解题方法与技巧之逆推法_
逆推法解决还原应用题及解题方法
反向解决问题的方法，又称反向工程方法，是解决复杂问题和应用的有力工具。
在这个方法中，目标是从已知的结果中倒退出来，以确定导致这些结果的根本因素或变量。
这种方法广泛用于工程，科学，金融，技术等各个领域。
反向解决问题的过程涉及几个步骤。
需要明确定义问题和已知的结果或数据。
这可能是一组观测、测量或实验结果。
你需要确定可能影响到结果的相关变量或因素。
这可能需要建立一个数学模型或概念框架，以代表变量之间的关系。
使用反向问题解决的一个例子是医学成像领域。
当患者接受医疗成像程序，如核磁共振或CT扫描时，产生的图像会提供身体内部结构和组成的详细信息。
然而，创建这些图像的过程涉及复杂的算法和数学转换。
在某些情况下，可能需要从图像中向后工作，以确定体内组织或器官的原始分布。
为了在这种背景下解决反向问题，研究人员使用数学建模，计算算法，以及实验数据的组合。
通过将观测到的图像与一系列可能的内部分布进行对比，它们可以迭代完善模型，直到它准确地复制观测到的结果。
这需要深入了解成像过程的物理原理，以及先进的计算和数学技能。
在环境监测领域可以找到反向解决问题的另一种应用。
如果某一特定地区的污染水平突然上升，科学家可能需要确定污染的原始来源。
利用反向建模技术，它们可以分析污染物的散射规律，向后工作，以确定最可能的来源。
这有助于采取有针对性的行动，减轻污染并防止今后发生事故。
在金融方面，反向问题的解决可用来确定驱动市场趋势或资产价格的基本因素。
通过分析历史市场数据并使用先进的数学模型，研究人员可以向后工作，找出导致观察到的波动的关键变量。
这可以为作出投资决定或制定风险管理战略提供宝贵的见解。
反向解决问题的方法是解决复杂问题和应用的多功能和有力方法。
通过从已知结果中倒退来决定根本因素，这种方法可以在广泛的领域提供宝贵的见解和解决方案。
无论是在医学成像，环境监测，财务，还是其他领域，逆向工程师复杂系统的能力都可以导致新的发现和实际的解决办法。
遗传学解题指导之正推法和逆推法
中，子一代中的雄性全部表现灰色，雌性全 部表现黄色；在杂交组合黄色雌蝇×灰色 雄蝇中，子一代中的黄色个体多于灰色个 体，则黄色为显性，基因位于Ｘ染色体上。
如果在杂交组合黄色雌蝇×灰色雄蝇 中，子一代中的雄性全部表现黄色，雌性全 部表现灰色；在杂交组合灰色雌蝇×黄色 雄蝇中，子一代中的灰色个体多于黄色个 体，则灰色为显性，基因位于Ｘ染色体上。
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２３８ 科技资讯 Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ ＆ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｉ Ｎ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
科技资讯 ２００９ ＮＯ．１０ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
的 知 识 传 输 ， 过 高 的“ 成 才 ”标 准， 统 一 的 培 足够量的具有较高技能和敏锐思维能力的
科 技 成 果 的 前 沿 动 态 知 识 ， 同 时 更 重 视 科 核 心 技 术， 学生怎样学习如何创 在高起点上创新持续发展，永远实现不了
新 ， 不 断 更 新 知 识 ， 抢 占 科 技 前 沿 。拟 以 此 “ 超 越 ”， 就 永 远 跟 在 人 家 屁 股 后 面 跑， 强不
的 科 技 人 才 。教 育 把 科 技 转 化 为 现 实 生 产 前 提 、相 互 影 响 、互 相 促 进 。科 学 技 术 的 发
力的杠杆作用是通过他（她）们来完成的。科 展归根到底是由具有一定科学知识的人来
技人才是科技发展的最活跃的因素，也是 完成的，而教育恰好是培养和输送这些人
假设灰色性状属于常染色体上的显性 基因（Ａ）控制，黄色性状属于常染色体上的 隐 性 基 因 （ ａ ）控 制 ， 则 与 性 别 无 关 。杂 交 组 合 灰色雌蝇×黄色雄蝇可计为： Ａ ×ａ ａ ， 同 样杂交组合黄色雌蝇×灰色雄蝇可记为： ａａ×Ａ ，由于Ａ 有两种情形：ＡＡ和Ａａ，故 两种杂交组合后代中均是灰色个体多，黄 色个体少，且无性别差异。
第二十一讲 逆推问题
第二十一讲逆推问题要点全景小朋友们，你们知道吗？有些数学问题如果顺着题目意思去思考，就比较繁琐，而且不容易找到解题途径，例如：已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数。
这种问题叫做逆推问题。
解答逆推问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它的变化的相反方向一步步倒着推想。
学完这一讲你能学会：1.运用倒推法解决一些逆推问题（计算上的逆推与叙事上的逆推）。
2.具有一定的分析、推理能力和解决实际问题的能力。
名题巧解例1：一次数学考试后，淘气问笑笑数学考试得多少分。
笑笑说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得52。
”小朋友，你知道笑笑得多少分吗？分析：这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来。
如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题。
如果把笑笑的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是52。
求这个数是多少？也可以这样理解为：把一个数用□来表示，可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝52。
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去。
因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是52÷4＝13；13是除以7后得到的，除以7之前是13×7＝91；91是加10后得到的，加10以前是91-10＝81；81是减8以后得到的，减8以前是81＋8＝89。
这样倒推使问题得解。
解答：52÷4＝13 13×7＝91 91-10＝81 81＋8＝89答：笑笑得89分技巧点评：从结果出发，倒着一步一步地推算出原始数据。
计算上的还原：你加我减，你减我加，你乘我除，你除我乘；即时演练1.小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4。
