长郡中学高一招生数学试题(含答案)
湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题 答案和解析
湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题答案和解析湖南省长郡中学高一入学分班考试数学试题一、单选题1.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a\end{cases}$的解x为非正数，y为非负数，则a的取值范围是（）。
A。
$-2<a\leq3$ B。
$-2\leq a<3$ C。
$-2<a<3$ D。
$a\leq-2$2.已知$a^2+b^2=6ab$，且$a>b>0$，则$\dfrac{a+b}{a-b}$的值为（）。
A。
2 B。
$\pm2$ C。
$2\sqrt{2}$ D。
$\pm2\sqrt{2}$3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）。
A。
$\dfrac{1}{3}$ B。
$\dfrac{2}{3}$ C。
$\dfrac{1}{9}$ D。
$\dfrac{1}{6}$4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式$x-y$，因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$，若取$x=9$，$y=9$时，则各个因式的值是：$x-y=0$，$xy=81$，$x^2+y^2=162$，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式$x-xy$，取$x=20$，$y=10$时，用上述方法产生的密码不可能是（）。
A。
B。
C。
D。
5.如果四个互不相同的正整数$m,n,p,q$，满足$(5-m)(5-n)(5-p)(5-q)=4$，那么$m+n+p+q=$（）。
A。
24 B。
21 C。
20 D。
226.若$x_1,x_2$（$x_1<x_2$）是方程$(x-a)(x-b)=1$（$a<b$）的两个根，则实数$x_1,x_2,a,b$的大小关系为（）。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题(带答案解析)
13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）
A．“弦” 米，“矢” 米
（2）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求实数 的值．
24．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4 ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
25．设函数 是定义域为 的奇函数．
（1）若 ，求使不等式 对一切 恒成立的实数 的取值范围；
B．按照经验公式计算所得弧田面积（ ）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（ ）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )
14．已知函数 设 表示 中的较大值， 表示 中的较小值，记 得最小值为种新运算： ，已知函数 ，若函数
恰有两个零点，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
评卷人
得分
二、填空题
16．已知函数 的图象如图所示，则 _____．
17．若 的图象过点 ，则 ______.
18． _____.
19．已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ，则不等式 的解集为_____．
12．B
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式作出 的图象，由题意得出 为奇函数，根据函数关于原点对称作出 的图象，由数形结合得出答案.
长郡中学2024年高一上学期期中考试数学试卷+答案
长郡中学2024年下学期高一期中考试数学命题人：陈家烦､谭泽阳 审题人：毛水 审核人：陈家烦时量：120分钟 满分：150分得分__________一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知a ∈R ，若集合{}{}1,,1,0,1M a N ==−，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是（ ） A.22,,0a b a b ∀∈+<R B.菱形的两条对角线相等C.00x x ∃∈=RD.一次函数的图象是直线3.设全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5,{38,}AB x x x ==<<∈N ∣，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ）A.{}1,2,3,4,5B.{}3,4C.{}1,2,3D.{}4,5,6,74.若函数()248f x x kx =−−在[]5,8上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A.(),40∞−B.][(),4064,∞∞−∪+ C.[]40,64 D.[)64,∞+ 5.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为1132x x<< ，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ） A.1123x x−<<−B.{3x x >∣或2}x <C.{23}xx <<∣ D.{32}x x −<<−∣ 6.已知关于x 的不等式227x x a+− 在区间(),a ∞+上恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A.1B.32C.2D.527.17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =×<∈Z 的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有lg lg N n a =+.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计20232的最高位的数值为（ ） 真数x2345678910lg x （近似值）0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000A.6B.7C.8D.98.已知函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时，()22g x x x =−+，函数()(),0,,0,x x f x g x x = > 若()()22f x f x −>，则实数x 的取值范围是（ ）A.()2,1−B.()(),21,∞∞−−∪+C.()1,2D.()(),12,∞∞−∪+二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知1,0aba =>，且1a ≠，函数()log a y x =−与x yb =的图象可能是（ ） A. B.C. D.10.已知函数()()()ln 2ln 8f x x x =−+−，则（ ） A.()f x 的定义域为()2,8B.()f x 在定义域内单调递减C.()f x 的最大值为2ln2D.()y f x =的图象关于直线5x =对称11.已知函数()(),f x g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()2f x g x ax x +=−，若对于任意121x x >>，都有()()12122g x g x x x −>−，则实数a 可以为（ ）A.1B.1−C.2D.3三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若幂函数()f x x α=满足()18162f f⋅=，则()4f 的值为__________. 13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量0P 的1%.已知在过滤过程中废气中的污染物含量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ektP P −=（0,k P 均为正常数）.如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是__________小时.14.已知函数()y f x =的定义域为(),2f x +R 为偶函数，对任意的12,x x ，当122x x < 时，()()12120f x f x x x −>−，则关于t 的不等式()()4224t t f f +<−的解集为__________.（用区间表示）四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）（1）计算130641lg (π2)lg25274++−−；（2）若1122x x −+，求22x x −+的值.16.（本小题满分15分）已知集合{}{}28120,2A xx x Bxa x a =−+>=+∣∣ . （1）若1a =，求()A B ∪R ； （2）若A B ∩=∅，求a 的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知函数()249b a xf x ax −−=+是定义在()3,3−上的奇函数，且()215f =−. （1）求,a b 的值；（2）判断函数()f x 在()3,3−上的单调性并加以证明； （3）解不等式()2105f x +− . 18.（本小题满分17分）已知函数()()21log ,2xf x xg x =+=. （1）若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在区间[]2,5上的值域；（2）若()H x =()()11H x H x +−=，并求12320232024202420242024H H H H++++的值；（3）令()()1h x f x =−，则()()()()24G x h x k f x =+−，已知函数()G x 在区间[]1,4上有零点，求实数k 的取值范围. 19.（本小题满分17分）我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.已知有穷数列()12:,,,2n A a a a n .若数列A 中各项都是集合{11}xx −<<∣的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项,i j a a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除,i j a a ，这样得到一个1n −项的新数列1A （约定：一个数也视作数列）.若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2,A ，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A . （1）设Γ数列11:0,,34A ，请写出1A 的所有可能的结果； （2）求证：对于一个n 项的Γ数列A 实施操作过程T ，总共可以实施1n −次； （3）设Γ数列7111711111:,,,,,,,,,137651234567A −−−−，求9A 的可能结果，并说明理由.