2020届全国各地高考试题分类汇编 06平面向量

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2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.4复数练习含解析

专题6.4 复数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d∈R)共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0).【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系z ·z －＝|z |2＝|z －|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1【答案】 B【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【答案】 C【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i【答案】 D 【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 【答案】－1【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ， ∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 【考点聚焦】考点一复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( )A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.0C.－12D.－1【答案】 (1)D (2)D (3)D【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0，则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B.(2)∵1－i ＝2＋a i1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 考点二复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.【规律方法】1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________.【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z＝( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i【答案】 (1)D (2)D (3)C【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】 B【解析】因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【答案】 B【解析】因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i【答案】 A【解析】复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)【答案】 C【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2【答案】 B【解析】因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2【答案】 B【解析】因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝12.故选B.7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A【解析】由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】 A【解析】由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.【答案】 4－i 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.【答案】－7 【解析】 ∵a ＋b i i＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________. 【答案】－2＋i【解析】因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2【答案】 A【解析】因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A.14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2，所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2【答案】 B【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】 D【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，11 ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题06 平面向量(含答案)

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a AB向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==OB OA ,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜ a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，(2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜．解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值．【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ．当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k k , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1．【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画．解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5．从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1，于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ 因此2π=θ，或43π=θ．例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小．【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A 由23||||3BC AC AB =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m OB OA =-=，若AB OA ⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______．三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式．【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形，【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论．证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即BC 与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状．【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究．解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅DC AB BC CD AB BC CD BC BC AB 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OB OA OM AB AM 、MBAM +===、等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅AC AB ，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积AC AB ⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c AC AB 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形，过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例5 若等边△A B C 的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=，则 =⋅______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ ，得到.2-=⋅【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值．【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2．解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积．【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ，由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1) ∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值．【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识．解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1 ∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且OB AC OA OC //,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅MQ 23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②ab a b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．①③④D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______； 7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅=④．)()(⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba aa a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______．三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ； (3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ； (2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45° 三、解答题9．由已知)0,2(==a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)； (2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0． 11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(- 三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x PM yHP PM HP +=-==⋅ ∴02323.=-yy x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ(Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 二、填空题6．2107．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21 三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1． 12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C(2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ．又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k b A -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb∴k ＝1，b ＝2． (2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0． ∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。

专题13 平面向量-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)

，则 a 与 b
夹角的余弦值为
A． 1
B． 4
1
C．
4
D．
3
5
3
5
7．（2020·四川省阆中中学高三二模）已知向量
a
1,
m ，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=()
A．−8
B．−6
C．6
D．8
8．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）已知向量
a
(1,
2)
，
r b
(m,1)
.若向量
a
与
a
(
x
1,
x)
，
b
(1,
2)
，若
a
/
/b
，则
x
A． 3
B．-1
2
C．
3
D．
2
3
2
2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知平面向量
a
(1,
x)
，b
(2,
3)
，若向量
2a
b
与向量
b
共线，则
x
A． 7
5
B．
C． 3
D． 1
2
2
3．（2020·湖北省高三）若向量 a 和 b 满足
a
2 2，
2
，AE
2EB
，AF
FC
，
设 BF 与 CE 交于 G，则 cos AG, AE
A． 10 10
B． 3 10 10
3
C．
5
4
D．
5
29 ．（ 2020· 福建
省福州第一

2020年高考数学(文) 平面向量(原卷版)

专题平面向量平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=o，2BM MA =u u u u r u u u r，2CN NA =u u u r u u u r ，则·BC OM u u u r u u u u r 的值为NMOCBAA ．15-B ．9-C ．6-D ．04．设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a b 5．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．已知向量1(,22BA =uu v,1),2BC =uu u v 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1B1C ．2D．29．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅u u u r u u u r ，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则 OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I10．已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =u u u r ,PM MC =u u u u r u u u u r ，则2||BM u u u u r 的最大值是A ．443 B ．449C ．43637+D ．433237+11．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒu u u r =-，()2,1ΑD u u u r=，则ΑD ΑC u u u r u u u r ⋅= A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．913．已知向量(1,2),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥+rr r ，则m =（）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 14．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（）A ．35B ．45C ．35-D ．45-15．若向量(4,2)a =r ，(6,)b k =r ，若//a b r r，则(k = )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 16．已知()1,2a =r，()1,0b =r，则2a b +=r r （）A ．5B ．7C ．5D ．25二、填空题17．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b P ，则λ=_． 18．(2018北京)设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______． 19．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__． 20．已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ．21．在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为．22．已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ．23．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o。

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析专题06 平面向量及其应用,复数(解析版)