请你算一算，我今年几岁？例2：马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111。
逆推法
逆推法同学们在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。
有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。
由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。
其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，这样，问题就很容易得到解决了。
这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。
用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。
例1. 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长到100万个需要多少小时？思路分析：因为细菌每小时增长1倍。
10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长到100万个。
算式：100118-+=()（小时）答：增长到100万个时需要8小时。
例2. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。
他们原来各有课外书多少本？思路分析：四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有120430÷=（本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。
算式：120430÷=（本）丁原有的本数：306531+-=（本）丙原有的本数：305431+-=（本）乙原有的本数：304331+-=（本）甲原有的本数：303627+-=（本）答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。
例3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。
[教学研究]用逆推法解题
![[教学研究]用逆推法解题](https://img.taocdn.com/s3/m/9e0c3208b6360b4c2e3f5727a5e9856a57122640.png)
用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。
就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。
这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()1073512+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-= 答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。
那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯=答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。
有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。
原来每层放多少本书？分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。
再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316÷=（本） 16824+=（本） 16610-=（本） 166814+-=（本）答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。
专题04 逆推法解题(原卷)
2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题04 逆推法解题有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。
所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
【典例分析01】一本文艺书，小明第一天看了全书的13 ，第二天看了余下的35 ，还剩下48页，这本书共有多少页？ 【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35 ＝25。
第一天看后还剩下48÷25 ＝120页，这120页占全书的1－13 ＝23，这本书共有120÷23＝180页。
即 48÷（1－35 ）÷（1－13）＝180（页） 答：这本书共有180页。
【典例分析02】 筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？ 【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27 ＝57，第一天修后还剩500÷57 ＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15 ＝45 ，这段路全长800÷45＝1000米。
列式为：【500÷（1－27 ）+100】÷（1－15）＝1000米 答：这段公路全长1000米。
【典例分析03】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13 给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲知识精讲典例分析桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出15 给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。
逆推法在数学解题中的应用
解析： 本题要是从1到100这些自然数中找出10个数的倒数试着加费力
费时，还不一定计算的正确，如果采用逆推法解题就轻松得多。
•
1= 1-
1 2
+
1-1
23
+1
3
-
1 4
+
1 4
-
1+
5
1-
5
1 6
+
...