长郡中学2024年下学期高一期中考试数学参考答案一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCBCBDA7.D 【解析】设2023210n a =×，因为2023lg22023lg220230.30103608.983696080.98369=≈×==+，所以lg a ≈0.98369.由表格可知，910a <<，所以20232的最高位的数值为9.故选D.8.A 【解析】 函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时，()22g x x x =−+， ∴当0x >时0x −<，则()()22()22g x g x x x x x =−−=−−−−=+， 又()00g =，即()222,0,0,0,2,0,x x x g x x x x x −+<==+>又()()()2,0,,0,,0,2,0,x x x x f x f x g x x x x x =∴= >+>∴当0x 时，()f x x =，则()f x 在(],0∞−上单调递增，当0x >时，()22f x x x =+，则()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 在区间(),∞∞−+上单调递增，()()222,2f x f x x x −>∴−> ，即()()220,210x x x x +−<∴+−<，()21,2,1x x ∴−<<∴∈−.故选A.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）题号 9 10 11 答案BCADACD10.AD 【解析】()()()()()ln 2ln 8ln 28f x x x x x =−+−=−− ，定义域为()2,8.令()()28t x x =−−，则ln y t =.因为二次函数()()28t x x =−−的图象的对称轴为直线5x =，又()f x 的定义域为()2,8， 所以()y f x =的图象关于直线5x =对称，且在()2,5上单调递增，在()5,8上单调递减. 当5x =时，t 有最大值，所以()()max ()ln 52ln 852ln3f x =−+−=.故选AD.11.ACD 【解析】根据题意，(()2f xg x ax x +=−，则()()2f xg x ax x −+−=+， 两式相加可得()()()()22f x f x g x g x ax +−++−=， 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()2g x ax =，若对于任意121x x >>，都有()()12122g x g x x x −>−，则变形可得()()121222g x g x x x −>−，即()()112222g x x g x x −>−，令()()222h x g x x ax x =−=−，则()h x 在区间()1,∞+上单调递增，若0a =，则()2h x x =−在()1,∞+上单调递减，不满足题意；若0a ≠，则()22h x ax x =−是对称轴为1x a=的二次函数，若()h x 在区间()1,∞+上单调递增，则只需0,11,a a>解得1a ，所以a 的取值范围为[)1,∞+，则a 可以取1,2,3.故选ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.1613.5 【解析】依题意，过滤5小时，污染物数量010%P P =，于是得50010%ekP P −=，解得1ln0.15k =−，排放污染物时，01%P P ，即001e 1%e 1%ln0.1ln0.015klklP P t −− ⇔⇔，解得10,55t t − ，所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时.故答案为5.14.(),1∞− 【解析】()2y f x =+为偶函数，其图象关于y 轴对称，()y f x ∴=关于2x =对称， 又当122x x < 时，()()()12120,f x f x f x x x −>∴−在()2,∞+上为增函数，故不等式()()4224ttf f +<−可等价为422242tt+−<−−，即426tt<−， 当26t 时，不等式为426t t <−，即()22260tt −+<，无解， 当26t <时，不等式为462t t <−，即()22260tt +−<，即()()23220tt+−<，解得1t <.故答案为(),1∞−.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.【解析】（1）原式1334lg41lg253−+−4lg10013=−+ 412133=−+=. （2）由题意得21112228x x x x −− +=++=，得16x x −+=，同理()2122236x x x x −−+=++=，故2234x x −+=.16.【解析】（1）{}28120{2A xx x x x =−+>=<∣∣或6}x >，当1a =时，{}13,{3Bx x A B x x =∪=∣∣ 或6}x >，(){36}A B x x ∪=<R ∣ .（2）当B =∅时，满足条件A B ∩=∅， 此时有2a a >+，无解，故B ≠∅；由A B ∩=∅得2,2,26,a a a a ++解得24a . 所以a 的取值范围是[]2,4.17.【解析】（1）由题意可知(0)0,0,9242(1),595b a f b a f a − == ∴−−= =− +.得1a b ==，经检验成立. （2）由（1）可知()249xf x x =−+，设1233x x −<<<， 则()()()()()()()()()()2212212112121222222212121249494944999999x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x −+++−−−−=−+==++++++， 22122121233,0,90,90,90x x x x x x x x −<<<∴−>−<+>+> ， ()()120f x f x ∴−>，即()()12f x f x >， ()f x ∴在()3,3−上单调递减.（3）由题易知()215f −=，又()()()21,115f x f x f +∴+− ， 由（2）可知()f x 在()3,3−上单调递减，313,11,x x −<+< ∴ +−解得42x −<− ，∴不等式()2105f x +− 的解集为{42}x x −<−∣ .18.【解析】（1）()()()()()()()()221log log 21log 2212221xx xF x f g x g f x x x x +=⋅=+⋅=+⋅×=+221122222x x x=+=+−，易知当[]2,5x ∈时，函数()F x 为增函数，则函数()F x 的最大值为()560F =，函数()F x 的最小值为()212,F =∴函数()F x 的值域为[]12,60.（2）若()H x =()H x =，()()11H x H x ∴+−=， 设12320232024202420242024H H H H S ++++=， 则20232022202112024202420242024H H H H S++++=， 两式相加得202312023220242024H H S+=，即22023S =，则20232S =， 故1232023202320242024202420242H H H H ++++=. （3）()()()222log 4log 4G x x k x k =+−+−，设2log t x =，当[]1,4x ∈时，[]0,2t ∈，则函数()G x 等价于()()244y p t t k t k ==+−+−，若函数()G x 在区间[]1,4上有零点，则等价于()()244y p t t k t k ==+−+−在[]0,2t ∈上有零点，即()()2440p t t k t k =+−+−=在区间[]0,2上有解，()24410t t k t ∴++−+=在区间[]0,2上有解，1()22(1)21144112111t t t t k t t t t ++++++∴===++++++，设1m t =+，则[]11,3,2m k m m∈∴=++， 又12k m m=++在区间[]1,3上单调递增，∴当1m =时，1124k =++=，当3m =时，1163233k =++=，116423m m ∴++ ，即1643k . ∴实数k 的取值范围是164,3.19.【解析】（1）1A 有如下的三种可能结果：11111117:,;:,;:0,433413A A A . （2）因为,{11}a b x x ∀∈−<<∣，有()()111011a b a babab−−−+−=<++且()()()111011a b a babab+++−−=>++，所以{11}1a b xx ab+∈−<<+∣，即每次操作后新数列仍是Γ数列.又因为每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 总共可进行1n −次操作（最后只剩下一项）. （3）由（2）可知9A 中仅有一项.对于满足,{11}a b xx ∈−<<∣的实数,a b 定义运算：1a ba b ab+∼=+，下面证明这种运算满足交换律和结合律：因为1a b a b ab +∼=+，且1b ab ba+=+，所以b a a b ∼=∼，即该运算满足交换律； 又因为()11111b ca b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc caa bc+++++++∼∼=∼==++++++⋅+， 且()11111a bca b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab+++++++∼∼=∼==++++++⋅+，所以()()a b c a b c ∼∼=∼∼，即该运算满足结合律. 所以9A 中的项与实施的具体操作过程无关. 选择如下操作过程求9A ： 由（1）可知1173413∼=；易知771111110;0;0;0;1313556677−∼=−∼=−∼=−∼= 所以5A 的其中一种结果为7,0,0,0,012； 易知5A 经过4次操作后剩下一项为712. 综上可知：97:12A .。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
27 8
ö÷ø
2 3
+ (1.5)-2 ；
试卷第41 页，共33 页
1
（2）若 x2
+
x
-
1 2
=
3 ，求
x3 + x-3 x + x-1 + 7
的值.
六、问答题
18．已知全集为 R
，集合
A
=
{x
2m
-1 £
x
£
m +1} ， B
=
ì í
x
î
2
3 -
x
³
2üý . þ
(1)若
m
=
1 2
，求
A
I
(ðR B )
=
-2x x2 -1
=
-
f
(x)
，故函数为奇
函数，故排除 BD，
由
f
(2)
=
4 3
>
0
，
f
æ çè
1 2
ö ÷ø
=
1
-
3 4
=
-
4 3
，故
C
错误，
故选：A. 4．B 【分析】根据题意建立函数关系即可. 【详解】如图，
答案第11 页，共22 页
圆的直径 AC = 2OC = 50cm ，矩形的边 AB = x cm. ∵ ÐABC = 90° ， ∴由勾股定理，得 BC = 2500 - x2cm ， ∴矩形 ABCD 的面积 y = AB × BC = x × 2500 - x2 cm2 ， 又∵ 0 < AB < AC = 50 ， ∴ 0 < x < 50 . 故选：B. 5．C 【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.
