等比数列的前n项和优质课比赛

思考
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一 幅美丽的夜景的同时，也留 给了大家一个数学问题，你 能用今天所学的知识求出这 首古诗的答案吗？
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第一层 n=1 第二层 n=2
… ……
思考
…… ……
第七层 n=7
……
数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7,
S7=381,求a1
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练习: 已知 { a n } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
(1)
3
(2)
?
q
n
Sn
2
6
?
3
5
242
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练习: 已知 { a n } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
(1)
3
(2)
2
q
n
Sn
2
6
189
3
5
242
解：(1) a13 ,q2,n6 (2) S52,4 q 2 3 ,n5
31 2 6
等比数列的前n项和
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想一想
和S设n 等a 比1数列a2 a n公 比a 为n，q如，何它用的a前1,nq项,n
或 a n 来表示S n ？
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问题讲解
错位相减法1 错位相减法2
等等比比数数列列{{aan}n,}公,公比比为为qq,它,它的的前前n n项项和和 SSnn aa11a1aq2a1qa23a1qann21 a1aqnn，1 qqSSnn a1aq2a1qa23 a1qann21a1qann1aa1qnqn ，
)
1 [1 ( 1 )8 ]
S8
2
2 1 1
1 (1)8 255 2 256
2
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例２、已知等比数列 { a n } 的前4项和是 S4 40，公比
q 3 ，求首项 a 1
解： 请学生填空
S44,0 q3, n 4
S4a1(11 qqn)a111 334 40
a1 1 精品课件
S6 1 2
3261
189
S5
a1135 13
242
a1 2
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练习: 已知 {a n } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q n Sn
(1)
3
2
6
189
(2)
2
3
5
242
在等比数列的通项公式和前n 项和公式中涉及到a1、q、 n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想
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回顾反思
1(1264) 264 1 12
= 18446744073709551615(粒).
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算
一
算
如果按1000颗麦粒 40克计算，这里大约有 700_0_亿_吨__麦粒；如果按人 均每天吃_10_0_0_克__粮食计 算,此棋盘上的粮食可 供全世界___7_0_亿人吃 上__27_4__年.
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等比数列的前n项和
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每个格子里放
…
的麦粒数都是
人陛你什赏几前直放搞下一到想么赐的粒个第定的赏子得样？6格麦24.倍小个子到的就，格里
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺精言品课吗件 ?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263，
(1(1 q)qS)nSnaa1 1aan1qq. n
当当qq11时时, sSnnnna1a1,
当当qq11时时, sSnna1a(1111qqaqnn)q .
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例1、 求下列等比数列前８项和：
1,1,1, 1 2 4 8 16
解： 请学生填空
a 1 (12
)q ,(1
2
)n ,(8
我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式；
2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
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q≠1,q=1
分类讨论
有了这样一个 公式,我们可以解决哪些
问题?需注意什么?
和
Sn
a1
(1 qn 1 q
)
，q
1，或
na1，q 1.
Sn a11aqnq ，q 1， na1，q 1.
精品课件知三求二
①
2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ，
②
② －① 得S64= 264－1.
错位相减
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当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计
数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界
的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多
少呢？
第
第
第
第第
1
2
3
4 ……64
格 1 2 格1 2 2 格2 3 2 格6 3 格