• =（1 - 1）+（1
银行里取出了 350 元，因此还要逆推一步。 • 逆推第三步： • 妈妈从银行里取出 350 元之前是多少元？就是原有存款数。 • 用加法计算得：1450＋ 350＝ 1800（元） • 列综合式计算：1200＋400－150＋350 • ＝ 1600— 150＋350 • ＝ 1450＋ 350＝1800（元） • 答：妈妈在银行里原有存款是 1800 元。
练习题
• 1．一桶油，第一次倒出 12 公斤后，倒进 15 公斤；第二次倒出 20 公斤，桶里还有 18 公斤。这桶油原有多少公斤？
• 2 .一筐水果,卖出42 斤后,又卖出余下的 1 ,这时筐里还有15斤,这
筐水果原有多少斤？
4
2 6 12 30 42 56 72 90 10
→例2：上月，妈妈从银行里取出存款 350 元，本月中旬存入 150 元。本月下旬，又取出 400 元，这样在银行里还有存款 1200 元。 问妈妈在银行里原有存款多少元？
• 解析： • 本题“在银行里原有存款虚”是原数。 • 该原数根据题意，经过了三次变化。 • 第一次变化，是上月从“原存款中取出 350 元； • 第二次变化：是本月中旬存入了 150 元； • 第三次变化：是本月下旬又取出了 400 元。 • 原数是经过这三次变化，才是 1200 元的。
怎样解题数学思维的新方法
怎样解题数学思维的新方法
数学思维新方法是指通过运用新的方法和技巧来解决数学问题
的思维方式。
以下是几种解题数学思维新方法:
1. 逆推法:逆推法是指从问题的表面出发,逐步推导出它的深刻
内在联系的一种方法。
这种方法可以帮助我们发现解题过程中可能出现的问题,并找到解决问题的最佳途径。
2. 类比法:类比法是指从一个问题中找到与之相似的另一个问题,并运用已知的知识来解决那个问题的一种方法。
这种方法可以帮
助我们将复杂的问题转化为更容易理解的形式,从而更好地解决问题。
3. 抽象法:抽象法是指从具体的数字或图形中抽象出概念,并将
它们联系起来的一种方法。
这种方法可以帮助我们将问题抽象成更简单的形式,从而更好地解决问题。
4. 模型法:模型法是指通过建立数学模型来解决数学问题的一
种方法。
这种方法可以帮助我们将问题简化为模型,并通过模型来分
析问题。
用逆推法解题
用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。
就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。
这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()10735?12+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少 解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-=答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。
那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯= 答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。
有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。
原来每层放多少本书？ 分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。
再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316-=（本）166814+-=（本）+=（本）16610÷=（本）16824答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。
逆推法解决还原应用题及解题方法
逆推法解决还原应用题及解题方法
逆推法通常用于解决还原应用题，主要是通过反向推导或逆向推理的方法来还原出问题中所涉及的信息或过程。
以下是使用逆推法解决还原应用题的一般解题方法：
1. 理解题意：首先要充分理解题目要求和提供的信息，明确需要还原的对象、过程或关系。
2. 确定目标状态：确定需要还原到的目标状态或信息，对于涉及多个步骤的过程，需要逐步确定每个阶段的目标状态。
3. 反向推导：从目标状态开始，逆向推导出前一步的状态或信息。
这通常需要依据已知条件、规则或逻辑进行逆向推理，找出导致目标状态的可能路径或方法。
4. 考虑多种可能性：在逆推导的过程中，需要考虑不同的可能性和选择，有时可能需要分支推导，观察每条路径的合理性和可行性。
5. 迭代推导：如果还原的过程比较复杂或包含多个阶段，可能需要进行多次迭代推导，层层递进地还原出整个过程或关系。
6. 验证与检查：在完成逆推导后，需要对还原的结果进行验证和检查，确保得出的还原信息符合题目要求，并且与已知的条件、规则相符。
7. 总结归纳：对于复杂的还原过程，可以根据逆推导的结果进行总结和归纳，梳理清楚各个阶段的推导逻辑和关键步骤。
逆推法在解决还原应用题时，能够帮助理清问题脉络，逐步还原出隐藏或缺失的信息或关系，为最终的问题求解提供有效的方法和思路。
小学四年级奥数教程-逆推法
分析与解 三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原： 甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63; 甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57; 最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元。
小学四年级奥数教程-逆推法
例题精选
例3：