专题6 平面向量及其应用,复数1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2020年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（） A ．2 B ．C ．5D ．【答案】D 【解析】因为，所以．2．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量(2,1), (1,1), (, 2)a b c k ==-=r r r ，若()a b c -⊥r r r ，则k 的值是( ) A ．4 B ．-4C ．2D ．-2【答案】B 【解析】()(1,2)(,2)404a b c k k k -⋅=⋅=+=⇒=-r r r，故选B.3．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a =r (1,3),b =-r (2,1)c =r，且()//a b c λ-r r r ，则λ=（）A ．3B ．-3C ．17D ．17-【答案】C 【解析】由题意(1,13)a b λλλ-=+-r r ，∵()//a b c λ-r r r，∴2(13)1λλ-=+，解得17λ=．故选：C.4．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（）A ．32B ．2C ．52D ．92【答案】D 【解析】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则2x y m n λμ+=+++=，1411414149()5(52)2222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则14x y +的最小值为92，故选D. 5．（2020届山东实验中学高三上期中）i 是虚数单位，若复数21z i =-，则z 的虚部为（） A ．1- B ．0C ．i -D ．1【答案】A【解析】i Q 是虚数单位，复数22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i ++====----+-， z ∴的虚部为1-．故选：A ．6．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知复数z 满足11ii z+=-，则z =（） A． B ．2CD ．1【答案】D 【解析】 ∵11ii z+=-， ∴11i z i +=-()()()2111i i i +=-+1211(1)i i +-==--， ∴1z =，故选：D ．7．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(2,1)OC m m =+u u u r．若AB OC u u u r u u u r∥，则实数m 的值为（）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-【答案】C 【解析】因为//AB OC u u u v u u u v，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.8．（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是a a bb =r r rr 成立的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =v v 可知：a b v v ，方向相同，a b a b v v v v ，表示 a b v v ，方向上的单位向量所以a ba b=v vv v 成立;反之不成立.故选B9．（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()313a b a b -⋅+=-r r r r ，则ar 与b r的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23πθ∴=. 故选：C.10．（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，3OC =u u u v ，OC OB ⊥u u u r u u u r ，OA <u u u r，30OC >=︒u u u r若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，x y +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设(1,0)A ，13(,22B -，33(,22C ，则3313 (,)(1,0)(,)22OC x y==+-u u u r，所以132233x yy⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪，解得2x=，1y=，所以3x y+=，故选：C．11．（2020·山东省淄博实验中学高三期末）已知复数133izi-=+，i为虚数单位，则（）A．z i=B．z i=C．21z=D．z的虚部为i-【答案】B【解析】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i iz ii i i i----+===-++--，所以：1z=，z i=，22()1z i=-=-，z的虚部为1-.故选：B12．（2020届山东省德州市高三上期末）已知复数z满足13z i=-+（其中i为虚数单位），则zz=（）A．1322-+B．13i22--C．1322i+D．1322-【答案】B【解析】1z =-+Q ，2z ∴==，因此，11222z z -==--. 故选：B.13．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知i 是虚数单位，1(1)i 0a +->()a R ∈，复数2i z a =-，则1z=（）A ．15B ．5CD 【答案】C 【解析】因为1(1)i 0a +->()a R ∈，所以10a -=，即1a =．12z i =-=，111z z z====．故选：C.14．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知复数133iz i-=+，i 为虚数单位，则（） A ．z i = B ．z i = C ．21z = D ．z 的虚部为i -【答案】B 【解析】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i i z i i i i i----+===-++--，所以：1z =，z i =，22()1z i =-=-，z 的虚部为1-.故选：B15．（2020届山东省潍坊市高三上期末）设(1)1i x yi +=+，其中x ，y 是实数，则||x yi +=（）A ．1 BC D ．2【答案】B 【解析】由已知得1x xi yi +=+，根据两复数相等可得：1x y ==，所以|||1|x yi i +=+=故选：B.16．（2020·河南高三期末（文））设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B 【解析】因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+，则1355z i =-. 故选：B.17．（2020·全国高三专题练习（文））已知复数z 满足()134z i i +=+，则||z =( )AB ．54C ．52D 【答案】D 【解析】因为()134z i i +=+，所以()()()()3413434711111122i i i i z i i i i +-+++====+++-+，所以||2z ==. 故选：D.18．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量(1,2)a =r ，(2,)b x =r ，a b +r r 与b r 平行，则实数x 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：由已知(3,2)a b x +=+r r ，又()//a b b +rr r ，32(2)x x ∴=+，解得：4a =，故选：D.19．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD 【答案】C 【解析】11,3,cos 3cos 1cos 3AB AC AB AC AB AC A A A ==⋅=⋅==-∴=-u u u r u u u r u u u r u u u r故sin A =，1sin 2S AB AC A =⋅=故选：C20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知A ,B ,C 为不共线的三点,则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC∆为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方得到222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r ，即AB AC ⊥u u u r u u u r 故ABC ∆为直角三角形，充分性；若ABC ∆为直角三角形，当B Ð或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r，不必要；故选：A21．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1【答案】D 【解析】设z ＝bi ，b ∈R 且b ≠0，则11iai++＝bi ，得到1＋i ＝－ab ＋bi ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1. 故选：D.22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知向量(),2a x =r ，()2,b y =r ，()2,4c =-r ，且//a c r r ，b c ⊥r r，则a b -=r r( )A ．3B ．10C ．11D ．23【答案】B 【解析】因为向量(),2a x =r ，()2,b y =r ，()2,4c =-r ，且//a c r r ，b c ⊥r r，所以440440x y --=⎧⎨-=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,2a =-r ，()2,1b =r ，所以(3,1)a b -=-r r ，因此()223110a b -=-+=r r .