第二章流体静力学_流体力学

相对压强：
p pabs pa h 9800 2 19.6 kN
m
2
0.2at
例2—2 密闭容器(图2—8)， 测壁上方装有U形管水银测压 计，该值hp＝20cm。试求安装在 水面下3.5m处的压力表读值。 解: U形管测压计的左支管 开口通大气，液面相对压强加 pN=0，容器内水面压强
z c
（2—16）
z1
p1

z2
p2

2.静流体力学基本方程的意义： ⑴.位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比 位能，或单位位能或位置水头。 ⑵.测压管水头p/：表示单位重量流体从压强为大气压 算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。
0 1 p Y y 0 1 p Z z 0 X
1 p x
(2-9)
2.物理意义 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分 量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率 p p p （ x , y , z ）等于该方向上单位体积内的质量力的分 量 （ X 、 Y 、Z ）。 二、平衡微分方程的全微分式
（二）静压强的特性
静压强的大小与作用面的方位无关，即在仅受重力 作用的静水中，任意一点处各个方向的静压强均相等。 即有： px py pz p （2-1）
证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标 轴（如图2—2）。 由于液体处于平衡状态，则有 F 0 ，即各向分力投影之和亦 为零，则：
质Байду номын сангаас力只有重力，X＝0，Y＝0，Z＝－g 代入公式： 得到
dp dz
p z C
由边界条件z=z0，p=p0可得：
在自由液面上有：z H，p p0 ，C p0 H ，
p z c
C p0 H
由此可得水静力学基本方程： p p0 ( H z) p0 h
⑶.测压管水头（ z ）：单位重量流体的比势 能，或单位势能或测压管水头。 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基 准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增 高，压头减低。在均质（=常数）、连通的液体中，水平面 （z1 = z2=常数）必然是等压面（ p1 = p2 =常数）。
运用平衡微分方程的综合式，证明等压面的这一重要 性质,即等压面与质量力正交。 证明：如图2—4，设等压面如图，因面上各点的压强相等 （p＝C), 即 dp 0 ，代入式(2—11)，得：
( Xdx Ydy Zdz) 0
式中
0 ，则等压面方程为
Xdx Ydy Zdz 0
dp ( Xdx Ydy Zdz) （2-11）
上式是欧拉方程的全微分表达式，也称为平衡微分方 程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的，将 其代入式(2—11)进行积分，便可求得流体静压强的分布规 律。 三、等压面 1.等压面 压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面， 例如静止液体的自由表面。 2.等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒 正交于等压面。 f ds 0 （2-12）
⑶自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重 力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 ⑷推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另 p2 p1 h 外一点的压强值。 （2—15）
二、重力作用下静流体力学基本方程
1.重力作用下静流体力学基本方程 因为 dp dz p 所以，静流体力学基本方程又可写为： 或
所以理想流体动压强呈静压强分布特性。
（3）.理想流体运动流体时，由于=0，不会产生切应力，
px p y pz p
第二节、 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉方程 1.欧拉方程 在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx, dy, dz, 设中心点的压强为p(x, y, z)=p，对其进行受力分析（如图 2—3）： p dy y向受力: ( p y 2 )dxdz
说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。
例2—1 求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强 （认为自由表面的绝对压强为1at） 解：绝对压强
p abs p0 h p a h 98000N m
2
9800N
m3
2m
117.6kpa 1.2at 1.2kgf/cm2