学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
小学四年级奥数教程-逆推法
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小学四年级奥数教程-逆推法
例题精选
例6： 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
小学四年级奥数教程-逆推法
分析与解
利用还原法。第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22-10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。 解：［（15＋7-10）×2＋3］×2＝54（米）。 答：这捆电线原有54米。
小学四年级奥数教程-逆推法
小学四年级奥数教程-逆推法
练习提升
某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？ 某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。 在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？ 小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？
小学四年级奥数教程-逆推法
逆推法解题
2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果 等于36，求这个数。
３.有一个数，把它乘以4以后减去 46，再把所得的差除以3，然后减 去10，最后得4。问：这个数是几？
这个问题是由（□×4-46）÷3-10＝4， 求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去 10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后 不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘 以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。 解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。 答：这个数是22。
对于A、B、C三个数，显然先算C， C=80÷4=20；再算B，B=20×20=400；最 后算A，A=400－50=350。列综合算式为： 80÷4×20－50=20×20－50=400－50=350
加减互换， 乘除互换
练一练
1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14， 其结果等于26，这个数是多少？
专题五十六
逆推法解题
L/O/G/O
由结果往前推算的顺序来解答问题的方法 叫做逆推法,又叫还原法。解答这类问题的 一般规律是：原来是加，倒退为减；原来 是减，倒退为加；原来是乘，倒退为除； 原来是除，倒退为乘。例如：一个数加上 2，减去3，乘以4，除以5等于12，求这个 数。我们通常用逆推法来解这类题目。
经典例题
【例题】在算式（□+50）÷20×4=80中，□处应填 几？ 按照题目的运算顺序应该先算括号中的加法， 再算括号外的除法，最后算乘法。按此运算规律， 可将题目表示为如下计算流程算 图：
思 路 点 拨
题目要求方格中的数，就是求第一个方格 中的数，为了便于表述，我们用字母A、 B、C分别表示三个方格中的数，如下图 所示。
魔法数学，魔在教学，法在解题
初中数学重点梳理：逆推法
逆推法知识定位如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用。
解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答。
顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高。
知识梳理知识梳理：逆推法乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x2+xy+y2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它.公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时， 则x －y=－2)(y x -.因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义： 相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫.方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0； 反过来，若an2+bn+c=0,则n 是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理.例题精讲【试题来源】【题目】例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b . 【答案】∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【解析】由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ， 有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2， 根据韦达定理得 1×x 2=22212ba a c --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简53-5-3+.