高考数学一轮复习教案(含答案)：第3章 第6节 正弦定理和余弦定理

第六节正弦定理和余弦定理

[考纲传真]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦定理和余弦定理

a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b

(1)S＝1

2a·h a(h a表示边a上的高)；

(2)S＝1

2ab sin C＝

1

2ac sin B＝

1

2bc sin A；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

[常用结论]

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

变形：A＋B

2＝

π

2－

C

2.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(2)sin A＋B

2＝cos

C

2；(4)cos

A＋B

2＝sin

C

2.

3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b，

cos A＞cos B⇔A＜B⇔a＜b.

4．三角形射影定理

a＝b cos C＋c cos B

b＝a cos C＋c cos A

c＝a cos B＋b cos A

5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．()

(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()

(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.()

(4)在△ABC中，

a

sin A＝

a＋b－c

sin A＋sin B－sin C

. ()

[解析](1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

(2)错误．由cos A＝b2＋c2－a2

2bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三

角形．

(3)错误．由b＜a知，B＜A.

(4)正确．利用a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，可知结论正确．

[答案](1)√(2)×(3)×(4)√

2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．不能确定

C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c

2R ＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜

c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c

22ab ＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角

三角形．]

3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2

3，则b ＝( )

A.2

B. 3

C ．2

D ．3

D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×2

3， 解得b ＝3或b ＝－1

3(舍去)，故选D.]

4．在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．32 B ．6 2

C ．26

D ．3 6

B [由正弦定理得a sin A ＝c sin

C ，所以a ＝c sin A sin C ＝6×sin 45°

sin 30°＝6 2.] 5．(教材改编)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4

C.π3

D.π2

C [由2b sin A ＝3a 得2sin B sin A ＝3sin A . ∴sin B ＝3

2，又B 是锐角或直角． ∴B ＝π3.]

利用正、余弦定理解三角

【例1】 (1)(2020·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5

5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )

A ．42 B.30 C.29 D ．2 5

(2)(2020·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( )

A.3π4

B.π3

C.π4

D.π6

(1)A (2)C [(1)因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2

C

2－1＝2×

－1

＝－3

5.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×

＝32，所以AB ＝4 2.故选A.

(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A . 又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1， 又A 是三角形内角，则A ＝π

4，故选C.] (1)求边：利用公式或其他相应变形公式求

解.

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝

或其他相应变形公式求解.

(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.

C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°