故选：B.23．（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u r（）A ．3155AB AC +u u ur u u u rB ．2155AB AC +u u ur u u u rC ．481515AB AC +u u ur u u u rD ．841515AB AC +u u ur u u u r【答案】D 【解析】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 二、多选题24．（2020届山东实验中学高三上期中）关于平面向量,,a b c r r r，下列说法中不正确．．．的是（） A ．若//a b r r 且//b c r r，则//a c r rB ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r rC ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r r，则b c =r rD ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r【答案】ACD 【解析】对于A ，若0b =r r ，因为0r 与任意向量平行，所以a r不一定与c r 平行，故A 错；对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对；对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，()a b c ⋅⋅r r r 是以c r 为方向的向量，()a b c ⋅⋅r r r 是以a r 为方向的相量，故D 错．故选：ACD ．25．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =u u u r u u u r ，2AD DC =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1AB CE ⋅=-u u u r u u u rB ．0OE OC +=u u u r u u u rrC．OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u rD ．ED u u u r在BC uuu r方向上的投影为76【答案】BCD 【解析】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,)3E A B C D -，设123(0,),(0,3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==--u u u r u u u r ，BO uuu r ∥DO u u u r ，所以2313y y -=-，解得：3y =，即O 是CE 中点，0OE OC +=u u u r u u u r r ，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=u u u r u u u r ，所以选项A 错误；123(,)33ED =u u u r ，(1,3)BC =u u u r ， ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==u u u u u u r u u u r r ，所以选项D 正确. 故选：BCD26．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =u u u r u u u r，F 为AE 的中点，则（）A ．12BC AB AD =-+u u u r u u u r u u u rB ．1133AF AB AD =+u u u r u u u r u u u rC ．2133BF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r D ．1263CF AB AD =-u u u r u u u r u u u r 【答案】ABC【解析】∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u u v u u u v ，A 对； ∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u u v u u u v ， ∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v ，B 对； ∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v ，C 对； ∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u u v u u u v ，D 错；故选：ABC ．三、填空题27．（2020届山东省潍坊市高三上期末）向量()(),4,1,a x b x =-=-r r ，若a r 与b r 共线，则实数x =__________．【答案】2±【解析】//a br r Q ()40x x ∴⋅-+=，解得：2x =±.故答案为：2±28．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知向量,a b r r 满足||1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()a a b ⋅-=r r r __________．【答案】2【解析】()a a b ⋅-=r r r 222||1(1)2a a b a a b -⋅=-⋅=--=r r r r r r .故答案为：2.29．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.【答案】15【解析】数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15.30．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,2a b a b ==-=v v v v 且则向量a v 与向量b r 夹角的大小是_______. 【答案】6π 【解析】由2a b v v -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=v v v v v v v v3cos ,,.26a b a b π∴===v v v v31．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a r 、b r ,满足a b =r r ,()2a b b +⊥r r r ,则a r 与b r 的夹角为___________.【答案】120o【解析】设a r 与b r 的夹角为θ，由题意a b =r r ,()2a b b +⊥r r r ,，可得2(2)2cos 0a b b a b b θ+⋅=+=v v v v v v ，所以1cos 2θ=-，再由0180θ≤≤o o 可得，120θ=o ，故答案是120o .32．（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b r r 满足3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，则a b -=r r ___________. 【答案】10【解析】由已知：3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，所以224a b +=r r ，展开得到22216a a b b +⋅+=r r r r ，所以23a b ⋅=r r ，所以222210a b a a b b -=⋅+=-r r r r r r ，所以10a b -=r r ；故答案为：10．33．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =u u u v ，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u u v 的最小值 ________．【答案】48322-【解析】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B 22M 02-，，，，，，， ∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅++⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u u v ，， ()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，，当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322- 34．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知向量a r ,b r 满足||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 夹角的大小是______．【答案】34π【解析】由()a a b ⊥+r r r 得，()0a a b ⋅+=v v v ，即20a a b +⋅=r r r ，据此可得：2cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-v v v v v v v ，cos ,2a b ∴==-v v ，又a r 与b r 的夹角的取值范围为[0,]π，故a r 与b r 的夹角为34π.四、解答题35．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +rr；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹角的余弦值.【答案】（1）25a b +=r r （2【解析】因为a b ⊥r r ，()()1,2,2,a b m =-=r r所以0a b ⋅=r r ，即220m -+=解得1m =所以()()()21,24,23,4a b +=-+=r r25a b +==r r（2）若0m =，则()2,0b =r所以(1,2)a b +=r r ，-(3,2)a b =-r ra b +=r r，-a b =r r341a b ⋅=-+=r r所以cos 65-a b a b a bθ⋅===+r r r r r r。

