割补法巧算面积
割补法求面积
3
10 4
12
方法总结
切割法：
把不规则的图形切割成已学图形，再把各部分面积加起来
拼补法：
把不规则的图形拼补成已学图形，再用总面积减去补上的图形面积
谢谢观看
练习
图形大世界
——割补法
REPORT
面积公式回顾
面积=边长×边长
面积=长×宽
面积=底×高
面积=底×高÷2
面积=（上底+下底）×高÷2
3cm 3cm
3cm 3cm
左侧图形的面积 该怎么求呢
3cm 3cm
3cm 3cm
我们学过哪些图形的面积公式呢？
可以将不规则的图形切割成两 个或多个已学图形，进行计算：
3×3+3×（3+3）=27（平方厘米）
3cm 3cm
3cm 3cm
我们学过哪些图形的面积公式呢？
可以将不规则的图形拼补成一 个或多个已学图形，进行计算：
(3+3)×（3+3）- 3×3=27（平方厘米）
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
切割法： 3×6×2+10×（3+6+3）=156（平方厘米）
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
切割法： 3×10×2+（3+10+3）×6=156(平方厘米)
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
拼补法： （10+3+3）×（3+6+3）- 3×3×4=156（平方厘米）
《割补法巧算面积》课件
在本次PPT课件中，我们将讨论割补法巧算面积的方法。通过定义、原理、 应用范围、步骤与注意事项、示例演示、优缺点以及结论与展望，带您深入 了解这一计算面积的方法。
问题引入
我们经常需要计算不规则图形的面积，但传统的计算方法难以适用。割补法 是一种新颖而高效的解决方案，能够应对各种复杂的图形。接下来，我们将 介绍割补法的定义与原理。
割补法的定义与原理
割补法是一种将复杂图形分割成简单图形进行面积计算的方法。通过将图形 分解为多个易于计算的形状，然后逐个计算它们的面积，最后将所有结果相 加，我们可以准确而高效地得出整个图形的面积。
割补法的应用范围
割补法适用于各种复杂的几何图形，包括不规则多边形、曲线形状和非传统形状。它可以在建筑设计、土地测 量、地理学研究等领域发挥重要作用。
Hale Waihona Puke 2 优点：适用面广割补法适用于各种复杂图形，无论形状多么 奇特，都能计算其面积。
3 缺点：分割过程复杂
4 缺点：对计算要求较高
分割复杂图形可能需要耗费一些时间和努力。
使用割补法需要熟悉面积计算的相关公式和 方法，对于初学者可能有一定难度。
结论及展望
割补法是一种强大而实用的计算面积的方法，它可以解决传统方法难以处理 的复杂图形。未来，我们将继续研究和改进割补法，使其在更广泛的领域和 场景中发挥作用。
割补法的步骤与注意事项
步骤一：分割图形
将复杂图形分割为简单的几何形状，例如矩形、 三角形和圆。
步骤二：计算各个形状的面积
使用适当的公式计算每个简单图形的面积。
步骤三：求和
将所有计算出的面积相加，得出整个图形的面积。
注意事项
确保分割图形时不会产生重叠或遗漏的部分，以 确保计算的准确性。
小升初奥数巧求面积---割补法
11
解析
因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面 积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考 虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形， 图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方 形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯 形面积是（9× 9-5× 5）÷4=14（平方厘米）。
6
例3.求图中阴影部分的面积
7
解析
如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示， 将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等 于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形 OAB的面积之差。 解： π× 4× 4÷ 4-4× 4÷ 2=4.56。
8
例4. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两 条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形 面积的几分之几。
9厘米 5厘米
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例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴 影部分的面积。
D
B
F
A
C
E
13
解析
我们用割补法，将阴影部分割补 成一个半圆形，求出阴影部分面 积就可以了。 S半圆=10× 10× 3.14÷ 2=157平方 分米
D
B
F
A
C
E
14
例7.如图所示，空白部分占正方形面积的 几分之几？
S正=（5× 2）×（5× 2）=100（平方厘米） S阴=157+100=257（平方厘米）
4
例2.求图中阴影部分的面积
5
解析
在图中分割的两个正方形中，右边正方形的 阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左 边正方形中空白部分是半径为5的四分之一 个圆。 如右图所示，将右边的阴影部分平移到左边 正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正 好等于一个正方形的面积，5× 5=25。
巧用割补法求解二次函数中的面积问题(含答案)