长郡高一数学考试题及答案
长郡高一数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = x + 1答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，下列哪个选项是A∩B？A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 3}答案：B3. 函数f(x) = 2x + 3的值域是？A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3)D. [2, +∞)答案：A4. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，下列哪个点不在直线l上？A. (0, 1)B. (1, 3)C. (-1, -1)D. (2, 5)答案：C5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少？B. 4C. 8D. 16答案：A6. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么a5的值是多少？A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A7. 已知向量a=(3, -2)，向量b=(1, 2)，那么向量a·b的值是多少？A. -1B. 1D. -3答案：A8. 已知抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是？A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (0, 2)答案：B9. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，那么f(π/4)的值是多少？A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，那么f'(x)的值是多少？A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 9x^2 + 6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么b3的值是___________。
答案：1812. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，那么f(1)的值是___________。
2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷
2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：选项C中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选C．点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．解答：解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1=（2+x%）x%．故选D．点评：本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．3．（5分）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．与a和b的大小无关考点：一元一次不等式的应用．分析：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解答：解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0∴0.5b﹣0.5a＜0，∴a＞b故选A点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．4．（5分）若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先根据相似三角形的判定定理求出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．解答：解：∵∠ADC=∠BCA，∠A是公共角，∴∠ABC=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AD=AB：AC，∵AB=AD+BD=AD+5，∴AD（AD+5）=36，解得AD=4或﹣9，负值舍去，∴AD=4，△ABC的面积是S，△ACD的面积就是S，△BCD=S．故选C．点评：本题的关键是求得△ACD∽△ABC，根据相似比和已知的条件求得AD的值，然后利用面积比等于相似比的平方求值．5．（5分）（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68考点：全等三角形的判定与性质．分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．解答：解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．6．（5分）如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同个数为m，则等于（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：先用树状图展示所有可能的结果，共有12种等可能结果数，然后找出和为偶数的个数，这样即可得到的值．解答：解：列树状图：∴数对（a，b）所有可能的个数为n=12，其中a+b恰为偶数的不同个数为m=5，∴=，故选C．点评：本题考查了利用树状图展示所有等可能的结果的方法．7．（5分）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）A．A B上B．B C上C．C D上D．D A上考点：正方形的性质．专题：动点型；规律型．分析：因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的×=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2000次相遇位置．解答：解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的×=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．故它们第2000次相遇位置与第五次相同，在边AB上．故选A．点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．8．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20062的值是（）A．2005 B．2006 C．2007 D．2008考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据负数没有平方根，得到a﹣2007大于等于0，然后根据a的范围化简绝对值，移项后两边平方即可求出所求式子的值．解答：解：由题意可知：a﹣2007≥0，解得：a≥2007，则|2006﹣a|+=a，化为：a﹣2006+=a，即=2006，两边平方得：a﹣2007=20062，解得：a﹣20062=2007．故选C点评：本题考查平方根的定义，化简绝对值的方法，是一道基础题．学生做题时注意负数没有平方根．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的．如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了96个弹球．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：设买了x个弹球，根据题意列出有关x的一元一次方程解之即可．解答：解：设总共买了x个弹球，根据题意得：（x﹣x﹣x）=12解得：x=96故答案为：96点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是从题目中找到能概括题目含义的相等关系，并正确的设出未知数列出方程．10．（5分）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在x轴上确定点P使△AOP为等腰三角形．则符合条件的点P共有4个．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：推理填空题；分类讨论．分析：本题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，共有4个解答：解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案为：4．点评：本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．11．（5分）不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m﹣1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是y=﹣x﹣1．考点：待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：将抛物线的方程变形为：y=（x+m）2+m﹣1，由此可得出定顶点的坐标，消去m后即可得出函数解析式．解答：解：将二次函数变形为y=（x+m）2+m﹣1，∴抛物线的顶点坐标为．消去m，得x+y=﹣1．故答案为：y=﹣x﹣1．点评：本题考查待定系数法求函数解析式，突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标．12．（5分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是黄，红，白．考点：容斥原理．专题：证明题．分析：由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球．解答：解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．点评：本题考查了容斥原理，根据（2）（3）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明．13．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=．考点：梯形；勾股定理的逆定理；梯形中位线定理．专题：计算题．分析：作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE 的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解．解答：解：作BE∥AC，∵AB∥CE，∴CE=AB，∵梯形中位线为6.5，∴AB+CD=13，∴DE=CE+CD=AB+CD=13，∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，得△BDE为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°，设S△EBD=S则S2：S=DO2：DB2S1：S=OB2：BD2∴=∵S=12×5×=30∴=．故本题答案为：．点评：此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．难度一般，熟练掌握一些基本图形的性质是解答此类题目的关键．14．（5分）已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为．考点：矩形的性质．专题：计算题．分析：先根据矩形的性质，列出一元二次方程，再利用根的判别式求根即可．解答：解：设矩形B的边长分别为x和y根据题意：xy=kab，x+y=k（a+b），将y=k（a+b）﹣x代入xy=kab中，x2﹣k（a+b）x+kab=0，利用一元二次方程求根公式：x=，△=k2（a+b）2﹣4kab≥0条件下，x才有解，由上面这个不等式推出：k≥，∴k的最小值为．点评：本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程，用根的判别式求根的情况．15．（5分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=12499．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．解答：解：x2y+xy2=xy（x+y）=66，设xy=m，x+y=n，由xy+x+y=17，得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66，∴m=6，n=11或m=11，n=6（舍去），∴xy=m=6，x+y=n=11，x2+y2=112﹣2×6=109，x2y2=36x4+y4=1092﹣36×2=11809x4+x3y+x2y2+xy3+y4=11809+6×109+36=12499．故答案为：12499点评：本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用．16．（5分）（2007•天水）如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O 及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为．考点：正多边形和圆．分析：首先得出△CDO为等腰直角三角形，可知CO=CD，在直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决．解答：解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．点评：解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．三、解答题（共2小题，满分20分）17．（10分）甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：根据题意可让甲班学生从学校A乘汽车akm出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校bkm，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可．然后根据时间=即可得他们至少需要多少时间才能到达．解答：解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm．则，解得a=60，b=20．则至少需要（h）=6.75（小时）．答：他们至少需要6.75小时才能到达．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题根据题意可画出草图，可以较快地列出所需等量关系．18．（10分）如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM 交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．考点：面积及等积变换．专题：探究型．分析：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，根据平行线分线段成比例定理可得=，进而可得到=，利用三角形的面积公式可得到△MEP及△MPF的表达式，根据S=+即可得出结论．解答：解：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，∵AM∥OP，∴=，∴=，即=，∵=且S△APM=AM•AD=1，∴S△MPE=，同理可得，S△MPF=，∴S=+=2﹣﹣=2﹣=2+≤2﹣=，当x=2时，上式等号成立，∴S的最大值为：．故答案为：．点评：本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，把四边形的面积转化为两个三角形的面积是解答此题的关键．。
