2021年九年级人教版上册数学课件：2414圆周角
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新人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件(共19张PPT)
O
B A
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
C
B
●
O
归纳总结：
在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角都相等，并且都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
四回归生活实践：当球员在 B 、 D 、E三处射门时,他所处的位置对 球门 AC 分别形成三个角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC这三个角的大小有 什么关系?那么在B、D、E处射门 有没有影响？.
3.求圆中角X的度数
O A
D
C 120°
70° x
.
C A
B
O X
.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O A B
六、小结本节课主要所学内容和 上面练习题所应用的主要知识点
选做题：
1、已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
上,结果会怎样?
A
C
●
过点B作直径BD.由1可得:
当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
O
B A D O C
●
B
第三种情况：如果圆心不在圆周角的
A C
●
一边上,结果会怎样? 当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的外部 时 ,圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC的大小 关系会怎样?
A
E
C
A E
●
B
D
O
B
D
C
五练一练： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？ D
B A
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
C
B
●
O
归纳总结：
在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角都相等，并且都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
四回归生活实践：当球员在 B 、 D 、E三处射门时,他所处的位置对 球门 AC 分别形成三个角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC这三个角的大小有 什么关系?那么在B、D、E处射门 有没有影响？.
3.求圆中角X的度数
O A
D
C 120°
70° x
.
C A
B
O X
.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O A B
六、小结本节课主要所学内容和 上面练习题所应用的主要知识点
选做题：
1、已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
上,结果会怎样?
A
C
●
过点B作直径BD.由1可得:
当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
O
B A D O C
●
B
第三种情况：如果圆心不在圆周角的
A C
●
一边上,结果会怎样? 当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的外部 时 ,圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC的大小 关系会怎样?
A
E
C
A E
●
B
D
O
B
D
C
五练一练： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？ D
2021年秋九年级数学人教版上册课件：第24章 24.1.4 圆周角
心，以 DB 为半径的圆上．
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC
＝( C )
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
6．如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若 AC 是⊙O 的直径，∠C＝
50°，∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，则∠BAD 的度数为( B )
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角
理解圆周角的概念． 【例 1】下列命题中，正确的是( D ) A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边与圆相交的角是圆周角 C．顶点在圆上，一边与圆相交的角是圆周角 D．顶点在圆上，两边都与圆相交的角是圆周角 【思路分析】 圆周角的定义其要点是：①角的顶点在圆上；②角的两边 都与圆相交．在上面的 4 个选项中，只有最后一个选项符合定义．
能运用圆周角定理、推论和圆内接四边形的性质解决相关问 题． 【例 2】如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC＝110°，则∠D 等于( B )
A．25° C．55°
B．35° D．70°
【思路分析】 由于∠AOC＝110°，∴∠BOC＝180°－110°＝70°，于是∠D ＝35°.
【例 3】如图所示，已知：AB 是⊙O 的直径，D 是圆上任意一点(不与 A、 B 重合)，连接 BD 并延长到点 C，使 BD＝DC，连接 AC，试判断△ABC 的 形状.
，AE＝EC，∴∠ADB＝21∠
BOC＝28°
(2)在 Rt△OEC 中，EC＝4，∴AC＝2EC＝8.
13．如图，⊙O 的直径 AB 长为 6，弦 AC 长为 2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.求四边形 ADBC 的面积．
九年级初三数学上册 24.1.4 圆周角 【教学课件PPT】
B
C
D
1
1
(BOD DOC ) BOC.
2
2
探究新知
圆心O在∠BAC外部 证明:连接AO并延长交⊙O于点D.
D
A O
C B
探究新知
圆周角定理
一条弧所对圆周角 等于它所对圆心角一半;
探究新知
互动探究
问题1 如图,OB,OC都是⊙O半径,点A ,D 是上任意两 点,连接AB,AC,BD,CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说 明理由.
探究新知
推导与论证
圆心O在∠BAC 一边上
圆心O 在 ∠BAC 内部
圆心O在∠BAC 外部
探究新知
圆心O在∠BAC一边上（特殊情形） 证明:
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC. 2
探究新知
圆心O在∠BAC内部
A
证明:连接AO并延长交⊙O于D.
