数学思维形成

讲座（1）考好数学的基点

―木桶原理‖已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。

数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。

在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，―与大一那会儿学的不一样。‖原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。

你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。

你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画―联络图‖。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。

先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明——关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。

有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，……。

这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。

当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用―猎奇‖的眼光去挑选典型题目的能力

数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个―材料库‖。尽可能熟悉课程讨论的

基本对象。就如我将在讲解时（微积分部分）推荐的，―三个典型的（极限）不存在‖，―x 趋于+∞ 时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。‖―三个典型的不可导‖，―四个典型的不可积‖，……，等等。

概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。

当你面对一个题目时，你的自然反应是，―这个题目涉及的概念是……‖，而非―在哪儿做过这道题‖，才能算是有点入门了。

讲座（2）笔下生花花自红

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，―一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。‖发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时―写‖与―思‖同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得―写‖的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。

数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。

或―依据已知条件，我首先能得到什么？‖（分析法）；

或―要证明这个结论，就是要证明什么？‖（综合法）。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。

―连续函数与不连续函数的和会怎样？‖

写成―连续A + 不连续B = ？‖后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

如果，―连续A + 不连续B = 连续C‖则― 连续C -连续A = 不连续B‖

这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如―函数在一点可导‖，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，

题面上有已知条件f ′(1) > 0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出

h 趋于0 时，lim( f(1+h) - f(1）) / h > 0

然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α≠ 0，要是移项写成（A-λE）α= 0，α≠ 0，

这就表示α是齐次线性方程组（A-λE）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。

数学思维的特点之一是―发散性‖。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。

车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的―1+2‖论文中有28个―引理‖，那是他艰难地走向辉煌的28步。

对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。

《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。