第04讲第二章数列极限定义证明
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列极限的概念(经典课件)5页word
第二章 数列极限引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。
极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。
§１ 数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。
教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。
深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。
会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：数列极限的概念。
教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。
教学方法：讲授为主。
教学学时：2学时。
一、数列概念：１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。
若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。
若记()n f n a =，则数列n n n f Λ,2,1),(=就可写作为：12,,,,n a a a L L ，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
２．数列的例子：（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭L ； （2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭L（3）{}2:1,4,9,16,25,n L ； （4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-L二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12，第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，…，第n 天截下1111222n n -⋅=，… 得到一个数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n21： 231111,,,,,2222n L L 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于零。
数列极限的定义ppt课件
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
11
用定义证明
lim
n
an=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
n
nn
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定 1,
由 1 1, n
只要 n 1时,
有 an 1 1,
给定 1 , 由 1 1 ,
10
n 10
只要 n 10时,
有
1 an 1 10 ,
给定 给定
1, 1010 1000
由 ,
1 1 , n 100 只要 n
只要 n 1000时,
2
数列的极限
例如
111 1
, , , 248
, 2n
,
;
2, 3 , 4 ,L , n 1 ,L ; 23 n
{
1 2n
}
{n 1} n
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
n (1)n1
{
用定义证明数列极限存在的步骤PPT课件
11
问题：
1.
若
an
是任意数列，lim n
bn
0,
2对于某一正问数是否0 一如定果有存lni在m 正anb整n 数0N 使得当nN时 有| xn a| 0 是否有 xn a (n )
3如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界
发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?
4 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的
13
例2 （记录） 用定义证明
lim n 0. 2 n n
证 0, 要使 n 0 n
2n
2n
这样的限制对数列极限的
显然当n 2时,
存在是否有影响？
n 2n
n
1 1n
1
n
n
nn 1
2！
1
n
nn 1
2
2 n1
因此只要 2 即可,
n1
即 n 1 2 由于改变数列
的有限项对数
再取所有偶数项组成子 数列x2k ,
显然
lim
k
x2k 1
1,
lim
k
x
2k
1,