【答案】－2【解析】∵53-5-3+<0，∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++＝－2.【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：1<a，1<b.求证：abba+<+1.【答案】见解析【解析】本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由abba+<+1两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0,分解因式：（1－b2）(a2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明：∵1<a，1<b，∴a2＜1，b2＜1，∴a2－1＜0，1－b2＞0.（a2－1）（1－b2）＜0,a2+b2－a2b2－1<0,∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴abba+<+1.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD.求证：AB＜AC.【答案】见解析【解析】直接推导，应证明BD＝CD或BD＞CD.即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB不小于AC，即AB≥AC，∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1.∴∠BCD＞∠1.∴BD＞CD.∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB＜AC.【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？【答案】64【解析】从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n.所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是26即64.【知识点】逆推法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】计算：3×5×17×257×……×()n221+【答案】1212-+n【解析】本题直接计算有困难，可由通式122+n，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=b a b a --22, 就可很快得出结果 .解：原式=）＋（1202 ()1221+ ()2221+ ()3221+…()n 221+=1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯nn. =()22-1 ()221+ ()421+ ()821+……()n221+=1212-+n【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： z y x z y ++=++111 x 1.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证：3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a, b, c 是互不相等的实数.求证：accbbabcacbaabcbaccabacb-+-+-=---+---+---222))(())(())((.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c,d 都是实数. 求证：(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？【答案】甲：12 乙：8 丙：7 【解析】【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】对于方程(1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0.求证：（1）不论a 取什么值，如下方程都有实数解.（2）存在一实数x,使得不论a为任何实数,x都不是这个方程的解. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】311【试题来源】【题目】若三个一元二次方程,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。
三年级数学逆推法讲解
三年级数学逆推法讲解逆推法是数学中常用的一种解题方法，它是根据已知条件所得到的结果，通过逆向思维，逆向推导出问题的解答方法。
简单来说，逆推法就是从终点开始逆向推导，找到问题的起点和解决的途径。
逆推法在三年级数学中常常被用于解决某些数列问题。
数列是数学中一组按照一定规律排列的数字。
通过观察数列的规律，我们可以利用逆推法确定数列的公式或找出特定位置的数字。
以一个简单的示例来说明逆推法的应用。
假设有一个数列：2，4，6，8，10...，要求找出第10个数字是多少。
首先我们观察数列的规律，发现每个数字都是前一个数字加2得到的。
因此，我们可以逆向推导出数列的公式：第n个数字=第n-1个数字+2。
根据这个公式，我们可以计算出第10个数字=第9个数字+2。
继续使用公式，我们可以进一步计算出第9个数字=第8个数字+2，第8个数字=第7个数字+2，依次类推，直到第1个数字。
最后，代入已知条件第1个数字是2，依次计算，我们可以得到第10个数字的值。
逆推法的基本思路是先确定问题的末尾，然后逐步向前逆推直至找到问题的起点和解决的途径。
在实际解题中，我们还可以通过列出一个数表或借助辅助线条等方法，帮助我们更好地观察数列的规律和运用逆推法。