巧用割补法求解二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是初中数学中的热点.本文以二次函数223y x x =--+为背景，以四边形、斜三角形为载体，介绍如何引导学生用割补法求解二次函数中的面积问题.【例题】 如图1，已知二次函数223y x x =--+，其图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，二次函数的顶点为D ，连结,AD CD ，求四边形AOCD 的面积.引导 问题在平面直角坐标系中求四边形AOCD 的面积，四边形的这四个顶点是二次函数中最重要的四个点，如何求出坐标轴上的点，以及二次函数的顶点D ?有了点的坐标以后，如何利用这些坐标求四边形面积?在求一般四边形AOCD 的面积遇到困难时，运用什么方法去解决?请学生提出自己的观点并尝试解决，然后分享学生的解题思路.评析 本次建模从二次函数中四个重要点构成的四边形面积如手.四边形两边在坐标轴上，学生容易想到割补思想.给学生充足的时间，分享交流如图2、3、4三种不同的割补方法，明确两种基本方法:割——用与原点的连线或与坐标轴平行的线段;补——用与坐标轴平行的线段.指出割补的目标是求图形面积的和或差，并为引出三角形的割补方法做好铺垫.变式1如图5，点P 是位于抛物线223y x x =--+上的一个动点，当点P 的横坐标为2时，则ACP ∆的面积为 .引导 问题求ACP ∆的面积，在例题中已求解,A C 两点，关键求出什么?三角形的三个顶点都求出后，三角形面积能直接求出吗?若不能，能否运用例题中的割补方法求面积?哪些方法适合本题，尝试探究解决.设计意图 学生通过四边形的割补，在三角形无法直接求解面积时会考虑割补法，三角形没有边是在坐标轴上，学生会发现与原点的连线无法解决，思考用平行于坐标轴的线段割补三角形，如图6，7，8，从而利用坐标求出线段长度，达到求解面积的目的.变式2 如图9，点P 是位于抛物线第二象限图象上的一个动点，连结,,PA PC AC .设ACP ∆的面积为S ，求S 的取值范围，并求S 的最大值.引导 问题从变式1到变式2，都是求面积问题，有何不同?为何会有不同?二次函数最值问题如何求解?如何建立ACP ∆面积关于点P 坐标的函数关系式?建模中的割补思想对解题有何帮助?解题思路 过点P 作//PQ y 轴，交AC 于点口.设Q 为2(,23)a a a --+，求出直线AC 解析式，求出Q 为(,3)a a +，32ACP APQ CPQ S S S ∆∆∆=+=，化归为PQ 的最值问题.变式3 如图10，若点P 为抛物线上位于第一象限上的一动点，连结,PA PC .设ACP ∆的面积为S ，求S 的取值范围.引导 问题变式3与变式2有区别与联系吗?这两题的主要不同点在哪里?能不能用相同的办法求解?请你尝试探究解决.评析 变式3中的点P 变化到第一象限，学生在解决问题时想到的基本都是作与x 轴平行的线段对三角形进行分割.考虑到学生很难作出同变式2中平行于y 轴的辅助线，这条辅助线添加到图形外面，虽然与变式2的思路是一致的，但添加图形外的辅助线对学生来说是个难点，两三角形的面积和变为面积差，难度增大，拓展了思维.解法1 如图11，过点P 作//PQ x 轴，交AC 于点口，设Q 为2(,23)a a a --+.∵直线AC ：4y x =+，故设Q 为22(2,23)a a a a ----+，∵22(2)3PQ a a a a a =---=+，∵ACP APQ CPQ S S S ∆∆∆=+ 2133(3)22PQ a a =⨯⨯=+ 23327()228a =+-. ∵01a <<，∵S 随a 的增大而增大，∵06S <<.解法2 如图12，过点P 作//PQ y 轴，交AC 延长线于点Q ，设P 为2(,23)a a a --+.∵直线AC ：4y x =+，∵(,3)Q a a +，∵2(3)(23)PQ a a a =+---+23a a =+， ∵PAC APQ CPQ S S S ∆∆∆=-2133(3)22PQ a a =⨯⨯=+23327()228a =+-. ∵01a <<，∵S 随a 的增大而增大，∵06S <<.。
割补法求面积经典实用
画龙点睛
❖ “割”是一种最常见的求面积的辅助方法，即把要 求面积的图形分割成若干小块，并且每一小块的面 积都可以直接用公式算出，最后求和；“补”也是 一种辅助解决问题的好办法，它能得到的一个更加 完整的图形，使要求面积的图形包含在整个图形之 中，解法二就是利用的此思路。
•割补法求面积
举一反三
❖ 1.求图形阴影部分的面积。（单位:厘米）
经典例题
下图中ABCD和DEFG都是正方形，求阴影部分的 面积。（单位：厘米）
B
7
A
C
•割补法求面积
F
4
D
E
解题策略
❖ 方法一：题中所求是阴影部分的面积，实际是求三 角形BDF的面积，此三角形的底和高都是未知的，我 们无法直接用公式来计算，但是，如果把阴影部分 分割成△BGF、 △DFG和△BDG这三块，先分别求出 这三个小三角形的面积，再把它们相加起来，就能 得到阴影部分的面积。
5 5
3 3
•割补法求面积
❖ 2.如图：AB=8厘米，CE=12厘米，CD=10厘米，
AF=9厘米，求四边形ABCD的面积。
B
E
A
F
D
C
•割补法求面积
❖ 3.如图：直角三角形中有一个矩形，求矩形 的面积。（单位：厘米）
4
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•割补法求面积
融会贯通
如图，三角形ABC是直角三角形，BDEF是 正方形，且E、F、D分别在AC、AB、BC上，已 知AB、BC分别长20分米、30分米，求正方形 BDEF的面积。
AFLeabharlann EBDC
•割补法求面积
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❖ （7-4）×4÷2+7×4÷2+4×4÷2=28(平方厘米) ❖ 方法二：也可以把右上角的长方形补完整，用大长方形的面
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
割补法巧算面积