长郡中学高一入学分班考试测试卷 (25)
测试卷25一、选择题1.如图25-1所示，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE,交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（ ）A. △EFBB. △DEFC. △CFBD. △EFB 和△DEF 2.如图25-2所示，直角梯形ABCD 中，AD//BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连接AE 、CE ，则△ADE 的面积是（ ）A.1B.2C.3D.不能确定 3.若A),35(),1(),413(321y C y B y 、、--为二次函数542+--=x x y 的图像上的三点，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A.321y y y <<B.123y y y <<C.213y y y <<D.312y y y <<4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的26=16+10，可用十六进制表示为1A ；在十六进制中，E+D=1B 等。
由上可知，在十六进制中，2×F=（ ）A.30B.1EC.E1D.2F5.如图25-3所示，在ABC Rt ∆中，AC=5,BC=12, ⊙O 分别与边AB 、AC 相切，切点分别为E 、C ，则⊙O 的半径是（ ） A.310 B.316 C.320 D.323 6.将n 个边长都为1cm 的正方形按图25-4所示摆放，点n A A A ,,,21 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A.241cm B.24cm n C.241cm n - D.241cm n⎪⎭⎫⎝⎛ 7.方程113162=---x x 的解是（ ） A.1=x B.4-=x C.4,121-==x x D.以上答案都不对 8.已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足,0121=--x 则m 的值是（ ）A.5210--或 B.5210-或 C..5210或- D.10或52 二、填空题9.点P 是△ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a∈R，若集合M={1,a}，N={−1,0,1}，则“a=0”是“M⊆N”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是A. ∀a，b∈R，a2+b2<0B. 菱形的两条对角线相等C. ∃x0∈R，x20=x0D. 一次函数的图象是直线3.设全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|3<x<8,x∈N}，则下图中的阴影部分表示的集合是A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {4,5,6,7}4.若函数f(x)=4x2−kx−8在[5,8]上是单调函数，则实数k的取值范围是A. (−∞,40)B. (−∞,40]∪[64,+∞)C. [40,64]D. [64,+∞)5.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13<x<12}，则不等式cx2+bx+a>0的解集为A. {x|−12<x<−13}B. {x|x>3或x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|−3<x<−2}6.已知关于x的不等式2x+2x−a≥7在区间(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为A. 1B. 32C. 2 D. 527.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有lg N=n+lg a.现给出部分常用对数值(如下表)，则可以估计22023的最高位的数值为真数x2345678910lg x(近0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.95424 1.000似值)A. 6B. 7C. 8D. 98.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=−x2+2x，函数f(x)={x,x≤0,g(x),x>0,若f(2−x2 )>f(x)，则实数x的取值范围是A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
长郡中学高一入学数学试卷1
数学试题 1 一、选择题1.若代数式1)1)(2 (-+-x xx的值为零，则x 的取值范围应为( )A. x=2 或x=－1B. x=－1C. x=±2D. x=22.如图1：△ABC中，∠ABC∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC= ( )A. 68°B.80°C.88°D.46°4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分。
小组赛完后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛。
如果总积分相同，还有按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分。
A.8B.7C.6D.54.若正实数a、b满足ab=a+b+3, 则a2+b2的最小值为（）A.-7B.2C.9D.185.直线y=21x+k 与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1,那么，k 的取值范围是（ ）A. -1≤k ≤1B. 0＜k ≤1C. k ≤1D.k ≤-1或k ≥16.如图，四边形ABCD 内接于半圆O,AB 为直径，AB=4, AD=DC=1, 则弦BC 长为（ ） A. 3.5 B.22 C.239 D.215第6题图 第7题图 第12题图二、填空题7.如图，已知：△ABC 中，AB=AC, D 是BC 上一点，且AD=DB,DC=CA, 则∠BAC 的= 。
8.已知关于x 的方程3-x x -2=3-x m 有一个正整数解，则正整数m 的可能取值共有_________个。
9.一元钱的硬币的直径约为24mm, 则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm( 保留根号)10.已知： x+y=2, 2y 2-y-4=0, 则y-yx 的值= 。
11.已知： a=21m+1, b=21m+2, c=21m+3,a 2+2ab+b 2-2ac+c 2-2bc 的值= 。
12.如图：四边形ABCD 中，AB=3, BC=4,∠B=∠C=120°,CD=5,四边形ABCD 的面积为 。
长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷与答案
时量：90分钟 满分100长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A. 4B. 8C. 12D. 162. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A.12B.112C.16D.143. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.14. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A12B.14C.D.138. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9 分解因式：432449a a a −+−=______．10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______． 11. 若关于x 分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．..的三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a 教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决.赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______． （3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．的一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷答案1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） B. 8 C. 12 D. 16【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810A. 4【答案】D， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A.12B.112C.16D.14【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为【答案】D 【分析】根据概率的计算公式即可求解.61244=， 故选：D3. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）B.1−C.D.1【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案A. 2【答案】B.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围【答案】C. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） B. 相交 C. 外切 D. 相离A. 内含【答案】B【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【详解】对于A ，【答案】D 【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【分析】设【答案】A121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为x =m +1，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++−【详解】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y=【详解】直线【分析】先求得l 2的倾斜角，进而求得直线l 2对应的函数表达式.1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°， 所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−22411x ax a x x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______．【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解11. 若关于x 的分式方程【答案】±12x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②<（2）甲；92【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可.【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m =91；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）．【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径（2）19.6厘米OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，()5,1,12−∞−∪−.【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，（3）①3；②由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x∞∞ ∈∪+ = ∈− − ，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）析式为y px p 【分析】（1）把点A (−1,0)，B (3,0)代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设P (0,p )，求出直线AP 解=+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p pD −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果；（2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z ＝i •（2+i ），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 1与BD 所成角为（ ） A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°3．