xn 的两个子数列虽然分别 收敛, 但极限值不相等
由定理3的逆否命题知：
数列1,1,1,, 1n1 ,是发散的.
注:① 发散数列也可能有收敛的子数列．
② 证明数列发散时，可采用下列两种方法：
I ) 找两个极限不相等的子数列；
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
数列的极限定义证明
摘要：本文旨在通过对数列极限的定义进行证明，阐述数列极限的概念，并展示其数学严谨性。
首先回顾数列极限的定义，然后通过数学归纳法、夹逼定理等方法对数列极限进行证明。
一、引言数列极限是微积分学中的基本概念之一，它描述了数列在无限趋近于某一数值时的行为。
数列极限的定义为：若对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列{an}的项与常数A的差的绝对值小于ε，则称常数A为数列{an}的极限。
本文将对数列极限的定义进行证明，以展示其数学严谨性。
二、数列极限的定义设数列{an}是定义在正整数集N上的函数，常数A是实数。
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an - A| < ε，则称常数A为数列{an}的极限，记作：lim_{n→∞}an = A三、数列极限的证明1. 数学归纳法证明（1）当n=1时，由数列极限的定义，只需证明|a1 - A| < ε即可。
由于ε是任意给定的正数，因此当|a1 - A| < ε时，命题成立。
（2）假设当n=k（k为正整数）时，命题成立，即|ak - A| < ε。
接下来证明当n=k+1时，命题也成立。
由于|ak - A| < ε，根据数列极限的定义，存在一个正整数N1，使得当n>N1时，有|ak - A| < ε。
当n=k+1时，有：|ak+1 - A| ≤ |ak+1 - ak| + |ak - A|根据数列极限的定义，存在一个正整数N2，使得当n>N2时，有|ak+1 - ak| <ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时，有：|ak+1 - A| ≤ |ak+1 - ak| + |ak - A| < ε/2 + ε/2 = ε因此，当n=k+1时，命题也成立。
由数学归纳法可知，对于任意正整数n，都有|an - A| < ε。
因此，根据数列极限的定义，lim_{n→∞}an = A。
数列极限的定义证明
数列极限的定义证明一、引言数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列极限是数列理论中的基本概念之一。
在数学分析中，数列极限的定义是数学推理的重要基础，也是许多数学定理的核心。
二、数列极限的定义数列极限的定义是指当数列的项趋向于某个值时，数列的极限就是这个值。
换句话说，对于数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么数列的极限就是a。
三、数列极限的重要性1. 在微积分中，数列极限是导数和积分的基础。
在求导和积分的过程中，我们需要用到极限的性质和定义来推导出相应的公式和定理。
2. 在数学分析中，数列极限是许多重要定理的基础，如泰勒级数展开、函数极限和级数收敛等。
3. 数列极限的概念也被广泛应用于物理学、工程学和经济学等应用科学领域，用于描述各种现象和模型。
四、数列极限的例子1. 递推数列：考虑递推数列{an}，其中an=an-1+2，且a0=1。
我们想要求出数列的极限。
根据递推关系，我们可以得到a1=3，a2=5，a3=7，以此类推。
显然，数列的项随着n的增大而无限增大，所以数列没有极限。
2. 有界数列：考虑数列{an}，其中an=(-1)^n/n。
我们想要求出数列的极限。
当n为偶数时，an=1/n；当n为奇数时，an=-1/n。
显然，数列的项在n趋于无穷大时趋近于0，所以数列的极限是0。
3. 收敛数列：考虑数列{an}，其中an=1/n。
我们想要求出数列的极限。
对于任意给定的正实数ε，我们可以找到一个正整数N=1/ε，使得当n>N时，|an-0|<ε。
因此，数列的极限是0。
五、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：如果一个数列的极限存在，那么它是唯一的。
2. 数列极限的保号性：如果数列的极限大于（小于）0，那么数列中的项大于（小于）0的项的索引之后的所有项。
3. 数列极限的有界性：如果数列的极限存在，那么数列是有界的，即存在正整数M，使得对于所有的n，|an|<M。
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
数列极限的概念及其性质证明
数列极限的概念及其性质证明数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列极限是数列理论中的核心概念之一，它描述了数列在无限项下的趋势和性质。
