弹簧弹力的变与不变

弹簧弹力的变与不变
【例1】 如图1所示，一质量为m 的小球系在长度分别为L 1的轻质绳和长度为L 2的轻质弹簧上，L 1的一端系在天花板上，与竖直方向的夹角为θ，L 2水平拉直，小球处于平衡状态，求：
(1)剪断L 2瞬间小球的加速度；
(2)如果把L 1的轻质弹簧换成轻质绳，则结果如何？
析解 （1）在小球处于平衡状态时，设弹簧作用在小球上的弹力为T 1，轻质绳作用在小
球上的拉力为T 2，受力如图2所示，由力的平衡原理可得：
T 1sin θ＝T 2 ①
T 1cos θ=mg ②
由①②解得T 2＝mg tan θ 1cos mg T θ
= 剪断轻绳L 2的瞬间，绳上的拉力T 2突然消失，轻弹簧上的拉力T 1大小和方向不变，小球在T 2反方向T 2´上获得加速度.有：
tg mg ma θ=
所以小球该瞬时加速度的大小为tg a g θ=，方向水平向右.
（2）如果将L 1换成轻绳且剪断L 2的瞬间，T 2突然消失，轻绳L 1上的拉力T 1发生突变，此
时小球的状态相当于单摆的摆球在竖直平面内运动到最高点时的状态，故小球此时的加速度的大
小为θsin g a =，方向跟L 1垂直斜向下. 解后体会 由于理想化的绳不可伸长，无论绳受到的拉力有多大，绳的长度不变，所以绳上的张力可以突变；而本题中的轻弹簧（L 1）一端与天花板相连，另一端与小球相系，属于两端均为非自由端的弹簧，在这种情况下，弹簧受拉力或压力时，其形变较大，发生和恢复形变都需要一段时间，所以次轻质弹簧弹力不可以瞬时发生突变，只能渐变，因此在物体受力发生变化的瞬间，弹簧的弹力不会发生变化（不变）.
【例2】 如图3所示，两个质量分别为m 1=2kg 、m 2=3kg 的物体置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧秤连接.两个大小分别为F 1=30N 、F 2=20N 的水平拉力分别作用在m 1、m 2上，则( )
A ．弹簧秤的示数是25N
B ．弹簧秤的示数是50N
C ．在突然撤去F 2的瞬间，m 1的加速度大小为15m/s 2
D ．在突然撤去F 1的瞬间，m 1的加速度大小为13m/s 2
解答 用整体法求系统的加速度，有：F 1－F 2＝（m 1+m 2）a ①
解得：a ＝2m/s 2 方向与F 1相同 ②
用隔离法求此时弹簧的弹力，对m 1，有：F 1－kx 1＝m 1a ③
kx 1＝F 1－m 1a ＝26 N 方向向左
当突然撤去F 2的瞬间，F 2＝0，弹力不会发生突变而立即消失，对系统，由牛顿第二定律有，
F 1=(m 1+m 2) a 1 ④
解得：a 1＝6m/s 2 方向向右 ⑤
当突然撤去F 1的瞬间，F 1＝0，弹力不会发生突变而立即消失，对m 1，由牛顿第二定律有，
kx 1＝m 1a 2 ⑥
121
13kx a m ==m/s 2 由以上解答知选项D 正确
图 3 图
1 图2
弹簧秤的示数为kx 1＝26 N 所以选项AB 均错误.
较为复杂的力学问题往往涉及到物理过程较多，涉及到的未知量多个，不少同学感到无从下手，但事物总是由简单到复杂，多过程是由许多单一过程组合而成，复杂的情景也是由许多单一情景集合起来的.在处理复杂问题时，一个有效的方法就是化复杂为简单，化繁琐为简洁，化混合问题为单一问题，从简单入手，逐步深入.通过对复杂问题的分析、理解、训练，逐步形成解决较难问题的方法.
