最优化方法_理工大学内部课件汇总
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最优化方法课程PPT
x
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法及其应用[优质ppt]
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一 最优化问题总论
解 设四间车房长为 x 1 ，宽为 x 2．由题意可 知面积为 f(x1, x2)x1x2 且变量 x 1 ，x 2 ，应满足
2x15x240 x10，x2 0
即求 mfa(x1x ,x2)x1x2，
2x1x10， 5xx22
40， 0．
一 最优化问题总论
一 最优化问题总论
概括地说，凡是追求最优目标的数学问 题都属于最优化问题作为最优化问题，一般 要有三个要素：第一是目标；第二是方案； 第三是限制条件．而且目标应是方案的“函 数”．如果方案与时间无关，则该问题属于
静 态最优化问题；否则称为动态最优化问题
本书只讨论静态最优化问题．
一 最优化问பைடு நூலகம்总论
最简单的最优化问题实际上在高等数学 中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯 上又称之为经典极值问题．
例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四
个 角处剪去相等的正方形以制成方形无盖 水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
一 最优化问题总论
解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与
此相应的水槽容积为
f(x)(a2x)2x
一最优化问题总论 二一维搜索法 三常用无约束最优化方法 四常用约束最优化方法 五程序设计及其他优化方法
一 最优化问题总论
无论做任何一件事，人们总希望以最少 的代价取得最大的效益，也就是力求最好， 这就是优化问题．最优化就是在一切可能的 方案中选择一个最好的方案以达到最优目标 的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、 铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标 是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票 价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目 标．这是最简单的最优化问题，实际优化问 题一般都比较复杂．
最优化方法课件01.3
值,所以一元凸函数表示连接函数图形上任 意两点的线段总是位于曲线弧的上方.
13
对于一元凸函数f(x),可以发现,位于函数曲线 上方的图形是凸集.事实上这一结论对于多元 函数也是成立的,而且是充要条件,即有下面的 定理.
定理:设f(x)是定义在凸集D Rn上的函数,则 f(x)是凸函数的充要条件是其上图epi(f)为凸 集,其中epi(f)={(x,y)|x∈ D,y ∈ R,y≥f(x)}. 证明:作业
14
凸函数的性质
(i)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数k≥0,则 kf(x)也是D上的凸函数.
(ii)设f1(x), f2(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数
m 0,则f1(x)+m f2(x)也是D上的凸函数. (iii)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,b为实数,
则水平集S(f,b)={x|x∈D,f(x)≤b }是凸集.
不等式取等号,必须||y||=||z||=a,且（ y,z ） =||y||||z||, 容易证明y=z=x,根据定义可知,x为极点.
9
凸函数
定义1.7.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈ D,及任意的a ∈ [0,1]都有 f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
28
例:证明集合 S {X | AX b} 是凸集。其中，A 为 mn矩阵，b为m维向量。
证明：任取 X 1, X 2 S
A，X 1 则 b, AX 2 b
A[a X 1 + (1-a )X 2] a AX 1 + (1-a )AX 2 ab + (1-a )b b
所以，a X 1 + (1-a ) X 2 S
13
对于一元凸函数f(x),可以发现,位于函数曲线 上方的图形是凸集.事实上这一结论对于多元 函数也是成立的,而且是充要条件,即有下面的 定理.
定理:设f(x)是定义在凸集D Rn上的函数,则 f(x)是凸函数的充要条件是其上图epi(f)为凸 集,其中epi(f)={(x,y)|x∈ D,y ∈ R,y≥f(x)}. 证明:作业
14
凸函数的性质
(i)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数k≥0,则 kf(x)也是D上的凸函数.
(ii)设f1(x), f2(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数
m 0,则f1(x)+m f2(x)也是D上的凸函数. (iii)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,b为实数,
则水平集S(f,b)={x|x∈D,f(x)≤b }是凸集.
不等式取等号,必须||y||=||z||=a,且（ y,z ） =||y||||z||, 容易证明y=z=x,根据定义可知,x为极点.
9
凸函数
定义1.7.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈ D,及任意的a ∈ [0,1]都有 f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
28
例:证明集合 S {X | AX b} 是凸集。其中，A 为 mn矩阵，b为m维向量。
证明：任取 X 1, X 2 S
A，X 1 则 b, AX 2 b
A[a X 1 + (1-a )X 2] a AX 1 + (1-a )AX 2 ab + (1-a )b b
所以，a X 1 + (1-a ) X 2 S
最优化 PPT课件
• 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹 学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉 及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此 这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法 也不一致。
• 比较公认的是：“规划论”（包括线性和
非线性规划、整数规划、动态规划、多目
标规划和随机规划等），“组合最优化”，
“对策论”及“最优控制”等等。
j
1, 2,L
,n
(5)
14
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1, i 1, 2,L
,n
s.t.