割补法巧算面积割补法巧算面积知识精讲：分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）练习1如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少平方米？例题2如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？练习47．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？选做题例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？例6.已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？作业：1.如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连. 图中阴影部分的面积总和是多少？2. ．（2013秋•诸暨市校级期中）如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积3. 求阴影部分面积．4．求阴影部分面积．5. 求阴影部分面积：6.求阴影部分面积．7. 求阴影部分面积．8.（2011秋•宁波期中）求阴影部分的面积．9. 求阴影部分的面积．10. 求阴影部分的面积．11.求阴影部分的面积．12．求阴影部分的面积．。
割补法求三角形面积
割补法求三角形面积
割补法是计算三角形面积的一种常用方法。
根据割补法，给定一个三角形，我们可以在三角形内部或外部构造一些辅助线段，将三角形分割成更简单的几何形状，以便计算其面积。
以下是使用割补法计算三角形面积的一般步骤：
1. 画出给定的三角形ABC，并确保已知三个顶点A、B、C。
2. 选择一个合适的点D，使得线段AD与线段BC平行。
3. 测量线段AD的长度，记为h。
4. 计算线段AD与线段BC的长度比值k。
这可以通过测量线段AD和线段AB的长度，并计算k = AD / AB来实现。
5. 计算三角形ABD的面积：SABD = (1/2) * AB * h。
6. 计算三角形ABC的面积：SABC = k^2 * SABD。
7. 得到三角形ABC的面积SABC。
请注意，割补法只是一种计算三角形面积的方法之一，具体的步骤可能会因情况而异。
对于不规则三角形或无法使用割补法的情况，可以尝试其他计算面积的方法，如海伦公式或向量法。
第五讲割补法巧算面积ppt课件
例题5：如图，在两个相同的等腰直角三角形中各画一个正方形， 如果正 方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？
例题6：如图所示， 已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这 个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
练习3：如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的 各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正 三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分 的面积总和等于多少平方厘米？
例题4：如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连 接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中 阴影部分的面积是多少平方分米？
例题1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。 （单位：厘米）
练习1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。 （单位：厘米）
例题2：如图所示， 在正方形ABCD 内部有一个长方形 EFGH. 已知正方 形ABCD 的边长是6厘米 ， 图中线段 AE、 AH都等于2厘米． 求长方形 EFGH 的面积．
巩固练习 1、右图中的数字分别ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？
2、如右图所示，在正方形ABCD内部有梯形EHGF.已知正方形ABCD的 边长是6厘米，图中线段AE、AH、BF、DG都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？
3、如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点 与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？
第五讲 割补法巧算面积
例题5：如图，在两个相同的等腰直角三角形中各画一个正方形， 如果正 方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？
例题6：如图所示， 已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这 个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
练习3：如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的 各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正 三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分 的面积总和等于多少平方厘米？
例题4：如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连 接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中 阴影部分的面积是多少平方分米？
