电动力学三二磁标势

n
bn Rn1
0
Pn
(cos
)
n
an R0n Pn (cos ).
通过比较得
a1
1 3
M0,
b1
1 3
M0 R03 .
an bn 0, n 1.
24
于是得
1
M0 R03 3
cos
R2
R03 3
M0 R
3
R
,
2
1 3
M0R cos
1 3
M0
R.
25
铁球外的磁场是 磁偶极子产生的 场，磁矩为
§2 磁标势
1
1、标势的引入
在一般情况下磁场不能用标势描述，而需 要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但 解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们 考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标 势的可能性。
2
由磁场环路定律得
LH dl SJ dS,
L为S的边界。如果回路L
环着电流，即有电流穿 过L所围曲面S，则
环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之
后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场
5
又例如电磁铁，我们想求出 两磁极间隙处的磁场，在这 个区域内也可以引入磁标势。
至于永磁体，它的磁场都是由分子 电流激发的，没有任何自由电流， 因此永磁体的磁场甚至在空间（包 括磁铁内部）都可以用磁标势来描 述。
6
总结起来，在某区域内能够引入磁标势 的条件是该区域内的任何回路都不被电 流所链环，就是说该区域是没有自由电 流分布的单连通区域。
32
15
解
以角标1代表磁性物质，2代
表真空，由磁场边界条件
n
B2
B1
0,
n
H2
H1
0
以及
B2 0 H2 , B1 1H1
可得 0 H 2n H1n , H 2t H1t ,
式中n和t分别表示法向和切向分量。
16
两式相除得
H2t 0 H1t 0
H2n H1n
在该磁性物质外面，H2与表面垂 直，因而表面为等磁势面
H
m
/
0
分方程
H 0
静电场微 分方程
E ( f p)/0
E 0
两组方程对比，差别仅在于没有自由磁荷， 这是由于磁荷都是由分子电流的磁偶极矩假 想而来的，到目前为止实验还没有发现以磁 单极子形式存在的自由磁荷。
11
由此，可以引入磁标势m，使
H m
用磁标势法时，H和电场中的E 相对应。
12
1
n
bn Rn1
Pn (cos )
而球内磁势2只含R正次幂项
2 an Rn P n(cos ).
n
20
铁球表面边界条件为当R=R (R0为铁球半径)
时 ，且设球外为真空，则有
n
B2
B1
0
B1R B2R
21
n
H2
H1
0
H1 H2 或 1
2
22
B1R
0 H1R
0
1
R
0
17
例2 求磁化矢量为M0的 均匀磁化铁球产生的磁 场。
18
解
铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁
荷。在铁球内由于均匀磁化，则有
M M0 m 0 M0 0
因此磁荷职分布在铁球表面上。球外磁势1和球 内磁势2都满足拉普拉斯方程，
21 0, 22 0. 19
由于球外磁势随距离的增大而减小，所 以1展开式只含R负幂次项
7
2·公式推导
在的J=0区域内，磁场满足方程
H 0 B 0
B 0(H M ) f (H )
此式表示一般的函数关系，是由于在铁磁性物质中，线性关
系B=H不成立。磁标势法的一个重要应用是求铁磁的磁场，
则此式中函数f(H) 不是单值，它依赖于磁化过程。
8
B 0
因
B 0(H M ) f (H )
H M
分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极 子，则物质磁化后就出现假想磁荷分布，和
电场值中P=－P 对应，假想磁荷密度为
m 0 M . 9
在J=0区域内， 所满足的微分方程
H m / 0 H 0
静电场微分方程
E (f p)/0 E 0
10
在J=0区域内， 所满足的微
29
磁偶极子的磁标势为
d m
dm r
4r 3
I
4
r
dS '
r3
I
4
d,
dபைடு நூலகம்面元dS’对场点x张开的立体角。
30
整个电流线圈产生的磁标势为
m
I
4
,
Ω为线圈对场点x所长开的立体角
31
如图，若x点在线圈所围曲 面的上方时，则 >0 ；若x 点在曲面下方，则 <0 。 当x点跨越曲面时, 有不连 续值=4，因此，用磁 标势法描述电流的磁场时， 必须除去线圈所围的一个 曲面。
m
4R03
3
M
MV
球内磁场是
V为铁球的体积
H
2
1 3
M0,
B
0(H
M0)
2 3
0 M 0 .
26
27
例3 求电流线 圈的磁标势
28
解
设电流线圈载有电流I，它可 以看作线圈所围的一个曲面上 许多载电流I的小线圈组合而 成。设位于x点上的小线圈的 面元为dS’，它的磁矩为
dm
IdS '
n
(n 1)bn Rn2
Pn
(cos
),
B2R 0 H 2R 0 M R
0
2
R
0 M 0
cos
0 nan Rn1Pn (cos ) 0 M0 cos 23 n
由
B1R B2R 1 2
n
(n 1)bn Rn2
0
Pn
(cos
)
n
na n
Rn1 0
Pn
(cos
)
M
0
P1
cos
)
把磁标势法中有关磁场的公式 和静电场公式对比，总结如下
静电场
E 0
E ( f p ) /0
静磁场
H 0
H m / 0
13
静电场
m 0 M
D 0E P
E
静磁场
p P
B 0H 0M
H m
2 ( f p ) /0 2m m / 0
14
例1 证明的磁 性物质表面为等磁势 面。
H dl 0,
L
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似， 因而不能引入标势。
3
在解决实际问题时，我不考虑整个空间中 的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所 有回路都没有链环着电流，则
LH dl 0,
因而在这个区域内可以引入标势。
4
例如一个圈，如果我们挖去线圈所围着的一个壳形
区域之后，则剩下的空间V中任一闭合回路都不链