除了数列问题，逆推法还可以用于解决其他类型的问题。
比如，在一些关于时间的问题中，我们可以通过逆推法，从某个已知的时间点开始，逆推到起始时间或者求解时间间隔。
总结起来，逆推法是数学中一种常用的解题方法，尤其适用于解决数列问题。
通过观察数列的规律，从末尾开始逆向推导，可以找到数列的公式或求解特定位置的数值。
在数学学习中掌握逆推法，不仅能提高解题能力，还能培养逻辑思维和推理能力。
因此，逆推法是三年级数学中重要的学习内容之一。
希望以上对逆推法在三年级数学中的讲解能帮助到大家！。
三年级逆推法解决还原应用题讲解
三年级逆推法解决还原应用题讲解一、概述在数学学习中，还原应用题是三年级学生需要掌握的重要知识点之一。
逆推法作为解决还原应用题的有效方法，能够帮助学生更好地理解和解决问题。
本文将围绕三年级逆推法解决还原应用题展开讲解，旨在帮助学生和老师更好地掌握这一方法。
二、逆推法的概念逆推法是指根据已知的结果，逆向推导出未知的条件或过程。
在还原应用题中，逆推法可以帮助学生从最终的结果出发，推导出导致这一结果的条件或过程。
三、逆推法的步骤1. 理清题意在解决还原应用题时，首先需要仔细阅读题目，理清题意，确保对问题的要求和条件有一个清晰的认识。
2. 从结果逆推条件根据已知的结果，逆向推导出导致该结果的条件或过程。
如果题目中给出了最终的结果，可以借助逆推法来推导出起始条件或过程。
3. 检查验证在推导出条件或过程之后，需要对推导出的解答进行检查验证，确保所得到的结果符合题意和实际情况。
如果验证通过，则可以得出最终的解答。
四、逆推法的实际应用在日常生活和学习中，逆推法有着广泛的应用。
不仅在数学问题中需要用到逆推法，许多实际问题也可以通过逆推法来解决。
1. 购物计算当我们在购物时，如果知道最终要支付的金额和折抠情况，可以通过逆推法来计算出原价是多少，从而对商品的原始价格有一个清晰的认识。
2. 时间推算在安排时间或计划活动时，有时候我们需要根据最终的时间点来逆推出前置条件或活动安排，以便更好地安排我们的时间和活动。
3. 解决问题在面对一些复杂的问题时，逆推法可以帮助我们从最终的结果出发，逆向思考问题的解决过程，从而更好地找到问题的解决方法。
五、逆推法的优势逆推法在解决还原应用题时有着诸多优势，可以帮助学生更好地理解和解决问题。
1. 提高思维逻辑能力逆推法要求学生从结果出发，逆向推导条件或过程，这样的思维方式能够锻炼学生的逻辑思维能力，培养学生的探索精神和解决问题的能力。
2. 增强问题解决能力通过逆推法，学生可以更好地理解问题的本质，从而更好地解决问题。
算式的逆推求解
算式的逆推求解算式的逆推求解是一种数学问题的解题方法，通过已知的结果或条件，逆向推导出算式中的未知数或表达式。
这种方法在代数、几何、概率等数学领域中得到广泛应用。
本文将介绍算式的逆推求解的基本原理和应用。
一、算式的逆推求解原理算式的逆推求解是基于数学运算的逆运算的原理。
当我们在计算中遇到已知结果或条件，需要求解未知数或表达式时，可以通过逆向运算来得到答案。
逆推求解的过程一般包括以下几步：1. 确定已知结果或条件：在问题中找出已知的结果或条件，这些信息将成为逆推求解的依据。
2. 确定逆向运算：根据已知结果或条件，确定逆向运算的操作符或方法。
逆向运算是正向运算的逆过程，它可以将已知结果或条件转化为未知数或表达式。
3. 进行逆向运算：根据已知结果或条件，使用逆向运算的操作符或方法，逆向推导出未知数或表达式。
4. 验证答案：将求解得到的未知数或表达式代入原算式中，验证答案的准确性和合理性。
二、算式的逆推求解应用举例下面通过几个具体的例子来说明算式的逆推求解的应用。
1. 解方程当我们遇到一个方程，需要求解方程中的未知数时，可以通过逆推求解的方法得到答案。
例如，我们要解方程2x + 5 = 17，可以通过逆向运算将已知的结果17减去5，得到12，再将12除以2，即可得到未知数x的值为6。
2. 求几何图形的属性在几何学中，我们经常需要通过已知的图形属性求解其他未知的属性。
例如，给定一个正方形的面积为25平方米，要求求解正方形的边长。
通过逆向运算可以得到该正方形的边长为5米。
3. 概率问题的求解在概率问题中，我们通常需要通过已知的概率信息来求解其他未知的概率。
例如，已知事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.4，并且事件A与事件B独立，要求求解事件A和事件B同时发生的概率。
通过逆向运算，可以将事件A和事件B同时发生的概率求解为0.6乘以0.4，即0.24。
总结：算式的逆推求解是一种常见的数学解题方法，通过逆向推导已知结果或条件，求解未知数或表达式。
数学高中数列10种解题技巧
数学高中数列10种解题技巧数列是高中数学中一个非常重要且经常被考察的概念。
它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
但是，数列的解题方法非常多，有时候我们可能会感到困惑。
为此，本文总结了数学高中数列10种解题技巧，让我们一起来看看吧。
1. 求和公式有些数列如果求和，使用求和公式可以极大地简化计算。
例如，等差数列和等比数列的求和公式是非常常见和重要的。
2. 递推式递推式是数列的一种描述方法，是一种基于之前项和公式推导下一项的方法。
有些数列通过递推式很容易得到通项公式，进而求解问题。
3. 归纳法归纳法是数列题目解题的常用方法。
通过证明一个命题对于某个特定的数成立，以及每一个下一个数都满足这个性质，我们就可以得到它对于所有数都成立的结论。
4. 图像法有些数列的图像规律比较明显，通过观察它们的图像，我们可以得到一些结论，从而解决一些问题。
5. 交替数列交替数列是一种奇数项和偶数项分别出现不同的项的数列。
有时候，我们可以通过对它进行分割，分别计算奇数项和偶数项的和，然后再将结果相加。
