高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质

课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。

但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a by ±=（0=±bya x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x ab y ±=（0=±byax ） 是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜ 越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质22||||a x ab x a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab-- 22ax x ab -+=（||MQ 0−−→−∞→x ） 4．等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线焦点在y 轴的情况同学们自己研究 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将有助于实在本节的这个难点8．离心率相同的双曲线(1)计算双曲线19422=-y x 的离心率0e ；(2)离心离为0e 的双曲线一定是19422=-y x如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为213的双曲线有多少条？ 分析：2222)(1)(1kakba b a b a a c e +=+=+==的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k ：1(k>0)的双曲线，其离心率e 2139．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 如191622=-y x 与16922=-x y 注意的区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意1） 性质：共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2） 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-13）共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλky x ，当0>λ时交点在x轴，当0<λ时焦点在y 轴上三、讲解范例：例1. 求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率.解: 把方程化为标准方程得,1342222=-x y可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3半焦距: 焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:例二．求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率53422=+=c 45==ac e（1）32822=-y x （2）422-=-y x（3）1254922-=-y x例2.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴,它的一个焦点F （5，0）,且离心率e 可以使方程041)1(22=+--x e x 有相等的实根，求满足条件的双曲线方程例3.已知双曲线虚轴的一个端点为M, 两焦点分别 F 1 , F 2 , 且 12021=∠MF F , 则双曲线的离心率 为(B ) A ．3B ．26C ．36D ．33（参考例题）例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程1212222=-y x由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2． 顶点坐标是（－1，0），（1，0）5212222=+=+=b a c 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．渐近线方程为021=±yx，即x y 2±= 例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可解：设与1342222=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程为λ=-222234y x则 λ=--22223)3(4)33( ，从而有16=λ所求双曲线的方程为99161122=-y x 例3求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程1342222=-x y 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．5342222=+=+=b a c焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)． 离心率45==a c e 渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=例4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．分析：本题建立合适的坐标系是关键。

注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。

显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X 轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。

解：如图所示，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x 轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．设双曲线的方程为12222=-by a x )0,0(>>b a令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B 、C 在双曲线上，所以1)55(12252222=--b y ① 且112132222=-by ② 解方程组，得125by =（负值舍去）代入方程①，得)55125(12252222=--bb化简得19b 2＋275b －18150＝0 ③ 解方程③(使用计算器计算)，得 b≈25(m)．所以所求双曲线方程为62514422=-y x 点评： 这是一个有实际意义的题目．解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来． 四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 答案：A2 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案：C3 .若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞)答案：B4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)133********x y -= (C)536554122x y -= (D)554536122x y -= 答案：A5 .与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）(A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/) 答案：D6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35(B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，答案：A7 .双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16答案：A1 .方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是 B(A)(0,±-m n ) (B)(0,±-n m ) (C)(±-m n ,0) (D)(±-n m ,0)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）14 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( A )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( C )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D(A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C )(A)arcsin α (B)αcos ba (C)αsec (D)tg2α8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y ＋c = 0，则准线方程为 ( D ) (A)5162±=x (B)5162±=y (C)592±=x (D)592±=y10 .与双曲线x m y n22+=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( D ) (A)-+=x m y n221 (B)x m y n221-= (C)x m y n221-=- (D)x m y n221+=-五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x a by ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。