4、右图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？
5、如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36. 阴影正六边形的面积是多少？
第五讲 割补法巧算面积
在上一讲中， 我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方 形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式 根据公式，我们可以求 出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍， 或者求出三角形 格点图形面积是最小正三角形面积的几倍． 随着几何学习的步步深入， 大家会发现除了用公式法直接 求面积之外，还有很多间接求面积的方 法． 尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式， 但 是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．
巩固练习 1、右图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？
2、如右图所示，在正方形ABCD内部有梯形EHGF.已知正方形ABCD的 边长是6厘米，图中线段AE、AH、BF、DG都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？
割补法巧算面积
割补法巧算面积之蔡仲巾千创作时间：二O二一年七月二十九日知识精讲：分割法：把不规则的的年夜图形化为规则的小图形添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算例题1图中的数字分别暗示对应线段的长度,试求下面多边形的面积．（单元：厘米）练习1如图中的每个数字分别暗示所对应的线段的长度（单元：米）．这个图形的面积即是几多平方米？例题2如图,在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD 的边长是6厘米,图中线段AE、AH都即是2厘米．求长方形EFGH 的面积．练习2正方形ABCD的边长是8厘米,它的内部有一个三角形AEF（如图）,线段DF=3.6厘米,BE=2.8厘米,那么三角形AEF的面积即是平方厘米．例题3如图中,年夜正方形的边长为10厘米．连接年夜正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与年夜正方形的中心和一个极点相连,那么图中阴影部份的面积总和即是几多平方厘米？练习3.1．如图所示,正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部份的面积为cm2．例题4. 如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点．已知图1中阴影部份的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部份的面积是几多平方分米？练习47．如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列,依次进行两等分、三等分、四等分,各取出其中的一份画上阴影,则阴影部份的面积占全部面积的几分之几？选做题例5 如图,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是36平方厘米,那么正方形B的面积是几多平方厘米？例6.已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示）,求四边形ABCD的面积是几多？作业：1.如图所示,平行四边形的面积是12,把一条对角线四等分,将四等分点与平行四边形另外两个极点相连. 图中阴影部份的面积总和是几多？2.．（2013秋•诸暨市校级期中）如图,已知一个四边形的四条边AB,BC,CD和DA的长分别是3,4,13和12,其中∠B=90°,求这个四边形的面积3. 求阴影部份面积．4．求阴影部份面积．5. 求阴影部份面积：6.求阴影部份面积．7. 求阴影部份面积．8.（2011秋•宁波期中）求阴影部份的面积．9. 求阴影部份的面积．10. 求阴影部份的面积．11.求阴影部份的面积．12．求阴影部份的面积．。
第10讲 割补法巧求面积一
42
B
10
两个一样的梯形，重叠一部分拼出下图，求 阴影部分A的面积是多少？
A
2B
2
8
利用差不变原理求面积
利用差不变原理，把求不规则图形的 面积转化成求规则图形面积。
例题3
下图是两个相同的直角梯形重叠在一起形成的组合 图形，其中AB=8cm，CD=10cm，ED=20cm，求阴影 部分的面积。
答案 160
割补法巧算面积
利用割补法求不规则 图形的面积
2
每块图形的面积
均可求
10
2
切割成若干块规 则图形
2 10
切法1
3
切法2
切法3
2
10 2
10
2
10 2
10
2
10 2
10
孟子的母亲,世人称她孟母。孟子小时候,居住的地方离墓地很近， 孟子学了些祭拜之类的事,玩起办理丧事的游戏。他的母亲 说:“这个地方不适合孩子居住。”于是将家搬到集市旁 ,孟子学 了些做买卖和屠杀的东西。母亲又想: "这个地方还是不适合孩子 居住。”又将家搬到学官旁边。孟子学习会了在朝廷上鞠躬行礼 及进退的礼节。孟母说: "这才 是孩子居住的地方。”就在这里 定居下来了。
练习3
下图是两个相同的直角三角形组合而成，其中BC=8cm， ED=15cm，AE=6cm，求阴影部分的面积。
答案
66
把下面两个长方形拼成一个大长方形 3 4
3 5
一块正方形的钢板，先截去个宽3厘米的 长方形 ,又截去-个宽4厘米的长方形(如 图) ,面积比原来正方形减少51平方厘米. 原正方形的面积是多少平方分米?
