ()cos ()22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ππcos()cos sin()sin 22αβαβ=-⋅+-⋅sin cos cos sin αβαβ=⋅+⋅.[]sin()sin ()sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=⋅-+⋅-sin cos cos sin αβαβ=⋅-⋅.由此得到，两角和与差的正弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ (1.3) sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅ (1.4)巩固知识 典型例题例5 求sin15︒的值.分析 可以利用公式（1.4），将15°角可以看作是60°角与45°角之差． 解 sin15sin(6045)︒=︒-︒sin 60cos 45cos60sin 45=︒︒-︒︒12-=． 例6 已知3cos (0)52παα=∈-，，，求sin 6πα+（）的值． 解 由于π(0)2α∈，，故4sin 5α=-， 所以πππsin sin cos cos sin666431()552ααα+=+=-+⨯==（）（转下节）第四课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）巩固知识 典型例题例7 求sin105cos75cos105sin 75︒︒+︒︒的值．分析 所给的式子恰好是公式（1.3）右边的形式，可以考虑逆向使用公式． 解 sin105cos75cos105sin 75︒︒+︒︒=sin(10575)︒+︒ sin1800=︒=．【小提示】逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化．运用知识 强化练习1．求sin165︒的值． 2．求sin 255︒的值．3．求sin 25cos85cos 25sin85︒︒-︒︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两角和与差的正弦公式内容是什么？ 结论：两角和与差的余弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ (1.3)sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅ (1.4)归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知12cos 13α=-，且π＜α＜3π2，求πsin()4α-的值．继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的正弦公式印证一组诱导公式课后反思：第五课时：倍角公式（一）【教学目标】知识目标： 了解二倍角公式．． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是32α的二倍角，是2α的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式和21cos2cos 2αα+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． 动脑思考 探索新知在公式（1.3）中，令，可以得到二倍角的正弦公式sin 2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα=+=．即sin 22sin cos ααα= (1.5)同理，公式（1.1）中，令αβ=，可以得到二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=- (1.6)因为22sin cos 1αα+=，所以公式(1.6)又可以变形为2cos22cos 1αα=-，或 2cos212sin αα=-.还可以变形为21cos2sin 2αα-=， 或 21cos2cos 2αα+=. 公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用． 【小提示】二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角．如4α与2α，α与2α，2α与4α等．巩固知识 典型例题例8 已知3sin 5α=，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos 2α的值． 解 因为α为第二象限的角，所以24cos 5α==-，故 24sin 22sin cos 25ααα==-， 27cos212sin 25αα=-=． 例9 已知1cos 23α=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值．分析2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算解 由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以sin2α=故 12s i n2s i n c o s (223ααα==-=由于ππ(,)442α∈，且211()1cos132cos 4223αα+-+===，所以cos4α=（转下节） 第六课时：倍角公式（二）【教学目标】知识目标： 了解二倍角公式．． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是32α的二倍角，α是2α的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式22cos2cos sin ααα=-的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和2cos212sin αα=-是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式21cos2sin 2αα-=和21cos2cos 2αα+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识 典型例题例8已知3sin5α=，且α为第二象限的角，求sin2α、cos2α的值．