(完整版)微积分基本定理ppt
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微积分基本定理PPT课件
π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
高等数学《微积分基本定理》课件
5.3 微积分基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
微积分的基本定理PPT课件
所以F( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
第11页/共30页
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 就是
f
( x) 在[a,b] 上的一个
原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
第12页/共30页
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
三、 1、2 5 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4.
8
3
4
第28页/共30页
四、1、0；
2、1 . 10
六、 5 , 0. 33
0 , x 0
七、( x)
1 2
(1
cos
x)
,
0
x
.
1 , x
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感谢您的欣赏
第30页/共30页
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
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例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解
由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
微积分基本定理 课件
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
微积分学基本定理(精)ppt课件
a bf(x)d xF (x)|b aF (b )F (a )
证明: 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
x
F (x) (x)Caf(t)d tC x[a,b]
x
F(x)a f(t)d tC
微积分学基本定理 与定积分的计算
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念 定义
， 设 f( x ) 在 [ a ,b ] 上则 可 ( x ) x f 积 ( t) d ,x t[ a ,b ] a
定 义 了 一 个 以x为 积自 分变 上量 限 ，的 称函 为数 变
限的定积，分 或积分上限.函数
b
b
af(x)g(x)d xg(b)f(x)d;x (6)
2) 推论 设函 f在 数 [a,b]上可 ,若 积 g为单调 , 函
则[a,b],使得
b
b
af(x )g (x )d x g (a )af(x )d x g (b )f(x )d;x
证明: 若 g为增,令 函 h(x) 数 g(x)g(a)则 , h为非 、 增函 , 由 数定 9.1(i1 理 )i , [a,b]使 , 得
1 et2dt
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11 设函f数 在[a,b]上可，积
(i)若函 g在 [a,数 b]上,且 减 g(x)0,则 [a,b]使 , 得
b
af(x)g(x)d xg(a)af(x)d;x (5)
证明: 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
x
F (x) (x)Caf(t)d tC x[a,b]
x
F(x)a f(t)d tC
微积分学基本定理 与定积分的计算
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念 定义
， 设 f( x ) 在 [ a ,b ] 上则 可 ( x ) x f 积 ( t) d ,x t[ a ,b ] a
定 义 了 一 个 以x为 积自 分变 上量 限 ，的 称函 为数 变
限的定积，分 或积分上限.函数
b
b
af(x)g(x)d xg(b)f(x)d;x (6)
2) 推论 设函 f在 数 [a,b]上可 ,若 积 g为单调 , 函
则[a,b],使得
b
b
af(x )g (x )d x g (a )af(x )d x g (b )f(x )d;x
证明: 若 g为增,令 函 h(x) 数 g(x)g(a)则 , h为非 、 增函 , 由 数定 9.1(i1 理 )i , [a,b]使 , 得
1 et2dt
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11 设函f数 在[a,b]上可，积
(i)若函 g在 [a,数 b]上,且 减 g(x)0,则 [a,b]使 , 得
b
af(x)g(x)d xg(a)af(x)d;x (5)
微积分基本定理_图文_图文
微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
2-1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt
1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分 积分再求导 先 不定积分再求导 =本身 本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性 （可加性） ∫ g ( x )dx ， 可加性）
f ( x )dx ， （齐次性） 齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ． 线性性质） （线性性质 （线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值 推广的积分中值 Thm
上可积， 若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，
相关主题
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1
cos
2xdx
2
1dx
2
cos 2xdx
0
0
2
02
02
1
2
1dx
1
2 cos 2xdx
1（
2 1dx
2 cos 2xdx）
20
20
20
0
1（x 2
|02
(
1 2
s
in
2
x)
|02
）
1
[(
0)
1
(sin 2
sin 0)]
22
2
2
4
例4 计算下列定积分
1) 2 (4 2x)(4 x2 )dx 0
b a
f
(x)dx
F(x)
|ab
F (b)
F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．
公式 公式2一: ：
b xndx
a
=
x n
n+1
+1
|ab
公公式式1二: ：
b 1dx ax
= lnx|ab
公式三：
b
a b
a
sinx cos
dx (cosx) |ab xdx (sin x) |ba
1
x
解1、（ x1）'
x2
2 x2dx
1
（ x1）|12 （ 2）1 （1）1
1 2
解2、（lnx）' x1
2 1
x 1dx
（ln
x）|12
ln
2 ln 1
ln
2
解3、
2 (1 2)dx
1
x
2
1dx
1
2 2dx 1x
2
1dx 2
2 1dx
1
1x
x |12 2(ln x) |12 （2 1）（2 ln2 ln1）1 2ln 2
x2dx
（1 3
x3）|10
1 13 3
1 03 3
1 3
解：3、（1 x4）' x3 4
1 0
x3dx
（1 4
x4）|10
1 4
14
1 4
04
1 4
公式 公式2一: ：
b xndx
a
=
x n
n+1
+1
|ab
例2 计算下列定积分
1、 2 x2dx 1
2、 2 x1dx 1
22
3、 (1 )dx
微积分基本定理
定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的 面积。
y yf (x)
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dxc f (x
Oa
bx
【一、微积分基本定理】
一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t)
在t时刻时物体的速度为v(t) v(t)≥0,则汽车在时 间间隔［a, b]内经过的位移可用速度表示为
2 x2 2x 3
2)1
dx x
【三、练习】
(1) 1(-3t2 + 2)dt ___1___ 0
(2)
2
(x +
1 )2dx
=
_2_3_/_6__
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = ___9___ -1
(4)
2
(ex
1)dx
=
_e_2-_e_+_1_
1
【四、小结】
微积分基本定理
公公式式1二:：
b a
1dx x
=
lnx|ab
例3 计算下列定积分
2、 2 cos xdx 0
1、 2 sin xdx 0
3、 2 cos2 xdx 0
解1、 （sin x）' cosx
2 0
c os xdx
(sin x) |02
sin
2
sin 0
1
解2、 （ cosx）' sin x
b a
f
( x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
【二、例题讲解】
例1 计算下列定积分
1
1、 x dx 0
2、 1 x2dx 0
3、 1 x3dx 0
解：1、（1 x2）' x 2
1
x
0
dx
（1 2
x2）|10
1 12 2
1 02 2
1 2
解：2、 （1 3
x3）'
x2
1 0
b
s a v(t)dt
另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t) 在［a,b]上的增量s(b) –s(a) 来表达，即
s s(b) s(a)
则有：ab v(t)dt s(b) s(a) s '(t ) v(t )
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt sx
( cosx) |02
(
cos
2
)
(
cos0)
1
b a
sinx
dx
(cosx)
|ab
公式三：
b
cos xdx (sin
a
x) |ba
解：3、
2 cos2 xdx
0
cos2 x 1 cos2x 2
（1 sin 2x）' cos2x 2
2 cos2 xdx
2
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且
F’ (x)=f(x)，那么
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼兹公式。
为了方便起见，还常用 F ( x) |ba 表示 F(b) F(a)