6. 通项公式对于某些数列，如果能够求得它们的通项公式，那么我们就可以很方便地计算出它们的各个项。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
7. 变形技巧变形技巧是数列解题过程中常用的一种方法。
它通常用于将原有的数列问题转化为其他已知的数列问题，从而利用已有的知识来解决问题。
8. 逆推法逆推法是一种通过倒向考虑来解决数列问题的方法，通常它可以帮助我们找到某个数列的特定项。
9. 等比数列与等差数列之间的关系等比数列和等差数列是数列中最常见的两种类型，它们之间有着一些重要的关系。
通过研究它们之间的联系，我们可以更加深入的理解它们的性质和规律。
10. 特殊的数列有些数列非常特殊，它们没有通项公式，没有明显的规律，但是它们在实际应用中却有着广泛的应用。
如果我们能够了解这些特殊的数列及其应用，那么在应用数学中会有更多的灵活性和优越性。
数字的算式反推
数字的算式反推在我们日常生活中，数字和算式无处不在，我们需要进行各种计算，解决问题，做出决策。
在大部分情况下，我们会知道算式和数字，然后通过运算得到结果。
然而，有时候我们面临的问题则是反过来的，也就是我们已知结果，需要反推出算式或数字。
本文将介绍数字的算式反推的一些方法和应用。
一、数字的算式反推方法1. 逐一尝试法逐一尝试法是最基本的算式反推方法。
它的原理很简单，就是通过逐个尝试不同的算式或数字，看是否能得到给定的结果。
当我们只有有限的可能性时，这种方法是最有效的。
例如，如果我们知道某个算式的结果是120，我们可以从1开始尝试，直到找到正确的算式或数字。
尽管逐一尝试法可能需要一定的时间和耐心，但它确保了最终能够找到正确的算式或数字。
因此，在一些简单的问题中，这种方法是非常实用的。
2. 逆推法逆推法是一种基于逻辑推理的方法。
它通过观察已知结果和一些条件，来推断可能的算式或数字。
逆推法可以利用数学知识和逻辑思维来简化问题，提高反推的效率。
逆推法通常涉及到更复杂的问题，其中有多个条件需要考虑。
例如，如果我们知道一个等差数列的前两个数是3和7，且第10个数是27，我们可以使用逆推法来确定等差数列的公差和前十个数。
通过观察差值之间的规律，我们可以推算出该等差数列的算式。
逆推法需要我们有较强的逻辑思维和数学功底，但它是解决较复杂问题的有效方法。
二、数字的算式反推的应用1. 数学问题的解题方法数字的算式反推在数学问题解题中有广泛的应用。
逆推法可以帮助我们解决各种等式、方程和不等式的问题。
通过给定的结果，我们可以反推出算式或数字，从而解决问题。
例如，在解一元二次方程时，我们需要求出方程的根。
如果我们已经知道方程的解是2和-3，我们可以通过反推来确定方程的具体形式，从而解决整个问题。
2. 数据分析和预测数字的算式反推也在数据分析和预测中得到应用。
通过观察历史数据的趋势和特点，我们可以反推出可能的算式或数字，进而预测未来的结果。
逆推法解题
逆推法解题有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较复杂繁琐，所以解题时，我们可以从最后的结果出发，应用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒退法。
例1、筑路队修一条路，第一天修了全长的51又100米，第二天修了余下的72，还剩500米，这条公路全长多少？变试题1、一堆煤，上午运走72，下午运走的比余下的31还多6吨，最后剩14吨还没有运走，这堆煤原来有多少吨？2、一批水泥，第一天用去了21多1吨，第二天用去了余下的31少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？例2、王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的孙子每天从树上摘一些桃子和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的101，以后8天分别摘下当天树上现有桃子个数的91，81，71，……，31，21，摘了9天，树上还留10个桃子。
树上原来有多少个桃子？变试题：1、把一根绳子对折剪开，再取其中的一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好是1米。
这根绳子原来多少米？2、仓库里存有若干吨，第一次运出总数的21又4吨，第二次运出余下的21又3吨，第三次运出余下的21又5吨，最后还剩12吨。
这个仓库原来有粮食多少吨？例3、小王读一本故事书，第一天看了全书的81还多16页，第二天看了全书的61少2页，还剩88页没有看。
这本书共有多少页？变试题：1、甲乙两堆煤共有140吨，当甲堆运走41，乙堆运走10吨时，甲乙两堆煤的吨数比6:5，原来甲堆有煤多少吨？例4、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出31给乙桶后，又从乙桶中倒出51给甲桶，这时两桶各有油24千克，原来甲、乙两桶各有油多少千克？变试题：1、甲、乙各有存款若干元，甲拿了存款的51给乙后，乙再拿出现有存款的41给甲，这时他们各有存款180元。
原来他们各有存款多少元？2、王华拿出自己邮票的51给张强，张强再从自己现有的邮票中拿出41给王华，此时两人各有邮票12张。
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（一）从结果出发逐步逆推 例 1 一个数除以 4，再乘以 2，得 16，求这个数。（适于三年级程度） 解：由最后再乘以 2 得 16，可看出，在没乘以 2 之前的数是：
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
解题方法与技巧之逆推法
