离散数学第十三章
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
离散数学sec13 匹配
Hall定理
定理13.11 （Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中， |V1||V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任 意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻. 本定理中的条件常称为“相异性条件”. 由Hall定理立刻可 知，上图中(2)为什么没有完备匹配. m个男孩的结婚问题有解 iff 对每个正整数k(1≤k≤m), 任意k个男孩所认识的女孩的总数至少是k个。
证明线索：必要性. 若含可增广交错路径，可生成比M更 大的匹配. 充匹可论分配增为性，广真只 交.. 设 否要 错M则证 路和H明 径M.1|M设分，|=H别此|M=为时1G|不，即[M含H可1中可. M的由增]交必，广错要若路圈性H径=(知的若，匹，存M配M在1=和也)M，最不1其，大含上结 M数与也M相1等的边 （数 因相 为等M与，M且1所均有无交可错增路广径路上径，）M. 与M1中的边
证明见教材.
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最大匹配与最小边覆盖之间关系(续)
(1)
(2)
图中，红边为匹配M中的边. (1)中匹配是最大匹配. (2)中红 边与绿边组成最小边覆盖W. 反之，由(2)的最小边覆盖W产生(1)中的最大匹配M.
推论 设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配， W是G中的边覆盖，则 |M| |W|，等号成立时，M为 G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.
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点独立集与点独立数
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2
Hale Waihona Puke 5极大独立集与极小支配集
定理13.2 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大顶点 独立集都是极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大顶点独立集，证明它也是支配集.
chap13 平面图
极大平面图的面都是三角形
证明：… ⑴若v1与v3不邻接，则v1v2v3v4v1
v1 v2
围成内部面， 于是在该面内联 结 v1和v3不破坏G的平面性，此与G v4 是极大简单平面图的假设矛盾； v1 ⑵若v1与v3邻接，v2与v4不邻接， 则v1v2v3 v1 围成内部面，边v1v4 及顶点v4必在此面的外部， 故 v4 联结v2和v4不破坏G的平面性， 此与G的假设矛盾；
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K3,3是不可平面图
推论13.2.5：K3,3是不可平面图。
证明：因K3,3是二分图，故它不含K3 ，
假设K3,3是可平面图，则由推论13.2.4知
9 = q 2p – 4 =26 – 4 = 8 ,
即 ：9 8 ，矛盾。故结论成立。
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至少有4个顶点的度不超过5
i = 1, 2, …, p –3，均有 ？ d(vi) 6，则由性质④， 对i = p–2 , p–1, p，有d(vi) (G) 3。 于是，6p –21= 2q –9 因为由性质①， qj = –6 ，于是 2q – d( v ) (3p 这里 j= p–2, p-1, p) 6p – i 12 = 2q = d(vi ) (这里 =1, 2, …, p –3) 6(p –3) = 6p –18 . 此为矛盾，故结论成立。
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§13.2 欧拉公式
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欧拉公式
定理13.2.1(欧拉公式)：任何一个简单连通平面
《离散数学》考试大纲
《离散数学》课程考试大纲一、考试对象修完本课程规定内容的计算机科学与技术、网络工程、软件工程专业本科学生。
二、考试目的考核学生对《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法的掌握和运用能力, 属水平测试。
三、考试的内容和要求第一章集合考试内容：集合的概念、集合的表示、集合的基本运算、笛卡尔积。
考试要求：1、理解集合概念的本质和内涵；2、熟悉集合的各种表示方法；3、掌握集合的四种基本运算。
第二章关系考试内容：关系及其表示、关系的运算、等价关系、划分、序关系。
考试要求：1、理解关系的概念，会用关系表示对象之间的联系；2、掌握关系的运算；3、了解等价关系与划分之间的联系；掌握序关系的性质。
第三章映射考试内容：映射的基本概念、单射、满射、双射、映射的运算。
考试要求：1、理解映射的基本概念；2、掌握单射、满射、双射之间的关系；3、熟悉映射的运算。
第四章可数集与不可数集考试内容：集合的等势、集合的基数、可数集与不可数集。
考试要求：1、掌握等势的概念；2、了解基数之间大小比较；3、理解可数集与不可数集之间的本质区别。
第五章图与子图考试内容：图的概念、图的同构、子图及图的运算、途径、链、通路、连通图、图的矩阵表示。
考试要求：1、掌握图的基本概念，了解各种特殊的图；2、熟悉图的同构，掌握途径、链、通路之间的关系；3、了解连通图的各种性质。
第六章树考试内容：树的概念、树的几种等价定义、生成树及其应用。
考试要求：1、掌握树的几种等价定义；2、了解生成树的构造；3、熟悉生成树应用。
第七章E图与H图考试内容：E图；H图；应用。
考试要求：1、熟悉E图与H图的概念；2、掌握E图与H图的关系。
第八章平面图考试内容：平面图的概念；欧拉公式。
考试要求：1、掌握平面图的概念；2、熟悉欧拉公式的应用。
第九章有向图考试内容：有向图的概念、有向树及其应用。
考试要求：1、了解有向图与无向图的联系与区别；2、熟悉有向树的各种基本概念及其基本应用。
离散数学 离散数学课件-资格考试-
