离散数学1. (14)

离散数学(第14讲)二元关系

13
Discrete Mathematics 2）反之，在非空集合A上给定一个划分π，则可将A 分割成若干个划分块。根据以下条件定义A上的二元关系R，即对任何元素x,y∈A，如果x和y在同一划分块中，则xRy。显然，R是A上的等价关系，称为由划分π所诱导的等价关系，并且该等价关系的商集就等于π 。结论的划分是一一对应的。集合A上的等价关系与集合crete Mathematics 在非空集合A上给定一个划分在非空集合上给定一个划分π={A1,A2,…,Am}，上给定一个划分，找出由π所唯一确定的所唯一确定的A上的等价关系的方法如找出由所唯一确定的上的等价关系的方法如下：把划分π的每一块都拿出来，把划分的每一块Ai都拿出来，并且作其笛卡的每一块尔积A 尔积 i× Ai(i=1,2,..,m) ，然后求这些笛卡尔积的并集，即为所求，并集，即为所求，即
1
Discrete Mathematics 例设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，， R={<x,y>|x,y∈A∧x =y(mod3)}，其中 =y(mod3) ∈ ∧ ，其中x 的含义是x和分别除以后的余数相等，分别除以3后的余数相等的含义是和y分别除以后的余数相等，即x-y可以整除。上的等价关系，被3整除。不难验证为A上的等价关系，它的关系整除不难验证R为上的等价关系图如下图所示：下图所示图如下图所示：
Discrete Mathematics
Discrete Mathematics 3、商集、为非空集合A上的等价关系，定义设R为非空集合上的等价关系，以R的不相为非空集合上的等价关系的不相交的等价类为元素的集合叫做A在下的商集，下的商集交的等价类为元素的集合叫做在R下的商集，记作A/R，即， A/R={[a]R |a∈A} ∈ 显然，显然，在例1中，A在R下的商集是中在下的商集是 A/R ={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}。。

离散数学第1章习题答案

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#define MAX_STACK_SIZE 100 typedef int ElemType; typedef struct{ElemType data[MAX_STACK_SIZE];int top;} Stack;void lnitStack(Stack *S){S->top=-1;}int Push(Stack *S,ElemType x){if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1){printf("\n Stack is full!");return 0;}S->top++;S->data[S->top]=x;return 1;}int Empty(Stack *S){return (S->top==-1);}int Pop(Stack *S,ElemType *x){if(Empty(S)){printf("\n Stack is free!");return 0;}*x=S->data[S->top];S_>top__;return 1;}void conversion(int N){int e;Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));InitStack(S); while(N){Push(S,N%2);"}while(!Empty(S)){Pop(S, &e);printf("%d ",e);}}void main(){ int n;printf(" 请输入待转换的值n: \n");scanf ("%d",&n);conversion(n);1. 判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1) 离散数学是计算机专业的一门必修课。

离散数学第一章部分课后习题参考答案

第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10.（3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0(4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。

并且，如果3是无理数，则也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”答：p: 是无理数 1q: 3是无理数0r: 是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(q→p)（5）(p∧r) (p∧q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) (p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q)(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1(p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(p→q)→(q p)(p q)(q p)(p q)(q p)(p q)(q p)(q p)(p q)(p q)(p q)(p q)(p q)∑(0,2,3)主合取范式：(p→q)→(q p)(p q)(q p)(p q)(q p)(p(q p))(q(q p))1(p q)(p q) M1∏(1)(2) 主合取范式为：(p→q)q r(p q)q r(p q)q r0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p(q r))→(p q r)(p(q r))→(p q r)(p(q r))(p q r)(p(p q r))((q r))(p q r))1 11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p q,(q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明：（2）①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥（q t）(t q) ⑤置换⑦（q t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p(q r),s p,q结论：s r证明①s 附加前提引入②s p 前提引入③p ①②假言推理④p(q r) 前提引入⑤q r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p q,r q,r s结论：p证明：①p 结论的否定引入②p﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

离散数学自考第一章(课后习题和答案)

