大学二年级线性代数C课件-第五章
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数第五章 正交性
b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习:
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业:
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量,使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算,在这种运算下,V 中任意 一对向量 x 和 y,都对应一个实数,记作 x, y,若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R,成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .
线性代数:第五章二次型
线性代数:第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型,简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字,系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换,或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数,因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换(4)可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换,⼆次型还是变成⼆次型,替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系,即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型,作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型,⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把(8)代⼊(7),有易看出,矩阵也是对称的,由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵,称为合同的,如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系,具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此,经过⾮退化的线性替换,新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来,为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出,在变换⼆次型时,总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看,这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地,当线性替换是⾮退化时,由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换,它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. (1)定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和(1)的形式.易知,⼆次型(1)的矩阵是对⾓矩阵,反过来,矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论,经过⾮退化的线性替换,⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵,因此⽤矩阵的语⾔,定理1可以叙述为:定理2 在数域上,任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说,对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算,可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置,为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵,由归纳法假定,有可逆矩阵使为对⾓形,令,于是,这是⼀个对⾓矩阵,我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时,只要把的第⼀⾏与第⾏互换,再把第⼀列与第列互换,就归结成上⾯的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换,再把第⼀列与第列互换.因此,左上⾓第⼀个元素就是,这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似,作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置,这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应,取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性,也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定,有可逆矩阵使成对⾓形.取,就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换,⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过⾮退化线性替换后,⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵,⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之,在⼀个⼆次型的标准形中,系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的,与所作的⾮退化线性替换⽆关,⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数,就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内,⼆次型的标准形不是唯⼀的,⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型,由本章定理1,经过⼀适当的⾮退化线性替换后,变成标准形,不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅,再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然,规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定,因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是,任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1,经过某⼀个⾮退化线性替换,再适当排列⽂字的次序,可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中,正实数总可以开平⽅,所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型,经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中,正平⽅项的个数称为的正惯性指数;负平⽅项的个数称为的负惯性指数;它们的差称为的符号差.应该指出,虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的,但是由上⾯化成规范形的过程可以看出,标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的,因此,惯性定理也可以叙述为:实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的,它等于正惯性指数,⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 (1)任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵:.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.(2)任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵:,其中对⾓线上1的个数及-1的个数(等于的秩)都是唯⼀确定的,分别称为的正、负惯性指数,它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的,如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的,经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的,或者说,对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型(3)也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型(1),所以按同样理由,当(3)正定时(1)也正定.这就是说,⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明,正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的,如果⼆次型正定.因为⼆次型(5)的矩阵是单位矩阵E,所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型,如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的;如果都有,那么称为半正定的;如果都有,那么称为半负定的;如果它既不是半正定⼜不是半负定,那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时,就是正定的.定理8 对于实⼆次型,其中是实对称的,下列条件等价:(1)是半正定的;(2)它的正惯性指数与秩相等;(3)有可逆实矩阵,使其中;(4)有实矩阵使.(5)的所有主⼦式皆⼤于或等于零;注意,在(5)中,仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零,是的级顺序主⼦式,是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和,由题设,故当时,,是正定矩阵.若不是半正定矩阵,则存在⼀个⾮零向量,使令与时是正定矩阵⽭盾,故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为,对应矩阵是,对任意,有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若,则P234,12T,存在使与⽭盾,所以.◇设为级实矩阵,且,则都是正定矩阵.◇设为实矩阵,则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵,令,则是维实向量是半正定矩阵,同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵,则时,都是正定矩阵.证明由于正定,存在可逆矩阵,使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定, ,正定,正定.对称当时,,从⽽正定.当时,所以与合同,因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上,任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数,⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型,正定矩阵;顺序主⼦式,负定⼆次型,半正定⼆次型,半负定⼆次型,不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
线性代数第五章相似矩阵课件1
二、利用正交矩阵将实对称
矩阵
根 据对上角述化结 论的,方利法用 正 交 矩 阵 将 实 对 称 矩 阵 化
为对角矩阵,其具体步骤为:
(1) 求出 A 的全部不同的特
其重数分别为 r1, r2 ,, rs
征. 值1,
2
,,
s
,
(2) 对每个i (i 1,2,L求, s)出, 并将其正交化。得到 向量。这样共求出 A
(2) 12 Ln A .
推论:设 A 为 n 阶方阵,则 |A|=0 的充要条 件是数 0 是 A 的特征值。
定理 2 设 是矩阵 A 的一个特征值,对应的特 征向量为x ,且f (x) 是一个关x于 的 多项式 , 则f () 是f ( A) 的一个特征值, 对应的特征向量还是x .
定理 设1,2,L,m是方阵A的m个特征值, p1, p2, 3L, pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2,L,m
的Ar1的(ri irE2个的属AL)基x于础i0r解s的个系的正n,正
交
特
征
交特征向量 .
