全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总附答案

（2）如图②，过点 C′作 x 轴垂线 MN，交 x 轴于点 M，过点 B′作 MN 的垂线，垂足为 N， ∵ ∠ OC′B′＝90°， ∴ ∠ OC′M＝90°﹣∠ B′C′N＝∠ C′B′N， ∵ OC′＝B′C′，∠ OMC′＝∠ C′NB′＝90°， ∴ △ OMC′≌ △ C′NB′（AAS）， 当 α＝60°时， ∵ ∠ A′OC′＝90°，OC′＝6， ∴ ∠ C′OM＝30°，
∴ C′N＝OM＝ 3 3 ，B′N＝C′M＝3，
∴ 点 B′的坐标为 3 3 3,3 3 3 ；
（3）如图③，连接 OB，AC 相交于点 K， 则 K 是 OB 的中点， ∵ P 为线段 BC′的中点，
∴ PK＝ 1 OC′＝3， 2
∴ P 在以 K 为圆心，3 为半径的圆上运动，
∵ AK＝3 2 ， ∴ AP 最大值为 3 2 3 ，AP 的最小值为 3 2 3 ， ∴ AP 长的取值范围为 3 2 3 AP 3 2 3 .
∴ ∠ BAE=∠ DAG， ∵ ∠ BAD=90∘,∠ EAF=45∘， ∴ ∠ BAE+∠ DAF=45∘， ∴ ∠ EAF=∠ FAG， ∵ ∠ ADC+∠ B=180∘， ∴ ∠ FDG=180∘，点 F. D. G 共线， 在△ AFE 和△ AFG 中， AE=AG，∠ FAE=∠ FAG，AF=AF， ∴ △ AFE≌ △ AFG(SAS)， ∴ EF=FG，
【点睛】 本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是 利用中位线定理得出点 P 的轨迹．
5．(1)问题发现
如图 1,点 E. F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,∠ EAF=45°，连接 EF、则 EF=BE+DF，试说
明理由；
(2)类比引申
如图 2,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠ BAD=90°,点 E. F 分别在边 BC、CD 上,∠ EAF=45°，若
=∠ D=60 度.所以 FC∥ BD，又因为∠ BAD=∠ ABC=60°，所以 AD∥ BC，即 FD//BC，则四边形
BCFD 是平行四边形.
（2）在 Rt△ ABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题；
【详解】
解：（1）证明：在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，∴ ∠ ABC=60°，在等边△ ABD 中，
【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ ABC，△ BDC，△ ABD，△ ADF，△ ADC，
△ ADE． 【解析】 【分析】 （1）先求证 BD∥ AF，证明四边形 ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四 边形是菱形即可证明；（2）先利用 BD 平分∠ ABC，得到 BD 垂直平分线段 AC，进而证明 △ DAC 是等腰三角形，根据 BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△ DAE 是等腰三角 形，进而得到 BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解. 【详解】 (1)如图 1 中，∵ ∠ BCD＝∠ BDC， ∴ BC＝BD， ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴ AB＝BC， ∵ AB＝AF， ∴ BD＝AF， ∵ ∠ BDC＝∠ AEC， ∴ BD∥ AF， ∴ 四边形 ABDF 是平行四边形， ∵ AB＝AF， ∴ 四边形 ABDF 是菱形．wenku.baidu.com(2)解：如图 2 中，∵ BA＝BC，BD 平分∠ ABC， ∴ BD 垂直平分线段 AC， ∴ DA＝DC， ∴ △ DAC 是等腰三角形， ∵ AF∥ BD，BD⊥AC ∴ AF⊥AC， ∴ ∠ EAC＝90°， ∵ ∠ DAC＝∠ DCA，∠ DAC+∠ DAE＝90°，∠ DCA+∠ AEC＝90°， ∴ ∠ DAE＝∠ DEA， ∴ DA＝DE， ∴ △ DAE 是等腰三角形， ∵ BC＝BD＝BA＝AF＝DF， ∴ △ BCD，△ ABD，△ ADF 都是等腰三角形， 综上所述，图中等腰三角形有△ ABC，△ BDC，△ ABD，△ ADF，△ ADC，△ ADE．
∠ B，∠ D 都不是直角，则当∠ B 与∠ D 满足等量关系
时，仍有 EF=BE+DF；
(3)联想拓展
如图 3,在△ ABC 中,∠ BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠ DAE=45°，猜想 BD、DE、EC
满足的等量关系，并写出推理过程。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG，可使 AB 与 AD 重合，证出 △ AFG≌ △ AFE，根据全等三角形的性质得出 EF=FG，即可得出答案； （2）把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG，可使 AB 与 AD 重合，证出△ AFE≌ △ AFG， 根据全等三角形的性质得出 EF=FG，即可得出答案；
【点睛】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的 性质，本题中求证 DB=DM 是解题的关键．
3．△ ABC 为等边三角形， AF AB ． BCD BDC AEC ．
(1)求证：四边形 ABDF 是菱形．
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线，连接 AD ，找出图中所有的等腰三角形．
【答案】见解析. 【解析】 【分析】 延长 BF，交 DA 的延长线于点 M，连接 BD，进而求证△ AFM≌ △ EFB，得 AM=BE， FB=FM，即可求得 BC+BE=AD+AM，进而求得 BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即 可求证 BF⊥DF． 【详解】 延长 BF，交 DA 的延长线于点 M，连接 BD． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ MD∥ BC，∴ ∠ AMF=∠ EBF，∠ E=∠ MAF，又 FA=FE， ∴ △ AFM≌ △ EFB，∴ AM=BE，FB=FM． ∵ 矩形 ABCD 中，∴ AC=BD，AD=BC，∴ BC+BE=AD+AM，即 CE=MD． ∵ CE=AC，∴ AC=CE= BD =DM． ∵ FB=FM，∴ BF⊥DF．
【点睛】 本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题 型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（﹣6，0）、点 C（0，6），若正方形 OABC 绕 点 O 顺时针旋转，得正方形 OA′B′C′，记旋转角为 α： （1）如图①，当 α＝45°时，求 BC 与 A′B′的交点 D 的坐标； （2）如图②，当 α＝60°时，求点 B′的坐标； （3）若 P 为线段 BC′的中点，求 AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．
【详解】 解：（1）∵ A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0）， ∴ 四边形 OABC 是边长为 6 的正方形，
当 α＝45°时， 如图①，延长 OA′经过点 B，
∵ OB＝6 2 ，OA′＝OA＝6，∠ OBC＝45°， ∴ A′B＝ 6 2 6 ， ∴ BD＝（ 6 2 6 ）× 2 12 6 2 ， ∴ CD＝6﹣（12 6 2 ）= 6 2 6 ， ∴ BC 与 A′B′的交点 D 的坐标为（ 6 6 2 ，6）；
【答案】（1） (6 6 2, 6) ；（2） (3 3 3,3 3 3) ；（3） 3 2 3 AP 3 2 3 .