j 1 n
(5)
xij 1, j 1, 2,L , n
i1
xij
0
或 1 ,i,
j
1, 2,L
,n
(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只
mn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai ,
i 1, , m
j 1
s.t.
m xij bj ,
j 1,2, , n
i 1
xij
0
11
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j1
m
i1
n xij
j1
n m
j1 i1
xij
费的总时间最少？
引入变量 xij ，若分配 i 干 j 工作，则取 xij 1，否则取 xij 0 。上
述指派问题的数学模型为
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1,i 1, 2,L
,n
j1
最优化方法课件01.1
2
二、包含的内容
按照优化思想分为经典方法与现代方法。 经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划等 现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火 算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。 我们学习的内容主要是经典的最优化方法。 内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、 约束最优化方法等主要内容。
i 1 j 1
9
m k
数学模型:
注:平衡条件 出现在约束条件中.
作为已知条件并不
10
例1.1.2 生产计划问题
设某工厂有m种资源B1,B2, …,Bm,数量分别为: b1,b2, …, bm,用这些资源产n种产品A1,A2, …, An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi 的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj. 再设Aj的单价为cj. 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该 厂总收入最多?
f x 2x1 2x2 , 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2
T
35
例：求目标函数的梯度和Hesse矩阵。
f ( x) x x x 2 x1 x2 2 x2 x3 3x2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 f f f 又因为： 2, 2, 0 2 x1 x1x2 x1x3
因此,数据拟合问题得数学模型为
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
18
§1.2最优化问题的基本概念
19
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
最优化方法复习大纲PPT课件
2 0 2 0 0 12
问：（1）确定当前单纯型表中的基变量，基本可行解，
目标函数值。
（2）判断其是否为最优单纯型表，是则给出理由；不是， 则继续求解该问题的最优解。
10
解：
（1）基变量为 x2 , x4 , x5 ，基本可行解为 x1 (0,4,0,2,6)T 。 目标函数值为12。
（2）因为变量 x1 的检验数 1 2 0 ，所以不是最优单纯
题的最优解计算. 6. 模式搜索法：计算。
7. 最优性条件： 积极约束判断，K-T条件， K-T点 判别。
8. 惩罚函数法： 外点法惩罚函数的构造，内点法 障碍函数的构造，外点法、内点法计算。
2
9. 线性规划： 建立线性规划模型，化标准型，基 本可行解的计算，单纯型表上的单纯型算法.
3
例1. 试用梯度法解下述问题 min f ( x) x12 4 x22
min z 2 x1 x2 3 x3
x1 x2 2 x3 4
s.t .
2 x1 x3 2 2x2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解： 令 x3 x4 x5 .
max z 2 x1 x2 3 x4 3 x5
x1 x2 2 x4 2 x5 x6 4
已知初始点 x1 (1,1)T ,求迭代点x2。
解： f ( x) [ 2x1 ,8x2 ]T d1 f ( x1) [ 2, 8]T
x x1 d1 [1 2,1 8]T
记 ( ) f ( x1 d1) (1 2 )2 4(1 8 )2
令 '( ) 4(1 2 ) 64(1 8 ) 0
最优化方法复习提纲
一、概念
最优化问题，凸集，凸函数，局部极小点， 全局极小点，下降方向，最优步长，共轭方 向，可行方向，积极约束，线性规划问题， 基本解。
华理最优化方法课件-3-2
注:根据线性规划问题本身的形式,可以引进一 些人工变量.
构造单纯性表
CB 0 M M XB x4 x6 x7 b 11 3 1 -3 x1 1 -4 -2 1 x2 -2 1 0 1 x3 1 2 1 0 x4 1 0 0 0 x5 0 -1 0 M x6 0 1 0 M x7 0 0 1
qi
11 3/2 1
min f ( X )=-3x1 x2 x3 min x6 x7 11 x1 2 x2 x3 x4 x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x x x 4 x x 2 x 3 3 1 2 3 5 6 1 2 3 2 x1 +x3 x7 1 2 x + x 1 1 3 x , x , x , x , x , x , x 0 x , x , x 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3
在实际问题中可以取M为适当大的一个数,比如 比问题中的系数大一个数量级.
两阶段法的数学模型
对于线性规划问题
n n aij x j bi(bi 0),i 1,2, min f ( X ) c j x j s. t. j 1 j 1 x 0, j 1,2, , n j
f ( X ) 2
*
§3.5 对偶问题的基本原理
例 3.8 生产问题
某工厂计划在下一生产周期生产3种产品A1,A2,A3 这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根 据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工 时，各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的 单位利润（单位：千元），如表3.1所示，问如何安 排生产计划，才能使工厂得到最大利润？
大M法的理论依据
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
最优化方法全部ppt课件
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
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最优化问题的提出
在所有可行的方案中选出最合理的，达到规 定要求最优目标方案的实际问题称之为最优化问 题。
其它的最优化问题： 田忌赛马
本课程名为：运筹与优化 更合适
优化问题的数学描述，包括：
（１）优化的目标 追求的目的，路程最短，花费最少… （２）寻求的决策 众多可选的方案中寻找一个使目标达到最优的决策 （３）限制条件 方案需满足特定的规则约束，如背包容量有限
最优化方法
2013.2
:
1.1 问题提出
1 何为优化问题? 2 优化问题如何描述? (即如何进行数学建模?) 3 如何求解?