专题14 平面向量-2020年高考数学(文)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题14 平面向量【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m = .【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.【母题来源二】【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【母题来源三】【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源四】【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．故答案为7.【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．【命题意图】高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.【命题规律】1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．【方法总结】（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．（3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．1．（湖北省黄冈中学2020届高三下学期6月第三次模拟考试数学试题）已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅2．（黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第一次检测数学试题）已知向量a ，b 的夹角为2π3，a b ⋅=-3，|b |=2，则|a |= A ．32- B ．3- C ．32D ．3【答案】D 【解析】【分析】利用数量积的运算公式可求. 【详解】∵a b ，的夹角为2,3,||23a b b π⋅=-=； ∴2||||cos ||3;||33a b a b a a π⋅==-=-∴=．故选D ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，侧重考查数学运算的核心素养.3．（西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试（模拟）数学试题）已知向量(,3)a x =,(2,2)b =- ,且a b ⊥,则a b += A ．5 B 26 C ．25D ．10【答案】B 【解析】【分析】【详解】因为a b ⊥所以，260,3,x x -==a b +22()5126a b =+=+=,故选B.4．（黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第二次检测数学试题）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()28a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B 【解析】【分析】将()()·28a b a b +-=-展开，代入1a =，2b =，可求出a b 的值，结合求夹角公式，即可求解．【详解】由题意得()()2222188a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以1a b = 所以·11cos ,122·a b a b a b===⨯，又[],0,a b π∈，所以,3a b π=，即a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】本题考查向量的数量积公式以及向量夹角的求法，属基础题．5．（山东省聊城市2019届高三三模数学试题）在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B 【解析】【分析】先求出12AE AB AC =-+,再求λμ，即得解.由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选B 【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．（广东省深圳市宝安区2021届高三上学期期末调研（9月开学考试）数学试题）在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】【分析】利用已知条件，表示出向量AM ,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，可得12.33AM AB AC =+ 则AB AM ⋅=12()33AB AB AC ⋅+=212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．7．（2020届河北省唐山市高三第二次模考数学试题）已知向量a ，b 满足1a =，()()3a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角的最大值为A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【分析】设a 与b 夹角为θ，0,180θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦，由()()3a b a b -⊥-，可得()()30a b a b -⋅-=，整理可得cos 443b bθ=+，根据均值不等式和余弦函数图象，即可求得a 与b 的夹角的最大值.【详解】设a 与b 夹角为θ，[]0,θπ∈()()3a b a b -⊥- ∴()()30a b a b -⋅-=整理可得：()()22403aa b b-⋅+=，即22403a a b b -⋅+=1a =，代入22403a a b b -⋅+=可得2340a b b -⋅+=可得：24cos 30a b b θ-+=，即24cos 03b b θ-+=整理可得：3cos 24424343b b bbθ=+≥⨯=当且仅当344b b=，即3b =取等号故3cos θ≥，结合[]0,θπ∈，根据余弦函数图象可知θ最大值：6π 故选：A. 【点睛】本题主要考查了求两个向量夹角最值问题，解题关键是掌握向量数量积公式和根据均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．（四川省德阳市2020届高三高考数学三诊试题）设向量()2,1a =-，(),3a b m +=-，()3,1c =，若()a b c +⊥，设a 、b 的夹角为θ，则cos θ=A ．35B ．35C 5D ．25【答案】D 【解析】【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m 的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．【详解】(,3)a b m +=-，(3,1)c =，()a b c +⊥，330m ∴-=，可得1m =，可得(1,3)a b +=-，(2,1)a =-，∴(3,4)b =-，∴6410a b =--=-，可得||5a =，||5b =， ∴设a 、b 的夹角为θ，则25cos ||||55a b a b θ===⨯．