在△ABC 中，BD →=DC →，则AD →=（ ） A ．12AB →−12AC →B ．12AB →+12AC →C ．2AB →+2AC →D ．2AB →−AC →4．a 、b 为空间中两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．若a 、b 为异面直线，则过空间任一点M ，存在直线c 与a 、b 都垂直C ．若a ⊂α，α∩β＝b ，则a 与b 相交D ．若a 不垂直于α，且b ⊂α，则a 不垂直于b5．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为9√3π，则该圆锥的母线长为（ ） A ．3B ．3√3C ．6D ．6√36．向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos 〈a →−c →，b →−c →〉＝（ ） A ．−15B ．−25C ．25D ．457．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A ＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B ＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C ＝“两次掷出的点数相同”，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．B 与C 相互独立 C ．P(A)=16D ．A 与C 互斥8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是（）A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍C．产品升级后，产品C的营收减少D．产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变10．设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（）A．若z1是纯虚数，则z12＞0B．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若复数z1满足|z1|＝1，则|z1+2i|的最大值为311．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点（含边界），点P在棱CC′上，且|PC′|＝1，则下列结论正确的有（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为4√5B ．保持PM 与BD ′垂直时，点M 的运动轨迹长度为3√2C ．若保持|PM|=2√5，则点M 的运动轨迹长度为4π3D ．平面AD ′P 被正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′截得截面为等腰梯形 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为 ．14．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A 、B 、C 这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A 、B 至少有一所被选择的概率为 ．15．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 ．16．如图，已知P ，Q 分别为∠AOB 两边上的点，∠AOB =π6，PQ ＝3，过点P ，Q 作圆弧，R 为PQ̂的中点，且∠PQR =π6，则线段OR 长度的最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量a →=（﹣1，3λ），b →=（5，λ﹣1）．（1）若a →∥b →，求λ的值；（2）若（2a →+b →）⊥（a →−b →），求λ的值．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，F 为AE 的中点． （1）求证：CE ∥平面BDF ； （2）求三棱锥E ﹣BDF 的体积．19．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．（1）写出表中M 、p 及图中a 的值（不需过程）；（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10，15）上的人数；（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）20．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2cosA=2．（1）求bc ； （2）若acosB−bcosA acosB+bcosA−b c=1，求△ABC 面积．21．（12分）已知三棱锥ABCD ，D 在面ABC 上的投影为O ，O 恰好为△ABC 的外心．AC ＝AB ＝4，BC ＝2．（1）证明：BC ⊥AD ；（2）E 为AD 上靠近A 的四等分点，若三棱锥ABCD 的体积为1，求二面角E ﹣CO ﹣B 的余弦值．22．（12分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z ＝i •（2+i ），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵复数z ＝i •（2+i ）＝﹣1+2i ，∴z =−1﹣2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点是（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C ．2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 1与BD 所成角为（ ） A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°解：如图，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，连接B 1D 1，AB 1，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，有BB 1∥DD 1，BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为矩形， 所以BD ∥B 1D 1，所以∠B 1D 1A （或其补角）为异面直线AD 1与BD 所成角， 又AB 1＝B 1D 1＝AD 1=√2，所以△AB 1D 1是等边三角形， 所以∠B 1D 1A ＝60°，故异面直线AD 1与BD 所成角为60°． 故答案为：A ．3．在△ABC 中，BD →=DC →，则AD →=（ ） A ．12AB →−12AC →B ．12AB →+12AC →C ．2AB →+2AC →D ．2AB →−AC →解：如图，在△ABC 中，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，由向量加法的平行四边形法则可得，AD →=12AB →+12AC →．故选：B ．4．a 、b 为空间中两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．若a 、b 为异面直线，则过空间任一点M ，存在直线c 与a 、b 都垂直C ．若a ⊂α，α∩β＝b ，则a 与b 相交D ．若a 不垂直于α，且b ⊂α，则a 不垂直于b解：对于选项A ，若a ∥b ，a ∥α，则b ⊂α或b ∥α，A 错； 对于选项C ，若a ⊂α，α∩β＝b ，a ∥b 或a 与b 相交，C 错； 对于选项D ，若a 不垂直于α，且b ⊂α，a 可能与b 垂直，D 错； 对于选项B ，过空间一点作两条异面直线的平行线可以确定一个平面， 过空间一点作平面的垂线有且只有一条，B 正确． 故选：B ．5．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为9√3π，则该圆锥的母线长为（ ） A ．3B ．3√3C ．6D ．6√3解：设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl ，底面圆面积为πr 2，因为πrl ＝2πr 2，所以l ＝2r ， 所以圆锥的高为h =√l 2−r 2=√3r ，所以圆锥的体积为13πr 2h =13πr 2•√3r =9√3π，解得r ＝3，所以该圆锥的母线长为l ＝2r ＝6． 故选：C ．6．向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos 〈a →−c →，b →−c →〉＝（ ）A ．−15B ．−25C ．25D ．45解：因为向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，所以−c →=a →+b →， 所以c →2=a →2+b →2+2a →•b →，即2＝1+1+2×1×1×cos ＜a →，b →＞， 解得cos ＜a →，b →＞=0， 所以a →⊥b →，又a →−c →=2a →+b →，b →−c →=a →+2b →，所以（a →−c →）•（b →−c →）＝（2a →+b →）•（a →+2b →）＝2a →2+2b →2+5a →•b →=2+2+0＝4， |a →−c →|＝|b →−c →|=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+0+1=√5，所以cos 〈a →−c →，b →−c →〉=(a →−c →)⋅(b →−c →)|a →−c →||b →−c →|=4√5×√5=45． 故选：D ．7．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A ＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B ＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C ＝“两次掷出的点数相同”，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．B 与C 相互独立 C ．P(A)=16D ．A 与C 互斥解：对于A ，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A 可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B 有同时发生的可能，故A 错误； 对于B ，P(B)=36=12，P(C)=66×6=16，P(BC)=36×6=112=P(B)⋅P(C)， 所以B 与C 相互独立，故B 正确；对于C ，先后两次掷一枚质地均匀的骰子，共有36个基本事件，其中事件A 包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个， 所以P （A ）=536，故C 错误；对于D ，因为P(A)=536，P(C)=16，P(AC)=136，P （AC ）≠P （A ）•P （C ），所以A 与C 不相互独立，故D 错误． 故选：B ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0， 所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab，所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某企业对目前销售的A ，B ，C ，D 四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是（ ）A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍C．产品升级后，产品C的营收减少D．产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变解：设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a．对于产品A，产品升级前的营收为0.1a，升级后的营收为2a×0.2＝0.4a，故升级后的产品A的营收是升级前的4倍，A正确．同理可得B正确，C错误．产品升级后，产品B，D营收的总和占总营收的比例不变，D正确．故选：ABD．10．设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（）A．若z1是纯虚数，则z12＞0B．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若复数z1满足|z1|＝1，则|z1+2i|的最大值为3解：A．z1＝i时，i2＝﹣1＜0，故A错误；B．z1＝i，z2＝1时，z12+z22=−1+1=0，得不出z1＝z2＝0，故B错误；C．设z1＝a+bi，z2＝c+di，则|z1|＝|z2|时，a2+b2＝c2+d2，又z1⋅z1=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，z2⋅z2=c2+d2，∴z1⋅z1=z2⋅z2，故C正确；D．设z1＝a+bi，则a2+b2＝1，∴﹣1≤b≤1，∴|z1+2i|＝|a+（b+2）i|=√a2+(b+2)2=√1+4+4b≤√5+4=3，故D正确．故选：CD．11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解：对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形内角和为180°可求得∠CBD＝π﹣∠BDC﹣∠BCD，利用正弦定理CDsin∠CBD =BCsin∠BCD，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB=ABBC，即可求AB；对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形，在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形；对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知两角∠ACB，∠ABC＝90°，一边AC，利用sin∠ACB=ABAC，可求得AB；对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB=ABBC，可用AB表示BC，由sin∠ACB=ABAC，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB．