综合法和分析法 .ppt
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分析方法与综合方法
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综合方法的优缺点及适用范围
优点
• 整合事物的内在联系和规律
• 发现新的联系和规律
缺点
• 可能忽视事物的细节和局部
• 需要较高的综合素质和创新能力
适用范围
• 研究事物的整体性和系统性
• 解决复杂问题和创新领域
分析方法与综合方法的综合运用与优化
综合运用
优化
• 在研究过程中，根据需要灵活运用分析方法和综合方法
CREATE TOGETHER
SMART CREATE
分析方法与综合方法：理论应用与实例
01
分析方法与综合方法的基
本概念
分析方法的定义与特点
分析方法是一种深入研究事物内部的方法
• 通过分解、剖析、观察等手段
• 了解事物的本质和规律
• 强调细节和局部
分析方法的特点
• 深入：深入挖掘事物的内在联系
• 细致：关注事物的细节和局部
域
归纳综合方法及其应用
归纳综合方法
应用领域
• 通过归纳手段从具体事物中提炼出一般规律
• 哲学：研究世界观、认识论等
• 如：归纳法、类比法等
• 科学：研究科学方法、科学发现等
• 艺术：研究艺术创作、审美规律等
演绎综合方法及其应用
演绎综合方法
• 通过演绎手段从一般规律推导出具体事物
• 如：演绎法、推理法等
• 员工满意度分析：评估员工满意度、激励措施等
品创新
综合方法在科技创新中的应用
科技创新中的综合方法
• 跨学科研究：整合不同学科的知识和技术，解决复杂问题
• 创新方法论：研究创新过程、创新策略等
• 技术路线图：规划技术发展路径，指导科技创新方向
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
2
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
1.2 综合法与分析法 课件(北师大选修2-2)
2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边 AB的中点，并且PA＝PB＝PC. 求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC. 又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB， 且△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC. ∴∠POC＝90°. 即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方 法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解
题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际 证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用 综合法有条理地表述解题过程．
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理 及运算法则，通过 演绎 推理，一步一步地接近要证明 的 结论 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法用以下的框图表示：
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成
立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未
知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键
AC cos B 1．在△ABC 中，AB＝ ，证明 B＝C. cos C
sin B cos B 证明： 在△ABC 中， 由正弦定理及已知得 ＝ . sin C cos C 于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0， 因为－π<B－C<π，从而 B－C＝0，所以 B＝C.
5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2 2 2
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证： s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
综合法和分析法 课件
综合法与分析法
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
高中数学2.2.1 综合法和分析法
-16-
2.2.1 综合法与分析法
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 规范解答 当堂检测
综合法与分析法的综合应用 例3已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质将题 目转化成整式不等式证明.
①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找
已知条件的必要条件.
②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,
通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.
-3-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 1】 命题“求证:tan θ+ta1n������ = sin22������”的证明过程“tan
-17-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
解:要证明 logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx
①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推
理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为
数学课件：1.5.2 综合法和分析法
题型一 题型二 题型三
正解:证明:要证 3 + 6 < 4 + 5, 只需证( 3 + 6)2<( 4 + 5)2, 即证 9+2 18 < 9+2 20, 即证 18 < 20, 即证18<20. 因为 18<20 显然成立, 所以 3 + 6 < 4 + 5.
12345
1 设 a,b 为正数,A= ������ + ������,B= ������ + ������, 则A,B 的大小关系是( ) A.A≥B B.A≤B
+
1 ������-������
. 此不等式恒成立的充要条件是n 小于等于(x-
z)
1 ������-������
+
1 ������-������
的最小值.
令 a=x-y,b=y-z,则 a>0,b>0,且 x-z=a+b.
因为可证(a+b)
1 ������
+
1 ������
≥4,当且仅当 a=b,即 x-y=y-z>0 时等号成立,
2bc. Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0. 则f(a)的值可正、可负、可为零,无法确定. 因此,分析题目时,对条件要看清楚,尤其要探寻条件间的限制关
系,以免受到某些思维定式的影响.
题型一 题型二 题型三
用分析法证明不等式
【例 2】
已知
a>b>0,求证:
(������-������)2 8������
只需证明A为真. 已知A为真,故B必为真. 可以简单写成: B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.
2.2.1综合法和分析法PPT课件
()
❖ A．既不充分也不必要条件
❖ B．充要条件
❖ C．充分条件
❖ D．必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①，但①不一定推出②.故•18 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等
式成立的是
()
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13 ❖ [答案] B
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
•5
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2，
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B
＝60°，
•11
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
综合法和分析法 课件
分析法证明．
[规范解答] 要证明 f(x＋1)为偶函数，只需证明其对 称轴为直线 x＝0.(2 分)
因为 f(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c(a≠0)的对称 轴为 x＝－2ba－1，所以只需证－2ba－1＝0，
即证 b＝－2a.(4 分)
由已知，抛物线 f(x＋2)的对称轴 x＝－2ba－2 与 f(x) 的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，(8 分)
只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＜logx (abc)．
a＋b b＋c a＋c 由已知 0＜x＜1，只需证明 2 · 2 · 2 ＞abc.
a＋b
b＋c
a＋c
由基本不等式得 2 ≥ ab＞0， 2 ≥ bc＞0， 2
≥ ac＞0.又因为 a，b，c 是不全相等的正数，
a＋b b＋c a＋c 所以 2 · 2 · 2 ＞ a2b2c2＝abc.