O
BAC
BAD DAC
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
B
=180°-90°-80°=10°.
巩固练习
如图,AB是⊙O直径,∠A＝10°, 则∠ABC＝__8_0_°__．
C
A
O
B
探究新知
例2 如图,分别求出图中∠x大小.
C A
x
60°
x
60°
20° B Dx
E 30°
D
A
B
FC
解:(1)∵同弧所对圆周角相等,∴∠x=60°.
人教版 数學 九年级 上册
24.1 圆有关性质
24.1.4 圆周角
2021
好好学习 天天向上
1
导入新知
24.1.4圆周角-人教版九年级数学上册课件
归纳：一般地，如果题目中有直径出现时，常作辅助线得 到直径所对的圆周角---- ___.当圆中要证明垂直或得到 90°的角时，常作出___
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版数学九年级上册 24.1.4圆周角(共21张PPT)
和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
1、什么叫做圆心角？
定 义
顶点在圆心的角叫做加圆心角。如图（1）
学 习
B
B
O
O
C
（1）
C A
（2）
2、圆周角的定义：
如图（2），∠BAC的顶点在圆上，它的两边分别与圆相交，像这样的角， 叫做圆周角。
3、圆心角与圆周角的差别：
定
义
B
B
学
习
O
O
C
C
A
（1）
（2）
一是对角的顶点的位置的规定，圆心角的顶点在圆心处， 而圆周角的顶点在圆周上；
运
AP
用
连结OD，
直径AB CD
COB DOB 1 COD 2
CPD是圆周角， 对的弧是CBD
O
C
D
B
CPD 1 COD 2
CPD COB
1、本节课的主要内容是什么？
课
圆周角的定义和性质
堂
小
结
2、本节课你学到了什么数学方法来证明圆周角的性质？
分类法 ，数形结合法
[推论] 半圆（或直径）所对的圆周角是
直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
知
识
探
探究与思考
A
O
B
索
（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直
径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数 是_9_0_°_
（2） 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB
是180° 。点O在_A_B_上，弦AB是 直__径_
2
2
BAC 1 BOC
2
知 识 探 索
新人教版九年级上册初中数学 24-1-4 圆周角 教学课件
当堂小练
3.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点， 且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
AB OA2 OB2 2OA2 2OA 2.
第二十五页，共二十八页。
第二十页，共二十八页。
课堂小结
圆周角
圆周角定义
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理 的推论
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所 对的弧相等.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
B
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径” 这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
第十六页，共二十八页。
新课讲解
知识点3 圆内接四边形及其性质
如果一个多边形的所有顶点都在
C
同一个圆上，这个多边形叫做圆内接 D
第十二页，共二十八页。
新课讲解
这两个角
下列说法是否正确，为什有么什？么关
“在同圆或等圆中，同弦或系等吗弦？所对的圆周角相等”.
D
一条弦所对应的圆周角有两个.
如图所示，连接BO、EO.
显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，36所0以° B
根据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
.O
E C
在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等， 也可能互补.
24.1.4圆周角课件人教版数学九年级上册
24.1.4 圆周角
教材分析
本节课的内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦之间关系的基础 上进行研究的，通过本节课的学习，进一步巩固了圆心角有关知识， 也为今后学习圆的有关性质打下坚实的基础，因而本课的内容起着承 上启下的重要作用。另外通过对圆周角的学习，可以培养学生严谨治 学的学习态度和良好的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类 讨论的思维方法，因此这节课不论在知识上，还是在方法上，都起着 十分重要的作用。
教学目标
⑴知识目标： ①使学生掌握圆周角的概念及圆周角定理; ②准确地运用圆周角定理进行计算或证明。
⑵能力目标： ①能用类比的方法探索新知识 ②学会运用以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题的化归思想 ③学生学会运用分类讨论的数学思想证明数学命题 ④提高学生的识图能力
⑶情感目标： 在圆周角概念和定理的探索过程中，不断变化图形，通过观察、实验、类比、
微探究
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
圆心O在∠BAC的外部
A
OO
D
D
C
B
D
A O
C A O
B
圆周角定理： 同一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆
O·
B
优弧所对的圆周角是__钝__角__.