故选：ACD．12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点（含边界），点P 在棱CC ′上，且|PC ′|＝1，则下列结论正确的有（ ）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为4√5B ．保持PM 与BD ′垂直时，点M 的运动轨迹长度为3√2C ．若保持|PM|=2√5，则点M 的运动轨迹长度为4π3D ．平面AD ′P 被正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′截得截面为等腰梯形 解：对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则|AP|=√16+49=√65＜4√5，故A 错误； 对于B ，如图：∵DD ′平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD ′⊥AC ，又AC ⊥BD ， DD ′∩BD ＝D ，DD ′，BD ⊂平面 DD ′B ， ∴AC ⊥平面 DD ′B ，BD ′⊂平面 DD ′B ．∴AC ⊥BD ′'，同理可得BD ′⊥AB ′，AC ∩AC ′＝A ，AC ，AB ′⊂平面 ACB ′．∴BD ′⊥平面 ACB ′．∴过点P 作PG ∥C ′D 交CD 交于G ，过G 作GF ∥AC 交AD 交于F ， 由AB ′∥C ′D ，可得PG ∥AB ′，PG ⊄平面ACB ′，AB ′⊂平面ACB ′， ∴PG ∥平面ACB ′，同理可得GF ∥平面ACB ′． 则平面PGF ∥平面ACB ′．设平面PEF 交平面ADD ′A ′于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ， 由点P 在棱CC ′上，且|PC ′|＝1，可得|DG |＝|DF |＝|AE |＝1， ∴|EF|=34|A′D|=3√2，故B 正确； 对于C ，如图：若|PM|=2√5，则M 在以P 为球心，2√5为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD ′A ′，则|D ′Q |＝1，此时|QM|=√|PM|2−|PQ|2=2． ∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π3×2=4π3，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D ′P 交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD ′P 被正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′截得的截面为AIPD ′．△PCH ∼△D ′DH ，∴|PH||D′H|=|PC||DD′|=|HC||DH|=34．△ICH ∼△ADH ，∴|CI||DA|=|HC||DH|=|IH||AH|=34，∴|PH||D′H|=|IH||AH|=|PI||AD′|=34，∴PI ∥AD ′，且|PI |≠|AD ′|，∴截面AIPD ′为梯形，|AI|=|PD ′|=√16+1=√17，∴截面AIPD ′为等腰梯形，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为83π ．解：由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2，高为4的圆锥的体积之和， 故该麦门冬的体积V =13×π×12×4×2=83π， 故答案为：83π．14．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A 、B 、C 这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A 、B 至少有一所被选择的概率为89．解：甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A 、B 、C 这3所院校中选择一所填报志愿． 假设每位同学选择各个院校是等可能的， 则基本事件总数n ＝3×3＝9，院校A 、B 至少有一所被选择的对立事件是院校A 、B 都没有被选择， ∴院校A 、B 至少有一所被选择的概率：p ＝1−19=89． 故答案为：89．15．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 2+2√3 ． 解：如图，4个小球球心构成的正方形为O 1O 2O 3O 4，中心为N ，由题意O 1O 2＝4，NO 1=2√2， 半球形容器的球心为O ，显然当半球形容器与4个小球都相切时球O 的半径最小，半球形容器与球O 1的切点为A ， 连接ON ，则ON ＝小球的半径＝2，球O 的半径=OA =O 1A +OO 1=2+√ON 2+O 1N 2=2+2√3． 故答案为：2+2√3．16．如图，已知P ，Q 分别为∠AOB 两边上的点，∠AOB =π6，PQ ＝3，过点P ，Q 作圆弧，R 为PQ̂的中点，且∠PQR =π6，则线段OR 长度的最大值为 3+2√3 ．解：设∠PQO ＝θ，则0＜θ＜5π6，在△OPQ 中，由正弦定理知OPsinθ=PQsin∠POQ =3sinπ6=6，所以OP ＝6sin θ，因为R 为PQ ̂的中点，所以∠QPR =∠PQR =π6， 则PR ＝QR ，在△RPQ 中由余弦定理PQ 2＝PR 2+QR 2﹣2PR •QR cos ∠PRQ ， 解得PR =QR =√3，在△ORP 中，∠OPR =∠OPQ +∠QPR =5π6−θ+π6=π−θ，由余弦定理可得OR 2=OP 2+PR 2−2OP ⋅PRcos∠OPR =36sin 2θ+3−2√3×6sinθ×cos(π−θ) =18(1−cos2θ)+3+6√3sin2θ=12√3sin(2θ−π3)+21 所以当θ=5π12时，OR 2取得最大值21+12√3， 即OR 的得最大值3+2√3． 故答案为：3+2√3．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a →=（﹣1，3λ），b →=（5，λ﹣1）． （1）若a →∥b →，求λ的值；（2）若（2a →+b →）⊥（a →−b →），求λ的值． 解：（1）由向量a →=(−1，3λ)，b →=(5，λ−1)， 因为a →∥b →，所以﹣（λ﹣1）＝15λ，解得λ=116． （2）由题意得，向量2a →+b →=(3，7λ−1)，a →−b →=(−6，2λ+1)，由(2a →+b →)⊥(a →−b →)，可得(2a →+b →)⋅(a →−b →)=0，则3×（﹣6）+（7λ﹣1）（2λ+1）＝0， 即14λ2+5λ﹣19＝0，解得λ＝1或−1914．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，F 为AE 的中点． （1）求证：CE ∥平面BDF ； （2）求三棱锥E ﹣BDF 的体积．解：（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，再连接OF ， 在△ACE 中，O 为AC 中点，F 为AE 的中， 所以OF ∥CE ，又CE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ， 所以CE ∥平面BDF ． （2）因为该几何体为正方体，所以点D 到平面ABB 1A 1的距离等于AD ， 所以点D 到平面BEF 的距离等于AD ，根据等体积法可知V E−BDF =V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×EF ×AB ×AD =13．19．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．（1）写出表中M 、p 及图中a 的值（不需过程）；（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10，15）上的人数；（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25， 得10M=0.25，解得M ＝40，∴10+24+m +2＝40， 解得m ＝4，p =mM =0.10，∵a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a =2440×5=0.12． （2）∵该校高三学生有240人，在[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为：240×0.25＝60． （3）估计这次学生参加社区服务人数的众数是15+202=17.5，∵n =2440=0.6，∴样本中位数是15+0.5−0.25a≈17.10， 估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.10．20．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2cosA=2．（1）求bc ； （2）若acosB−bcosA acosB+bcosA−b c=1，求△ABC 面积．解：（1）因为b 2+c 2−a 2cosA=2bccosA cosA=2bc ＝2，所以bc ＝1； （2）acosB−bcosAacosB+bcosA −bc =sinAcosB−sinBcosAsinAcosB+sinBcosA−sinB sinC=1，所以sin(A−B)sin(A+B)−sinB sinC=sin(A−B)−sinB sinC=1，所以sin （A ﹣B ）﹣sin B ＝sin C ＝sin （A +B ），所以sin A cos B ﹣sin B cos A ﹣sin B ＝sin A cos B +sin B cos A ，即cos A =−12， 由A 为三角形内角得A =2π3， △ABC 面积S =12bc sin A =12×1×√32=√34．21．（12分）已知三棱锥ABCD ，D 在面ABC 上的投影为O ，O 恰好为△ABC 的外心．AC ＝AB ＝4，BC ＝2．（1）证明：BC ⊥AD ；（2）E 为AD 上靠近A 的四等分点，若三棱锥ABCD 的体积为1，求二面角E ﹣CO ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：连接AO ，延长交BC 于M ，则M 是BC 的中点．∵D 在面ABC 上的投影为O ∴DO ⊥面ABC ，∴DO ⊥BC ， ∵AC ＝AB ，∴BC ⊥AM ，∵AM ∩DO ＝0，∴BC ⊥平面ADM ， ∵AD ⊂平面ADM ， ∴BC ⊥AD ．（2）由（1）知AM ⊥BC ，OD ⊥面ABC ，AC ＝AB ＝4，BC ＝2，则AM =√AB 2−BM 2=√15，S △ABC =12AM ⋅BC =√15， 设AO ＝r ，则BO ＝r ，又OM 2+BM 2＝OB 2， 所以(√15−r)2+12=r 2，解得r =8√1515，故OM =AM −AO =7√1515， 因为三棱锥ABCD 的体积为1，所以13S △ABC ⋅OD =13×√15⋅OD =1，则OD =√155， 过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ， 故建系如图，则根据题意可得：则C(0，1，0)，B(0，−1，0)，O(7√1515，0，0)，A(√15，0，0)，D(7√1515，0，√155)， 故OA →=(8√1515，0，0)，AD →=(−8√1515，0，√155)，OC →=(−7√1515，1，0)，因为E 为AD 上靠近A 的四等分点，所以OE →=OA →+14AD →=(2√155，0，√1520)，设n →=(x ，y ，z)为平面ECO 的一个法向量，则{n →⋅OE →=2√155x +√1520z =0n →⋅OC →=−7√1515x +y =0，取n →=(√1556，18，√157)， 易知m →=(0，0，1)是平面COB 的一个法向量，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√1571×√15562+164+1549=√154，又由图可知二面角E ﹣CO ﹣B 的平面角为钝角， 所以二面角E ﹣CO ﹣B 的余弦值为−√154．22．（12分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．解：（1）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第21页（共21页） 第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．乙获连负两场，所以1、4均负，所以乙获连负两场的概率为P =34×12=38．（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，所以甲获得冠军的概率为：P ＝（34）3+2×（34）3×14=81128． （3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，所以甲与乙在决赛相遇的概率为：P =34×34×12×12+14×34×34×12=27128， 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种： 乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：p =14×12×12×（34×14+14×12）+14×12×12×（34×14+14×12）=5128，丁与丙相同， 所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：27128+5128+5128=37128．。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期入学检测数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期入学检测数学试题一、单选题1．据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次.把704000000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．