高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质

课题：8．4双曲线的简单几何性质

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质

2．掌握标准方程中c

b

,的几何意义

a,

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题

教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程

教学难点：渐近线几何意义的证明

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思

想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学

利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点

本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥

曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来

以1=±b

y

a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222

b y a x

对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的

教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律

本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念

教学过程：

一、复习引入：

二、讲解新课： 1．范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实

数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向

来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

2．顶点

顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，

b 叫做虚半轴长

讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程

12

2

22=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点

()0,),0,(21a A a A -，且x

轴为双曲线

122

22=-b

y a x 的对称轴，

0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线

122

22=-b

y a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程122

22=-b

y a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实

数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。但Y 轴上的两个特殊点

()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用

把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不

要把虚轴与椭圆的短轴混淆

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

3．渐近线

过双曲线122

22=-b

y a x 的两顶点21,A A ，

作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在

直线方程是x a b

y ±=（0=±

b

y

a x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x a

b y ±=（0=±

b

y

a

x ） 是双曲线122

22=-b

y a x 的渐近线，即要证明

随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢

也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜ 越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜

但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线

而言，渐近线是双曲线具有的性质

22||||a x a

b x a b MN MQ --=

< ＝)(22a x x a

b

-- 2

2

a

x x ab -+=

（||MQ 0−−→−∞

→x ） 4．等轴双曲线

a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴

所成的角

5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为

x a b y ±

=)0(>±=k x ka

kb

，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2

222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b

y a x 6．双曲线的草图

利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图