解因为α为第二象限的角，所以24cos5α==-，故24sin22sin cos25ααα==-，27cos212sin25αα=-=．例9已知1cos23α=-，且(π,2π)α∈，求sinα、cos4α的值．分析2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算解由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以sin2α=故12s i n2s i n c o s(223ααα==-=由于ππ(,)442α∈，且211()1cos132cos4223αα+-+===，所以cos4α=【注意】要用公式（1.6）及其变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围.运用知识强化练习已知5sin13α=，且α为第一象限的角，求sin2α、cos2α．理论升华整体建构思考并回答下面的问题：二倍角的正弦、余弦公式的内容是什么？结论：sin22sin cosααα=22cos2cos sinααα=-自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知4cos25α=，且2[π,2π]α∈求sinα．继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做）(3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系．第七课时：正弦型函数（一）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质．能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．（2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解与应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）．讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设新变量z的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将π26x+看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角．【课时安排】一课时．【教学过程】揭示课题1.2正弦型函数．*创设情境 兴趣导入我们已经学习了正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =．在物理和电学中，经常遇到形如sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的函数，这类函数叫做正弦型函数 动脑思考 探索新知正弦型函数与正弦函数sin y x =有着密切的关系． 在正弦型函数sin()y A x ωϕ=+中，令z x ωϕ=+,则sin()sin y A x A z ωϕ=+=，函数sin y z =是正弦函数,其定义域为R ，周期为2π,故函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的定义域为R ，并且sin()sin sin(2π)A x A z A z ωϕ+==+ sin[()2π]A x ωϕ=++2πsin ()A x ωϕω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,即2π()()f x f x ω=+.因此，函数sin()y A x ωϕ=+也是周期函数，其周期为2πω.由于函数y =sin z 的最大值为1,最小值为－1，故y =A sin z (A ＞0)的最大值为A ，最小值为－A ．即正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的最大值为A ，最小值为－A .综上所述，正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>> 的定义域为R ，周期为2πω，最大值为A ，最小值为－A巩固知识 典型例题例1 求函数π2sin(2)6y x =+的周期,并指出当角x 取何值时函数取得最大值和最小值.解 函数的周期为2ππ2T ==. 设π26z x =+，则π212z x =-. 当π2π2z k =+，即ππ6x k =+时，函数2sin y z =有最大值，最大值为2； 当3π2π2z k =+，即2ππ3x k =+时，函数2sin y z =有最小值，最小值为2-. 所以，当ππ6x k =+(k ∈Z )时，函数π2sin(2)6y x =+取得最大值2；当2ππ(3x k k =+∈Z )时，函数π2sin(2)6y x =+取得最小值2-.（转下节）第八课时：正弦型函数（二）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质． 能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能． （2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解与应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）．讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设新变量z 的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将π26x +看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角． 【课时安排】一课时．