校本P94 例1：
校本P94 当堂测评 T1 T2
教材分析
本节课的内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦之间关系的基础 上进行研究的，通过本节课的学习，进一步巩固了圆心角有关知识， 也为今后学习圆的有关性质打下坚实的基础，因而本课的内容起着承 上启下的重要作用。另外通过对圆周角的学习，可以培养学生严谨治 学的学习态度和良好的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类 讨论的思维方法，因此这节课不论在知识上，还是在方法上，都起着 十分重要的作用。
教学目标
⑴知识目标： ①使学生掌握圆周角的概念及圆周角定理; ②准确地运用圆周角定理进行计算或证明。
⑵能力目标： ①能用类比的方法探索新知识 ②学会运用以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题的化归思想 ③学生学会运用分类讨论的数学思想证明数学命题 ④提高学生的识图能力
⑶情感目标： 在圆周角概念和定理的探索过程中，不断变化图形，通过观察、实验、类比、
微探究
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
圆心O在∠BAC的外部
A
OO
D
D
C
B
D
A O
C A O
B
圆周角定理： 同一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆
O·
B
优弧所对的圆周角是__钝__角__.
校本P94 例1：
校本P94 当堂测评 T1 T2
(人教版)九年级数学上册课件-【24.1.4 圆周角】
什么关系？
证明• ： 根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
O
∴ BAC BDC.
B
C
同弧所对的圆周角相等．
状元成才路
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
• 如图，作出两弧所对应的圆心角.
• 根据圆周角定理可知，
BDC 1 BOC, 2
1
CAE COE. 2
∠A=
12∠BOC=
1 2
×80°=40°.
状元成才路
上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个 量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一 组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
状元成才路
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧：∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC有
C
圆内接四边形的对角 互补 .
D O
A
B
状元成才路
随堂演练
基础巩固
• 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是(C )
状元成才路
• 2.如图，⊙O中，弦AB、CD
相交于E点，且∠A=40°，
∠AED=75°，则∠B=( D)
• A.15°
B.40°
C.5°
D.35°
状元成才路
• 3.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂 直，且∠BAC=40°，则∠BOD=
• 80° .
• 4.如图，点B、A、C都在⊙O上, • ∠BOA＝110°，则∠BCA＝ • 125° .
状元成才路
证明• ： 根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
O
∴ BAC BDC.
B
C
同弧所对的圆周角相等．
状元成才路
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
• 如图，作出两弧所对应的圆心角.
• 根据圆周角定理可知，
BDC 1 BOC, 2
1
CAE COE. 2
∠A=
12∠BOC=
1 2
×80°=40°.
状元成才路
上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个 量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一 组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
状元成才路
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧：∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC有
C
圆内接四边形的对角 互补 .
D O
A
B
状元成才路
随堂演练
基础巩固
• 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是(C )
状元成才路
• 2.如图，⊙O中，弦AB、CD
相交于E点，且∠A=40°，
∠AED=75°，则∠B=( D)
• A.15°
B.40°
C.5°
D.35°
状元成才路
• 3.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂 直，且∠BAC=40°，则∠BOD=
• 80° .
• 4.如图，点B、A、C都在⊙O上, • ∠BOA＝110°，则∠BCA＝ • 125° .
状元成才路
人教版九年级数学上册第二十四章 24.1.4 圆周角(共22张PPT)
心角的一半。
•为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相 对位置，分三种情况来证明：
•（1）圆心在圆周角的一边上； •（2）圆心在圆周角的内部； •（3）圆心在圆周角的外部
求证：∠BAC =1 ∠BOC 2
A
A
O
O
B
C
（1）
B
C
（2）
A
O C
B
（3）
分析论证
1 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时.
（1）在圆上任意确定一条弧BC，作出这条弧所对的圆心角和圆周角。 （思考：能画几个圆心角和圆周角？）
（2）根据画的图，观察弧BC所对圆周角和圆心的位置关系共有几种类型？
（3）弧BC 所对的圆周角 和它所对圆心角 有怎样的数量关系？
A
A
A
O
O
O
B
C
B
C
几何画板.gsp
C B
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
1∠ 1
2
BOD＋ 11
∠COD
2
1
2
2
2
即∠BAC=
1
1 2
∠BOC
2
你能证明第3种情况吗？
提示:能否转化为(1)的情况?