P F F T T Q F T F T P↔Q T F F T
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。
（３）举例：
▪ 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 ▪平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 ▪２＋２＝４当且仅当雪是白色的。（两者没有关系，但是确实命题）
举例：（a）P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。（b P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。 (c) P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6
３．析取词（或运算）（１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则（Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的“析取”，读作： “Ｐ或Ｑ”。
（a）P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。（b）P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则 3×3=9。（善意推定）
５．双条件联结词（“等价”词、“同”联结词、 “等同”词）（１）符号“↔”设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔ Ｑ读作：“Ｐ当且仅当Ｑ”，“Ｐ等价Ｑ”,“Ｐ是Ｑ的充分必要条件”。（２）定义（见真值表）：
（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ交换位置不会改变真值表中的值。
６．命题联结词在使用中的优先级（１）先括号内，后括号外（２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ → ↔ （由高到低）（３）联结词按从左到右的次序进行运算
∨
¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号，因为“Ｖ”运算是可结合的。（ ¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ可省去括号，因为符合上述规定而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满足结合律。

离散数学公式

基本等值式1.双重否定律 A Û┐┐A2.幂等律 A Û A∨A, A Û A∧A3.交换律A∨B Û B∨A，A∧B Û B∧A4.结合律(A∨B)∨C Û A∨(B∨C) (A∧B)∧C Û A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) Û (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) Û (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) Û┐A∧┐B ┐(A∧B) Û┐A∨┐B7.吸收律A∨(A∧B) Û A，A∧(A∨B) Û A8.零律A∨1 Û 1,A∧0 Û 09.同一律A∨0 Û A，A∧1 Û A10.排中律A∨┐A Û 111.矛盾律A∧┐A Û 012.蕴涵等值式A→B Û┐A∨B13.等价等值式A«B Û (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B Û┐B→┐A15.等价否定等值式A«B Û┐A«┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) Û┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、«(若存在)。

(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。

(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。

推理定律--重言蕴含式(1) A Þ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) Þ A化简律(3) (A→B)∧A Þ B假言推理(4) (A→B)∧┐B Þ┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B Þ A析取三段论(6) (A→B) ∧ (B→C) Þ (A→C) 假言三段论(7) (A«B) ∧ (B«C) Þ (A « C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) Þ(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) Þ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) Þ(┐A∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）"xA(x) Û A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）$xA(x) Û A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐"xA(x) Û $x┐A(x)（2）┐$xA(x) Û "x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1） "x(A(x)∨B) Û "xA(x)∨B"x(A(x)∧B) Û "xA(x)∧B"x(A(x)→B) Û $xA(x)→B"x(B→A(x)) Û B→"xA(x)（2） $x(A(x)∨B) Û $xA(x)∨B$x(A(x)∧B) Û $xA(x)∧B$x(A(x)→B) Û "xA(x)→B$x(B→A(x)) Û B→$xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）"x(A(x)∧B(x)) Û "xA(x)∧"xB(x)（2）$x(A(x)∨B(x)) Û $xA(x)∨ $xB(x)全称量词“"”对“∨”无分配律。

离散数学参考答案

答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D. 答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.12.(单选题) 设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会。

则命题：“派小王或小李中的一人去开会” 可符号化为：（）答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.答题： A. B. C. D.问题解析：20.(单选题) 下面“”的等价说法中，不正确的为A．p是q的充分条件B．q是p的必要条件C．q仅当p D．只有q才p答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：答题： A. B. C. D.22.(单选题) 下列式子是合式公式的是( )A．（P Ú ® Q）B．Ø（P Ù（Q Ú R））C．（P Ø Q）D．Ù Q ® Ù R答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：23.(单选题) 公式Ø（（p®q）Ù（q ® p））与的共同成真赋值为( ) A．01，10 B．10，01 C．11，00 D．01，11答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：24.(单选题) p,q都是命题，则p®q的真值为假当且仅当( )A．p为假，q为真B．p为假，q也为假C．p为真，q也为真D．p为真，q为假答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：25.(单选题) n个命题变元组成的命题公式，有( )种真值情况A．n B．C． D．2n答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：26.(单选题) 设A , B 代表任意的命题公式，则德？摩根律为Ø（A Ù B）Û( )A．ØA Ù ØB B．ØA Ú ØBC．A Ù ØB D．AÚB答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：27.(单选题) 设P , Q 是命题公式，德？摩根律为：Ø（P Ú Q）Û( )A．ØP Ù ØQ B．ØP Ú ØQC．P Ù ØQ D．PÚQ答题： A. B. C. D. （已提交）问题解析：28.(单选题) 命题公式A与B是等值的，是指（）。