本文将探讨数列极限的概念及其性质证明。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项数趋向无穷大时，数列中的数值逐渐趋近于某个固定的值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，那么称数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞)an = a。
二、数列极限的性质证明1. 唯一性性质首先，我们来证明数列极限的唯一性性质。
假设数列{an}的极限既为a又为b，且a ≠ b。
根据极限的定义，我们可以取ε = |a - b|/2，那么存在正整数N1和N2，使得当n > N1时，有|an - a| < ε，当n > N2时，有|an - b| < ε。
考虑n > max(N1, N2)，那么根据三角不等式，有：|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| < ε + ε = |a - b|。
这与|a - b| < |a - b|矛盾，因此假设不成立，数列极限的唯一性得证。
2. 有界性性质接下来，我们证明数列极限的有界性性质。
假设数列{an}的极限为a，则存在正整数N，使得当n > N时，有|an - a| < 1。
令M = max{|a| + 1, |a1|, |a2|, ..., |aN|}，那么对于任意的n > N，有：|an| = |an - a + a| ≤ |an - a| + |a| < 1 + |a| ≤ |a| + 1 ≤ M。
因此，数列{an}是有界的。
3. 单调性性质最后，我们证明数列极限的单调性性质。
数列极限的定义及几何解释
第二章函数第1节数列的极限数列极限的定义和几何解释数列的极限的定义和几何解释一、数列极限的定义.})1(1{1时的变化趋势当观察数列∞→-+-n n n 播放问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?n x n .1)1(1,1无限接近于无限增大时当n x n n n --+=问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.=-1n x nn n 11)1(1=--通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011<n 由,100时只要>n ,10011<-n x 有,10001给定,1000时只要>n ,1000011<-n x 有,100001给定,10000时只要>n ,100011<-n x 有,0>ε给定,])1[(时只要ε=>N n .1成立有ε<-n x如果数列没有极限,就说数列是发散的.数列的极限的定义和几何解释二、几点注意和几何解释注意：;.1的无限接近与刻划了不等式a x a x n n ε<-..2有关与任意给定的正数εNx 1x 2x 2+N x 1+N x 3x 几何解释:.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当N a a x N n n εε+->:定义N -ε其中;:每一个或任给的∀.:至少有一个或存在∃.,,0,0lim ε<->>∃>ε∀⇔=∞→a x N n N a x n n n 恒有时使数列的极限的定义和几何解释三、用定义证明数列的极限例1.1)1(lim 1=-+-∞→nn n n 证明证1-n x 1)1(1--+=-n n n n1=,0>ε任给,1ε<-n x 要,1ε<n 只要,1ε>n 或所以,,1]1[+=εN 取,时则当N n >ε<--+-1)1(1n n n 就有.1)1(lim 1=-+-∞→n n n n 即例2.lim ),(C x C C x n n n =≡∞→证明为常数设证C x n -C C -=,成立ε<,0>ε任给所以,0=,n 对于一切自然数.lim C x n n =∞→说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N ,但不必要求最小的N .,0>ε例3.1,0lim <=∞→q q nn 其中证明证,0>ε任给,0ε<=-nn q x ,ln ln ε<q n ,]ln ln [为自然数取q N ε≥,时则当N n >,0ε<-nq 就有.0lim =∴∞→n n q ,0=q 若;00lim lim ==∞→∞→n n n q 则,10<<q 若,ln ln q n ε>∴例4.lim ,0lim ,0a x a x x n n n n n =>=>∞→∞→求证且设证,01>ε任给.lim a x n n =∞→故,lim a x n n =∞→ ,1ε<->∃∴a x N n N n 时恒有使得当a x a x a x n n n +-=-从而有a a x n -<a 1ε<ε=谢谢THANK YOU。
第04讲第二章数列极限定义证明