最优化问题
• 现实世界中普遍存在着优化问题
如：（1）电影院的座位设计问题 （2）组合投资问题 （3）背包问题/贪婪问题 （4）旅行售货问题
优化问 题
（1）电影院的座位设计问题
根据处理思想方法的不同，分为数学规划、组合优 化、图论与网络流、动态规划…
数学规划
一般线性规划
线性规划
运输问题
(Linear
整数规划（Integer Programming）
Programming)
无约束非线性规划
非线性规划 (Non-Linear Programming)
约束非线性规划
例1 加工奶制品的生产计划
优化问 题
（2）组合投资问题
（3）背包问题(贪婪问题)
一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有3类不 同大小与价值的物品，但小偷只有一个容积为20的 背包来装东西，背包问题就是要找出一个小偷选择 所偷物品的组合，以使偷走的物品总价值最大。
（4）旅行售货问题
有一个推销员，要到各个城市去推销产品，他希 望能找到一个最短的旅遊途径，访问每一个城市，而 且每个城市只拜訪一次，然后回到最初出发的城市。
x1+x2≤50
劳动时间
生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人
总的劳动时间480小时，即
12x1+8x2≤480
设备能力
A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小
时，即
3x1≤100
非负约束
x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0
综上所述可得如下优化模型：
Max z 72 x1 64 x2
优化问题的数学描述，包括： 优化的目标——目标函数
寻求的决策——决策变量 限制条件 ——约束不等式
优化问题的一般表述（优化问题的数学模型）：
X表示决策变量，X=(x1,x2,…xn)’
Max f(X)
( 或 Min )目标函数
S.T g(X)>=0
约束条件
X∈D
1.2 优化问题分类
根据决策变量取值情况不同，分为连续型和离散型。
问题：一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制 品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤 A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据 市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1 获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能 得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间 为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1， 设备乙的加工能力没有限制。
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人 条件
非线性规划：使用临时料场的情形
使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i 的运送量为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送 量不超过日储量的条件下， 改建两个新料场，要同时 确定料场的位置(xj,yj)和运送量Xij，在同样条件下 使总吨千米数最小。
组合优化（Combinatorial Optimization）
组合最优化问题是通过对数学方法的研究去寻 找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等。
例：旅行商问题（TSP,traveling saleman problem）
一个商人欲到 n 个城市推销商品，每两个城市 i 和 j 之间的距离为 d ij ,如何选择一条道路使得商 人每个城市走一遍后回到起点且所走路径最短。
x1 x2 50
st
12
x1 8x2 480 3x1 100
x1, x2 0
线性 规划 模型 (LP)
目标函数和约束条件都是线性的，这种优化
模型称为是线性规划（linear programming,LP） 模型。
整数线性规划模型的实例
例1 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体 积、重量、可获利润以及托运所受限制如表5－1：
模型建立：
决策变量
设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2
目标函数
设每天获利为z元。 x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1; x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2; 故z=72x1+64x2
约束条件
原料供应
生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的
供应50桶，即
货物
甲 乙 托运限制
体积
重量
利润
每箱（米3） 每箱（百斤）每箱（百元）
5
2
20
4
5
10
24
13
问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
解：设托运甲、乙两种货物x1，x2箱，用数学式 可表示为：
例：游泳队员的选拔问题
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
5名候选人的百米成绩
甲
乙
丙
丁
1’06”8
57”2
1’18”
1’10”
1’15”6
1’06”
1’07”8
1’14”2
1’27”
1’06”4
1’24”6
1’09”6
58”6
53”
59”4
57ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?
如果丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成 绩进步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？
试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大.
问题分析：
1桶 牛奶 或
12小时 3公斤A1 8小时 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤 制订生产计划，使每天获A1利最大
生产计划是什么? 每天的牛奶：安排多少生产A1，多少生产A2 ?
有决策变量（生产计划），有目标，肯定就是 一个优化问题！考虑建立优化模型~
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
0-1规划模型
cij
i=1
j=1
66.8
j=2
75.6
j=3
87
j=4
58.6
cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
i=2
i=3
i=4
i=5
57.2
78
70
67.4
66
67.8
74.2
71
66.4
84.6
69.6
83.8
53
59.4
57.2
62.4