十一、2013年数学本科Fourier与小波之双正交多分辨分析

国防科学技术大学教案课程名称：小波分析及应用任课单位：理学院数学与系统科学系计算数学教研室授课对象：2011级数学专业本科生主讲教员：成礼智教授授课时间：2013年秋季学期双正交小波的概念与性质国防科技大学理学院2013年秋季学期教案首页课程名称Fourier分析与小波总计：40学时课程类别选修学分 2讲课：40 学时自主学习： 6 学时任课教师成礼智职称教授授课对象2011级数学专业本科生教材和基本参考资料1．成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，20042．G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:Welleseley-Cambridge Presss,1996，3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002教学目的任务本课程是数学专业选修专业课。

本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题内容课时分配章内容学时数1 傅里叶分析与预备知识82 Haar小波分析 63 多分辨分析与小波构造124 提升格式小波与整数变换 65 小波的典型应用8教研室意见教研室主任签名年月日- 2 -教案续页教 学 基 本 内 容备注 内容：双正交多分辨分析的概念与性质重点：为何需要双正交小波、双正交多分辨分析的概念与性质 难点：正交对称小波的不存在特性、双正交多分辨分析概念的理解复习：双尺度方程)2()(k x h x Zk k -=∑∈ϕϕ中系数 {}k h 的特点：（1） {}k h 起到低通滤波器的作用；（2） 设低通滤波器函数为1()2ik k kH h e ωϖ-=∑，则1|)(||)(|22=++πϖϖH H上述两个性质中，第一个性质在信号分解中起到关键作用，第二个性质在正交小波的构造中是一个重要工具。

但是，在信号处理中，对称性与周期性是两个重要概念，例如，我们曾看到，图像（二维）或信号作对称延拓可以保持高保真（小的失真度），因此，构造具有对称性的滤波器组具有重要意义。

因此，本节课的目的是讨论具有对称性质的小波滤波器构造方法。

问题：（1） 是否存在对称正交小波？ 答案：不存在（2） 如何找到具有对称性质的小波？ 本堂课的主要内容。

一、为何需要双正交小波？1、线性相位与滤波器的对称（反对称）性前面所讨论的多分辨分析理论都是在正交的意义下进行的，但是实际工程问题中仅有正交性还远远不够。

例如，在图像处理中，双尺度方程的系数{}k h 与小波方程系数{}k g 经常被作为低通与高通滤波器系数。

为了保证图像在变换过程中不发生畸变，其频率响应函数)(ϖH 最好具有线性相位，即存在R ∈λ使得()|()|i H e H λϖϖϖ=。

现在来看函数)(ϖH 的系数性质，事实上，此时不难得到2()()i H e H λϖϖϖ=，该式等价地表示为k k h h --=λ2，当k h R ∈时，系数可以看作为以λ-为对称轴，此时滤波器系数{}k h 具有对称性质，例如，当21=λ时，k k h h --=1，对称轴为21-=x ，而当0=λ时，k k h h -=，对称轴为0x =轴。

另外，有时也需要下列的广义线性相位性质：()()|()|i b H e H λϖϖϖ+=。

若取R h n b k ∈+=,2ππ，则又有k k h h ---=λ2，系数可以看作为以λ-为反对称轴。

综上所述，线性相位滤波器设计与对称系数是等价的。

- 4 -2、正交小波滤波器对称性的不可能 Daubechies 已经证明，基于正交小波变换下满足双尺度方程的系数}{k h 除开Haar 基小波外，均不存在对称或反对称性，即有下面的定理。

定理1 假设,ϕψ分别为一个多分辨分析的具有有限支撑、实值尺度函数与小波函数，若函数ψ图像关于x 对称或反对称，则ψ一定是Haar 函数。

为了证明上述定理，还需要证明下列结论成立。

引理1 如果函数()(),()(),n n f x f x n g x g x n n Z =-=-∈构成2()L R 的子空间E 的一组标准正交基，则存在以2π为周期的函数()αϖ以及|()|1αϖ=使得ˆˆ()()()gf ϖαϖϖ=. 证明 由于(),n f x n Z ∈构成子空间E 的标准正交基以及g E ∈，故存在系数{}n α使得n n ng f α=∑成立，因此22||||||1nng α==∑，而ˆˆ()()()gf ϖαϖϖ=，其中 ()in n ne ϖαωα-=∑。

又由()(),()(),n nf x f x ng x g x n n Z =-=-∈均为标准正交基，因此利用前面的讨论有..22ˆˆ|(2)||(2)|1a e a ekkgk f k ϖπϖπ+=+=∑∑，另一方面2222ˆˆˆ|(2)||(2)(2)||()||(2)|kkkg k k f k f k ϖπαϖπϖπαϖϖπ+=++=+∑∑∑，综合上面的两个式子知引理结论成立。

引理2 假设{,}n n Z α∈是一个有限长的序列，且()in n ne ωαωα-=∑满足|()|1αϖ=，则存在0n Z ∈使得0,n n n ααδ=成立。

