2.4.2 抛物线的几何性质(一)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2.4.2 抛物线的几何性质(一)

一、基础过关

1. 设点A 为抛物线y 2=4x 上一点,点B (1,0),且AB =1,则A 的横坐标的值为________.

2. 以x 轴为对称轴的抛物线的通径长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为______________.

3. 经过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2

的值是________.

4. 过抛物线y 2=2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1,则∠A 1FB 1=__________.

5. 等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2=2px (p >0),O 为抛物线的顶点,OA ⊥OB ,则Rt △ABO 的面积是________.

6.

如图所示,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若BC =2BF ,且AF =3,则此抛物线的方程为________.

7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).若x 1+x 2=6,则AB =________.

二、能力提升

8. 如图所示是抛物线形拱桥,

当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m .水位下降1 m 后,水面宽________ m.

9. 已知△ABC 的三个顶点都在y 2=32x 上,A (2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合,则直线BC 的斜率是________.

10.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,求这个正三角形的边长.

11.线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0),端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ,以x 轴为对称轴,过A 、O 、B 三点作抛物线.求抛物线的方程.

12.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) (x 1

(1)求该抛物线的方程;

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值.

三、探究与拓展

13.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,

y 2),则称AB 为抛物线的焦点弦.

求证:(1)y 1y 2=-p 2;x 1x 2=p 24

; (2)1F A +1FB =2p

.

答案

1.0 2.y 2=8x 或y 2=-8x 3.-4 4.90° 5.4p 2 6.y 2=3x 7.8 8.2 6

9.-4

10.解

如图所示,设正三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上,且坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

则y 21=2px 1,

y 22=2px 2.

又OA =OB ,

所以x 21+y 21=x 22+y 22,

即x 21-x 22+2px 1-2px 2=0.

整理得(x 1-x 2)(x 1+x 2+2p )=0.

∵x 1>0,x 2>0,2p >0,∴x 1=x 2.

由此可得|y 1|=|y 2|,即线段AB 关于x 轴对称.

由此得∠AOx =30°,∴y 1=33

x 1. 与y 21=2px 1联立,解得y 1=23p , ∴AB =2y 1=43p .

11.解 画图可知抛物线的方程为

y 2=2px (p >0),

直线AB 的方程为x =ky +m ,

由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2=2px x =ky +m 消去x ,整理得y 2-2pky -2pm =0,

由根与系数的关系得y 1y 2=-2pm ,

由已知条件知|y 1|·|y 2|=2m ,

从而p =1,故抛物线方程为y 2=2x .

12.解 (1)直线AB 的方程是

y =22⎝⎛⎭

⎫x -p 2, 与y 2=2px 联立,

从而有4x 2-5px +p 2=0,

所以x 1+x 2=5p 4

,由抛物线定义得 AB =x 1+x 2+p =9,所以p =4,抛物线方程为y 2=8x .

(2)由p =4,4x 2-5px +p 2=0,化简得x 2-5x +4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-22,

y 2=42,从而A (1,-22),B (4,42). 设OC →=(x 3,y 3)=(1,-22)+λ(4,42)

=(1+4λ,-22+42λ),

又y 23=8x 3,即[22(2λ-1)]2

=8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

13.证明 (1)

如图所示.

抛物线y 2=2px (p >0)的焦点

F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,准线方程:x =-p 2

. 设直线AB 的方程为x =ky +p 2

,把它代入y 2=2px , 化简,得y 2-2pky -p 2=0.

∴y 1y 2=-p 2,

∴x 1x 2=y 212p ·y 222p =(y 1y 2)24p 2

=(-p 2)24p 2=p 24

. (2)根据抛物线定义知

F A =AA 1=x 1+p 2

, FB =BB 1=x 2+p 2

, ∴1F A +1FB =1x 1+p 2+1x 2+p 2

=22x 1+p +22x 2+p

=2(2x 2+p )+2(2x 1+p )(2x 1+p )(2x 2+p )

=4(x 1+x 2)+4p 4x 1x 2+2p (x 1+x 2)+p 2

=4(x 1+x 2+p )2p (x 1+x 2+p )=2p .

相关文档
最新文档