77.0410⨯B ．67.0410⨯C ．87.0410⨯D ．97.0410⨯【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：87040000007.0410=⨯，故选：C2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据中心对称的定义，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项中的图形不是中心对称图形.B 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形.C 选项中的图形不是中心对称图形.D 选项中的图形是中心对称图形.故选:D.3．已知点()3,2P a a --在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由点P 所在象限求出a 的取值范围可得答案.【详解】因为点()3,2P a a --在第二象限，所以3020-<⎧⎨->⎩a a ， 解得2a <，则a 的取值范围在数轴上表示正确的为C 选项.故选：C.4．如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 【答案】B【分析】所求圆与已知圆相切，分为内切和外切两种,根据本题情况，得到圆心的位置,求出所有可能的个数【详解】解：设所求的圆的圆心为A ，①当A 与1O 和2O 都外切时，则12128,10,6,AO AO O O ===发现2122221O O AO AO +=，所以211O O AO ⊥，则能找两个A 的位置，此时有两个圆； ②当A 与1O 内切, 与2O 外切时，则12124,10,6,AO AO O O ===发现2112O O AO AO +=，则能找到一个A 的位置，此时有一个圆；③当A 与2O 内切, 与1O 外切时，则12128,2,6,AO AO O O ===发现1122O O AO AO +=，则能找到一个A 的位置，此时有一个圆，④当A 与1O 和 2O 都内切时，则12124,2,6,AO AO O O ===发现1221AO AO O O +=，则能找到一个A 的位置，此时有一个圆,综上所述，共5个，故选：B5．122022,,x x x ⋯是2022个由1和1-组成的数，122022.202x x x ++⋯+=，则()()()22212202211.1x x x -+-+⋯+-=（ ） A ．2021 B ．4042 C ．3640D ．4842【答案】C【分析】由122022.202x x x ++⋯+=可知1的个数比1-的个数多202个，得到 1-的个数和1的个数代入可得答案.【详解】因为122022,,x x x ⋯是2022个由1和1-组成的数，122022.202x x x ++⋯+=，所以1的个数比1-的个数多202个，即1的个数为()1202220211122⨯+=个， 1-的个数为20221112910-=个，无论122022,,x x x ⋯中哪个数是1，哪个是1-， 均有()()()()()22222122022111910111112113640-+-++-=⨯--+⨯-=x x x . 故选：C. 6．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】根据圆柱体积公式可得液体的体积为363cm π，圆锥的体积为372cm π，所以计时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为39cm π，根据圆锥体积公式计算可得.【详解】如图，圆锥的底面半径是6cm ，高是6cm ，所以ABC 、CDE △是等腰直角三角形，所以CD DE =，由已知可得：液体的体积为233763(cm )ππ⨯⨯=， 圆锥的体积为2316672(cm )3ππ⨯⨯=， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为372639(cm )πππ-=，设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD 为x cm ，则(6)cm CD DE x ==-，21(6)(6)93x x ππ∴⋅-⋅-=， 3(6)27x ∴-=，所以3x =，所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm.故选：B.7．整数a 使得关于,x y 的二元一次方程组1131ax y x y -=⎧⎨-=⎩的解为正整数（,x y 均为正整数），且使得关于x 的不等式组()128742x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，则所有满足条件的a 的和为（ ）A ．9B ．16C ．17D ．30【答案】C 【分析】解出二元一次方程组的解，由a 为整数且方程组的解为正整数确定出a 的值，再由不等式组无解，确定出满足题意a 的值，即可得到答案【详解】解：当3a =时，代入方程组得31131x y x y -=⎧⎨-=⎩易得,x y 无实数解，与题意矛盾，舍去；当3a ≠时，由方程组1131ax y x y -=⎧⎨-=⎩解得103333x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， ∵a 为整数，x ，y 为正整数，∴a −3=1或2或5或10，解得：a =4或5或8或13， 不等式组()128742x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩整理得：102x x a ≥⎧⎨<+⎩， ∵不等式组无解，∴210a +≤，解得8a ≤，∴满足题意a 的值为4或5或8，则所有满足条件的a 的和为4＋5＋8＝17， 故选：C8．定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =-+，则t 的取值范围为（ ）A ．20182019t ≤≤B ．20192020t ≤≤C ．20202021t ≤≤D ．20212022t ≤≤ 【答案】C【分析】因为拋物线与直线只有一个交点M 得()2114=-a b ， ()2110+-+=ax b x 可化为()2120-+=⎡⎤⎣⎦b x ，求出22,11⎛⎫ ⎪--⎝⎭M b b ，因为点M 在第一象限、24M ≤≤，可得10b -≤≤，()212020=++t b ，利用抛物线的性质可得答案.【详解】因为拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ， 所以()210⎧=++≠⎪⎨=⎪⎩y ax bx a y x只有一个解，消去y 得()2110+-+=ax b x ， 所以()2140--=b a ，()2114=-a b ，因为0a ≠，所以1b ≠， ()2110+-+=ax b x 可化为()()22111104-+-+=b x b x ，即()2120-+=⎡⎤⎣⎦b x ，所以1221x x b ==--，22,11⎛⎫ ⎪--⎝⎭M b b ，因为点M 在第一象限，所以10b ->，1b <， 因为24M ≤≤，所以2121≤≤-b ，可得10b -≤≤， 所以()()222224202221202212020=-+=--+=++t b a b b b ，因为10b -≤≤，抛物线开口向下，对称轴为1b =-，所以t 随b 的增大而增大， 故20202021t ≤≤.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查点的坐标，解得本题的关键点是明确题意，理解定义，求出相应的点的坐标.，转化为二次函数的性质求解.二、填空题9．2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船搭载航天员翟志刚､王亚平､叶光富安全返回内蒙古东风着陆场，至此，中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆满成功.为激励更多同学投身祖国的航天事业，长沙某初中开展了航天员模拟选拔活动，从心理素质､身体素质､科学头脑､应变能力四个方面进行考核，每项满分均为100分，最后将四项得分按照4：3：2：1的比例确定成绩，小军四项所得的分数依次是86858890､､､分，那么小军的最终得分是___________分.【答案】86.5【分析】由加权平均数的定义计算得解.【详解】由加权平均数得：小军的最终得分是86485388290186.54321⨯+⨯+⨯+⨯=+++分， 故答案为：86.510．若关于x 的方程131mx x -=-无解，则m 的值为___________. 【答案】1或3【分析】将方程等价变形()32m x -=-，分30m -=，30m -≠两种情况讨论得解.【详解】方程两边同乘以1x -，其中1x ≠，得133mx x -=-，所以()32m x -=-； 当30m -=时，即3m =时，原方程无解，符合题意；当30m -≠时，23x m -=-， 因为方程无解，所以213x m -==-，解得1m = 综上：m 的值为1或3故答案为：1或3.11．正比例函数12y x =-与反比例函数2k y x =的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.【答案】{1x x <-或}01x <<【分析】根据反比例函数图像的特点得出B 点横坐标,再利用函数图像可直接得出结论【详解】因为正比例函数与反比例函数的图像均关于原点对称，点A 的横坐标为1， 所以点B 的横坐标为-1，由函数图像可知，当1x <-或01x <<时，正比例函数的图像在反比例函数图像的上方，所以当12y y >时, x 的取值范围是1x <-或01x <<，故答案为：{1x x <-或}01x <<12．如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.【答案】4.8【分析】连接PD ，取PQ 的中点E ，连接CE ，DE ，判定CD AB ⊥时PQ 有最小值即可【详解】解：在ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，∴222AB AC BC =+，∴90ACB ︒∠=，连接PD ，取PQ 的中点E ，连接CE ，DE ，∵DQ 是P 的切线，∴90PDQ ︒∠=， ∴11,22CE PQ DE PQ ==， 当CD AB ⊥时，CE DE +有最小值，即 4.8CD AC BC AB =⋅÷=，即 4.8PQ =，故答案为：4.8三、解答题 13．如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =-+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =-过点P .(1)求a 的值；(2)点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A '的坐标为(),x y --，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.【答案】(1)3(2)1313,,,2222M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32PMN S = 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值； （2）由题意设(),1M x x -+ ，则(),1N x x --，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【详解】(1)对于直线1:1l y x =-+，当0y =时，1x =，所以()1,0P因为直线2:3l y ax =-过点()1,0P ，所以03a =-，得3a =，(2)由3a =得，2:33l y x =-设(),1M x x -+ ，则(),1N x x --.又(),1N x x --在2:33l y x =-上，所以133x x -=--，解得12x =-， 则1313,,,2222M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1313322222PMN S OP OP =⋅+⋅=. 14．“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”某大学“利用世界献血日"，开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有：“,,,A B AB O "四种类型.随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整统计图表.血型统计表血型A B AB O 人数a 10 5 b(1)求a b ､的值；(2)若这次活动中该校有1200人义务献血，估计大约有多少人是A 型血？(3)现有4个自愿献血者，2人为O 型，1人为A 型，1人为B 型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O 型的概率.【答案】(1)12a =，23b =；(2)288人；(3)16 【分析】（1）先计算出总人数，接着算出O 型的人数，再计算出A 型人数；（2）用样本中A 型的人数除以50得到血型是A 型的概率，然后用1200乘以此概率可估计这1200人中是A 型血的人数；（3）画出树状图，根据概率公式即可得到结果【详解】(1)献血总人数：510%50÷=(人)O 型血献血人数：5046%23b =⨯=(人),A 型血献血人数：501052312a =---=(人)所以12a =，23b =； (2)献血者为A 型血的概率1265025P == 6120028825⨯=(人) 答：这1200人中大约有288人是A 型血；(3)画树状图如下由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，其中两人都为O 型的有2种，∴P (两人均为O 型)21126== 15．（1）问题：如图①，在Rt ABC 中，,AB AC D =为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90得到AE ，连接EC ，试写出,BC DC ，EC 之间满足的等量关系式；（2）探索：如图②，在Rt ABC 与Rt ADE △中，,AB AC AD AE ==，将ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段,,AD BD CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）应用：如图③，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=.若9,3BD CD ==，求AD 的长.