证明 由|()|1αϖ=得到1()()()in il im n l n n m nlmne e e ωωϖαααα-+==∑∑∑∑，故,0n n mm nααδ+=∑，由于{,}n n Z α∈是一个有限长的序列，设0,n N 分别满足00,0,;0,0,n n N n n n n N αααα≠=<≠=>并在上式取0m N n =-，则有0,0n n N n N n nααδ+--=∑，但另一方面，因为当0n n <时0n α=，当n N >时0n N n α+-=，因此上式左端只有一项00n N αα≠，必有0n N =，此即0,n n n ααδ=成立。

推论1 如果,f g 均为紧支撑函数， (),(),n n f f n g g n n Z =∙-=∙-∈是同一个空间的标准正交基函数，则0()()g x f x n α=-对某个,||1C αα∈=以及0n Z ∈成立。

证明 由引理1，存在以2π为周期的函数()αϖ以及|()|1αϖ=使得ˆˆ()()()gf ϖαϖϖ=，由于,fg 均为紧支撑函数，所以()()ng x f x n dx α=-⎰仅有限个非0，因此利用引理2，得到推论1结论成立。

定理1的证明。

由于函数ϕ的有限支撑性质知道()()n h x x n dx ϕϕ=-⎰只有有限个非0，为简单记，设00,0,0,0,0,n N n h h n h h n N ≠=<≠=>，现在证明N 一定为奇数，否则设02N n =为偶数，将0n 代入2,02n n ll lh hδ+=∑得到20n n n n n N nnh hh h ++==∑∑，另一方面，上式左端只有一个非0项00N h h ≠，矛盾。

由于假设00,0,0,0,0,n N n h h n h h n N ≠=<≠=>，由前面的讨论知道ϕ的有限支撑区间为[0,]N ，而ψ的支撑区间为00[,1]n n -+，因此ψ的对称轴为12x =，即有()(1),x x ψψ=-或()(1)x x ψψ=--，从而得到2,,(1)()2(21)()j j j k j k x x k x ψψψ-+-=±++=±，这表明空间j W 关于变换x x→-具有不变性，因此空间j k k jV W <=⊕也具有变换x x →-的不变性。

现定义()()x N x ϕϕ=- ，则由变换不变性()n ϕ∙- 也生成0V 的标准正交基，又同为区间为[0,]N 的紧支撑函数，由推论1以及()x ϕ的实值特性，设()(),1,x x n n Z ϕαϕα=-=±∈ 成立，而()()N x x n ϕαϕ-=-得到0n =，否则取0x =，0()()0N n ϕαϕ≠=-=，矛盾，因此ϕαϕ= 成立，并且 2()(2)2()(2)2()(2)n N nh x x n dx N x N x n dxx x N n dx h ϕϕϕϕϕϕ-=-=--+=-+=⎰⎰⎰另一方面，00,022*******2222222222222l n n l n n l n n l nnnn n l n n n n lnnn n lnh h h h h h h h h h h h δ++++++---+==+=+=∑∑∑∑∑∑利用引理2推得2,n n m h αδ=成立，由于00N h h ≠，知道0N h h α==，再由2kkh=∑得到1α=，于是我们有02,02121,0,n n n N n n n h h h δδ+---===，而21()(1)cos 22iN iN N H e e ϖωωω--=+=，从而121111ˆˆˆˆ()(0)()(0)cos (0)22k iN iN kk k k N e H e iN ωϖϖϖϕϖϕϕϕϖ+-+∞+∞-+==-===∏∏ 由此得1,[0,]()0,N x N x otherwiseϕ-⎧∈=⎨⎩，若1N =，对应即为Haar 小波，若1N >，21()(1)0N x x dx N ϕϕ--=≠⎰，正交性不满足，定理得到证明。

- 6 -由于Haar 小波的光滑性能较差，在工程应用中实际效果欠理想。

因此为了更好地利用小波变换，有必要对正交多分辨分析的概念作必要的推广，以保证双尺度方程的系数}{k h 的对称性。

为此，下面讨论双正交多分辨分析的概念。

二、从子带编码（完全重构滤波器）看双正交小波的可能性考虑两带完全重构滤波器结构。

如下图1所示，整个过程按照输入、分析滤波器、下采样、信号的处理、上采样、综合滤波器、输出组成。

完全重构的条件是指选择合适的1010,,,F F H H 满足l n n x x-=δˆ，其中δ称之为增益，l 为延迟。

而00,F H 与11,F H 分别为低通与高通滤波器。

2↓2↑)(0z H ⊕)(n x 分解滤波器合成滤波器)(0z F 2↓2↑)(1z F )(1z H )(ˆn x图 1 两带完全重构滤波器∙分解过程：设}{},{k k g h 为两个滤波器)(),(10ϖϖH H 对应系数，考虑“下采样”（↓2）滤波过程（不妨设原始序列{}k x 仅当10-≤≤N k 时不为零）22,k n k n k n k n nns h x d g x --==∑∑ （1）构造矩阵k n k n k n k n g G h H ,2,2)(,)(--==，则式（1）有可以等价地表示为,S H X D G X **== （2）记i z e ϖ-=，则式（2）的多项式表示为11112222001111222211()[()()()()]()[()()()()]S z H z X z H z X z D z H z X z H z X z =+--=+-- （3）一般意义下，H 对应于低频滤波，是一种平均算子；G 对应于高频滤波，是一种差算子。