(3) 将以上n 个正交特征向量单位化,由所得正交
单位向量作为列构成正交矩阵 Q ,则
Q1 AQ QT AQ diag1,2 ,L,n
例 1 对下列各实对称矩阵,分别求一正交矩P 阵 使 P 1 AP 为对角阵 .
0 2
,
1 2
2
1 0
,
0
3 1 0 2 . 1 2
1 2
2 4 3 4
于是得正交阵
P
1,2 ,3
1
0 2
1 0
1
0
2
线性代数 第五章二次型PPT课件
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 , 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵,xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数第五章5.1向量的内积
, r 是V的一组基,则 1 , 2 ,
, r 就是
V的一组标准正交基.
上述方法称为施密特(Schmidt)正交化法.
注
上述方法中的两个向量组对任意的 1 k r ,
1 , 2 , , k 与 1 , 2 , , k 都是等价的.
四、应用举例 例1 把向量组
化为标准正交向量组. 解: 将 a1 , a2 , 3正交化, 取
i=1,2,
, am 线性无关.
定理 若向量β与 1 , 2 , 5、正交基 若正交向量组1 , 2 , 则称 1 , 2 , 6、标准正交基 若单位向量组 1 , 2 , 则称 为一个标准正交基.
, s 中每个向量都正交,则
β与 1 , 2 , , s 的任一线性组合也正交.
证: 设 a1 , a2 ,
, am 是正交向量组, 若有线性关系
k1a1 k2a2
ki ai , ai 0
ki 0,
故 a1 , a2 ,
km am 0,
用 a i 与等式两边作内积,得
i=1,2,
,m
,m .
则 ai 0, 有 ai , ai 0, 从而得
2、正交矩阵的充要条件 ① A的列向量是标准正交组.
② A的行向量是标准正交组. 3、正交矩阵的性质 ① A A1 即A的转置就是A的逆矩阵; ② 若A是正交矩阵,则 A(或A1 )也是正交矩; ③ 两个同阶的正交阵的乘积仍是正交阵; ④ 正交阵的行列式等于1或-1. 注 正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间R n 的一个标准正交基.
r 1 , r r 1 r 1 , r 1
则 1 , 2 , 2)标准化 令 1
线性代数第五章(第一节内积)PPT课件
设 x, y, z 为 n 维向量, 为实数,则内积有
下列性质: (1) <x, y> =<y, x>;
(2) <x, y> = <x, y>;
(3) <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; (4) <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中,我们曾引进向量的数量积
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算,这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时,有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
线性代数课件--5.1向量空间基本概念
R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax,x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理 定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ,a2 ,… ,an 的线性组合 则方程组有解的条件是 b 可作为
定义 若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集
合称为向量组. 有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空,
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c , 必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ,即 cx1 N ( A) ; 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论,先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3
线性代数第五章 相似矩阵
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵, X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量,它们线性无关。所以, A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1,2, ,n L (2) 对每一个i,求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时,X1 0, 结论成立;
假设s k时结论成立; 当s k 1时, k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
线性代数第五章(第三节相似矩阵)
1 2 A( p1 p2 pn ) ( p1 p2 pn ) . n
因而
Api = i pi , i = 1, 2, … , n ,
因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , … , pn为线性无 关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值
1 , 2 , … , n 的特征向量.
充分性 由必要性的证明可见, 如果矩阵 A
有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 ,
相似矩阵具有下列的性质:下设A,B 是同
阶矩阵. 定理 1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则 |A - E| = | B - E| , 因而 A 与 B 有相同的特征值, 相同的行列式值.
证明 只需证 A 与 B 有相同的特征多项式即
可. 由于 A与 B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P,使得 P-1AP = B ,
所以 p2 是对应于 2 2 的特征向量.
当
3 3
时, 解方程组
( A 3E ) x 0 ,
即
2 1 0 x1 0 1 1 x2 0, 0 x 0 0 3
解之得基础解系为
1 p3 2 , 2 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
注: A与B的特征值相同不能推出A与B相似. 例2
0 1 0 0 A 与B 是否相似? 0 0 0 0 1 0 1 1 与 0 1 0 1
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质,通 过计算伴随矩阵的元素,得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A,其行列式记 为|A|,定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵,同时记录下每一步的变 换,最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程,实际上是消元的过程 ,通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A,其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E,其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵,同时记录下每一步的变换 ,最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积,代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j),其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A,使得$AB=BA=I$, 则称A是B的逆矩阵,记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵,则$A^{-1}$也是可逆的,且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行(列)
如果矩阵A经过交换两行(列) 后得到矩阵B,则$det(A)=det(B)$。
02
某行(列)乘以常 数k
如果矩阵A经过某行(列)乘以 常数k后得到矩阵B,则 $det(A)=k*det(B)$。
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量,且两两正交.即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基.