【教学过程】（接上节）动脑思考 探索新知一般地,研究函数s i n c o s y a x b x =+（0,0a b >>）时,首先要把函数转化为sin()y A x θ=+的形式．考察以(,)a b 为坐标的点P (如图12-)，设以OP 为终边的角为θ，则图12-cos θ=，sin θ=，tan baθ=． 于是sin cos )a x b x x x +=sin sin cos )),x x x θθθ=+=+即A =θ的值可以由tan baθ=确定（角θ所在的象限与点P 所在的象限相同）． 巩固知识 典型例题22sin cos x y x x x = 例 当角为何值时，函数取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？2sin cos 2sin 2212sin 222ππ2sin 2cos sin cos 233π2sin 23y x x xx xx x x x x =-=⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭解 故当ππ22π32x k -=+，即5πk π+()12x k y =∈Z ，取得最大值2；当ππ22π32x k -=-，即ππ()12x k k y =-∈Z ，取得最小值－2 运用知识 强化练习求下列函数的周期，并指出当角x 取何值时函数取得最大值和最小值： (1)πsin(3)4y x =-； *（2）sin 2cos2y x x =-．理论升华 整体建构结论：正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>> 的定义域为R ，周期为2πω，最大值为A ，最小值为－A . 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习与训练1．2（选做）第九课时：作正弦型函数的图象（一）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用． 能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1.2正弦型函数． *创设情境 兴趣导入与正弦函数图像的做法类似，可以用“五点法”作出正弦型函数的图像．正弦型函数的图像叫做正弦型曲线． 巩固知识 典型例题例3 作出函数π2sin()4y x =-在一个周期内的简图．分析 函数π2sin()4y x =-与函数2sin y x =的周期都是2π，最大值都是2，最小值都是－2.解 为求出图像上五个关键点的横坐标，分别令π04t x =-=，π2，π，3π2，2π，求出对应x 的值与函数y 的值，列表1-1如下：表11-以表中每组(,)x y 的值为坐标，描出对应五个关键点（π4，0）、（3π4，2）、（5π4，0）、（7π4，−2）、（9π4，0）．用光滑的曲线联结各点，得到函数π2sin()4y x =-在一个周期内的图像（如图13-）．图13-动脑思考 探索新知一般地,为了作出正弦型曲线sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>），令t x ωϕ=+，利用上面的方法，可以求得五个关键点的坐标为（,0ϕω-），（,4T A ϕω-+）,(,02T ϕω-+)，（3,4TA ϕω-+-），（,0T ϕω-+）. 巩固知识 典型例题例4 利用“五点法”作出函数1π2sin()26y x =+在一个周期内的图像.解 函数的周期为2π4π12T ==，且ππ6132ϕω-=-=-，所以五个关键点为π(,0)3-，2π(,2)3，5π(,0)3，8π(,2)3-，11π(,0)3. （转下节）第十课时：作正弦型函数的图象（二）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用． 能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）描出这五个点，然后用光滑的曲线联结各点，得到函数在一个周期内的图像（如图14-）.图14-运用知识 强化练习利用”五点法”作出下列函数在一个周期内的图像： （1）2π3sin(3)3y x =+； （2）3πsin(2)25y x =+. 动脑思考 探索新知在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电流的大小和方向随时间而变化，满足0sin()m i I t ωϕ=+(0,0,m I ω>>π-≤0ϕ≤π)的函数关系．其中m I 是电流强度的最大值，叫做简谐交流电的峰值；2πT ω=叫做简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需的时间（单位为：s ）；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数叫频率，用f 表示，1f T=，单位为Hz (赫兹)；0t ωϕ+叫做相位，0ϕ叫做初相位．峰值、频率和初相位是简谐交流电的三要素．它们从三个不同的方面描述了简谐交流电的物理特征.在物理学中，用sin()s A t ωϕ=+表示简谐振动，s 表示位移，A 叫做振幅；2T πω=叫做简谐振动的变化周期，1f T=叫做简谐振动的变化频率，0t ωϕ+叫做相位；0ϕ叫做初相位． 巩固知识 典型例题例5 已知交流电的电流强度i （单位：A ）随时间t （单位：s ）的函数关系为π40sin(100π)3i t =-，写出电流的峰值、周期、频率和初相位．解峰值为40(A)mI=，周期为20π0.02(s)100πT==；频率为1150(Hz)0.02fT===；初相位为π3ϕ=．（转下节）第十一课时：作正弦型函数的图象（三）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用．能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）例6已知交流电的电流强度i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的部分曲线如图15-所示．试写出i与t的函数关系式．