信号与系统——泛函分析初步

定义（距离空间/ 度量空间，Metric space）：设是非空集
合，如果中定义了实值映射 （R+为含0的正实数），对，满 足以下三条公理：
ⅰ），且 （正定性）
ⅱ）
（可交换性）
ⅲ）
（三角不等式）
则称为上的距离（distance），或叫度量（metric）；而
称为距离空间，也叫度量空间。
注意1：是非空集合，它不一定是线性空间。
ⅰ），且 （正定性）
ⅱ）
（正齐性）
ⅲ）
（三角不等式）
则称为的范数（Norm）；定义了范数的线性空间称为赋范线性空
间，记为：。可见，是到数域的映射，记作：
注1：赋范空间与距离空间的差别在于第二条公理，这是显然的，
因为前者是空间上一个元素“大小”的度量，后者是空间上两个元素之
间“差距”的度量。
注2：由赋范空间可以导出度量空间，反之不一定。说明如下：
（2-4）
例2：离散时间序列空间l，其中的向量是无穷维向量
，p次方可和
（2-5）
，称为的p范数。
（2-6）
特别地，定义无穷范数： （上确界，supremum）
（2-7）
例3：连续时间信号空间，无穷维。 对于，若，可定义
，p次方可积
，称为的p范数。 特别地，定义无穷范数：
，上确界
离散序列空间的Minkovski不等式： 设，则：
注1：加法封闭 + 数乘封闭 ，则。
关于线性空间，简而言之，规定了非空集合在数域上的线性运
算“+”和“·”，则、、+、·一起称为一个线性空间，也称作向量空
间（vector space），记作（；；+，·），并把中的元称为向量。 注2：在（；；+，·）中，利用负元，可定义减法为 。 线性空间举例： 1）若，则为实线性空间；若，则为复线性空间。 2）（定义在区间上所有连续函数的全体）是线性空间。 （斜体的C代表复数域） 3）为由张成（生成）的线性空间。 所生成的线性空间中的元是的线性组合。 4）定义在区间上的实函数的全体，按函数的加法及数乘，构成实数
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
即中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍是中的数，则称为一
个数域。
例如，集合都是数域，而整数的全体则不是数域。
定义（线性空间，Linear space）：
设（为非空集合，符号代表空集），满足下列两个条件：
第一，中的元对“+”构成交换群，即，有：
ⅰ）
（加法封闭性）
ⅱ） （结合律）
ⅲ），使
（存在唯一零元）
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
中。
例1： 是上的Cauchy列，W =(0,1]，可定义 但是，序列收敛于0 W，即该序列不是W =(0,1]上的收敛序
列。 例2：有理数集Q中由的近似值组成的点列是Cauchy列，它在Q中不
收敛。 例3：不是Cauchy列。
定义（完备度量空间，Complete metric space）：
是完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛（在W上）。
（2-1）
推论：零状态线性系统系统算子为线性算子。详见后续章节 叙述。
§2.2 线性子空间 定义（线性子空间，Linear subspace）：
设，即是的非空子集，如果对数域上的线性运算封闭，则也构成上 的线性空间，称为的一个线性子空间，下面简称子空间。
即，是的线性子空间对，有。 在（；；+，·）中，单个零向量构成的子集和集合本身，都是的 线性子空间，称为平凡子空间（trivial subspace）。
域上的线性空间。 5）定义在区间上黎曼可积的实函数的全体，按函数的加法及数乘，
构成实数域上的线性空间。 6）每个数域，按数的加法与乘法，构成在自身上的线性空间。 7）若阶矩阵的元素属于数域，则按矩阵的加法及数与矩阵的乘法，
构成上的一个线性空间。
定义（线性算子，Linear operator）：线性空间上的算子L为 线性算子
ⅳ），使 （存在唯一逆元/负元）
ⅴ）
（交换律）
（满足前2条，构成半群；满足前4条，构成群；满足5条，构成加
法交换群，又称为Abel加群，简称Abel群。）
第二，(数域)，对数乘（scalar multiplication）封闭，即有：
ⅵ）
ⅶ）
ⅷ）
ⅸ）
（存在元）