(3)适当调整，回顾反思：解题后回顾解题过程，可 对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反 思总结解题方法的选取．
类型 2 分析法的应用
[典例 2] 设 a，b 为实数，求证：
a2＋b2≥
2 2 (a
＋b)．
证明：当 a＋b≤0 时，因为 a2＋b2≥0，
所以 a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．
a＋b b＋c a＋c 即 2 · 2 · 2 ＞abc 成立．
a＋b b＋c a＋c 所以 logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 ＜logx a＋logx b＋logx c 成立．
温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件．
2．分析法
(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件．
[规范解答] 要证明 f(x＋1)为偶函数，只需证明其对 称轴为直线 x＝0.(2 分)
因为 f(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c(a≠0)的对称 轴为 x＝－2ba－1，所以只需证－2ba－1＝0，
即证 b＝－2a.(4 分)
由已知，抛物线 f(x＋2)的对称轴 x＝－2ba－2 与 f(x) 的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，(8 分)
只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＜logx (abc)．
a＋b b＋c a＋c 由已知 0＜x＜1，只需证明 2 · 2 · 2 ＞abc.
a＋b
b＋c
a＋c
由基本不等式得 2 ≥ ab＞0， 2 ≥ bc＞0， 2
≥ ac＞0.又因为 a，b，c 是不全相等的正数，
a＋b b＋c a＋c 所以 2 · 2 · 2 ＞ a2b2c2＝abc.
(3)适当调整，回顾反思：解题后回顾解题过程，可 对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反 思总结解题方法的选取．
类型 2 分析法的应用
[典例 2] 设 a，b 为实数，求证：
a2＋b2≥
2 2 (a
＋b)．
证明：当 a＋b≤0 时，因为 a2＋b2≥0，
所以 a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．
a＋b b＋c a＋c 即 2 · 2 · 2 ＞abc 成立．
a＋b b＋c a＋c 所以 logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 ＜logx a＋logx b＋logx c 成立．
温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件．
2．分析法
(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件．
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
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止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因，即 要证结果Q，只需证条件P.
类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。
用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的 结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
注意：证明最后面的明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
三、例题讲解
例2.在ABC中,设CB a,CA b,
求证 :
SABC
1 2
| a |2| b |2 (a b)2
三、例题讲解
例3.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别 为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等 比数列，求证△ABC为等边三角形．
分析 •将A，B，C成等差数列，转化为符号
• (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
练习：证明不等式：
a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
分析法
证法2:要证a;+
2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
分析法
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
例4.求证：3 7 2 5证明：因为来自3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
只需证，（ 3 7）2 （2 5）2
只需证：10 2 21 20
只需证： 21 5 只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
则综合法用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
二、讲授新课——分析法（逆推证法或执果索因法）
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为
2.2.1综合法和分析法（一） ——综合法
一、复习引入
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格 的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
因为;( a b)2 0 成立
a+b
所以
2
ab成立
思考：上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、
不同 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评]
• (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。
练习.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
分析： 首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍， 左端为两项之和，其中每一项都是一个 数与另两个数的平方和之积.据此，只要 把两个数的平方和转化为这两个数的积 的形式，就能使不等式左、右两端具有 相同的形式.
二、讲授新课——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
2.2.1综合法和分析法（二） ——分析法
一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一 步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余 弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
由① ②，得 B = π . ③ 3
由a，b，c成等比数列，有
b2 = ac. ④
注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。
文字语言
图形语言
符号语言
由余弦定理及③，可得
b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 - ac.
其次，寻找转化的依据及证明中要用的 其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实 现转化，不等式的基本性质是证明的依 据.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0 ∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+a2 ≥ 2ac,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
再由④，得 a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此 a=c.
从而 A=C. ⑤
由 ② ③ ⑤ ,得 A = B = C = π . 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
四、课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知 入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中 要注意语言的规范性和逻辑性.
类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。
用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的 结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
注意：证明最后面的明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
三、例题讲解
例2.在ABC中,设CB a,CA b,
求证 :
SABC
1 2
| a |2| b |2 (a b)2
三、例题讲解
例3.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别 为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等 比数列，求证△ABC为等边三角形．
分析 •将A，B，C成等差数列，转化为符号
• (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
练习：证明不等式：
a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
分析法
证法2:要证a;+
2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
分析法
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
例4.求证：3 7 2 5证明：因为来自3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
只需证，（ 3 7）2 （2 5）2
只需证：10 2 21 20
只需证： 21 5 只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
则综合法用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
二、讲授新课——分析法（逆推证法或执果索因法）
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为
2.2.1综合法和分析法（一） ——综合法
一、复习引入
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格 的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
因为;( a b)2 0 成立
a+b
所以
2
ab成立
思考：上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、
不同 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评]
• (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。
练习.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
分析： 首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍， 左端为两项之和，其中每一项都是一个 数与另两个数的平方和之积.据此，只要 把两个数的平方和转化为这两个数的积 的形式，就能使不等式左、右两端具有 相同的形式.
二、讲授新课——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
2.2.1综合法和分析法（二） ——分析法
一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一 步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余 弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
由① ②，得 B = π . ③ 3
由a，b，c成等比数列，有
b2 = ac. ④
注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。
文字语言
图形语言
符号语言
由余弦定理及③，可得
b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 - ac.
其次，寻找转化的依据及证明中要用的 其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实 现转化，不等式的基本性质是证明的依 据.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0 ∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+a2 ≥ 2ac,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
再由④，得 a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此 a=c.
从而 A=C. ⑤
由 ② ③ ⑤ ,得 A = B = C = π . 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
四、课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知 入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中 要注意语言的规范性和逻辑性.