2018年秋季压轴题班第二讲(二次函数中的定值问题、线段角度问题)

如何破解二次函数

破解压轴题，是个系统工程，不是一蹴而就的，需要一个积累和磨砺的过程。

你要有广博的知识根基，要有强大的运算能力，还必须掌握一定的数学思想方法和解题技巧，数学思想方法不是光记住两个名称，而是要掌握其本质核心的东西。比如转化思想，转化谁？怎么转化？没有谁告诉你，你得自己完成；再如分类讨论思想，在什么情况下分类讨论，分类的标准是什么？为什么要这样分而不是那样分呢？有时候还涉及二次分类，即分类之后再分类，你看得出吗？你要会画草图，能从繁杂的信息里面提取有效的信息，能从复杂的图形里面抽出基本图形，能准备理解语句的含义建立问题模型，形成简洁思路，并规范正确地表述解题过程。

类型三 定值问题

例一： 如图，直线1y x =+与抛物线2

2

2y x mx m m =-++交于A,B 两点（点A 在点B 的左边）。求证：无论m 为何值，AB 的长总为定值。

典例精练

知识纵横

第二讲 二次函数中的定值问题、线段角度问题

变式一 如图，已知直线()90y kx k k =-＜与抛物线2

23y x x =--交于A,B 两点，与x 轴交于点P ，过

点A 作AC ⊥x 轴于点C,过点B 作BD ⊥x 于点D ，求证：PD PC ⋅为定值。

变式二 如图，抛物线2

43y x x =-+与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C,将直线BC 沿y 轴向上平移交抛物线于点M,N ，交y 轴于点P ，求PM PN -的值。

例二：（2016·天河一模）如图，抛物线的顶点坐标为C（0,8），并且经过A（8,0），点P是抛物线上点A,C

y 的垂线，垂足为点F,点D，E的坐标分别为（0,6），（4,0），间的一个动点（含端点），过点P作直线8

连接PD,PE,DE。

（1）求抛物线的解析式;

（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由;

（3）求：①当三角形PDE的周长最小时的点P坐标；②使三角形PDE的面积为整数的点P的个数。

类型四 角度问题

例三：如图，抛物线2

32y x x =-+-与x 交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点P 在抛物线上，∠ACB=∠BCP ，求点P 的坐标

例四：抛物线2

y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C,点P 在抛物线上，且位于x 轴的下方。 （1）如图1，若点P （1,3-），B （4,0），①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上的一点，满足∠DPO=∠POB ，求点D 的坐标

（2）如图2，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点，点P 运动时，OE+OF 是否为定值？若是，试求出改定值；若不是，请说明理由。

类型五线段问题

例五：(2017·山西)如图，抛物线y＝－

3

9

x2＋

23

3

x＋33与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，

与y轴交于点C，连接AC，BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ.过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连接PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t 秒(t>0)．

(1)求直线BC的函数表达式；

(2)①直接写出P，D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简)；

②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值．

(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写

出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．