图15-解 电流强度i 随时间t 的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系为0sin()i A t ωϕ=+．观察图1-5得到，峰值30A =，周期2222.25100.2510210T ---=⨯-⨯=⨯.于是有22π210ω-=⨯，解得100πω=．因为图1-5中所示起点坐标的横坐标为20.2510-⨯，即00t ωϕ+=时，20.2510t -=⨯， 所以 20π100π0.25104t ϕω-=-=-⨯⨯=-，因此所求的函数关系式为π30sin(100π)4i t =-（单位：A ）．在电学中，同频率的正弦量（即形如sin()y A x ωϕ=+的量）进行的求和运算，叫做同频率正弦量的合成．例7 设12πsin()3i I t ω=+，24πsin()3i I t ω=+，求12i i i =+. 解 122π4πsin()sin()33i i i I t I t ωω=+=+++ 2π2π(sin cos cos sin )334π4π(sin cos cos sin )33I t t I t t ωωωω=+++2π4π(cos cos )sin 332π4π(sinsin )cos 33I t I t ωω=+++11()()sin (cos 22I t I t ωω⎤⎡⎤=-+-++⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin I t ω=-.例5表明了电学中的一个重要结论：只有初相位不同的两个正弦量的合成仍是正弦量，。
中职数学人教版拓展模块第一章三角公式及其应用《正弦型函数(第1课时)》课件
间的关系．
作业布置
教材第19页，习题第1题（1）（2）小题，第2题（2）小题．
新知探究
一般地，函数 y=sin ωx（其中ω＞0）的图象，可由函
数 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来
的
1
倍得到．
温故知新
（1）正弦型函数 y=Asin(ωx+φ) 的周期、频率、初相及其相关公式； （2）正弦型函数 y=Asin x（其中A＞0且A≠1）图象和正弦函数 y=sin x 图
中职数学人教版拓展模块第一章三角公式 及其应用 第三节
1.3 正弦型函数（第1课时）
问题导入
复习： （1）正弦函数及其相关概念； （2）正弦函数的图象（五点法作图）； （3）正弦函数的性质（五个重要性质）．
问题导入
天津永乐桥摩天轮被称为 “天津之眼”，是一座跨河建造、桥轮合 一的摩天轮．假设 “天津之眼”做匀速圆周运动， 怎样描述摩天轮圆周 上的一点的运动呢？
新知探究
新知探究
观察上图，可发现这些函数图象之间有如下关系：
(1)函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
可得到函数 y sin 1 x 的图象； 2
(2)函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ， 2
可得到函数 y sin 2x 的图象．
新知探究
引入正弦型函数实例模型：y=Rsin（ωt+φ）．
转动周期：
T
2
转动频率： f 1
T 2
初相： φ
正弦型函数表达式：y=Asin（ωx+φ）， 其中 A，ω，φ 是常数．
中职数学基础模块上册《利用三角函数值求指定范围内的角》ppt课件2
• 一、总体思考 • 1、为什么要加强三角函数教学？ • （1）周期现象是普遍现象。三角函数是刻画周期
现象的重要数学模型。 • （2）三角函数的符号性强。如sinx中sin就表示了
函数的符号，其函数关系不像前面的函数那样更 多地依赖于运算关系，从而为函数概念理解的深 入，函数符号的使用，函数中x、y之间的对应关 系（通过角与实数之间的对应）等，提供了进一 步理解和实践的机会。 • （3）三角函数还是学生学到的第一个具有周期性 的函数。学完三角函数，中等教育阶段的五个基 本初等函数不仅都学完了，而且对函数的一般内 容，如符号、范围、增减、周期等性质都有了一 定的理解，这样，中等教育阶段发展学生的函数 观念这一过程便告结束。
• 3、突出特殊与一般及个性与共性的辨证关系。三 角函数可看成是第二章函数的延伸和拓展，因此 在教学中应注意让学生体会三角函数与一般函数 之间的关系，即个性与共性之间的关系，可鼓励 学生综合运用基本初等函数模型解决本专业的一 些简单的实际问题。再如终边相同角的集合表示， 锐角的正弦值到任意角的正弦值，正弦函数图象 上一点的作法到一个周期内图象的几何画法等探 究与思考都遵循了特殊到一般的思维方法，切实 让学生动起来，参与到学习中来。
• 在探究题填空部分，还取了圆弧占圆周的比例为 的情况，此时圆弧的长即为半径，其比值为1。由 此让学生发现1弧度的角表示角的意义，并较为自 然地获得角度与弧度的换算关系；通过在弧度制
下弧长及扇形面积公式的介绍，使学生感受到比
角度制下的公式形式更为简单。从而体现出弧度
制比角度制的优越性。当然用弧度表示角不仅容
• §5.1 角的概念推广
2课时
• §5.2 弧度制
1课时
• §5.3 任意角的三角函数
人教社2024中职数学拓展模块一教学课件-三角计算的应用
新知探究
由余弦定理，得 ．
由正弦定理，得，即0.35．
新知探究
所以
．
因此，如果该货轮从A地出发直接到达海岛C，应沿北偏东的方向大约航行178.4 n mile．
归纳小结
正弦定理、余弦定理
作业布置
必做题 教材第31页，习题第 1，2 ，3题；选做题 教材第32页，习题第 4 题．
解 = =+
新知探究
== = =．
其中θ满足，用函数型计算可得θ．所以．
例2说明几个振幅和初相不同，但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波.
新知探究
解 ∠，由正弦定理可得， 所以．
1.5 三角计算的应用
情景导入
三角公式在数学的公式推导、日常生活中的测量以及物理的电学等方面都有应 用，下面我们来看几个例子．
新知探究
例1 求函数的最大值、最小值和周期，其中a，b是不 同时为零的实数.
解 考察以（a，b）为坐标的点P（a，b）（如图）， 设以 OP 为终边的 一个角为θ， 则
新知探究
例1 求函数的最大值、最小值和周期，其中a，b是不 同时为零的实数.