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．9．（安徽省安庆七中2020届高三下学期高考模拟冲刺卷(一)数学试题）已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________【答案】1 【解析】【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值，再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45︒，1,2a b ==，()2222a b a b a b -=+-⋅222cos 45a b a b ︒=+-⋅ 21221212=+-⨯=，可得1a b -=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 10．（甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期期末考试数学试题）已知向量(1,2)a =，(2,1)b =，(1,)c n =，若(23)a b c -⊥，则n =_____【答案】4 【解析】【分析】算出23a b -的坐标，再利用数量积的坐标形式可计算n 的值. 【详解】23(4,1)a b -=-；∵()23a b c -⊥；∴()230a b c -=；∴4n =．故答案为4．【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a a a = ；（2）计算角，cos ,a b a b a b⋅=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=11．（安徽省宣城市郎溪县2020届高三下学期仿真模拟考试(最后一卷)数学试题）已知向量(4,3),(2,1)a b ==-，如果向量a b λ+与b 垂直，则2a b λ-的值为____．【答案】55【解析】【分析】由向量(4,3),(2,1)a b ==-，知(42,3)a b λλλ+=-+，由向量a λb +与b 垂直，解得1λ=，故2(10,5)a b λ-=，由此能求出2a b λ-.【详解】(4,3)(2,1)(42,3)a b λλλλ+=+-=-+，()a b b λ+⊥，∴（4-2λ，3+λ）⋅（-2，1)=0，解得λ=1，2(8,6)(2,1)(10,5)a b λ-=--=，2a b λ-=2210555+=【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，根据向量垂直求参数，向量的模，属于简单题目.12．（内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学试题）已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60，则()-a a b ⋅ 等于_____．【答案】3【解析】 21()||42132a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯= 13．（2020届广西梧州市蒙山县蒙山中学高三上学期第一次测试数学）已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =________. 【答案】5 【解析】【分析】本题首先可以根据(2,1)a =得出25a =，然后根据52a b +=得出250a b +=，最后通过化简即可得出结果.【详解】因为(2,1)a =，所以25a =，因为52a b +=，所以222250a b a b a b +=++⋅=，即252050b ++=，5b =.【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若(,)a x y =，则222x a y =+，考查计算能力，是简单题. 14．（山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷（七））已知非零向量a ，b 满足|2|7||a b a +=，(2)a a b ⊥-，则向量a ，b 的夹角为______. 【答案】3π 【解析】【分析】根据向量垂直数量积的关系可得2||2a ab ⋅=，再将|2|7||a b a +=平方可得||||a b =，根据数量积即可求夹角.【详解】∵(2)a a b ⊥-，∴2||20a a b -⋅=，∴2||2a a b ⋅=. ∵|2|7||a b a +=，∴222||44||7||a a b b a +⋅+=， ∴||||a b =，∴1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅， [],0,,3a b a b ππ∈∴=. 故答案为：3π 【点睛】本题考查了由向量数量积求向量的夹角、转化法求向量的数量积，考查了基本运算能力，属于基础题. 15．（2020届山西省太原市第五中学高三第二次模拟（6月）数学试题）已知向量非零向量a 、b 的夹角为23π，且满足2a =，3b =，则2a b +=______. 【答案】27【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式和模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，向量非零向量a 、b 的夹角为23π，且满足2a =，3b =，则22222222+4+444423cos43283a b a a b b a a b b π+=⋅+=⋅+=+⨯⨯+⨯=，所以227a b +=. 故答案为：7【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．（陕西省商洛市洛南中学2020届高三下学期第十次模拟数学试题）已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，AP AB AC =-，O 为坐标原点，则AP =______，OP 与OA 夹角的取值范围是______．【答案】1 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由题意结合平面向量的相关知识可得1AP AB AC CB =-==，即可得点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解.【详解】由题意可得()1,0AB AC CB -==-，所以1AP AB AC CB =-==；则点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，如图：由图可知，当OP 与OA 夹角最小值为0，当直线OP 与圆A 相切时，OP 与OA 夹角取最大值，连接AP ，易得POA ∠为锐角且1sin 2AP POA OA ∠==，所以6POA π∠=，所以此时OP 与OA 夹角的取值范围是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1；06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及其坐标表示、平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题.。

