二次函数性质一览表

二次函数性质一览表

表达式 (a ≠0)

a 值

图像

开口 方向

对称轴

顶点 坐标

增减性 最值 举 例

#

①y=ax 2

a ＞0

向上

y 轴 （0，0）

①当x ＞0时，y 随x

的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=0

y=4

3

x 2

$

y=3x 2

a ＜0

向下

y 轴

（0，0）

①当x ＞0时，y 随x

的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=0

：

y=-5x 2 y=3

1

-

x 2

②y=ax 2+k

a ＞0

向上 y 轴 （0，k ）

①当x ＞0时，y 随x

的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 &

当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=k

y=4x 2+5 y=3x 2-1

a ＜0

向下 y 轴 （0，k ）

①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小

…

②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大

当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=k

y=-2x 2+3 y=-3x 2-2

③y=a(x-h)2

a ＞0

向上

直线

x=h

（h ，0）

.

①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小

当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=0

y=2(x-3)2

y=21(x+2)2

a ＜0

向下

直线

x=h —

（h ，0）

①当x ＞h 时，y 随x

的增大而减小

②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大

当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=0

y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2

④y=a(x-h)2+k

a ＞0

向上 ?

直线x=h

（h ，k ）

①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=k

y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0

—

向下

直线

x=h

（h ，k ）

①当x ＞h 时，y 随x

的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大

当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=k

y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤

y=ax 2+bx+c 可化为：

#

y=a(x+)2a

b 2

+

a

b a

c 442-

a ＞0

向上

直线

x=-a

b 2

（-a

b 2，a

b a

c 442

-） ①当x ＞-

a

b 2时，y

随x 的增大而增大 ②当x ＜-a

b 2时，y

随x 的增大而减小

当x=-a b 2时，y 有最小值，即y 最小值

=

a

b a

c 442-

y=2x 2+3x+4

（

y=3x 2-3x+4 y=4x 2-3x-4 y=5x 2+3x-4

a＜0向下

直线

x=-

a

b

2

（-

a

b

2

，

a

b

ac

4

42

-

）

①当x＞-

a

b

2

时，y

随x的增大而减小

《

②当x＜-

a

b

2

时，y

随x的增大而增大

当x=-

a

b

2

时，y有最

大值，即

y最大值

=

a

b

ac

4

42

-

y=-2x2+3x+4

y=-3x2-3x+4

y=-4x2-3x-4

y=-5x2+3x-4

二次函数的有关知识

一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：

1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]

2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]

3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]

.

二、二次函数图象平移变换关系：

}

三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：

y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）

四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：

1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知

数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。

2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横

坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解。

五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系：

二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数和常数项相同。

六、二次函数y＝ax2+bx+c,当a、b同号时，对称轴直线x＝－

a

b

2

在x轴的负半轴，即y轴的左则；当a、b异号时，对称轴直线x＝

－

a

b

2

在x轴的正半轴，即y轴的右则；当c＞0时，图象交于y轴的正半轴；当c＝0时图象一定过原点；当c＜0时，图象交于y轴的负半轴。

七、任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0，不考虑b和c的取值)都可以化为y=a(x+)2a b2+a b

ac

4

42

-的形式,即顶点坐标为(

a

b

2

－，

a

b

ac

4

42

-),

当x=-

a

b

2

时，y有最值，即y最值=

a

b

ac

4

42

-,对称轴是直线x=-

a

b

2

.