离散数学(一)知识梳理

离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。

【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。

离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答

离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。

分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。

本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。

其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。

又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。

（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。

这里的“且”为“合取”联结词。

在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。

但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。

例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。

1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。

（2）p:5能被2整除，p为假命题。

（6）p→ｑ。

其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。

由于p与q都是真命题，因而p→ｑ为假命题。

（7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。

由于p为假命题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。

（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

（9）p：太阳系外的星球上的生物。

它的真值情况而定，是确定的。

1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。

西北工业大学《离散数学》课件-第14章

{a} {a}{b} {b{}a,b{}a,b} x x ∼x ∼x {a} {a}{b} {b}{a,b{}a,b} {a,b{}a,b} {a} {a} {a} {a} {a.b{}a.b{}b} {b} {a} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {b{}a,b{}a,b} {a} {a} {b} {b} {b} {b} {a,b{}a,b}{a,b{}a,{bb}} {b}{a} {a} {a,b{}a,b}
的逆元
12
实例
集合运算
Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法
单位元
0 1
零元无 0
Mn(R) P(B)
矩阵加法+ 矩阵乘法
并交对称差
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
B
无 n阶全0
矩阵
B 无
逆元
x逆元x x逆元x1 (x1给定集合)
X逆元X X的逆元X1 （X可逆）
的逆元为 B的逆元为B X的逆元为X
交与对称差对可分配无
10
特异元素：单位元、零元
定义14.7-9 设◦为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有
el◦x = x (或 x◦er = x)，则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
2
14.1 代数系统的基本概念
定义14.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算，简称为二元运算．函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简称一元运算. S 中任何元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S 中任何元素的运算结果都属于 S，即 S 对该运算封闭．

离散数学14

（1）将公式中的联结词化归成∧、∨、及┐。（2）利用德•摩根定律将否定符号直接移到各个命题变元之前。（3）利用分配律、结合律将公式归纳为合取范式或析取范式。
例题5 求(P ∧( Q → R)) →S的合取范式。
解
(P ∧( Q → R)) →S
┐(P ∧ (┐Q ∨R)) ∨S ┐P ∨(Q ∧┐R) ∨S (┐P ∨S) ∨ (Q ∧┐R)
定义1-7.1 在给定的命题公式中，将联结词∨换成∧，将∧换成 ∨，若有特殊变元F和T亦相互取代，所得公式A*称作A的对偶式。
例题1 写出下列表达式的对偶式。
A
（a）(P∨Q) ∧R （b）(P∧Q) ∨T （c）┐(P ∨Q) ∧ (P∨ ┐(Q ∧ ┐S))
A*
(P ∧ Q) ∨ R (P ∨ Q) ∧ F ┐(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ┐(Q ∨ ┐S))
如┐(P∧Q )∧(P∨Q)的主合取范式为 (┐P∨┐Q ) ∧(P∨Q)
10、求一个命题公式的主合取范式的方法
（1）真值表法定理1-7.4 在真值表中,一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。证明与定理1-7.3相同。
定理1-7.2 设P1， P2 ，…，Pn是出现在公式A和B中的所有原子变元，如果A B，则A* B*。
证明因为A B，即
A(p1,p2,…,pn)
B(p1,p2,…,pn)
是一个重言式，故 A(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
B(┐p1, ┐p2,…, ┐pn)
也是一个重言式。即
定理1-7A.(2的p1,作p用2, ：,为pn )AB(Bp又1,提p2,供,了p一n ) 种方法。其（由他1定）方理真1法-值7：.1表得法（2）利用A命*(题p1,定p2律, 推, p导n )证明B *( p1, p2, , pn ) （3）证明AB为永真式（因4此）证明A=>BA且* B=B>*A

离散数学第十四章图论基本概念

8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)：中所有顶点各异，则称为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相同且所有的边各异，则称为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.