于是已知函数可化为 ( ，
所以的最大值是，最小值是，期是．
新知探究
例2 已知三个电流瞬时值的函数式分别是)，求它们合成后的电流瞬时值的函 数解析式（角度精确到1分）．
再 见
例3 如图所示，设 A，B两点在河的两岸，测量者在与 A同侧的河岸边选取测点C，测得 AC的距离是 50 m，∠BAC=51°，∠ACB= 75°，求 A，B两点间的距离（精确到0.1 m) .
新知探究
例4 如图所示，一艘货轮从 A地出发，沿北偏东 75°的方向航行 105 nmile后到达海岛B，再沿北偏东30°的方向航行88 nmile后到达海岛C. 如果该货轮从 A地出发直接到达海岛C，应沿什么方向航行，需要航行的距离是多少（结果保留一位小数）？
人教版中职数学(拓展模块)1.4《三角公式的应用》ppt课件1
2019/10/17
教学资料精选
11
谢谢欣赏！
2019/10/17
教学资料精选
12
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
4
5
4
问:做完这两题后对你有什么启发?
学会分析已知条件中的角和要求角之间的关系(拆角拼角).如:
,2 ( ) ( ),( x) ( x) , 2 等
4
42Βιβλιοθήκη 2问题3:(1) tan150 tan 300 tan150 tan 300
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
变式1: 在(1)中,若0 x ,求此函数值域.
变式2
:
求y
s in 2
中职数学 第五章 三角计算及其应用
第二节 二倍角的正弦、余弦和正切公式
【例3】
第二节 二倍角的正弦、余弦和正切公式
课堂练习
第三节 三角函数的积化和差和差化积
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ sinαcosβ= ［sin(α+β)+sin(α-β)］.
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例10】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
想一想
例10求tan285° 的值还有其 他算法吗？
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例11】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例12】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课堂练习
第三节 三角函数的积化和差和差化积
【例2】
第三节 三角函数的积化和差和差化积
第三节 三角函数的积化和差和差化积
第三节 三角函数的积化和差和差化积
课堂练习
1. 1）2sin64°cos10°;
2. 1）sin54°+sin22°;
(2)2sin84°cos132°. (2)sin5α-sin3α.
y=Asin(ωx+φ)=Asinz.
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
【例1】
第四节 正弦型曲线
【例2】
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
图 5-2
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
【例3】
第四节 正弦型曲线
学习提示
中职数学第四册 第15章 三角计算及其应用 教案
课题§15.3正弦型函数课型新课学时2教学目标1、理解正弦型函数的概念及其性质，识记参数ϕω,,A与函数图像变化之间的关系。
2、会用五点法作正弦型函数的简图，会由正弦函数xy sin=的图像，通过振幅变换、周期变换、平移的方法作正弦型函数的简图。
3、了解正弦型函数在专业中的应用，会用正弦型函数的图像、性质解决简单的实际问题。
4、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数学思想方法。
教学重点1、正弦函数的概念2、用五点法作正弦型函数的简图3、正弦型函数的实际应用教学难点应用正弦型函数的概念及其规律解决实际问题教学方法讲授法、问答法、举例法、练习法、归纳法教学设备数学（第四册）、三角板、多媒体课件教学过程教学环节及时间分配教学活动内容学生活动内容作业讲评(2分钟)订正作业复习提问( 3分钟)1、正弦余弦的二倍角公式，如何推导的？2、能推导出正切的二倍角公式吗？教师提问学生回答新课导入( 5分钟)根据所给的图像回答下列问题：（1）指出图15-3中正弦函数的最大值、最小值、周期。
（2）将图15-4、15-5、15-6中的图像分别与图15-3中的图像作比较，指出它们的共同点与不同点。
课前引入学生思考课题§15.4正弦定理、余弦定理课型新课学时2教学目标1.识记正弦、余弦定理的推导过程。
2.掌握正弦、余弦定理，能够根据给定条件，运用正弦、余弦定理求任意三角形的边和角。
3.能应用正弦、余弦定理等知识解决简单的实际问题。
教学重点正弦、余弦定理及其简单应用教学难点综合运用正弦、余弦定理解决实际问题教学方法讲授法、问答法、举例法、练习法、归纳法教学设备数学（第四册）、三角板、多媒体课件教学过程教学环节及时间分配教学活动内容学生活动内容作业讲评(2分钟)订正作业复习提问( 3分钟)1、正弦型函数的定义和性质。
2、正弦型函数与正弦函数的图像关系教师提问学生回答新课导入( 7分钟)无线电测向运动是竞技体育项目之一，类似于“捉迷藏”游戏，它指利用测向电台来确定发射电台所在方向，这样的情景在许多影视节目中都可以见到。
中职数学 拓展模块 第1章 三角公式及应用
OB· OC = OB · OC ·cos(α+β)=cos(α+β)，
1.1 和角公式
学习提示
设向量 a =(x1,y2), b =(x2,y2)，且< a , b >=θ，则 a · b =| a |·| b |·cos θ，又 由于 a · b =x1x2+y1y2，则| a |·| b |·cos θ=x1x2+y1y2.