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
O
∠CAD＝
1 1 2
∠
COD
2
C DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝12 ∠ COD－ 12∠BOD
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
D
A 500 O 40° B
C
巩固练习2
1.如图，∠A是圆周角， 且∠A=40°，求∠OBC的度数。
•为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相 对位置，分三种情况来证明：
•（1）圆心在圆周角的一边上； •（2）圆心在圆周角的内部； •（3）圆心在圆周角的外部
求证：∠BAC =1 ∠BOC 2
A
A
O
O
B
C
（1）
B
C
（2）
A
O C
B
（3）
分析论证
1 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时.
（1）在圆上任意确定一条弧BC，作出这条弧所对的圆心角和圆周角。 （思考：能画几个圆心角和圆周角？）
（2）根据画的图，观察弧BC所对圆周角和圆心的位置关系共有几种类型？
（3）弧BC 所对的圆周角 和它所对圆心角 有怎样的数量关系？
A
A
A
O
O
O
B
C
B
C
几何画板.gsp
C B
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
1∠ 1
2
BOD＋ 11
∠COD
2
1
2
2
2
即∠BAC=
1
1 2
∠BOC
2
你能证明第3种情况吗？
提示:能否转化为(1)的情况?
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
O
∠CAD＝
1 1 2
∠
COD
2
C DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝12 ∠ COD－ 12∠BOD
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
D
A 500 O 40° B
C
巩固练习2
1.如图，∠A是圆周角， 且∠A=40°，求∠OBC的度数。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理课件(共15张PPT)
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学们完成证明．
一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧
所对的圆周角之间有什么关系？
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它
解：连接 OD，AD，BD， 所对的圆心角的一半？
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
AD2+BD2=AB2 ， 本课是在学习了垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系的基础上探究同弧（或等弧）所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关系．
∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
∴ AD=BD= 思想方法．
• 学习重点：
圆周角定理．
1．思考和练习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 如：∠ACB．
C
O
A
B
1．思考和练习 （3）理解：望哨（站岗放哨；借助相近的词语理解）
五、布置作业
教科书 88 页 练习 1． 这篇课文是一首诗歌，主要写了春雨能促使万物生长，少年儿童在春雨中植树，绿化祖国。
蒙蒙细雨雨点很细很密的小雨。这是春雨的特点。 ⑶老师后来提了什么问题，使这热烈的场面一下子变得沉默无声？完成下面练习，想像一下，他们在想什么？如果是你，你会想什么？ 课件出示： 3．复习生字表： 2、秋收的两个徒弟有什么不同？ 3、指名竞读，榜样示范。 身段 （女）素之一忽则嫌白，黛之一忽则嫌黑 四、阅读体验（谈收获引导学生自我小结） 醒：左边是“酉”，不是“西”。 【教学过程】 ２、理解词义： 三、品读感悟，明白道理 2、品读句子，从文中优美的语句中感悟琴声的美妙。 小学语文教案 篇6 ②相信你也能为我们读出这样的精美，读—— 教材分析 ３、培养学生正确、流利、有感情地朗读课文的能力。 3、理解第二段并能有感情地朗读 １、学习课文，理清课文条理，理解课文内容。 一、谈话导入课题 异口同声：形容很多人说同样的话。 2、观察生字，说说哪些地方容易写错。(在写“纪”时，要注意右边是“己”不是“已”;“旅”要和“旋”易混，“藏”和“卧”笔顺 易错，要注意区分，不要写错。)
一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧
所对的圆周角之间有什么关系？
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它
解：连接 OD，AD，BD， 所对的圆心角的一半？
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
AD2+BD2=AB2 ， 本课是在学习了垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系的基础上探究同弧（或等弧）所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关系．
∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
∴ AD=BD= 思想方法．
• 学习重点：
圆周角定理．
1．思考和练习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 如：∠ACB．
C
O
A
B
1．思考和练习 （3）理解：望哨（站岗放哨；借助相近的词语理解）