小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋 友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口 返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果 出 发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
答略。
例 5 仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多 30 吨，第二次取出余下 的一半少 100 吨，第三次取出 150 吨，最后剩下 70 吨。这批化肥原来是多少吨？（适于 四年级程度）
解：从“第三次取出 150 吨，最后剩下 70 吨”可看出，在第三次取出之前仓库里有化 肥：
1500+610=2110（千克） 在没运进 720 千克之前，粮库里有大米：
2110-720=1390（千克） 在没运走 450 千克之前，粮库里有大米：
1390+450=1840（千克） 答：粮库里原来有大米 1840 千克。
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
1
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
例 3 某数加上 9 后，再乘以 9，然后减去 9，最后再除以 9，得 9。问这个数原来是 多少？（适于三年级程度）
3
解：作图。
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
第1次运走
第2次运走
还剩下25吨
10吨
3吨
从图看出，余下的一半是：
25-3=22
所以，余下的煤是：
22×2=44（吨）
全堆煤的一半是： 原来这堆煤是：
44+10=54（吨） 54×2=108（吨）
答略。
（三）借助公式逆推
例 1 一个三角形的面积是 780 平方厘米，底是 52 厘米。问高是多少？（适于五年级 程度）
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
5
＝[17－2]×2 ＝15×2 ＝ Nhomakorabea0（吨）
答略。
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
6
解：假设乙乡分得剩下一半，而不是又多半吨，则乙乡分走后剩下的化肥是：
8+0.5=8.5（吨）
乙乡分走前的化肥是： 8.5×2=17（吨）
假设甲乡分得总数的一半，而不是少 2 吨，则甲乡分走化肥： 17-2=15（吨）
这 15 吨正好是原有化肥吨数的一半，所以原来共有化肥： 15×2=30（吨）
综合算式： [（8+0.5）×2－2]×2 ＝[8.5×2－2]×2
70+150=220（吨） 假定第二次取出余下的一半，而不是少 100 吨，则第二次取出后，仓库剩下化肥：
220-100=120（吨）
第二次取出之前，仓库中有化肥：
120×2=240（吨）
假定第一次正好取出一半，而不是多 30 吨，则第一次取出一半后，仓库里剩下化 肥：
240+30=270（吨）
仓库中原有化肥的吨数是：
16÷2=8
在没除以 4 之前的数是：
8×4=32
答：这个数是 32。 例 2 粮库存有一批大米，第一天运走 450 千克，第二天运进 720 千克，第三天又运 走 610 千克，粮库现有大米 1500 千克。问粮库原来有大米多少千克？（适于三年级程度） 解：由现有大米 1500 千克，第三天运走 610 千克，可以看出，在没运走 610 千克之 前，粮库中有大米：
解：计算三角形面积的公式是：面积=底×高÷2，逆推这个公式得： 高=面积×2÷底
所以，这个三角形的高是： 780×2÷52=30（厘米）
答略。
例 2 一个圆锥体的体积是 84.78 立方厘米，底面的直径是 6 厘米。求它的高是多少。 （适于六年级程度）
解：底面圆的直径是 6 厘米，则半径就是 3 厘米。
270×2=540（吨）
综合算式：
[（150+70-100）×2+30]×2
=[120×2+30]×2
=270×2 =540（吨） 答略。
（二）借助线段图逆推
例 1 有一堆煤，第一次运走一半多 10 吨，第二次运走余下的一半少 3 吨，还剩下 25 吨。问这堆煤原来是多少吨？（适于五年级程度）
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
30+12=42（千米） 从头 4 天每天行 30 千米，可求出已行的路程是：
30×4=120（千米） 行完 4 天后剩下的路程是：
498-120=378（千米）
还要行的天数是：
378÷42=9（天）
综合算式：
（498-30×4）÷（30+12）
=378÷42
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
2
=9（天）
行动感召行动、灵魂唤醒灵魂
4
由 V= 1 πr²h 逆推得： 3
因此，它的高是： 84.78×3÷3.14÷32
=254.34÷3.14÷32 =9（厘米） 答略。
让每个家庭都为自己的孩子感到骄傲
h=V×3÷π÷r²
（四）借助假设法逆推
例 1 供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。甲乡分得总数的一半少 2 吨，乙 乡分得剩下的一半又多半吨，最后剩下的 8 吨分给丙乡。问原来共有化肥多少吨？（适于 五年级程度）
解：由最后除以 9，得 9，看得出在除以 9 之前的数是：
在减去 9 之前的数是：
9×9=81
81+9=90
在乘以 9 之前的数是：
90÷9=10
在加上 9 之前，原来的数是：
10-9=1 答：这个数原来是 1。 例 4 解放军某部进行军事训练，计划行军 498 千米，头 4 天每天行 30 千米，以后每 天多行 12 千米。求还要行几天？（适于四年级程度） 解：从最后一个条件“以后每天多行 12 千米”可求出，以后每天行的路程是：