1.1 和角公式
例14 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin15°cos15°； （2）2sin222.5°－1.
解 （1）sin15°cos15°= 1/2 ×(2sin15°cos15°) = 1/2 sin(2×15°)= 1/2 sin30°= 1/4 .
（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°) =－cos(2×22.5°)=－cos45°=－ 2 .
1.2 正弦型函数
1.2.1 正弦型函数的概念和性质
我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物 理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的函数，这类函数称为 正弦型函数 .它与正弦函数y=sin x有着 密切的关系.
我们先来讨论正弦型函数的周期. y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令
.
1 tan15
2.已知tan α= 1/2 ,tan（α-β）=- 2 /5 ，求tan（2α-β）
的值.
3.已知：tan α、tan β分别是关于x的二次方程x2-5x+6=0的
高教版中职数学拓展模块一下册：6.5三角计算的应用课件(共16张PPT)
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块半径
为10
m，圆心角为 的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设
3
计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应
如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积.
在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
在日常生活中,我们的家庭用电都是交流电(如图).
若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关
系可用
来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次达到最大值的时刻.
生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐
值重复出现一次的时间间隔为
即电压值经过0.02s重
复出现.
(3) 当sin
当k=0时，
即，电压的最大值是
因此，电压第一Biblioteka 达到最大值的时刻为，s时第一次达到最大值.
s.
6.5三角计算的应用
情境导入
探索新知
典型例题
如图所示,在河的岸边选定两点A、B,对岸选
定点C, 测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m.
公路的建筑物.现为修建某山体隧道,需获得隧道两端D、E两点之间的距
离．为此在山的一侧选取点C，如图所示，并测得CA=500m，
CB=800 m， ∠ACB=60°. 又测得AB两点到隊道口的距离AD=180m，
BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算隊道DE的长.
人教版(中职)数学基础模块上册同步课件 第五章 三角函数 本单元复习与测试
答案：正弦、余弦和正切
答案：正弦、余弦和正切
同步测试解析与答案
感谢您的耐心观看
可爱/纯真/童年/烂漫
03
三角函数与数列的递归：三角函数可以应用于数列的递归计算，如利用三角函数求解递归数列的和。
04
三角函数与数列的联系
微积分的基本概念：极限、导数、积分等
三角函数与微积分的联系：三角函数是微积分的基础，微积分是三角函数的延伸
三角函数在微积分中的应用：三角函数求导、积分等
三角函数与微积分的相互促进：三角函数促进了微积分的发展，微积分丰富了三角函数的应用
图像分析：通过图像分析求解三角函数的单调性、周期性等问题
三角函数的图像解题法
01
利用正弦、余弦、正切函数的定义域和值域进行解题
02
利用三角函数的和差公式、倍角公式、半角公式等变换公式进行解题
03
利用三角函数的周期性、奇偶性、对称性等性质进行解题
04
利用三角函数的图像和性质进行解题
05
利用三角函数的微积分性质进行解题
机械工程：利用三角函数计算机械设备的角度、速度等参数
03
天文学：利用三角函数计算天体的位置、运动轨迹等参数
航海导航：利用三角函数计算船舶的位置、航向等参数
02
电子通信：利用三角函数计算信号的频率、相位等参数
建筑设计：利用三角函数计算建筑物的高度、角度等参数
01
三角函数在实际问题中的案例解析
01
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。
余弦函数的值域是______。
正切函数的定义域是______。
中职升高职数学专题复习——解三角形课件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
用余弦定 1.应用正、余弦定理解三角形: 理 ①已知三边,求其它;
②已知两边及其夹角,求其它;
用余弦定 理
③已知两边及一边对角,求其它;
正弦定理、余弦定理都可以
④已知一边及两角,求其它;
用正弦定理
△ABC中,B=450,AC=
的形状是（ C ）
b
（1 ,2）
1.会用正余弦定理,结合三角形的性质 解三角形,求解时注意解的情况; 已知两边及一边对角,求其它. 会有二解,一解的情况. 2.会用正余弦定理进行边角互化,关键 是统一.
