微积分基本定理 课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
类型 1 利用微积分基本定理求定积分(自主研析) [典例 1] 求下列定积分． (1)∫3－1(4x－x2)dx；(2)∫1－1exdx. 解：(1)因为2x2－13x3′＝4x－x2， 所以∫3－1(4x－x2)dx＝2x2－13x3|3－1＝
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被 积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x) 等概念．
1．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被 积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先判断原函 数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别 注意符号和系数的调整，直到原函数 F(x)的导函数 F′(x) ＝f(x)为止，然后再利用微积分基本定理求出结果．
2×32－333－2×（－1）2－（－31）3＝230. (2)因为(ex)′＝ex，所以∫1－1exdx＝ex|1－1＝e－1e.
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
微积分基本定理
微积分基本定理 (1)定理内容：如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论 叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式． (2)定理的符号表示：∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
2．若 F′(x)＝x2，则 F(x)的解析式不正确的是( ) A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c 为常数)
解析：因为 F(x)＝x3 的导函数为 F′(x)＝3x2. 所以 F(x)＝x3 的解析式不正确． 答案：B
3.∫102xdx＝________． 解析：∫102xdx＝x2|10＝12－0＝1. 答案：1
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数的导 数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算 方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定 积分的值．( ) （4）若=F′（x）= f（x）,则 F（x）唯一( )
＝∫10(2x＋ex)dx＋∫21x－1xdx
＝(x2＋ex)10＋12x2－ln x21
＝(1＋e)－(0＋e0)＋12×22－ln
2－12×1－ln
1
＝e＋32－ln 2.
Leabharlann Baidu
(2)因为 y＝|x2－1|＝1x－2－x12，，01≤≤xx<≤12，，
所
以
∫
2 0
|x2
－
1|dx
＝
∫
1 0
(1
－
x2)dx
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
类型 2 求分段函数的定积分
[典例❷]
(1) 若
f(x)
＝
2x＋ex，0≤x≤1， x－1x，1<x≤2，
求
∫
2 0
f(x)dx；
(2)计算定积分：∫20|x2－1|dx.
解：(1)∫20f(x)dx
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
归纳升华 处理含有参数的定积分问题的注意点： (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综 合起来考查，先用微积分基本定理计算定积分是解决此类 问题的前提；
解析：(1)对，根据微积分基本定理的概念知，该说 法正确．
(2)对，事实上，被积函数的原函数有无数多个，取 原函数的常数项为 0，给计算带来方便．
(3)对，根据微积分基本定理的概念知，该说法正确． （4）错，如（x2）′＝2x，（x2＋1）′＝2x，不唯一. 答案：（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
4.设函数 f（x）＝x32－＋x1，，10≤≤xx≤<12，，则∫20f(x)dx＝
________．
解
析
：
∫
2 0
f(x)dx
＝
∫
1 0
(x2
＋
1)dx
＋
∫
2 1
(3
－
x)dx
＝
x33＋x10 ＋3x－x2221＝167.
答案：167
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成 n 段定 积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行； 带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
＋
∫
2 1
(x2
－
1)dx
＝
x－x33|10＋x33－x|21＝1－13＋83－2－13－1＝2.
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
[典例 3] 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt， 则 f(x)的值域是________．
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
类型 1 利用微积分基本定理求定积分(自主研析) [典例 1] 求下列定积分． (1)∫3－1(4x－x2)dx；(2)∫1－1exdx. 解：(1)因为2x2－13x3′＝4x－x2， 所以∫3－1(4x－x2)dx＝2x2－13x3|3－1＝
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被 积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x) 等概念．
1．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被 积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先判断原函 数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别 注意符号和系数的调整，直到原函数 F(x)的导函数 F′(x) ＝f(x)为止，然后再利用微积分基本定理求出结果．
2×32－333－2×（－1）2－（－31）3＝230. (2)因为(ex)′＝ex，所以∫1－1exdx＝ex|1－1＝e－1e.
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
微积分基本定理
微积分基本定理 (1)定理内容：如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论 叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式． (2)定理的符号表示：∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
2．若 F′(x)＝x2，则 F(x)的解析式不正确的是( ) A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c 为常数)
解析：因为 F(x)＝x3 的导函数为 F′(x)＝3x2. 所以 F(x)＝x3 的解析式不正确． 答案：B
3.∫102xdx＝________． 解析：∫102xdx＝x2|10＝12－0＝1. 答案：1
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数的导 数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算 方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定 积分的值．( ) （4）若=F′（x）= f（x）,则 F（x）唯一( )
＝∫10(2x＋ex)dx＋∫21x－1xdx
＝(x2＋ex)10＋12x2－ln x21
＝(1＋e)－(0＋e0)＋12×22－ln
2－12×1－ln
1
＝e＋32－ln 2.
Leabharlann Baidu
(2)因为 y＝|x2－1|＝1x－2－x12，，01≤≤xx<≤12，，
所
以
∫
2 0
|x2
－
1|dx
＝
∫
1 0
(1
－
x2)dx
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
类型 2 求分段函数的定积分
[典例❷]
(1) 若
f(x)
＝
2x＋ex，0≤x≤1， x－1x，1<x≤2，
求
∫
2 0
f(x)dx；
(2)计算定积分：∫20|x2－1|dx.
解：(1)∫20f(x)dx
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
归纳升华 处理含有参数的定积分问题的注意点： (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综 合起来考查，先用微积分基本定理计算定积分是解决此类 问题的前提；
解析：(1)对，根据微积分基本定理的概念知，该说 法正确．
(2)对，事实上，被积函数的原函数有无数多个，取 原函数的常数项为 0，给计算带来方便．
(3)对，根据微积分基本定理的概念知，该说法正确． （4）错，如（x2）′＝2x，（x2＋1）′＝2x，不唯一. 答案：（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
4.设函数 f（x）＝x32－＋x1，，10≤≤xx≤<12，，则∫20f(x)dx＝
________．
解
析
：
∫
2 0
f(x)dx
＝
∫
1 0
(x2
＋
1)dx
＋
∫
2 1
(3
－
x)dx
＝
x33＋x10 ＋3x－x2221＝167.
答案：167
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成 n 段定 积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行； 带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
＋
∫
2 1
(x2
－
1)dx
＝
x－x33|10＋x33－x|21＝1－13＋83－2－13－1＝2.
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
[典例 3] 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt， 则 f(x)的值域是________．
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]