【解析】 【分析】
（1）当 α＝45°时，延长 OA′经过点 B，在 Rt△ BA′D 中，∠ OBC＝45°，A′B＝ 6 2 6 ，可
求得 BD 的长，进而求得 CD 的长，即可得出点 D 的坐标； （2）过点 C′作 x 轴垂线 MN，交 x 轴于点 M，过点 B′作 MN 的垂线，垂足为 N，证明
∠ BAD=60°，∴ ∠ BAD=∠ ABC=60°，∵ E 为 AB 的中点，∴ AE=BE，又∵ ∠ AEF=∠ BEC，
∴ △ AEF≌ △ BEC，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，E 为 AB 的中点，∴ CE= 1 AB，BE= 1 AB，
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∴ CE=AE，∴ ∠ EAC=∠ ECA=30°，∴ ∠ BCE=∠ EBC=60°，又∵ △ AEF≌ △ BEC，
即：EF=BE+DF， 故答案为：∠ B+∠ ADC=180∘； (3)BD2+CE2=DE2. 理由是：把△ ACE 旋转到 ABF 的位置，连接 DF，
则∠ FAB=∠ CAE. ∵ ∠ BAC=90∘,∠ DAE=45∘， ∴ ∠ BAD+∠ CAE=45∘， 又∵ ∠ FAB=∠ CAE， ∴ ∠ FAD=∠ DAE=45∘， 则在△ ADF 和△ ADE 中， AD=AD，∠ FAD=∠ DAE，AF=AE， ∴ △ ADF≌ △ ADE， ∴ DF=DE,∠ C=∠ ABF=45∘， ∴ ∠ BDF=90∘， ∴ △ BDF 是直角三角形, ∴ BD2+BF2=DF2， ∴ BD2+CE2=DE2.
（3）把△ ACE 旋转到 ABF 的位置，连接 DF，证明△ AFE≌ △ AFG（SAS），则 EF=FG， ∠ C=∠ ABF=45°，△ BDF 是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 试题解析：(1)理由是：如图 1，
∵ AB=AD， ∴ 把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘至△ ADG，可使 AB 与 AD 重合，如图 1， ∵ ∠ ADC=∠ B=90∘， ∴ ∠ FDG=180∘，点 F. D. G 共线， 则∠ DAG=∠ BAE，AE=AG， ∠ FAG=∠ FAD+∠ GAD=∠ FAD+∠ BAE=90∘−45∘=45∘=∠ EAF， 即∠ EAF=∠ FAG， 在△ EAF 和△ GAF 中， AF=AF，∠ EAF=∠ GAF，AE=AG， ∴ △ AFG≌ △ AFE(SAS)， ∴ EF=FG=BE+DF； (2)∠ B+∠ D=180∘时，EF=BE+DF； ∵ AB=AD， ∴ 把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘至△ ADG，可使 AB 与 AD 重合，如图 2，
△ OMC′≌ △ C′NB′，可得 C′N＝OM＝ 3 3 ，B′N＝C′M＝3，即可得出点 B′的坐标；
（3）连接 OB，AC 相交于点 K，则 K 是 OB 的中点，因为 P 为线段 BC′的中点，所以 PK＝
1 OC′＝3，即点 P 在以 K 为圆心，3 为半径的圆上运动，即可得出 AP 长的取值范围． 2
∴ ∠ AFE=∠ BCE=60°，又∵ ∠ D=60°，∴ ∠ AFE=∠ D=60°，∴ FC∥ BD，又
∵ ∠ BAD=∠ ABC=60°，∴ AD∥ BC，即 FD∥ BC，∴ 四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）解：在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ BAC=30°，AB=6，∴ BC=AF=3，AC= 3 3 ，∴ S 平行四边形
【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形 ADBC= 27 3 ． 2
【解析】 【分析】
（1）在 Rt△ ABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= 1 AB，BE= 1 AB，得到∠ BCE=∠ EBC=60°.由
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△ AEF≌ △ BEC，得∠ AFE=∠ BCE=60°.又∠ D=60°，得∠ AFE
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，以线段 AB 为边向外作等边△ ABD，点 E
是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F．
（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 ADBC 的面积．
BCFD=3× 3
3=9
3
，S△
ACF=
1 2
×3× 3
3 = 9 3 ，S = 平行四边形 ADBC 27 3 ．
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【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直
角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考
题型.
2．如图所示，矩形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，使 CE＝AC，连接 AE，点 F 是 AE 的 中点，连接 BF、DF，求证：BF⊥DF．