专题7 平面向量--2020届高三理科数学3年高考真题分类汇编含解析答案

专题7平面向量1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．。

2020年高考平面向量试题汇编

第五章平面向量一平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．【2020年湖北卷理5文8】．已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC =0．若存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立，则m=BA ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由MA +MB +MC =0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM =31AD =32·21（AB +AC ）=31（AB +AC ），所以有AB +AC =m AM ，故m=3，选B ．【2020年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ．若CB =a ，CA =b ，| a |=1，| b |=1，则CD =BA ．31a +32bB ．32a +31bC ．53a +54bD ．54a +53b【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得CBCADB AD=2，所以D 为AB 的三等分点，且=32=32（―），所以=+=32+31=32a +31b ．【2020年陕西卷理11文12】．已知向量a=（2，―1），b=（―1，m ），c=（―1，2），若（a+b ）∥c，则m= ．【答案】―1【解析】∵a+b =（1，m ―1），c =（―1，2），∴由（a+b ）∥c得1×2―（―1）×（m ―1）=0，所以m=―1．【2020年高考上海市理科13】．如图所示，直线x=2与双曲线Г：42x ―y 2=1的渐近线交于E 1，E 2两点，记1OE =e 1，2OE =e 2，任取双曲线上的点P ，若OP =a e 1+b e 2（a ，b∈R），则a 、b 满足的一个等式是．4ab=1【答案】4ab=1【2020年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（5，0），e 1=（2，1），e 2=（2，―1）分别是两条渐近线的方向向量。

2020年高考数学真题汇编12 平面向量文(解析版)

2020高考试题分类汇编：12：平面向量一、选择题1.【2020高考全国文9】ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r【答案】D【解析】如图，在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 2.【2020高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A 5 （B 10（C ）5（D ）10 【答案】B【解析】因为⊥，所以有02=-x ，解得2=x ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+10=+b a ，选B.3.【2020高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．4.【2020高考四川文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是（）A 、||||a b =r r且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r【答案】Ｄ【解析】A.可以推得||||a ba b =r rr r ==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.5.【2020高考陕西文7】设向量a r =（1.cos θ）与b r=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】02cos 0cos 212=⇔=+-⇔⊥θθ，故选C.6.【2020高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(学生版)

《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。

2020高考数学专题复习《平面向量测试题》(含答案)

13 7 10 13 2 2 2 必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（5 分×12=60 分）:1. 以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2. 下列四式不能化简为AD 的是（）A. A C BB. ADBCMC. M A BM D ． O OA C3．已知a =（3，4）， b =（5，12）， a 与b 则夹角的余弦为（）A ． 63B ．6565 C ．13 D ．54. 已知 a 、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a + 3b | =（）A ．B ．C ．D ．4−→→−→→−→5. 已知 ABCDEF 是正六边形，且 AB ＝ a ， AE ＝ b ，则 BC ＝（）→ → → → → → → →（A ） 1 (a - b ) （B ） 1 (b - a ) （C ） a ＋ 1 b （D ） 1 (a + b )2222→→−→→→−→→→−→→→6. 设 a ， b 为不共线向量， AB ＝ a +2 b , BC ＝－4 a － b , CD ＝－5 a －3 b ,则下列关系式中正确的是（）−→−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→（A ） AD ＝ BC （B ） AD ＝2 BC （C ） AD ＝－ BC （D ） AD ＝－2 BC→→→→→→7. 设e 1 与e 2 是不共线的非零向量，且 k e 1 ＋ e 2 与e 1 ＋k e 2 共线，则 k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） ± 1 （D ）任意不为零的实数−→−→−→−→8. 在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ，且 AC · BD ＝0，则四边形 ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形−→−→9. 已知 M （－2，7）、N （10，－2），点 P 是线段 MN 上的点，且 PN ＝－2 PM ，则 P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）→→ → → → →10．已知 a ＝（1，2）， b ＝（－2，3），且 k a + b 与 a －k b 垂直，则 k ＝（）（A ） - 1 ± （B ） ± 1（C ） ± 3 （D ） 3 ± r r11、若平面向量a = (1, x ) 和b = (2x + 3, - x ) 互相平行，其中 x ∈ R .则 a - b = （）2A. -2 或 0；B. 2 ；C. 2 或 2 ；D. 2 或10 .12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 ⋅22a = 0 ②a ⋅b =b ⋅a ③a =a ④(a ⋅b)c =a(b ⋅c )⑤a ⋅b ≤a ⋅b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二.填空题(5分×5=25分):13．若AB = (3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a = (3, -4), b = (2, 3) ，则2 | a | -3a ⋅b =．15、已知向量a = 3,b = (1,2) ，且a ⊥b ，则a 的坐标是。

三年高考(2020)高考数学试题分项版解析专题12 平面向量文(含解析)

