2.4.2 抛物线的几何性质(一)
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2.4.2 抛物线的几何性质(一)
一、基础过关
1. 设点A 为抛物线y 2=4x 上一点,点B (1,0),且AB =1,则A 的横坐标的值为________.
2. 以x 轴为对称轴的抛物线的通径长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为______________.
3. 经过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2
的值是________.
4. 过抛物线y 2=2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1,则∠A 1FB 1=__________.
5. 等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2=2px (p >0),O 为抛物线的顶点,OA ⊥OB ,则Rt △ABO 的面积是________.
6.
如图所示,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若BC =2BF ,且AF =3,则此抛物线的方程为________.
7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).若x 1+x 2=6,则AB =________.
二、能力提升
8. 如图所示是抛物线形拱桥,
当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m .水位下降1 m 后,水面宽________ m.
9. 已知△ABC 的三个顶点都在y 2=32x 上,A (2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合,则直线BC 的斜率是________.
10.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,求这个正三角形的边长.
11.线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0),端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ,以x 轴为对称轴,过A 、O 、B 三点作抛物线.求抛物线的方程.
12.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) (x 1 (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值. 三、探究与拓展 13.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2, y 2),则称AB 为抛物线的焦点弦. 求证:(1)y 1y 2=-p 2;x 1x 2=p 24 ; (2)1F A +1FB =2p . 答案 1.0 2.y 2=8x 或y 2=-8x 3.-4 4.90° 5.4p 2 6.y 2=3x 7.8 8.2 6 9.-4 10.解 如图所示,设正三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上,且坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则y 21=2px 1, y 22=2px 2. 又OA =OB , 所以x 21+y 21=x 22+y 22, 即x 21-x 22+2px 1-2px 2=0. 整理得(x 1-x 2)(x 1+x 2+2p )=0. ∵x 1>0,x 2>0,2p >0,∴x 1=x 2. 由此可得|y 1|=|y 2|,即线段AB 关于x 轴对称. 由此得∠AOx =30°,∴y 1=33 x 1. 与y 21=2px 1联立,解得y 1=23p , ∴AB =2y 1=43p . 11.解 画图可知抛物线的方程为 y 2=2px (p >0), 直线AB 的方程为x =ky +m , 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2=2px x =ky +m 消去x ,整理得y 2-2pky -2pm =0, 由根与系数的关系得y 1y 2=-2pm , 由已知条件知|y 1|·|y 2|=2m , 从而p =1,故抛物线方程为y 2=2x . 12.解 (1)直线AB 的方程是 y =22⎝⎛⎭ ⎫x -p 2, 与y 2=2px 联立, 从而有4x 2-5px +p 2=0, 所以x 1+x 2=5p 4 ,由抛物线定义得 AB =x 1+x 2+p =9,所以p =4,抛物线方程为y 2=8x . (2)由p =4,4x 2-5px +p 2=0,化简得x 2-5x +4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-22, y 2=42,从而A (1,-22),B (4,42). 设OC →=(x 3,y 3)=(1,-22)+λ(4,42) =(1+4λ,-22+42λ), 又y 23=8x 3,即[22(2λ-1)]2 =8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 13.证明 (1) 如图所示. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,准线方程:x =-p 2 . 设直线AB 的方程为x =ky +p 2 ,把它代入y 2=2px , 化简,得y 2-2pky -p 2=0. ∴y 1y 2=-p 2, ∴x 1x 2=y 212p ·y 222p =(y 1y 2)24p 2 =(-p 2)24p 2=p 24 . (2)根据抛物线定义知 F A =AA 1=x 1+p 2 , FB =BB 1=x 2+p 2 , ∴1F A +1FB =1x 1+p 2+1x 2+p 2 =22x 1+p +22x 2+p =2(2x 2+p )+2(2x 1+p )(2x 1+p )(2x 2+p ) =4(x 1+x 2)+4p 4x 1x 2+2p (x 1+x 2)+p 2 =4(x 1+x 2+p )2p (x 1+x 2+p )=2p .