举反例

例谈反例在初中数学教学的技巧

作者：不详更新时间：2012-8-11 18:35:53

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子.说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子.当然，从某种意义上来说，所有例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题（甚至是非常荒谬的命题）不成立.但这里，我们讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的反例.举反例也是一种证明的特殊方法，它可证明“某命题不成立”为真.反例和证明推动了数学学科的发展，在数学教学中具有同等重要的作用，反例因其简明、直观、说服力强等突出特点，决定了它在教学中起着不可替代的作用.恰当地运用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于学生数学素养的提高，使教学达到事半功倍的效果.下面，笔者将结合自己的教学实践和体会，举例说明反例在初中数学教学中的妙用.

一、反例的作用

1.发现原有理论的局限性，推动数学向前发展

举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展.数学史表明，对数学中探索的重大课题与数学猜想，能举出反例予以推翻，与给出严格证明予以肯定，是同等重要的.

2.澄清数学概念与定理，为数学的发展作出贡献

数学中的概念与定理有许多结构复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解.反例则可以使概念更加确切与清晰，将定理的条件、结论之间的充分性、必要性指示得一清二楚.数学中有许多这样的反例.

3.帮助学生学习数学基础知识，提高他们的数学修养与培养科学研究能力

数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维特点和逻辑推理体系.不能凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，差之千里”，而在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还掌握各类反例，这才会更深刻掌握数学基础知识，以及提高数学修养与培养科学研究能力.

二、反例在数学教学中的妙用

1.通过反例来加强学生对知识点的理解

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数学学习过程中，对于一些不易理解和掌握的知识点，学生常常容易混淆或忽略它们的某些本质属性，尽管教师反复强调，学生还是容易出错.如果教师在讲解过程中能够适当地举一些反例，通过反例来加强学生对这一知识点的理解，将会有意想不到的收获.

例如，在讲解三角形全等的判定方法时，其中的一种方法是“有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（SAS）”，这里，必须强调“夹这个角的两边”.因此，教师可以提问学生“有一个角和两边对应相等的两个三角形一定全等吗？”由于和教材中的定理不一致，大部分学生肯定会回答说“不一定”，这时教师继续追问“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的.在学生讨论时，教师提示：“可以画出图形来说明.”此时课堂气氛活跃，学生个个情绪高涨、跃跃欲试，都在画图尝试.最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下：

（1）如下页图1，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，则在△ABD和△ACD中，满足一角（∠B=∠C）和两边（AB=AC，AD=AD）对应相等，显然△ABD和△ACD不全等.

（2）如下页图2，在△ABC中，延长BC至D点，连接AD，使AD=AC，则在△ABC和△ABD中，满足角（∠B=∠B）和两边（AB=AB，AD=AC）对应相等，显然△ABC和△ABD不全等.

（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，连接BD，则在△ABD和△CDB中，满足一角（∠ADB=∠CBD）和两边（AB=DC，BD=BD）对应相等，显然△ABD和△CDB不全等.

通过上述反倒教学，学生清楚地认识到：在运用这一判定方法时，必须是“一角和夹这个角的两边（SAS）”，而不是“一角和任意的两边（ASS）”.并知道了由上述反例可以说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的命题.这样的反例，使学生印象深刻，有利于学生对知识点牢固掌握.

2.通过反例来证明命题不成立

要证明一个命题不成立，可以从正面直接证明，也可以举一个反例来证明.在学习数学概念时，需要让学生记住引入概念的正例，同时还需要

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记住几个与概念相悖的反例，以从不同的角度加深对概念的理解.在初中数学中，更多的是让学生利用举反例的方法来做一些判断题.例如，让学生判断以下命题是否为真命题：

（1）如果两个角互补，那么这两个角，一个是锐角，一个是钝角；

（2）两个无理数的和一定是无理数；

（3）面积相等的两个三角形是全等三角形.

这些数学语言对学生而言比较抽象，容易混淆，如果通过举反例的方法来解答就比较容易.对于问题（1），只需举出反例“两个直角互补”；对于问题（2），只需举出反例“+（-）=0”；对于问题（3），只需举出反例“Rt△ABC的两直角边均为2，面积为2，Rt△DEF的两直角边为1和4，面积也为2.它们的面积相等但不全等”.

由此可见，举反例的优点在于：只需找出一个反例就可以说明命题是错误的.所以，在平时的教学中，应鼓励学生寻找反例，引导学生从反面去思考问题，从而快速地解答一些题目.

3.通过反例巩固所学知识

在讲解某些知识点时，为了让学生进一步巩固所学的内容，教师可以举出一些反例，让学生判断是否符合这些知识点.

例如，为了让学生明确一元一次方程必须同时满足以下3个条件：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数是1.在讲完这一概念后，教师可立即给出一些方程，让学生判断它们是否为一元一次方程，若不是，让学生说明理由.

显然方程（2）、（3）、（7）、（8）不是一元一次方程，因为方程（2）、（7）的左边不是整式，方程（3）的未知数的最高次数为2，方程（8）含有两个未知数，这些都与一元一次方程的条件不相符.但仍有一部分学生判断不出来，特别是方程（2）、（5）、（6）、（7）容易出错，因此，可以在这里先带领学生简单地复习一下整式的概念.对于方程（6），应注意提醒学生其中的π是常数而不是字母.这样，当教师结合这八道小题再次分析一元一次方程的三个条件时，学生就会更深刻地理解什么样的方程才是一元一次方程.

4.通过反例预防学生易犯的错误

例如，在解一元一次方程时，学生容易犯的错误是：去分母时漏乘不含分母的项；去掉分母后，忘记将分子是多项式的加上括号；去括号时漏乘括号里的项或不变号；移项时不变号.基于这些常见错误，教师在讲解时，可以举出如下反例，并让学生判断“这样的解法对吗？”

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