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) ( p q) r (2) (p p) (q q) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 1 若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 2 若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 3 若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
第二章 命题逻辑等值演算
2.1等值式
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式A B为重言式，则称A与B等值，记为A B。
例2.1判断下面两个公式是否等值：
(p q),
pq
例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p (q r) 与 (p q) r （2） ( p q) r与 (p q) r
3 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去 看电影，所以去游泳了。
4 若气温超过30。 C，则王小燕必去游泳。 若她去游泳，她就不去看电影了，所以王小 燕没去看电影，下午
气温超过了30。 C。
3.2自然推理系统
定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成：
（1）非空的字母表集，记作A（I）。 （2）A（I）中符号构成的公式集，记作E （I）。
3 E（I）中一些特殊的公式组成的公理集， 记作AX（I）。 4 推理规则集，记作R（I）。
定义3.3自然推理系统P定义如下： 1。字母表
（1）命题变项符号：p，q，r，…pi,qi,ri … 2 联结词符号： ， ， ， ， 。 3 号与逗号（），。 2。合式公式。
3。推理规则 1 前提引入规则 2 结论引入规则 3 置换规则 4 假言推理规则 5 附加规则
定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项及它的否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项及它的否定式。
离散数学讲义
NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具 体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的， 因而伊壁孟德正在撒谎。
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
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什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
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1-1 命题及其表示法
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。
复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”， “0”表示“假”。
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课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖 论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克 特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列 斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学教学大纲精选全文
精选全文完整版可编辑修改离散数学教学大纲一、教学目标本课程的教学目标是：1．学习和掌握离散型关系结构的构成及分析方法，包括：集合论的主要内容：集合的基本概念、二元关系、函数、自然数和基数等；图论的主要内容：图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图的着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用等；2. 学习和掌握离散型代数结构的构成、性质和分析方法，熟悉半群、群、环、域、格、布尔代数等有着重要应用背景的代数模型；3. 学习和掌握组合配置的存在性证明和计数方法，并用于离散结构的性质分析。
4. 学习和掌握命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本概念和推理方法。
5. 能够理论联系实际，用上述离散数学的描述工具和分析方法对实践中的离散系统进行建模和分析。
6. 通过严谨证明及正确逻辑推理的训练，进一步培养学生的抽象思维、计算思维能力和专业素质。
二、教学内容1．集合（教材第一章）●引言●预备知识（命题逻辑）●预备知识（一阶谓词逻辑）●集合的概念和集合之间的关系●集合的运算●基本的集合恒等式2．二元关系（教材第二章）●有序对与卡氏积●二元关系●关系的表示和关系的性质●关系的幂运算和闭包●等价关系和划分●序关系3．函数（教材第三章）●函数的基本概念、性质、合成、反函数4．自然数（教材第四章）●自然数的定义●自然数的性质5．基数（教材第五章）●集合的等势、有穷集合与无穷集合●基数和基数的比较与运算6．图（教材第七章）●图的基本概念●通路与回路●无向图和有向图的连通性●无向图的连通度7．欧拉图与哈密顿图（教材第八章）●欧拉图●哈密顿图8．树（教材第九章）●树9．图的矩阵表示（教材第十章）●图的矩阵表示10．平面图（教材第十一章）●平面图的基本概念●欧拉公式与平面图的判断●平面图的对偶图与外平面图●平面图与哈密顿图11．图的着色（教材第十二章）●点着色和色多项式●平面图着色和边着色12．支配集、覆盖集、独立集与匹配（教材第十三章）●支配集、点覆盖集、点独立集●边覆盖数与匹配●二部图中的匹配13．带权图及其应用（教材第十四章）●中国邮递员问题和货郎问题14. 代数系统（教材第十五章）●二元运算及其性质●代数系统、子代数和积代数●代数系统的同态与同构●同余关系与商代数15. 半群与独异点（教材第十六章）●半群与独异点16 . 群（教材第十七章）●群的定义和性质、子群●循环群、变换群与置换群●群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构17. 