【例3】（1999年上海物理）如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M 、N 固定于杆上，小球处于静止状态．设拔去销钉M 瞬间，小球加速度的大小为12m ／s 2．若不拔去销钉M 而拔去销钉N 瞬间，
小球的加速度可能是（取g=10m ／s 2）
A ．22m ／s 2，竖直向上．
B ．22m ／s 2，竖直向下．
C ．2m ／s 2，竖直向上．
D ．2m ／s 2，竖直向下．
【答案】 BC
【解析】 (M 、N 均压缩时）设小球质量为m ，下面的弹簧对小球的弹力为F 1，拔去销钉M ，上面弹簧对小球作用力
消失，下面弹簧对小球作用力来不及改变，a 1＝12m/s 2,此时对小球进行受力分析，有：F 1－mg ＝ma 1
＝12m 若拔去销钉N ，下面的弹簧解除约束，上面的弹簧对小球的作用力来不及改变，此时对小球进行受力分析， 有：F 2＋mg ＝ma 2， （上面的弹簧对小球的作用力F 2
） 平衡时，M 、N 均压缩时，可得：F 1＝F 2
＋mg, ma 2＝F 1－mg ＋mg ＝12m ＋mg ＝22m, 得a 2＝22(m/s 2
) ， 答案B 正确 平衡时，M 、N 均伸长时，有：F 2＝F 1
＋mg ， 拔去M 后，有：F 1＋mg ＝ma 1＝12m,拔去N 后，F 2－mg ＝ma 2
则ma 2=F 2－mg=F 1＋mg －mg ＝ma 1
－mg(12－10)m ＝2m ， 所以，a 2＝2(m/s 2
)，答案C 正确 【讨论】由于弹簧的压缩和伸长状态未知，所以本题需要进行讨论.
拔去销钉前，小球处于平衡状态，由小球受力和平衡条件，可知拔去销钉前弹簧不可能处于下述三种状态：①上面的弹簧压缩，下面的弹簧伸长；②上、下弹簧均处于原长状态；③上面的弹簧伸长，下面的弹簧处于原长状态.对于③，当拔去M 时，小球的加速度应为g ＝10m/s 2，与题意中的a ＝ 12 m/s 2 相矛盾.所以拔去销钉前，弹簧M 、N 所处的状态有三：M 、N 均伸长；M 、N 均压缩；M 压缩，N 伸长.
（1）平衡时，设M、N均伸长，M对小球的作用力T M方向向上，N对小球的作用力T N方向向下，由平衡条件，得：T M=T N+mg ,
拔去销钉M瞬间，上面的弹簧给小球的作用力消失，下面的弹簧的弹力不会发生变化.而小球加速度大小为12 m/s2，则有：T N+mg＝ma=12m , 拔去N后，N弹簧给小球的作用力消失，M弹簧对小球的作用力不会改变，有方程：T M-mg=ma1
ma1=T M-mg=T N+mg-mg=ma-mg=2m，小球加速度a1的方向向上.
（2）平衡时，设M、N均压缩，M对小球的作用力T M方向向下，N对小球的作用力T N方向向上，由平衡条件，得：T N=T M+mg ，
拔去销钉M瞬间，上面的弹簧给小球的作用力消失，下面的弹簧的弹力不会发生变化.有T N－mg＝ma=12m ,拔去N后，N弹簧给小球的作用力消失，M弹簧对小球的作用力不会改变，有方程：T M+mg=ma2 ，ma2＝mg+12m=22m ,得：a2＝22m/s2 ,方向与T M相同，竖直向下.
由（1）、（2）知：选项B、C正确
（3）平衡时，M伸长、N压缩，M对小球的作用力T M方向向上，N对小球的作用力T N方向向上，由平衡条件，得：T M+T N=mg ,
拔去销钉M瞬间，上面的弹簧给小球的作用力消失，下面的弹簧的弹力不会发生变化.则有：T N－mg＝ma3=12m 由式T M+T N=mg , 可推出T N＜mg , 由式T N－mg＝ma3=12m可推出T N＞mg
两种结果前后矛盾，故本情况不可能.
所以，本题只有未拔去销钉前，M、N均压缩或均伸长两种情况.
【练习】如图所示，倾角为300的光滑杆上套有一个小球和两根轻质弹簧，两弹簧的一端各与
小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态，设拔去销钉M瞬间，小球的加速度大小为6m/s2．若不拔去销钉M，而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是(g取10m/s2)：A．11m/s2，沿杆向上；B．11m/s2，沿杆向下；
C．1m/s2，沿杆向上；D．lm/s2，沿杆向下．
答案：BC
解析：在研究弹簧的瞬间问题时，我们通常认为弹簧的弹力是瞬间来不及发生改变，这实际是针对两端均非自由端的弹簧，此题中拔掉销钉的弹簧一端为自由端，而我们高中研究的都是轻质弹簧，故这种一端为自由端的弹簧弹力在瞬间可以变为零.
我们习惯对加速度的求法是求出合力再求加速度，对于这个题，两个弹簧的形变状态我们并不清楚，如果用这
样的分析方法非常麻烦.而小球原本是三力平衡的，当其中一个力变为零，合力就与这个力未改变前的大小相等，方向相反，故弹簧M的原弹力大小为m×6m/s2，方向可以沿斜面向上或向下，故选B、C.
若我们接着问拔去销钉M后系统机械能是否守恒，则要从另一个角度分析这种一端为自由端的弹簧在弹力瞬间变为零的时刻，弹性势能转化为了内能.。