0
2.四边形ABCD中,AD⊥CD来自AD=10, AB=14,∠BDA=600,∠BCD=1350, 求BD及BC的长。
D
10 600 14
C
A
B
c 1 3.△ABC中, b c a bc, 且 3 b 2 求∠A及tanB的值.
2 2 2
1.△ABC中, 若 ( 3b c ) cos A a cos C , 则cosA= 3 3 2.△ABC中, 若a· cosA=b· cosB,则△ABC A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 a 的取值范围是： 3.△ABC中, A=2B,则
会用正余弦定理结合三角形的性质解三角形求解时注意解的情况
中职升高职数学专题复习 解三角形
a=2RsinA a b c 1.正弦定理: sinA = sinB= sinC= 2R 2.余弦定理: b2+c2-a2 cosA= 2 2 2 2bc
cosC= 3.面积公式: 2ab 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB S= 2 2 2 4.三角形的性质: A+B+C=π 大边对大角,大角对大边
三角形中几何计算解三角形实际应用举例PPT学习教案
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【思路点拨】
在△BAD中，由正弦 定理，求DB
→ △BCD中，用余 弦定理求CD → 求时间t
【规范解答】 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，2 分
即 AB＝ACsisnin156°0°＝3
2＋ 20
6，
因此，BD＝3
2＋ 20
6≈0.33 km.
故 B，D 间的距离约为 0.33 km.
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(2009·宁 夏 高 考 )为 了 测量 两山顶 M，N之 间的 距离， 飞机沿 水平方 向在A， B两点 进行测 量．A， B，M， N在 同一个 铅垂平 面内(如 图3－ 7－15所 示)． 飞机能 够测量 的数据 有俯角 和A，B间 的距 离．请 设计一 个方案 ，包括 ：①指 出需要 测量的 数据(用 字母表 示，并 在图3－ 7－15中 标出 )；② 用文字 和公式 写出计 算M， N间的 距离的 步骤．
三角形中几何计算解三角形实际应用举 例
会计学
1
3． 方 向 角 相 对 于 某 一 正方向 的水平 角(如图 3－7－ 3) 4． 坡 度 、 坡 比 坡 度 ： 坡 面 与水平 面所成 的二面 角的度 角(如图 3－7－ 4)角θ为 坡角 ． 坡 比 ： 坡 面 的铅直 高度与 水平长 度之比 (如图3－ 7－4， i为坡 比)．
图 3－ 7－ 14
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【解】 在△ACD 中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以 CD＝AC，
语文版(2021)中职数学拓展模块一《生产、生活中的三角计算及应用举例》课件
17π
y=10sin
+20≈23.83（℃），
8
即该地在12时的温度约为23.83℃.
t+
t+
5π
8
5π
8
)+20,t ∈［7,15］.
)+20，得
典型例题
例3
如图所示，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受重力为
10N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力，试求杆
OA、OB所受的力（结果保留到小数点后一位）.
12.3.
si.3 N,灯杆OB所受的拉力大小为12.3 N.