环与域（教材第十八章）●环与域18. 格与布尔代数（教材第十九章）●格的定义和性质、子格、格同态与直积●模格、分配格、有补格与布尔代数19. 组合存在性定理（教材第二十章）●鸽巢原理和Ramsey定理20. 基本的计数公式（教材第二十一章）●两个计数原则、排列组合●二项式定理与组合恒等式●多项式定理21. 组合计数方法（教材第二十二章）●递推方程的公式解法●递推方程的其他求解方法●生成函数的定义和性质●生成函数、指数生成函数及应用●Catalan数与Stirling数22. 组合计数定理（教材第二十三章）●包含排斥原理与对称筛公式●Burnside引理与Polya定理23. 命题逻辑（教材第二十六章）●引言●命题和联结词●命题形式和真值表●联结词的完全集●推理形式●命题演算自然推理形式系统N●命题演算形式系统P●N与P的等价性●赋值与等值演算●命题范式●可靠性、和谐性与完备性24. 一阶谓词逻辑（教材第二十七章）●一阶谓词演算的符号化●一阶语言●一阶谓词演算形式系统NL●一阶谓词演算形式系统KL●NL与KL的等价性●KL的解释与赋值●KL的可靠性与和谐性●KL的和谐公式集三、教学方式以课堂讲授为主，辅以作业和练习，并配备助教对作业进行批改。
《离散数学》讲义 - 3
离散数学
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1、集合概念及表示
（1）集合 ①概念 一般地说，把具有相同性质的一些东西，汇集成 一个整体，就形成一个集合。 例如：教室内的桌子；全国的高等学校；自然数的 全体；直线上的点。 ②分类 有限集：集合的元素个数是限的。 无限集：集合的元素个数是无限的。
离散数学 3
（2）表示
①集合：A～Z；元素（集合中的事物）：a～z。 ② I 元素a属于集合A， 记作：aA II 元素a不属于集合A， 记作：aA
离散数学
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（2）应用
定理3-1.1 集合A和B相等的充分必要条件是这两 个集合互为子集。
离散数学
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4、真子集
定义3-1.3 如果集合A的每一个元素都属于B，但 集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真 子集。 记作：AB。 即：AB(AB)(AB) AB(x)(xAxB)(x)(xBxA)
离散数学 46
（2）相等
定义3-4.1 两个序偶相等， <x,y>=<u,v>,iff x=u,y=v。 注意： ①序偶<a,b>中的两个元素可以属于不同的集合， 可代表不同类型的事物。 ②在序偶<a,b>中，a称第一元素，b称第二元素。
离散数学
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（3）推广
三元组是一个序偶，其第一元素也是一个序偶。 形如： <<x,y>,z> <<x,y>,z>=<<u,v>,w>,iff<x,y>=<u,v>,z=w 即：x=u,y=v,z=w。 约定：三元组<<x,y>,z>记作<x,y,z> 注意： 当xy时，<x,y,z><y,x,z> <<x,y>,z><x,<y,z>> 其中：<x,<y,z>>不是三元组。 同理：四元组第一元素是三元组 四元组：<<x,y,z>,w> 四元组相等： <<x,y,z>,w>=<<p,q,r>,s> (x=p)(y=q)(z=r)(w=s)
离散数学耿素云PPT第版
通路与回路(续)
在两种意义下计算圈的个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
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通路与回路实例
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通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
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通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
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点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
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1.1 命题及联结词
运算符“析取” 与汉语的“或”几乎一致但有 区别：哪些老师讲离散数学？有人回答如下：
(16)“讲离散数学的老师是杨老师或吴老师”， 分解为
“讲离散数学的老师是杨老师”或 “讲离散数学的老师是吴老师”， 这两个原子命题有可能都是对的， 这种“或”称为“可同时为真的或”， 或简称为“可兼或”。 这种“或”表示可表 示为“析取”
1.1 命题及联结词
定义1.4条件:当p是1 ,q是0时,pq为0,即10 为0,其他情况为1。
逻辑运算符“如果…那么”， 如老妈说：“如果期终考了年级前10 名，那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为pq。 先考虑值为0即假的情况： 当p为1即“期终考了年级前10”， 且q为0即“没有奖励1000元” 这时老妈的话是假话空话，
这个例题有点不正点！ “郎才当且仅当女貌”，
可以表示为“郎才女貌”
1.2命题公式
对错明确的陈述语句称为命题，其真值t/f 0/1 C运算：加+、减-、乘x、除/、余数%， 命题逻辑：合、析、否定、条件、双条件(版) C语言中用变量x表示某些数，如x*x+x+10是表达式，
命题逻辑中用变量p,q,r表示任意命题，由命题常元与 此类变量所构成表达式，称为“命题公式”。
无论p/q取何值，这两个公式的值，与前面各例 不同，此表是将运算结果写在联结词的下方！
1.3 等值式
定义1.3.1等值： 对于合法的命题公式A、B， 若无论其中的命题变元取何值，A 、B值总相等， 称为两个公式等值，记为AB (边播边板)
目的:
1．掌握离散数学五大核心内容（集合论、数 理逻辑、代数结构、图论、组合数学）的基本概 念、基本理论、基本方法，训练提高学生的概括 抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力，培养 学生严谨、完整、规范的科学态度和学习思维习 惯。