例:已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交,试求一个非零向量a3 ,使a1, a2, a3 两两正交.
分析:显然a1⊥a2 .
解:设a3 = (x1, x2, x3)T ,若a1⊥a3 , a2⊥a3 ,则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步:正交化——施密特(Schimidt)正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基,那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性: || l x || = | l | ·|| x ||.
三角不等式: || x + y || ≤ || x || + || y ||.
线性代数课件PPT第五章 线性变换 S1 线性变换的定义
由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以
T1(p+q)T1(p)+T1(q).
18
5
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
y P'
记
x y
r cos r sin
, 于是
T
x y
x cos x sin
y sin y cos
p
o
x
r r
cos cos
cos sin
r sin sin r sin cos
r r
cos( sin(
)),
例5 设V是数域F上的线性空间,k是F中的某个数 , 定义V的变换如下:
k
这是一个线性变换,称为由数k决定的数乘变换.
当k=1时,便得恒等变换,当k=0时,便得零变换 .
8
例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),
则T不是R3的一个线性变换.
证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T( + )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.
事实上, 对任意的x, xRn,
T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x),
T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
6
大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量
在解决实际问题时,特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式,例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵,例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解,如三角分解、 QR分解等,都涉及到特征值 和特征向量的应用,它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性,即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时,称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到,即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用,如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具,它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时,特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法,特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中,特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键,有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算,用矩阵的记号表示,当 x与 y 都是列向量时,有
[x,y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 , y = y2
....
xn
yn
令 [x,y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn, 则 [x,y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度(或范数)
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质:
(i)非负性:当x 0时,x 0;当x = 0时,x =0;
(ii)齐次性: x = x ;
(iii)三角不等式 : x y x y ;
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价,还满足:对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
定义:当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时,把
arccos [x, y]
|| x || || y || 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角. 当 [x, y] = 0,称向量 x 和 y 正交. 结论:若 x = 0,则 x 与任何向量都正交.
y
x
定义:两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组.
1
1
例:已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
定理:若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量, 则 a1, a2, …, ar 线性无关. 证明:设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0(零向量),那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0. 同理可证,k2 = k3 = … = kr =0. 综上所述, a1, a2, …, ar 线性无关.
[x y, z] ( x y)T z ( xT yT ) z ( xT z) ( yT z) [x, z] [ y, z]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y.
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
[ x, y] x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 [ y, x]
xn yn yn xn
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y.
线性性质: [l x, y] = l[x, y].
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0(零向量) 时, [x, x] = 0;
当 x ≠ 0(零向量) 时, [x, x] > 0.
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y.
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
线性性质: [l x, y] = l[x, y].
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[l x, y] (l x)T y l xT y l( xT y) l[x, y]
向量的长度
定义:令 || x || [x, x] x12 x22 xn2 0 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度(或范数). 当 || x || = 1时,称 x 为单位向量. 向量的长度具有下列性质: 非负性:当 x = 0(零向量) 时, || x || = 0;
当 x≠0(零向量) 时, || x || > 0.
厦门大学二年级
线性代数C
课件
第五章 相似矩阵及二次型
第五章作业: P138 习题五 第一节 2(1);5; 第二节 6(1);10;12;13; 第三节 15;16;17; 第四节 19(1);20;21;25(2); 第五-七节 26;28(1);31(1)(3).
§1 向量的内积、长度及正交性
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
线性性质: [l x, y] = l[x, y].
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0(零向量) 时, [x, x] = 0;
当 x ≠ 0(零向量) 时, [x, x] > 0. 施瓦兹(Schwarz)不等式
三角不等式: || x + y || ≤ || x || + || y ||.
x+y y
y x
向量的正交性
施瓦兹(Schwarz)不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时,
[x, y] 1 || x || || y ||
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度(或范数).
当 || x || = 1时,称 x 为单位向量.
向量的长度具有下列性质:
非负性:当 x = 0(零向量) 时, || x || = 0;
当 x ≠ 0(零向量) 时, || x || > 0.
齐次性: || l x || = | l | ·|| x ||.
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y].
回顾:线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
P(x1, x2)
x2
若令 x = (x1, x2)T,则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T,则 | OP | x12 x22 x32 [x, x]
内积可用矩阵乘法表示:当 x 和 y 都是列向量时,
x1
y1
x
x2,yຫໍສະໝຸດ y2,xn
yn
[x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn
x1, x2 ,
y1
,
xn
y2
xT y
yn
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y.
齐次性: || l x || = | l | ·|| x || . [l x,l x] l[x,l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
向量的长度
定义:令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2