典型例题
例4
如图所示是曲柄连杆机构.当曲柄BC绕C点旋转时，通过连
杆AB的传递，活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，
曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长
为340mm，曲柄BC长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方
图1-18
新知探究
在RtΔABD和RtΔACB中，设AB的长为m，则
msin x=a,
msin(θ－x)=b,
于是
sin x=sin(θ－x)=sin θ cos x－cos θ sin x，
即sin x=
sin
+cos
cos x ，于是得
sin
x=
+ cos
tan
典型例题
分析:点O处受到三个力的作用:灯线向下
的重力(记为F)，O到A方向的拉力(记为
F1)，从B到O方向的支持力(记为 F),这三
2
个力是平衡的，即 F F1 F2. 0
→
→
→
典型例题
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高职数学三角计算及其应用单元测试
《三角计算及其应用》单元检测
一、 选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四
个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）
1、οοοο87sin 21cos 81cos 21sin -的值等于（ ） A.21 B.2
1- C.23 D.23- 2、ο75cos 的值等于（） A.426+ B. 226+ C. 42-6 D. 2
2-6 3、正弦型函数)5
31sin(2π-=x y 的周期等于（） A.6π B. 6π C. 23π D. 23
π
4、已知0tan sin ∂〈⋅α，则α是（ ） A. α是第一或第二象限的角 B.α 是第二或第三象限的角
C.α 是第三或第四象限的角
D.α 是第一或第四象限的角
5、化简α
α22sin 211cos 2--为（ ） A.αsin B.αcos C. 1 D. -1
6、函数x y 4sin 2=的图象如何平移，得到正弦型函数)3
4sin(2y π-=x 的图象？（ ）
A.向左平移3π个单位
B. 向右平移3π个单位
C. 向左平移12
π个单位 D. 向右平移12
π个单位 7、在ABC ∆中，2
1-=COSA ,则)(C B COS +的值是（ ） A. 21 B. 2
1- C.23 D.23- 8、下列函数关于y 轴对称的是（ ）
A. x y sin =
B. x y 2cos =
C. x y tan =
D. x y sin 1+=
9、)60cos()60cos(αα-︒-+︒的值为（ ） A.αsin 3 B.αcos 3 C. αsin 3- D. αcos 3- 10、若3tan =α，则)4tan(π
α-的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 21 D. 2
1- 11、计算︒
-︒15tan 115tan 22的值为（ ） A. 3 B. 33 C. 3- D. 3
3- 12、)8cos()8sin(π
π
--等于（ ） A. 42- B. 42 C. 22- D. 2
2 13、函数)4sin(3π
ω+=x y 的最小正周期是2
π，则正数ω为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14、若A C B sin cos sin 2=，则ABC ∆为（ ）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D.等腰直角三角形
15、函数()22cos sin 22
x x y =- A 、奇函数 B 、偶函数 C 非奇非偶 D 既是奇函数又是偶函数
16、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（
） A ． 30° B ．45° C ．60°
D ．120° 17、在△ABC 中，符合余弦定理的是( )
A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A
C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A
D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab
18、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）
A ．
3π B ．6π C ．32π
D ． 3π或32π 19、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）
A ．
23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或
23 20、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）
A ． 14
B ．142
C ．15
D ．152
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
21、在ABC ∆中，已知,13
12cos ,54sin ==B A 则=C sin 22、=︒︒+︒+︒15sin 75sin 215sin 75sin 22
23、正弦型函数2sin x
y π=的周期为__________________
24、在△ABC 中，ο30,5,4===C b a ，则三角形的面积S=_______________ 25、)4sin()4cos()4cos()4sin(απ
απαπαπ-++-+可化简为_________________ 三、解答题（共5小题，本题共40分）
26、证明 （本小题7分）
（1）
θθθθθtan cos 2cos 1sin 2sin =-+-（3分）
（2）
x x
x x x 2tan 21cos sin cos sin 22-=-（4分）
27、已知),2
(,54sin ππα∈=a ，求a 2sin ，a 2cos ，a 2tan 的值。
（本小题7分）
28、求x x y 2cos 32sin +=。
（本小题8分）
（1）最大值，最小值（3分）
（2）最小正周期（2分）
（3）单调递增区间(3分)
29、根据已知条件解答（本小题8分）
（1）已知AB=2，AC=7，BC=3，求B 。
（2）已知c=8，a=8，︒=∠60B ，求三角形的面积S 。
30、 在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
求： (1)角C的度数； (2)AB的长度。
（本小题10分）。