2.4.2 抛物线的几何性质(一)

2.4.2 抛物线的几何性质(一)

一、基础过关

1． 设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且AB ＝1，则A 的横坐标的值为________．

2． 以x 轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为______________．

3． 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2

的值是________．

4． 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝__________.

5． 等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则Rt △ABO 的面积是________．

6．

如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．

7． 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则AB ＝________.

二、能力提升

8． 如图所示是抛物线形拱桥，

当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m.

9． 已知△ABC 的三个顶点都在y 2＝32x 上，A (2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率是________．

10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．

11．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线．求抛物线的方程．

12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．

三、探究与拓展

13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．

求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24

； (2)1F A ＋1FB ＝2p

.

答案

1．0 2．y 2＝8x 或y 2＝－8x 3．－4 4．90° 5．4p 2 6．y 2＝3x 7．8 8．2 6

9．－4

10．解

如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则y 21＝2px 1，

y 22＝2px 2.

又OA ＝OB ，

所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，

即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0.

整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.

∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2.

由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．

由此得∠AOx ＝30°，∴y 1＝33

x 1. 与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p ， ∴AB ＝2y 1＝43p .

11．解 画图可知抛物线的方程为

y 2＝2px (p >0)，

直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝2px x ＝ky ＋m 消去x ，整理得y 2－2pky －2pm ＝0，

由根与系数的关系得y 1y 2＝－2pm ，

由已知条件知|y 1|·|y 2|＝2m ，

从而p ＝1，故抛物线方程为y 2＝2x .

12．解 (1)直线AB 的方程是

y ＝22⎝⎛⎭

⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，

从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，

所以x 1＋x 2＝5p 4

，由抛物线定义得 AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x .

(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0，化简得x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，

y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)

＝(1＋4λ，－22＋42λ)，

又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2

＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

13．证明 (1)

如图所示．

抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点

F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2

. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2

，把它代入y 2＝2px ， 化简，得y 2－2pky －p 2＝0.

∴y 1y 2＝－p 2，

∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2

＝(－p 2)24p 2＝p 24

. (2)根据抛物线定义知

F A ＝AA 1＝x 1＋p 2

， FB ＝BB 1＝x 2＋p 2

， ∴1F A ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2

＝22x 1＋p ＋22x 2＋p

＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p )

＝4(x 1＋x 2)＋4p 4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2

＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p .