大学二年级线性代数C课件-第五章
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[x y, z] ( x y)T z ( xT yT ) z ( xT z) ( yT z) [x, z] [ y, z]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
[ x, y] x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 [ y, x]
xn yn yn xn
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ． [l x,l x] l[x,l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
向量的长度
定义：令 || x || [x, x] x12 x22 xn2 0 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
厦门大学二年级
线性代数C
课件
第五章 相似矩阵及二次型
第五章作业： P138 习题五 第一节 2(1)；5； 第二节 6(1)；10；12；13； 第三节 15；16；17； 第四节 19(1)；20；21；25(2)； 第五-七节 26；28(1)；31(1)(3).
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [x, y]
|| x || || y || 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交．
y
x
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
1
1
例：已知3
维向量空间R3中两wk.baidu.com向量
a1
1
,
a2
2
1
1
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
P(x1, x2)
x2
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T，则 | OP | x12 x22 x32 [x, x]
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
x+y y
y x
向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1 || x || || y ||
内积可用矩阵乘法表示：当 x 和 y 都是列向量时，
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
[x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn
x1, x2 ,
y1
,
xn
y2
xT y
yn
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[l x, y] (l x)T y l xT y l( xT y) l[x, y]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
[ x, y] x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 [ y, x]
xn yn yn xn
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ． [l x,l x] l[x,l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
向量的长度
定义：令 || x || [x, x] x12 x22 xn2 0 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
厦门大学二年级
线性代数C
课件
第五章 相似矩阵及二次型
第五章作业： P138 习题五 第一节 2(1)；5； 第二节 6(1)；10；12；13； 第三节 15；16；17； 第四节 19(1)；20；21；25(2)； 第五-七节 26；28(1)；31(1)(3).
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [x, y]
|| x || || y || 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交．
y
x
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
1
1
例：已知3
维向量空间R3中两wk.baidu.com向量
a1
1
,
a2
2
1
1
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
P(x1, x2)
x2
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T，则 | OP | x12 x22 x32 [x, x]
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
x+y y
y x
向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1 || x || || y ||
内积可用矩阵乘法表示：当 x 和 y 都是列向量时，
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
[x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn
x1, x2 ,
y1
,
xn
y2
xT y
yn
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[l x, y] (l x)T y l xT y l( xT y) l[x, y]