专题12 平面向量文考纲解读明方向分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.数量积的定义(1)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②了解平面向量的数量积与向量投影的关系;③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题理解选择题填空题★★★2.平面向量的长度问题掌握选择题填空题★★★3.平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用掌握选择题填空题★★★分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2020年高考全景展示1．【2020年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2020年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2020年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.4．【2020年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2020年高考全景展示1.【2020北京，文7】设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=r r ，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r r r r T ，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2.【2020课标II ，文4】设非零向量a ，b满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=r r，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R r r r r r r ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>r r r r r r r r r r3.【2020浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOBu u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C 【解析】试题分析：因为90AOB COD ∠=∠>o，所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<<u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ选C ．【考点】平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>o ，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求OC OA <，OD OB <，进而解得213I I I <<． 4.【2020山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.5.【2020北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅u u u r u u u r的最大值为_________．【答案】6 【解析】试题分析：||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值是6. 【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO u u u r 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若AO AP⋅u u u r u u u r最大，即向量AP u u u v在AO u u u r方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点P 在圆与x 轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果236⨯=.6.【2020课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=r r，且a b ⊥r r ，则m = .【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=r r，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R r r r r r r ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>r rr rr r r r r r7.【2020浙江，14】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，25 【解析】【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量,a b r r 的夹角θ，结合模长公式，解得54cos 54cos a b a b θθ++-=+-r r r r转化能力和最值处理能力有一定的要求．8.【2020天津，文14】在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2.若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为 .【答案】 311【解析】【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC u u u r u u u r，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.9.【2020课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7 【解析】试题分析：由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．10.【2020江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=. 【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 11.【2020江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=r r，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R r r r r r r ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>r r r r r r r r r r2020年高考全景展示1.[2020高考新课标Ⅲ文数]已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则ABC ∠=（） (A)300(B) 450(C) 600(D)1200【答案】A 【解析】考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a r 与b r 的数量积为·cos a b a b θr r r r＝，其中θ是a r 与b r 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·r r r ，·cos a ba bθ=r rr r ， ·0a b a b ⇔⊥r r r r ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．2.【2020高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（）（A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．3.【2020高考四川文科】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r，则2BM uuu r 的最大值是( )(A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+【答案】B 【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===u u u r u u u r u u u r，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()(2221334x y BM +++=u u u u r ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．4.【2020高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.【答案】6- 【解析】考点：平面向量的坐标运算，平行向量.【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. 5.【2020高考北京文数】已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30o 【解析】试题分析：两向量夹角为603030.-=o o o233cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅⋅r rr r r r ，且两个向量夹角范围是[]0,π，所以夹角为30o ，故填：30o . 考点：平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 6.【2020高考新课标1文数】设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 【答案】23- 【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b 考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .7.【2020高考浙江文数】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______． 7 【解析】考点：平面向量的数量积和模.【思路点睛】先设a r ，b r 和e r的坐标，再将转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得a e b e ⋅+⋅r r r r的最大值．8.【2020高考山东文数】已知向量1,-()()16,-4a b ==r r，．若()a tab ⊥+r r r ，则实数t 的值为________．【答案】5- 【解析】试题分析：()()()()6,4,6,41,12100ta b t t ta b a t t t +=+--+⋅=+--⋅-=+=r r r r r，解得5t =-考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()a ta b⊥+r r r出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.。

2020年全国各地高考数学试题分类汇编—平面向量、不等式、算法初步(含答案)

C．（﹣2，4）
D．（﹣4，6）
•＝
，它的几何意义是 AB 的长度与在向量的投
影的乘积，显然，P 在 C 处时，取得最大值，
，可
得•＝
＝2×3＝6，最大值为 6，
在 F 处取得最小值， • ＝
＝﹣2×
值为﹣2， P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，
所以 • 的取值范围是（﹣2，6）．故选：A．
则＝
＝
D． +2
＝
＝2
．
故选：C．
2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为 60°，则在下列向量中，与垂直的是（）
A．
B．2 +
C． ﹣2
D．2 ﹣
【解答】解：单位向量| |＝| |＝1， • ＝1×1×cos60°＝，
对于 A，（ +2 ）＝ • +2 ＝ +2＝，所以（ +2 ）与不垂直；
3 + ，向量，的夹角为 θ，则 cos2θ 的最小值是
．
18．（2020•江苏）在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D 在边 BC 上，延长 AD
到 P，使得 AP＝9．若＝m +（ ﹣m）（m 为常数），则 CD 的长度是
．
19．（2020•上海）三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则
，若 M，N 是线段 BC 上的动点，且| |＝1，则
• 的最小值为
．
12．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向
量，满足|
|＝1，且| ﹣ |∈{1，2}（其中 i＝1，2，j＝1，2，…，k），则 k 的最