【答案】（1）BC DC EC =+；（2）2222BD CD AD +=，证明见解析；（3）6.【分析】（1）证出BAD CAE ≅△△可得答案；（2）连接CE ， 利用BAD CAE ≅△△、222CE CD ED +=可得答案；（3）作AE AD ⊥，使AE AD =，证出BAD CAE ≅△△，求出90EDC ∠=， 2,2==DE AD AE DE 可得答案. 【详解】（1）BC DC EC =+，理由如下：90BAC DAE BAC DAC DAE DAC ∠∠∠∠∠∠==∴-=-.即BAD CAE ∠=∠在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，BAD CAE BD CE ∴≅∴=，BC BD CD EC CD ∴=+=+；（2）2222BD CD AD +=理由如下：连接CE ，由（1）得：,BAD CAE BD CE ACE B ≅∴=∠=∠，22290DCE CE CD ED ∠∴=∴+=在Rt ADE 中，222AD AE ED +=，又AD AE =， 2222BD CD AD ∴+=；（3）作AE AD ⊥，使AE AD =，连接,CE DE ，BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，()9BAD CAE SAS BD CE ∴≅∴==，45,4590ADC EDA EDC ∠∠∠==∴=， 222629062DE CE CD DAE AD AE DE ∠∴=-==∴===. 【点睛】16．在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m =--->与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.(1)求m 的值；(2)将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l '，设点P Q ､是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =-于点P Q ''､，设P Q ''､的横坐标分别为P Q x x ''､，且4P Q x x ''⋅=，求证：直线PQ 经过定点.【答案】(1)1m =；(2)证明见解析【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =-可得点Q P ''､横坐标，由4P Q x x ''⋅=可得()1212230x x x x -++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立之后可得122x x m +=+，12x x n =-，代入()1212230x x x x -++=求得21n m =--，继而求出答案 【详解】(1)解：依题意得：22()2y x m m m =----，∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m =---中，令0x =，则2y m =--，()0,2C m ∴--，22OC m m ∴=--=+，3OC ON =，23m m ∴+=，解得1m =；(2)将1m =代入抛物线l 得223y x x =--，如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x '=-， 点P Q ､是拋物线l '上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x --，由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x --分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =-=- 点P Q ''､在直线2y =-上，∴点1222,2,,222P Q x x ⎛⎫⎛⎫----'' ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 4p Q x x ''⋅=1222422x x --∴⋅=--，即()()12221x x --=， 整理得()1212230x x x x -++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立得：222,2,y x x x x mx n y mx n ⎧=--=+⎨=+⎩， 整理得()220x m x n -+-=，由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=-，()1212230x x x x -++=，()2230n m ∴--++=，21n m ∴=--，∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =--=--， ∴当2x =时，1y =-，∴直线PQ 经过定点()2,1-。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(含答案)
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 的模为10，虚部为−8，则复数z 的实部为A. −6B. 6C. ±6D. 362.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为( )A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′ // B′C′，O′A′=2B′C′=2，A′B′=1，则该平面图形的高为A.2 B. 1 C. 22 D. 24.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是A. 29B. 30C. 31D. 325.已知M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON,AP =34AN ，以OA ,OB ,OC 为基底，则OP 可以表示为( )A. OP =12OA +14OB +14OC B. OP =12OA +13OB +13OC C. OP =14OA +13OB +13OCD. OP =14OA +14OB +14OC6.已知非零向量a ，b 满足|a +b |=|a−2b |，且b 在a 上的投影向量为23a ，则|a ||b |( )A. 12B.32C. 2D.37.如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若点E ，F 分别满足AE =23AB ，AF =23AC ，三棱柱高为3，△ABC面积为3 3，则几何体B 1C 1BCFE 的体积为A.8 33B. 33C.10 33 D.11 338.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(p,q)=( )A. (16,16)B. (12,16)C. (12,14)D. (12,13)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年度长郡中学高一第一学期入学考试数学试题(答案解析)
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长郡中学高一招生数学试题
(时间60分钟 满分100分)
一、选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。
每小题只有一个符合题意的答案) 1. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。
若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）
2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ） A 、2x ％ B 、1+2x ％ C 、（1+x ％）x ％ D 、（2+x ％）x ％
3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条
2
b a 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A 、a >b
B 、a <b
C 、a =b
D 、与a 和b 的大小无关 4．若D 是△ABC 的边AB 上的一点，∠ADC=∠BCA ，AC=6，DB=5，△ABC 的面积是S ，则△BCD 的面积是 （ ） A 、
S 5
3 B 、
S 7
4 C 、
S 9
5 D 、
S 11
6
5．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所
标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ） A 、50 B 、62 C 、65 D 、68
6．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的
箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对（a ，b ）
所有可能的个数为n ，其中a +b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 （ ） A 、
2
1 B 、
6
1 C 、
12
5 D 、
4
3
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，
甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4
倍，则它
黄 红 黄 红
绿
绿
黄
红 绿
红
绿 黄 绿
红 红
绿 黄
黄 绿
红
黄 红 黄 绿
A ．
B ．
C ．
D ．
们第2000次相遇在边 （ ）
A 、A
B 上 B 、B
C 上 C 、C
D 上 D 、DA 上
8．已知实数a 满足|2006|2007a a a -+-=，那么22006a -的值是（ ）
A 、2005
B 、2006
C 、2007
D 、2008
二、填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。
) 9．小明同学买了一包弹球，其中
14
是绿色的，18
是黄色的，余下的15
是蓝色的。
如果有12
个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球
10.已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有（ ）个.
11．不论m 取任何实数，抛物线 y=x 2+2mx+m 2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线
的函数解析式是（ ）． 12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，•每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：
（1）黄盒中的小球比黄球多； （2）红盒中的小球与白球不一样多； （3）白球比白盒中的球少．
则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )．
13．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ．BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为2
13，
△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S +
=（ ）
14．已知矩形A 的边长分别为a 和b ，如果总有另一矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长之比与面积之比都等于k ，则k 的最小值为（ ）
15．已知x 、y 均为实数，且满足x y+x +y=17，x 2
y+x y 2
=66， 则x 4+x 3y+x 2y 2+x y 3+y 4=（ ）
16．如图5，已知在圆O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个
顶点分 别在半径OM ，OP 以及圆O 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为（ ）
三、解答题：(本题有2小题,每小题10分，满分20分。
)
17．甲、乙两班同时从学校A 出发去距离学校75km 的军营B 军训，甲班学生步行速度为4km/h ，乙班学生步行速度为5km/h ，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h ，载人时的速度为20km/h ，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
18．如图，已知矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上移动，AP 与DM
交于点E ，PN 交CM 于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值.
F N
M
P
D
E C
A
B
长郡中学高一招生数学试题
参考答案
一、1、C 2、D 3、A 4、C 5、A 6、C 7、A 8、C
二、9、 96 10、 8 11、 x+y=-1 12、黄、红、白．13、30 14、
2
)
(4b a ab +
15、 12499 16、 5
三、17．解：
设甲班学生从学校A 乘汽车出发至E 处下车步行，乘车akm ，空车返回至C 处，乙班同学于C 处上车，此时已步行了bkm. 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+475207540
5
4020a b b a b b a a 解得a=60 b=20 ∴至少需要
4
36
41520
60=+（h ）
18、 解：连结PM ，设DP=x ，则PC=4－x ，∵AM//OP
1
12
11
+=
∴=⋅==
+=
+=
∴=∴∆∆∆∆x x S AD AM S PA
PE S S x x PA
PE AM
PD PD PA
PE AM PD EA
PE MPE APM APM
MEP 且又即F
N M
P
D
E C
A B
同理可求x
x S MPF --=∆54……………………（8分）
因此5
462511125412
++--
=--
+-=--+
+=
x x x
x
x
x x
x S
3
43
229
)2(622
=
-
≤--+
=x ………………（13分）
当x =2时，上式等号成立.………………………（15分）。