第一章函数与极限§1.1函数§1.2极限§1.2 极限一、数列的极限二、函数的极限…1、概念的引入一、数列的极限2、数列的定义数列的有界性.数列的几何意义.数列是整标函数数列的单调性. ()().n x f n n =→∞几何解释1、概念的引入3、数列的极限2、数列的定义4N a、定义证明数列极限为一、数列的极限P66XT1.2 2.(1, 3, 4) 3.(1) 唯一性若数列{x n }收敛,则其极限值惟一.5、收敛数列的性质(P24)(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性(1) 唯一性若数列{x n }收敛,则其极限值惟一.5、收敛数列的性质(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性推论2.lim ,lim ,,,, .n n n n n n x a y b N n N x y a b →∞→∞==∃>≥≥设且若正整数当时有则必有反证:设a <b , 由定理3, ∃正整数N 1,当n > N 1时, 有x n < y n .取N 2= max{N , N 1},则当n > N 2( ≥N )时,有x n < y n .此与条件矛盾.定理3.lim ,lim ,,,,.n n n n n n x a y b a b N n N x y →∞→∞==>∃>>设且则正整数当时有推论3:, 若∃正整数N , 当n >N 时, lim n n x a →∞=则有x n ≥0a ≥0lim 0 (lim 0)n n n n x x →∞→∞≥≤即推论1.(保号性定理) 若lim n n x a →∞=, 而a >0 (a <0). 则∃正整数N , 当n >N 时, 有x n >0 (x n <0)(1) 唯一性若数列{x n }收敛,则其极限值惟一.5、收敛数列的性质(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 有序性推论…。
数列极限的定义证明
数列极限的定义证明数列极限是数学分析中一个重要的概念，它描述了数列中的数值逐渐趋近于某个确定的值。
而数列极限的定义则是通过一系列条件来准确定义数列的极限。
本文将通过严谨的论证，来证明数列极限的定义。
我们来回顾一下数列的定义。
一个数列是由一系列实数按照一定顺序排列而成的集合。
数列可以用数学符号表示为{a1, a2, a3, ...}，其中ai表示数列中的第i个元素。
数列有时也可以表示为{an}，其中n表示数列中的第n个元素。
数列的极限定义如下：对于一个给定的实数L，如果对于任意一个正实数ε（epsilon），存在一个正整数N（N>0），使得当n>N时，数列中的每一项与L的差的绝对值|an - L|都小于ε，那么我们称L为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an = L。
现在我们来证明这个定义。
首先，我们假设数列{an}的极限为L。
根据极限的定义，我们需要证明对于任意一个正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列中的每一项与L的差的绝对值都小于ε。
假设存在一个正实数ε>0，我们需要找到对应的正整数N，使得当n>N时，|an - L|<ε。
由于极限L存在，那么对于任意一个正实数ε，总能找到对应的正整数N1，使得当n>N1时，|a1 - L|<ε。
接下来，我们要证明对于任意一个正整数k，当n>N1时，|an - L|<ε。
我们假设存在一个正整数k，使得当n>Nk时，|an - L|≥ε。
由于数列{an}是有序排列的，所以必然存在一个最小的整数m，使得当n>Nm时，|an - L|≥ε。
现在我们来考虑数列中的子数列{ak}，其中k>N1。
由于数列是有序排列的，所以子数列{ak}中的每一项都大于等于数列{a1}中的对应项。
即对于任意一个正整数k，当n>N1时，我们有|an - L|≥|ak - L|≥ε。
这与我们的假设矛盾，所以假设不成立。
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
数列极限ppt课件
lim
n
xn
A,
或
xn
A(n ),
此时也称{ xn }的极限存在.
否则称{ xn }的极限不存在,或称{ xn } 发散.
5
定义5 设{ xn }是一个数列, A是一个常数,若对任给的 0, 存在正整数 N,使得当 n N时,都有| xn A | ,则称 A是
数列{ xn }的极限,或称{ xn }收敛于A,记作
特别地,若 xn
0
(或 xn
0
),则lim
n
xn
0
(或 lim
n
xn
0).
9
注:在推论2中即使是xn
yn
,也只能推出lim
n
xn
lim
n
yn .
定理4(夹逼定理)设数列{ xn },{ yn },{zn}满足xn yn zn (当
n
N时),且 lim
n
xn
lim
n
z
a
,则 lim
n
yn
a.
例2
lim
n
yn ,则存在正整数
N,当n
N 时,有xn
yn .
推论1(保号性定理)设 {
xn
}的极限存在,且lim
n
xn
0
(或
lim
n
xn
0),则存在正整数N,当n
N
时,有xn
0(或
xn
0).
推论2 设{ xn },{ yn }的极限存在,若 xn yn (当n N 时),则
lim
n
xn
lim
n
yn .
