《线性代数与概率统计》作业题(答案)~2015.03

《线性代数与概率统计》作业题第一部分 单项选择题 1．计算11221212x x x x ++=++？（A ）A ．12x x -B ．12x x +C ．21x x -D ．212x x -2．行列式111111111D =-=--？(B) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求AB =？(B) A ．-1B ．0C ．1D ．24．齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=？（C ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50906791A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=67356300B ，求AB =？（D ） A ．1041106084⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1041116280⎛⎫⎪⎝⎭C ．1041116084⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1041116284⎛⎫⎪⎝⎭6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭,则C =？（ D ） A ．(1)mab - B ．(1)n ab - C ．(1)n m ab +-D ．(1)nmab -7．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343122321A ，求1-A =？（D ）A ．13235322111⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B ．132********-⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ C ．13235322111-⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ D ．13235322111-⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ）A ．111[()]()()T TTAB A B ---= B ．111()A B A B ---+=+C ．11()()k k A A --=（k 为正整数）D ．11()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为正整数）9．设矩阵m n A ⨯的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零D ．A 中有一个r 阶子式不等于零10．初等变换下求下列矩阵的秩，321321317051A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为？（D ）B ．1C ．2D ．311．写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。

（D ）A ．样本空间为{1,2,3,4,5,6}Ω=，事件“出现奇数点”为{2,4,6}B ．样本空间为{1,3,5}Ω=，事件“出现奇数点”为{1,3,5}C ．样本空间为{2,4,6}Ω=，事件“出现奇数点”为{1,3,5}D ．样本空间为{1,2,3,4,5,6}Ω=，事件“出现奇数点”为{1,3,5}12．向指定的目标连续射击四枪，用i A 表示“第i 次射中目标”，试用i A 表示四枪中至少有一枪击中目标（C ）：A ．1234A A A AB ．12341A A A A -C ．1234A A A A +++D ．113．一批产品由8件正品和2件次品组成，从中任取3件，则这三件产品全是正品的概率为（B ）A ．25 B ．715C ．815D ．3514．甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率是0.85，两人同时射中目标的概率为0.68，则目标被射中的概率为（C ）B ．0.85C ．0.97D ．0.9615．袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（D ）A ．16125B ．17125C ．108125D ．10912516．设A ，B 为随机事件，()0.2P A =，()0.45P B =，()0.15P AB =，(|)P A B =(B)A ．16B ．13C ．12D ．2317．市场供应的热水瓶中，甲厂的产品占50%，乙厂的产品占30%，丙厂的产品占20%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为85%，丙厂产品的合格率为80%,从市场上任意买一个热水瓶，则买到合格品的概率为（D ）A ．0.725B ．0.5C ．0.825D ．0.86518．有三个盒子，在第一个盒子中有2个白球和1个黑球，在第二个盒子中有3个白球和1个黑球，在第三个盒子中有2个白球和2个黑球，某人任意取一个盒子，再从中任意取一个球，则取到白球的概率为（C ）A ．3136B ．3236C ．2336D ．343619．观察一次投篮，有两种可能结果：投中与未投中。

令1,；0,X ⎧=⎨⎩投中未投中.试求X 的分布函数()F x 。

(C)A ．0,01(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪>⎪⎩B ．0,01(),0121,1x F x x x ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩C ．0,01(),0121,1<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩x F x x xD ．0,01(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩20．设随机变量X 的分布列为===(),1,2,3,4,515kP X k k ，则或===(12)PX X ？（C ） A ．115 B ．215C ．15D ．415第二部分 计算题1．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求AB .解：AB =231123111112011011-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦＝5611246101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦||AB =5611246101--＝61156(1)4624-+-＝02．已知行列式2512371446125927-----，写出元素43a 的代数余子式43A ，并求43A 的值．解：43A =4343(1)M +-252374462-=---743437(2(5)2)624246--=---+--＝543．设1100010000100021A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求2A . 解：2A =1100110012000100010001000010001000100210210001AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．求矩阵25321585431742041123A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦的秩.解：2211334145124332432253211742017420585432532109521174204112302715634112358543027156317420095210000000000r r r r r r r r r r r r r r A -←−→--←−→-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎢--−−−→⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦所以，矩阵的秩r(A)=25．解线性方程组12312312331331590x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩.解： 用初等变换将增广矩阵（A ，B ）化为行阶梯矩阵231321312212113111311131(,)313104620231159004610003110002310003r r r r r r r r r A A B -+-+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==--−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭由于r(A)=3 r(A )=2 r(A )≠r(A ) 故原线性方程无解6．.解齐次线性方程组123412341234123424023450413140750x x x x x x x x x x x x x x x x --++=⎧⎪+--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩.解：对增广矩阵A 作初等变换，化成行最简形阶形矩阵22131411122236243212140121402345001230(,)14131400612180117500369012140105200123001230000000000000000000r r r r r r r r r r r r r r A A O +++---++----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪==−−−→⎪ ⎪---- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪-- ⎪−−−→−−−→⎪⎪⎝⎭0⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭系数矩阵的秩r(A)= r(A )=2＜4=n,所以原方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为：134234520230x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩ 所以：方程组的一般解为1342345223x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 、4x 为自由变量） 7．袋中有10个球，分别编有号码1到10，从中任取一球，设A={取得球的号码是偶数}，B={取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：（1）A+B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）B C +；（6）A-C.解：（1）Ω；（2）φ；（3）{2，4}；（4）{1，3，5，6，7，8，9，10}；（5）{6，8，10}；（6）{6，8，10}；8．一批产品有10件，其中4件为次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中有次品的概率。

解：样本点总数310n C =. 设A={取出的3件产品中有次品}.363105()1()16C P A P A C =-=-=.9．设A ，B ，C 为三个事件，1P(A)=P(B)=P(C)=4，()()0P AB P BC ==，1()8P AC =，求事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：0()()0ABC ABP ABC P AB ⊂∴≤≤=所以P(ABC)=0故所求的概率为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=1/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0 =5/810．一袋中有m 个白球，n 个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求： （1）在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率； （2）在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。

解：用A 表示“第一次取到白球”，B 表示“第二次取到白球”。

（1）袋中原有m+n 个球，其中m 个白球。