Px Pn cos(n, x) Fx 0 （2—2） Py Pn cos(n, y ) Fy 0 Pz Pn cos(n, z ) Fz 0
x方向受力分析:表面力：
1 Px p x dydz 2 P cos(n, x) p 1 dydz n n 2
以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力 f 在坐标 x、 y、z方向的投影，dx、dy、dz为该点处微小有向线段 dl 在
坐标x、y、z方向的投影，于是：
即 f 和 dl 正交。这里 dl 在等压面上有任意方向，由此 证明，等压面与质量力正交。 由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等 压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向铅 垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量 力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常 见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流 体的交界面等。
表面力： ( p 质量力：
p dy y 2
)dxdz
Ydxdydz
根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：
(p
p dy y 2
)dxdz ( p
p dy y 2
)dxdz Ydxdydz 0 (2-7)
(2-8)
整理得：
Y
1 p y
0
流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程，简称为欧 拉欧拉方程）：
Xdx Ydy Zdz f dl 0
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中， 任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点
p p0 h （2-14）
图2—8测压计算
p0 0 p ghp 13.6 9.8 0.2 26.66N / m2
压力表读值
p p0 gh 26.66 9.8 0.2 7.64kN / m2
第四节、流体的相对平衡
前面导出了惯性坐标系中，液体的平衡微分方程及其综 合式(2—9)、式(2—11)。在工程实践中，还会遇到液体相对 于地球运动，而液体和容器之间，以及液体各部分质点之间 没有相对运动的情况，这种情况称为相对平衡。根据达兰贝 尔（D’Alembert, Jean le Rond法国数学家，1717.11.16～ 1783.10）原理，在质量力中计入惯性力，使流体运动的问 题，简化为静力平衡问题，可直接用式(2—9)计算。例如水 车沿直线等加速行驶，水箱内的水相对地球来说，随水车一 起运动，水和水箱，以及各部分水质点之间没有相对运动， 相对平衡的液体质点之间无相对运动，也无切应力，只有压 强。 相对平衡指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相 对运动的相对静止或相对平衡状。因为质点间无相对运动， 所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡 流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。
第一节、 静止流体中应力的特性
一、基本概念 （一）静压力 静止流体对受压面所作用的全部压力。 （二）静压强 受压面单位面积上所受的静压力。 静止流体表面应力只能是压强（压应力），流体不能 承受拉力，且具有易流动性。 二、静止流体中应力的特性 （一）压强的基本特性: 静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向 沿着受压面的内法线方向。 为了论证这一特性，在静止流体中任取截面N—N将 其分为Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅱ为隔离体，Ⅰ对Ⅱ的作用由 N—N外面上连续分布的应力代替(图2—1)。
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向质量力： （2-4） Fx X dxdydz/ 6
px pn 1 3 dx X 0
（2-5）
当四面体无限地趋于O点时，则dxO，因此，px p 类似地有： px py pz p 而 是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与 n 作用面的方位无关。
或 当p0 0时，p h
2. 连通器原理 帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理：在仅受重力 作用下的均质、连通、静止的液体中，水平面就是等压面。 ⑴仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强随深度 按线性规律变化。 ⑵仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强等于表 面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
第二章 流体静力学
第一节、静止流体中应力的特性
第二节、流体平衡微分方程
第三节、重力场中流体静压强的分布规律
第四节、流体的相对平衡
第五节、液体作用在平面上的总压力
第六节、液体作用在曲面上的总压力 第七节、潜体和浮体的平衡与稳定
本章学习要点：作用在流体上的力、静止流体 中应力的特性、 流体平衡微分方程、等压面、 静止液体和相对静止液体压强的分布、压强的 表示方法、液体作用在平面及曲面壁上的静水 总压力、压力中心。
真空高度
( pabs pa )
（2—20）
（2—18）
hv
pv


pa p a b s

pabs hv pa
图2—10真空高度
pa pabs pv hv g g
（2—19）
（二）压强的单位及其换算 1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。 2.工程单位制：工程单位制中压强的单位主要有kgf/m2、 m（H2O）、mmHg和at等。 3.单位换算：1pa =0.1013 MPa =101.3 Kpa =1.103×105 Pa =1.033 kgf/m2=10.33 m（H2O）=760 mm（Hg） 1at=1 kgf/m2=10 m（H2O）=736 mmHg=0.098 MPa =98 Kpa =98000 Pa
p
二、气体静压强的计算 在不考虑压缩性时，式(2—14)也适用于气体。但由于气体的密 度很小，在高差不很大时，气柱所产生的压强很小可以忽略。式 (2—14)，简化为 p p0 。例如储气罐内各点的压强都相等。 三、压强的表示方法及单位 1.压强的表示方法 ①.绝对压强：
是以绝对真空状态下的压强
重力作用下静止流体质量力：X Y 0，Z g 代入流体平衡微分方程的综合式：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
1、在重力作用下的静止流体，选直角坐标系为Oxyz，自
由液面的位置高度为z0，压强为p0，
液体中任意一点的压强为
dp ( Xdx Ydy Zdz)
说明:（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，
同一点各个方向的静压强大小相等。
（2）.运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动， 则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向的压强不 再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算 术平均值， 即
p1 3 ( px py pz )（2-6）
（绝对零压强）为基准计量 的压强，用 pabs 表示，pabs
≥0 。
②.相对压强： 又称“表压强”，是以当地工程大气压 可正可负，也可为零（图2—6）。
图2—8压强的测量
为基准计量的压强。用p表示，p= pabs
pa
，p
录像
③.真空度：是指Pabc小于一个大气压的受压状态， 相 对压强的负值时，如（图2—10）。 真空值 p pa pabs ( p abs pa )
dy 、 dz 为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以 dx 、
然后相加，得（2-10）
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z
压强 p p( x, y, z )是坐标的连续函数，由全微分定理， 上式等号左边是压强力的全微分。