lim
n
xn
A,
数列极限的定义证明数列的极限(含解答)
数列极限的定义证明数列的极限例1证明数列,)1(,,43,34,21,21nn n --+的极限是1.（分析：所证结论，即对任意给定的0>ε，求数)(εN N =，使得N n >时，ε<-1n x ）证：nn x n n 1)1(--+=任给0>ε，要使ε<-1n x ，只要1(1)11n n n n ε-+--=<，即ε1>n ，∴对于0>ε，取]1[ε=N ，则当N n >时，1(1)1n n n ε-+--<即10(1)lim 1.n n n n-→+-=例2证明：02lim 1.1n n n →+=+证：21n n x n +=+任给0>ε（不妨设1ε<），要使ε<-1n x ，只要21111n n n ε+-=<++，即11n ε>-∴对于0>ε，取1[1]N ε=-，则当N n >时，211n n ε+-<+即02lim 1.1n n n →+=+注：取1ε<，保证110ε->，取N 时更方便.若不限定110ε->，则取1max{[1],1}.N ε=-例3已知2(1)(1)nn x n -=+，证明数列的极限是0.证：任给0>ε，要使ε<-1n x ，只要22(1)1110(1)(1)1n n n n nε--=<<<+++，即即ε1>n ，∴对于0>ε，取]1[ε=N ，则当N n >时，2(1)0(1)nn ε--=<+即20(1)lim 0.(1)nn n →-=+在利用数列极限的定义来论证某个数是数列的极限是，重要的是对任意给定的正数ε，定义中的正整数N 确实存在，但没有必要求最小的N .如果知道n x a -小于某个量，（这个量是n 的一个函数），那么当这个量小于ε时，ε<-a x n 当然也成立.若令这个量小于ε来定出N 比较方便的话，就可以采用这种方法（称为放大法）.例4证明221lim .292n n n n n →∞+=++证222192922(29)n n n n n n n +--=++++当9n ≥时，有2229912(29)2(29)4n n n n n n n n n--=<<++++取1max{[],9}.N ε=注：第一个不等式是有条件放大（即9n ≥）；第二个不等式是无条件放大，由此可知放大不等式一般有下列要求：（1）放大后的式子应该随着n 的增大而减小，能使该式小于ε.例如，式子如果是关于n 的有理分式，则要求分母n 的次数高于分子n 的次数.（2）使最后一个式子小于ε的不等式容易解出n .例5利用数列极限的定义证明1lim 1n n n →∞=（或1lim 1,0n n a a →∞=>）.分析：由于1n n x n =，底数与指数都随着n 而变化，故不好直接求解不等式11nn ε-<.需将不等式用其它方法化简放大，使得关于解n 更容易证一：令111nn a a -==+，即222(1)(1)(1)12222n n n n n n n n n a na a a a a --=+=++++>>⋅ （当2n >）即224n a n <，亦即a <1-<ε<，即24n ε>取24max{[],2}N ε=证2依据几何平均不超过算术平均不等式12n a a a n+++≤11(2)1)1n n n n +++++--=≤==+2(1)21n n --≤<=ε<，即24n ε>，故取24[N ε=.。
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lim xn a
x n a ( n ).
a 收敛数列 lim xn 发散数列 n a
n { 2 } 无穷发散
振荡发散 {sin n}
( 1)n1 lim 1 1 n n
xn 1 ( n ).
当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于 某一确定的数值 a 如何用数学语言描述?
ln a , 若a 1, 只要 a 1 , a 1 , 即 : n ln(1 ) 0 a 1 ln a ], 取 N1 [ ln(1 ) 若0 a 1, 只要 1 n a , n a 1 , 即 : n ln a , ln(1 ) 0 1 a ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
1 任意给定 0, 只要 n N 时, 有 x n 1 成立 .
则只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。
n N
确保
xn 1
当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值 a ? 如果是, 如何用数学语言描述?
第一章
函数与极限
§1.1 函数 §1.2 极限
§1.2 极限 一、数列的极限 二、函数的极限 …
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义
数列的几何意义.
数列是整标函数
数列的单调性. 数列的有界性.
xn f ( n) ( n ).
3、数列的极限
{ xn } n , xn a (cons .) 称a为数列{ xn }的极限.
， N , n， x n 是 __ 量 。
6）几何意义。 7）数列极限的等价定义：
0若在U(a , )之外数列 xn 至多只有有限项，则称数列 xn 收敛于极限a .
lim xn a 0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
> 1+ nn a 1 得 n . n
n
a 1 n,
(2) 设 a > 1, … >0,
n
令 n a 1 n ( n 0),
a1 , n
a 1 n
a 1 a 1 要使 a 1 , 只须 , 即n 即可. n
n
1 证明 lim .0. n n
n 证明 lim 1. n n 1
证明 lim C C .
n
证明 lim q n 0. q 1.
n
lim
n
n
a
1 , 其 中 a 0.
