数据的整理与初步处理知识点及章末重难点题型

数据的整理与初步处理章末重难点题型【考点1 平均数的计算】【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.【例1】（2019春•琼中县期末）如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（）A．22 B．11 C．8 D．5【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．【答案】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5解得：x＝11，故选：B．【点睛】考查算术平均数的计算方法，利用方程求解，熟记计算公式是解决问题的前提，是比较基础的题目．【变式1-1】（2019•邵阳县模拟）如果两组数据x1，x2、……x n；y1，y2……y n的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2x n+y n的平均数是（）A．2B．2C．2+D．【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．【答案】解：由已知，（x1+x2+…+x n）＝n，（y1+y2+…+y n）＝n，新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2x n+y n的平均数为（2x1+y1，2x2+y2……2x n+y n）÷n＝[2（x1+x2+…+x n）+（y1+y2+…+y n）]÷n＝（）÷n＝2+故选：C．【点睛】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．【变式1-2】（2019春•永春县期中）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（）A．4 B．5 C．6 D．10【分析】根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．【答案】解：依题意得：a1+5+a2﹣5+a3+5+a4﹣5+a5+5＝a1+a2+a3+a4+a5+5＝30，所以平均数为6．故选：C．【点睛】本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想，解题的关键是了解算术平均数的定义，难度不大．【变式1-3】（2018春•南宁期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（）A．a+b B．C．D．【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．【答案】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为．故选：D．【点睛】正确理解算术平均数的概念是解题的关键．【考点2 加权平均数的计算】【方法点拨】在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。

而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.【例2】（2019•恩施州）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（）A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．【答案】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．故选：A．【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键．【变式2-1】（2019春•红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：月用水量/m3 4 5 6 8 9户数 2 3 3 1 1 这10户家庭的月平均用水量是（）A．2m3B．3.2m3C．5.8m3D．6.4m3【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．【答案】解：这10户家庭的月平均用水量（4×2+5×3+6×3+8×1+9×1）＝5.8（m3），故选：C．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式计算是解题的关键．【变式2-2】（2019春•门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（）应聘者面试笔试平均成绩听说译写甲97 90 94 87 92乙85 94 97 92 92A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0【分析】因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重．【答案】解：因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重，故选：C．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式是解题的关键．【变式2-3】（2019秋•河西区期末）某城市2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩＝笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是88分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）A．4.8分B．6分C．9分D．12分【分析】设未知数，根据加权平均数的计算方法分别表示各自的最后总分，让总分相等，求出两个面试成绩的差即可．【答案】解：设小红的姐姐和对手的面试成绩分布为y1、y2，由题意得：82×60%+y1×40%＝88×60%+y2×40%y1﹣y2＝（88×60%﹣82×60%）÷40%＝9，故选：C．【点睛】考查加权平均数的计算方法，权重的不同会对结果造成很大的影响．【考点3 中位数和众数的认识】【方法点拨】中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数.【例3】（2019春•开福区校级月考）某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）人数 2 5 13 10 7 3 成绩（分）50 60 70 80 90 100A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【答案】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，∴全班40名同学的成绩的中位数是：＝75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A．【点睛】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．【变式3-1】（2019春•永嘉县月考）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（）A．30元，30元B．30元，50元C．50元，50元D．50元，80元【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断．【答案】解：∵购买课外书花费30元的有12人，人数最多，∴众数是30元；把这些数从小到大排列，最中间的数是20和21个数的平均数，则中位数是＝50元；故选：B．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【变式3-2】（2019•深圳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（）A．3 B．4 C．6 D．7【分析】根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．【答案】解：一组数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，将一组数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．故选：B．【点睛】考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解众数、中位数的意义是正确解答的前提．【变式3-3】（2019春•庐阳区期末）某篮球队10名队员的年龄结构如表：年龄/岁19 20 21 22 24 26人数 1 1 x y 2 1 已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（）A．21 岁B．22 岁C．23 岁D．24 岁【分析】先根据数据的总个数及中位数定义得出x＝3、y＝2，再利用众数的定义求解可得．【答案】解：∵共有10个数据，∴x+y＝5，又该队队员年龄的中位数为21.5，即＝21.5，∴x＝3、y＝2，则这组数据的众数为21，故选：A．【点睛】本题主要考查中位数、众数，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．【考点4 平均数和中位数结合】【例4】（2019•眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（）A．6 B．6.5 C．7 D．8【分析】直接利用已知求出x的值，再利用中位数求法得出答案．【答案】解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7，∴x＝7×7﹣（5+6+6+7+8+9）＝8，∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9则最中间为7，即这组数据的中位数是7．故选：C．【点睛】此题主要考查了中位数，正确得出x的值是解题关键．【变式4-1】（2019•株洲）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．【答案】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）；当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2；当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）；当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）．所以x的值为2．故选：A．【点睛】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．【变式4-2】（2018•武昌区校级模拟）某中学篮球队16名队员的年龄如表：年龄（岁）13 14 x16人数 2 6 5 3若这16名队员年龄的中位数是14.5，则16名队员年龄的平均数是（精确到0.1）（）A．14.5 B．14.6 C．14 D．14.7【分析】根据中位数的意义和求法，可以推断第9个数据是15，然后根据平均数的求法计算出结果，做出判断．【答案】解：16名队员的中位数是排序后的第8个和第9个数的平均数，而第8个数是14岁，中位数是14.5，因此第9个数一定是15，表格中的x是15，＝≈14.6故选：B．【点睛】考查中位数、平均数的意义和求法，掌握方法和准确计算是解决问题的前提．【变式4-3】（2018•正阳县二模）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（）A．4.8 B．4.8或5C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5【分析】根据1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数知x＝4或x＝5或x＝6，在根据平均数的定义分别计算可得．【答案】解：∵在1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数，∴x＝4或x＝5或x＝6，当x＝4时，平均数为＝4.6；当x＝5时，平均数为＝4.8；当x＝6时，平均数为＝5；故选：D．【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值．【考点5 方差的计算】【方法点拨】计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。