3
4
利用转化的思想求面积 利用转化的思想通过添补把不规则图 形转化成规则图形
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S正六边形 6 S正方形 6 S正三角形 ．很显然阴影部分面积相当于 12 个小正三角形，而正六边形 面积相当于 6 个小正三角形，两者一比较，很容易发现空白部分面积等于 6 个小正方形的面 积，即 6 平方厘米．
10
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图1
图2
图3
11
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随堂练习
1、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）
【答案】 78 平方厘米 【解析】 如图将图形分割成三个长方形，所以多边形的面积是123+9 4+23=78 平方厘米
图1
图2
【答案】 12
【解析】
大三角形的面积是不变的，所以图 2 中阴影三角形的面积和是 16 3 9 16 4 12 平方厘
米．
7、如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是 36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米？
5
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的面积之和为 AB BC 高 2 ．于是它们的高为 73.5 2 18 24 3.5 分米．
因此正方形边长为 3.5 分米，即 35 厘米． A D
FE
BG
C
二、 分割为若干块全等图形 5、如图所示，大正方形的边长为 10 厘米，连接大正方形的各边中点得到一个小正方形， 将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影 部分的面积总和等于____________平方厘米？
割补法求面积技巧
割补法是一种常用的求面积的方法，其基本思想是将一个复杂的图形割补成几个简单的规则图形，然后利用这些规则图形的面积公式来求解原图形的面积。
以下是使用割补法求面积的一些技巧：
1.观察图形：首先观察要计算的图形，看是否可以通过割补将其变为简单的规则图形。
2.选择割补方式：根据图形的特点，选择合适的割补方式。
割补方式的选择对于简化问题非常重要。
3.计算规则图形面积：对于割补后的规则图形，使用相应的面积公式进行计算。
4.求和或相减：如果图形是通过割补多个部分得到的，那么需要将各部分的面积相加或相减，以得到原图形的面积。
5.验证答案：完成计算后，要验证答案是否正确。
可以通过将答案代回原图形，看是否与原图形的面积相等来进行验证。
下面是一个使用割补法求面积的例子：
题目：求下图中阴影部分的面积（单位：cm²）。
![阴影部分为不规则图形]
（请根据您所使用的软件或平台的功能进行适当的调整或
绘制）
解：观察图形，发现可以将阴影部分割补成一个半圆和一个等腰直角三角形。
半圆的半径为r = 5cm，面积为 21×π×r2。
等腰直角三角形的底为b = 10cm，高为h = 5cm，面积为 21×b×h。
因此，阴影部分的面积为半圆面积加上三角形面积，即 21×π×52+21×10×5=39.25cm2。
四年级数学下册 竞赛 第八讲 割补法巧算面积(pdf,无答案) 新人教版
在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．是不是所有格点图形都可以这样算面积呢？例题1如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？分析 阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形呢？练习1.如图所示，大正方形的边长为中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线．请问：阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？分析 我们没有学过正六边形面积的计算方法，只能把它分成小块来算．为了能与阴影三角形联系起来，应该怎样分割正六边形呢？练习2.如图所示，正六边形、Q 、R 分别是AB MNPQRS 分析 图a 和图b 中最小的正三角形面积是不一样的，但两个大正三角形面积例题2正三角形的各边分别五等分和七等分，例题3却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？练习3.如图，把两个同样大小的正方形分别分成55×和66×的方格表．其中“G ”形阴影部分的面积是558，请问“S ”形阴影部分的面积是多少？例题3中的阴影部分都是W 形，我们不能直接看出W 形和正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把W 形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．分析 乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么联系？练习4.如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形的面积是多少平方厘米？长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘例题5图中是一个边长为边中点，围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？分析 这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45º角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？练习5.如图，在等腰梯形ABCD 中，角B 是60度，线段AB 、AD 、CD 长度相等．如果以AB 为边的等边三角形的面积是10，那么等腰梯形ABCD 的面积是多少？本讲知识点汇总一、用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积．二、正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系．作业1.如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和是多少？ABCD题2.如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36．请问：阴影正六边形的面积是多少？3.如图，图（1）的阴影图形面积是24，那么图（2）阴影图形的面积是多少？4.图中空白部分的面积是100，那么阴影部分的面积是多少？5.如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DE长9厘米，CE长3厘米，求阴影部分的面积．。