练习5 设x n 0, 且 lim x n a 0, 求证 lim x n a .
3 确 定 a是 xn 的 极 限
o
练习2 证明 lim
n
n2
n 1
2
2
1.
2 n 1
∵ xn 1
n2
n 1
1
n 1
2
2 2 2 n 1 ( n 1) n 1
2n 1
2n 2
2 , 0, 要 x n 1 , 只要 n1 2 取N [ 1], 当n N时 , 有
ln a 即: n , ln(1 )
ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
就有 a 1 ,
n
lim n a 1.
n
（P23
LT4）
例4
证明 lim
n
n
a 1, 其中 a 0.
n
证： 0,
要使
n
a 1 ,
n
a 1 . 0 a 1, a 1,
就有
n
a 1 ,
lim n a 1.
n
另证例4.
证明 lim n a 1. 其中a 0为常数.
n
证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, 令 n a 1 n ( n 0), 从而
1 2 2 n n a (1 n )n 1 C n n Cn n ... C n n
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
3、数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那么就称常数 a 是{xn} 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
1 ( n 1)
2
,
n
1
1 1
1 , 2 n 1 , n
n
1 n
例2
证明 lim C C .
n
（P22
LT2）
0,
xn C C C 0 ,
n N , 都有 C C 成立
例3
证明 lim q n 0 q 1. （P22
若a 1, 只要 a 1 ,
ln a ], 取 N1 [ ln(1 )
n
ln a , a 1 , 即 : n ln(1 )
a 1 0 a 1
n
若0 a 1, 只要 1 a ,
ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 1 , 1000 1000
1 1 , 给定 , 只要 n 10000 时 , 有 x n 1 10000 10000
引入符号 N 和 来刻化
引入符号 N 和 来刻化无限增大和无限接近!
( 1)n1 xn 1 n
2 2 n n6 取N [ ], 当n N时 , 就有 1 2 n 5
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要
不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小).
练习4 证明 lim
1
n
n 1
2
0.
1
n 1
2
0
n
LT3）
证明 (1) q 0 . (2) 0< q 1.
lg N [ ], lg q
0 q , n 要 xn 0 q ,
lg q lg ,
n
n lg q lg lg n lg q
例4 证:
证明 lim
n
n
a 1, 其中 a 0.
n
a 1 取N ,则 当 n N时 ,有
n
a 1 .
故
lim
n
n
a 1
( 其 中 a 1).
1 (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 a 1 n lim 1 <=> > 0, N, 当n>N时, 有 n a
n2
n 1
2
1
成立，故命题得证.
练习3 证明 lim 证 ∵ xn 1
n2 n 6 n 5
2
பைடு நூலகம்
1.
n
n2 n 6 n2 5
1
n1 n2 5
n n n2
2 n
0, 要 x n 1 ,
2 只要 , n
刻化两个数的接近程度: 绝对值
1 ( 1) n1 n 1 1 xn 1 1 1 ( 1) n n n
( 1)n1 xn 1 n
1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100 时, 有 x n 1 100 100 n 100
n n 1 n 2
lim n a 1. a 0.
n
b 1 (b 1)(b
n
b
... b 1)
a 1 n a 1.
( n a 1)[( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1] ( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1
n
lim xn a
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
1) 的绝对任意性和相对固定性。
2）N ( ) 的相应性（和不唯一性）。
3）xn a 的多样性。
4）n是大于N的所有自然数。
5） a 是 数 列 x n 的 极 限 ， 是 __ 量
即
另证例4.
n
1 1 . a
n
a 1
n
a
.
n
a 1 n a . (因 0 < a < 1)
n
lim
n
a 1.
(0 a 1).
综合（1、2、3）得
lim
n
n
a 1.
( a 0).
(2) 设 a > 1, … 还可以 用有理化的方法.
不等式 x n a 刻划了 x n与a的无限接近 ;
N与任意给定的正数 有关 .