2020年高考山东版高考理科数学 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

专题五平面向量【真题典例】5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示挖命题【考情探究】分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算,并能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018陕西西安中学11月月考,5)给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确命题的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.②④答案B2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a∥bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a=-b答案B3.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )A. B. C.1 D.答案A考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2017河北衡水中学三调考试,6)在△ABC中,=,若P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为( )A.-4B.-1C.1D.4答案B2.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ=.答案3.(2018吉林长春期中,15)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则= .答案 2炼技法【方法集训】方法1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )A.-2B.-C.-D.答案A2.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记=a,=b,则=( )A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b答案A方法2 向量共线问题的解决方法1.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m 的值为( )A. B. C. D.答案D2.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C 三点共线,则+的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案C3.(2018四川德阳三校联考,11)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,I是△ABC的内心,若=m+n(m,n∈R),则=( )A. B. C.2 D.答案B4.(2018中原名校联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则= .答案 4方法3 平面向量的坐标运算技巧1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos 2α=()A. B.- C. D.-答案C2.(2018重庆一中月考,10)给定两个单位向量,,且·=-,点C在以O点为圆心的圆弧AB上运动,=x+y,则x-y的最小值为( )A.-B.-1C.-2D.0答案B3.(2017福建四地六校4月联考,13)已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且=(+-),则||等于.答案2过专题【五年高考】A组山东省卷、课标卷题组考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.-B.-C.+D.+答案A2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-答案A3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为. 答案90°考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.8答案D2.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案3.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案B组其他自主命题省(区、市)卷题组考点一平面向量的概念及线性运算(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .答案;-考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案B2.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B3.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-34.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.答案5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴--解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.评析本题考查了向量线性坐标运算,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化与化归的思想.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届山东淄博实验中学第一次诊断,9)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5答案B2.(2019届山东青岛高三初期调研,6)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=( )A.-2B.2C.-3D.3答案C3.(2019届山东博兴一中10月质检,9)如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量,表示为( )A.+B.-C.+D.-答案B4.(2018江西师大附中12月模拟,10)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=( )A. B. C. D.答案D5.(2018河北衡水中学2月调研,5)直线l与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=()A.-B.1C.D.-3答案A6.(2017河北冀州模拟,7)已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=( )A.-B.-C.D.答案B二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018河北衡水中学9月大联考,13)已知向量a=,b=(k,1),若a∥b,则k= .答案 18.(2018河北石家庄重点中学12月联考,14)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=λ+μ,则λμ=.答案9.(2017山西大学附中模拟,15)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC 的中点,点P在以A为圆心,AD长为半径的圆弧DE上运动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是.答案[-1,1]三、解答题(共10分)10.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C 三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,x∈(0,π),且函数f(x)=·+-·||的最小值为,求实数m的值.解析(1)证明:∵=+,备战2020高考∴-=(-),∴=,又∵,有公共点B,∴A,B,C三点共线.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,O(0,0),∴·=1+sin x+sin2x,=(sin x,0).又x∈(0,π),∴||=sin x,∴f(x)=·+-·||=sin2x+2msin x+1.设t=sin x,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不符合题意;②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,y min=1-m2=,∴m=-舍去;③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,y min=2+2m=,∴m=-,此时m>-1,不符合题意.综上可知,m=-.。

2020届全国各地高考试题分类汇编10 平面向量

AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是
(1,
3)
，
结合向量数量积的定义式，可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，
所以
AP
AB
的取值范围是
(2,
6)
，
故选：A.
7.（2020•天津卷）如图，在四边形 ABCD 中， B 60, AB 3 ， BC 6 ，且
3 2
m
，即
1
3 2
，
∵ AP 9 ，∴ AD 3 ，∵ AB 4 , AC 3 , BAC 90 ，∴ BC 5 ，
设 CD x ， CDA ，则 BD 5 x ， BDA .
∴根据余弦定理可得 cos AD2 CD2 AC 2 x ，
2AD CD
6
cos
x, 0
，则
N
x
1,
0
（其中
0
x
5
），
DM
x
5
,
3
3
，
DN
x
3
,
3
3 ，
2 2
2 2
DM
DN
x
5 2
x
3 2
33 2
2
x
2
4x
21 2
x
22
13 2
，
所以，当
x
2
时，
DM
DN
取得最小值
13 2
.故答案为：
1 6
；
13 2
.
8.（2020•浙江卷）设 e1 ， e2 为单位向量，满足 | 2e1 e2 |
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