巧用割补法解求解二次函数中的面积问题
巧用割补法解求解二次函数中的面积问
题
割补法是一种解决函数面积问题的有效方法，它可以用来计算二次函数中的面积。
割补法的基本思想是，将一个函数的面积分解为两个函数的面积之和，其中一个函数是原函数的一部分，另一个函数是原函数的补函数。
首先，我们需要确定二次函数的补函数，即将原函数的曲线上的点按照一定的规律反向移动，使其形成一条新的曲线，这条曲线就是补函数。
接下来，我们可以将原函数的面积分解为两个函数的面积之和，即原函数的面积加上补函数的面积。
最后，我们可以使用积分法来计算两个函数的面积，然后将两个函数的面积相加，就可以得到原函数的面积。
因此，割补法是一种有效的解决二次函数中面积问题的方法，它可以帮助我们快速准确地计算出二次函数的面积。
小升初奥数巧求面积割补法ppt课件
9厘米 5厘米
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例3.求图中阴影部分的面积
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解析
如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示， 将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等 于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形 OAB的面积之差。 解： π× 4× 4÷ 4-4× 4÷ 2=4.56。
S正=（5× 2）×（5× 2）=100（平方厘米） S阴=157+100=257（平方厘米）
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例2.求图中阴影部分的面积
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课后作业
以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图）， 直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
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割补法巧算面积
知识精讲：
分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形
添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1
图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积. （单位：厘米）
3
练习1
如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）•这个图形的面积等于多少平
5
2| 3
31 4
方米？--------------------
例题2
如图，在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段
AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.
练习2
正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF （如图），线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米.
例题3
如图中，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等
份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和
等于多少平方厘米？
例题4.如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是 294平方分米.请问：图2中的阴影部分的面积是多少平 方分米？
练习4
7.如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各 取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？
例6.
练习3.
1如图所示，正方形 ABCD 的边长acm ,则图中阴影部分的面积为
2
____________ cm •
选做题
例5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形
A 的面积是36
平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米
?
已知一个四边形 ABCD 的两条边的长度和三个角（如下图所示）
，求四边形ABCD 的面积
是多少？
45*
作业：
1•如图所示，平行四边形的面积是 12,把一条对角线四等分， 将四等分点与平行四边形另外 两个顶点相连•图中阴影部分的面积总和是多少？
2. . （2013秋？诸暨市校级期中）如图，已知一
个四边形的四条边 分别是3, 4, 13和12,其中/ B=90°，求这个四边形的面积
3.求阴影部分面积.
4 •求阴影部分面积.
AB , BC , CD 和 DA 的长
4cm 5cm
5.求阴影部分面积:
6•求阴影部分面
积.
4cm
7.求阴影部分面积.
2 cm
8. （2011秋？宁波期中）求阴影部分的面
积.
4S* 9.求阴影部分的面积.
10.求阴影部分的面积.
11.求阴影部分的面
积.
12•求阴影部分的面积.。