五、布置作业
教科书 88 页 练习 1． 这篇课文是一首诗歌，主要写了春雨能促使万物生长，少年儿童在春雨中植树，绿化祖国。
蒙蒙细雨雨点很细很密的小雨。这是春雨的特点。 ⑶老师后来提了什么问题，使这热烈的场面一下子变得沉默无声？完成下面练习，想像一下，他们在想什么？如果是你，你会想什么？ 课件出示： 3．复习生字表： 2、秋收的两个徒弟有什么不同？ 3、指名竞读，榜样示范。 身段 （女）素之一忽则嫌白，黛之一忽则嫌黑 四、阅读体验（谈收获引导学生自我小结） 醒：左边是“酉”，不是“西”。 【教学过程】 ２、理解词义： 三、品读感悟，明白道理 2、品读句子，从文中优美的语句中感悟琴声的美妙。 小学语文教案 篇6 ②相信你也能为我们读出这样的精美，读—— 教材分析 ３、培养学生正确、流利、有感情地朗读课文的能力。 3、理解第二段并能有感情地朗读 １、学习课文，理清课文条理，理解课文内容。 一、谈话导入课题 异口同声：形容很多人说同样的话。 2、观察生字，说说哪些地方容易写错。(在写“纪”时，要注意右边是“己”不是“已”;“旅”要和“旋”易混，“藏”和“卧”笔顺 易错，要注意区分，不要写错。)
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件
∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径， 则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的 情况
一条边上
圆心在圆周角 的内部
圆心在圆周角 的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间 有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习 第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.
人教版九级数学上册第二十四章2414 圆 周 角(1)第1课时 圆周角的概念和圆周角定理(共张PPT
O
A O
B
CB
CB
C
圆心O在∠BAC的一条边上
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
O
∴ BAC 1 BOC．
2
B
C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴
BAD
1 2
BOD．
同理， CAD 1 COD．
2
∴ BAC CAD BAD
D
1 2
(COD
BOD )
1 2
BOC．
A O
C B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半
A
∵∠BAC和∠BOC分别是弧
BC所对的圆周角和圆心角
O
∴ BAC
1 2
BOC．
B
C
基础巩固，运用新知
如图，足球训练场上，甲乙两名运动员分别在A、 B两地，他们争论不休，都说自己的位置好，请用 本节课知识进行说明.
无数个
合作学习，探究定理
请在⊙O上任取一条弧AB，画出弧AB所对的一 个圆周角和圆心角，分别测量它们的度数， 它们之间有何数量关系？
O
合作学习，探究定理
提示：请大家根据圆心角与圆周角的位置关系， 把小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？ 需要分情况逐一证明.
A
独A立思考2分钟 O 小组讨论4分钟
A O
B
CB
CB
C
圆心O在∠BAC的一条边上
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
O
∴ BAC 1 BOC．
2
B
C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴
BAD
1 2
BOD．
同理， CAD 1 COD．
2
∴ BAC CAD BAD
D
1 2
(COD
BOD )
1 2
BOC．
A O
C B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半
A
∵∠BAC和∠BOC分别是弧
BC所对的圆周角和圆心角
O
∴ BAC
1 2
BOC．
B
C
基础巩固，运用新知
如图，足球训练场上，甲乙两名运动员分别在A、 B两地，他们争论不休，都说自己的位置好，请用 本节课知识进行说明.
无数个
合作学习，探究定理
请在⊙O上任取一条弧AB，画出弧AB所对的一 个圆周角和圆心角，分别测量它们的度数， 它们之间有何数量关系？
O
合作学习，探究定理
提示：请大家根据圆心角与圆周角的位置关系， 把小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？ 需要分情况逐一证明.
A
独A立思考2分钟 O 小组讨论4分钟
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
人教版九年级数学上册课件：24.1.4圆周角
想一想 D
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.
C
E
E
A
F
O
A OB
D BC
2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？
反过来呢？ 3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，
如果弧AB＝弧CD，那么∠E和 A
F
∠F是什么关系？
O2
反过来呢？
B
E
O1 D C
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日4时13分22秒16:13:227 November 2021
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午4时13 分22秒下午4时13分16:13:2221.11.7
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
O
A B
5.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.