离散数学文档1

（1）关系的表示
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又

离散数学刘任任版第14章答案.ppt

x 和y 的作用域： (R(x, y) Q(x, z)
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、

离散数学知识点归纳

离散数学知识点归纳
本文档旨在归纳和总结离散数学中的主要知识点。

离散数学是
一门关于离散结构和离散对象的数学学科，主要用于计算机科学、
信息技术和其他相关领域。

以下是一些常见的离散数学知识点：
1. 集合论：集合的定义、运算、子集、并集、交集和差集等。

2. 命题逻辑：命题、命题的合取、析取和否定、简介真值表和
命题等价性。

3. 谓词逻辑：量词、谓词、论域、量化和解释等。

4. 图论：图的定义、图的表示方法、连通性、树、图的着色问
题等。

5. 计数和组合：排列、组合、二项式系数、鸽笼原理等。

6. 关系论：关系的定义、关系的性质、等价关系和偏序关系等。

7. 有限自动机：状态、转移函数、状态转移图和正则表达式等。

8. 布尔代数：布尔运算、逻辑电路的设计和卡诺图等。

以上只是离散数学中的一部分知识点，这些知识点在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。

深入理解和掌握离散数学的知识对于解决实际问题和进行科学研究具有重要意义。

希望本文档能够帮助您系统地了解离散数学的主要知识点，为您的研究和研究提供参考和指导。

离散数学第1章命题逻辑的基本概念

4. 蕴涵式与蕴涵联结词“→” 定义 1.4 设 p, q 为二命题，复合命题“如果 p, 则 q”称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 p→q，并称 p 是蕴涵式的前件，q 为蕴涵式的后件， →称作蕴涵联结词，并规定，p→q 为假当且仅当 p 为真 q 为假. 说明：（1）p→q 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件（2） “如果 p, 则 q 的不同表述法很多：若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或除非 q，否则非 p，…．（3）当 p 为假时，p→q 为真，可称为空证明（4) 常出现的错误：不分充分与必要条件
3. 析取式与析取联结词“∨” 定义 1.3 设 p, q 为二命题，复合命题“p 或 q”称作 p 与 q 的析取式，记作 p∨q，∨称作析取联结词，并规定 p∨q 为假当且仅当 p 与 q 同时为假. 例将下列命题符号化（1）2 或 4 是素数. （2）2 或 3 是素数. （3）4 或 6 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. （5）王小红生于 1975 年或 1976 年. （1）—（3）为相容或（4）—（5）为排斥或在符号化时（5）可有两种形式，而（4）则不能
离散数学
高等教育出版社
课程简介
• 离散数学是现代科学的一个重要分支。离散数学是现代科学的一个重要分支。 • 离散数学的研究对象是离散量，一切以离散数学的研究对象是离散量，离散现象作为其研究对象或对象之一的数学均称为离散数学，学均称为离散数学，其研究各种各样的离散量的结构及之间的关系。散量的结构及之间的关系。 • 离散数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它如计算机科学、其重要的地位，在其它如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中码和密码学、物理、化学、均有重要应用。均有重要应用。

(完整版)离散数学电子教材1(可编辑修改word版)

第1 章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。

辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。

形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。

数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。

所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。

因此数理逻辑也称为符号逻辑。

数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。

本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2 章进行讨论。

1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。

在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。

因此命题就成为推理的基本单位。

在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。

定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。

命题的判断结果称为命题的真值，常用T(True)（或1）表示真，F(False)（或0）表示假。

真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。

从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。

例1.1.1 判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。

（2）请勿吸烟！（3）雪是黑的。

（4）明天开会吗？（5）x+y=5。

（6）我正在说谎。

（7）9+5≤12 。

（8）1+101=110 。

（9）今天天气多好啊！（10）别的星球上有生物。

解在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y 取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。