则称是数域上的线性空间。
加法和数乘统称为集合在数域上的线性运算（linear operation）。
（2-23）
则为线性算子。换言之，可加的、齐次的算子称为线性算 子。
定义（线性泛函，Linear functional）：线性算子的值域为实 ／复数集。
注：1）距离、范数是泛函，但非线性泛函； 2）连续线性算子：
图2-2 连续线性泛函的映射作用 3）对线性算子：有界连续；
定义（有界线性算子，Bounded linear operator）： 设X、Y均为赋范线性空间，算子T：XY， M > 0，
（2-13）
注意，当时，Hölder不等式化为Cauchy-Schwarz不等式。 Banach空间包含定理：若 ，则
（2-14）
即：高次方可积的连续函数必低次方可积。
证明：当p=q=2时，定理显然成立。 当时，构造，即，
对，依Hölder不等式有
即： 即： 因此，，即。
§2.5 Hilbert空间
几点说明：
第一，极限运算在完备时可操作，不完备则不能求极限。
第二，度量空间（W, ρ）不要求W是线性空间。
第三，如何完备化，一般的方法是扩充集合（空间）。
§2.4 巴拿赫（Banach）空间 1. 赋范线性空间：
定义（赋范线性空间，Normed linear space）：设是线性空
间，若对，满足三条公理：
对，有
按收敛是连续函数列在区间上的一致收敛；按收敛为积分平均收 敛。且有：。
（3）欧氏空间（定义了线性运算和内积的n维实空间，亦记为）上
亦可定义的几种不同距离：
依收敛是按坐标收敛；依收敛是按平均收敛。且有：。
在一个给定的集合上可定义出多种不同的距离，与构成不同的度量
空间。例如，可与上述三种距离构成度量空间。
第二章：泛函分析初步
(Fundamentals on functional)
《现代应用数学手册——现代应用分析卷》，《现代应用数学手册》编委会，清华出版社 《数学分析》（第二卷第4版），B.A.卓里奇著，蒋铎等译，高教出版社
§2.1 线性空间
定义（数域，Number field）：
设是某些复数构成的集合，包括0元和1元。如果对四则运算封闭，
ⅰ），且 （自内积正定性）
ⅱ）
（共轭交换性）
ⅲ）
（齐次性）
ⅳ）
（加法分配性）
则称为与的内积。
定义（内积空间，Inner product space）：定义了内积的空间 为内积空间。
注：1.。 2.（实/复数域），是集合到数域的映射；若为数的集合， 则其实就是通常意义的二元函数。
3. ⅲ）和ⅳ）可合并：。
等号成立条件为：。 连续函数空间的Minkovski不等式：
（2-8） （2-9） （2-10）
（2-11）
定理（空间包含定理）：低次方可和的离散序列必高次方可 和，即
（2-12）
其中。 证明：，因为 所以，，使得当n>N时，恒有： 因而， 因而，， 所以：。 亦即：低次方可和是高次方可和的子集。 证毕。
在中，可定义：，即。
在中，若，可定义，即与0之间的距离。因此，由距离空间可以导
出赋范空间，即。
若在中不满足，则不能导出赋范空间。例如，
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范数举例：（长度概念的推广——广义长度）
例1：对于，，n维实空间
，称为的p范数。
（2-2）
特别地，当p=2时，
（2-3）
为2范数，称为欧氏范数。 无穷范数不在（2-2）之列，另行定义为：
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
测函数，则在Ω上Lebesgue可积（）的所有函数构成的集合
称为勒贝格函数空间，记为。并称
为的p范数（p-norm）。 定义（完备性）：设Ω为任意可测集，是上的函数序列，满 足，即存在，使得，这种情况称为的完备性，亦称勒贝格函 数空间具有完备性。
================================================================= Hölder不等式：若，则
例如，在电信领域，通常考虑能量有限信号，能量有限信号的全体 构成一个内积空间，其内积为，而且这个内积空间是一个Hilbert空间。
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
定义（收敛，Convergence）：度量空间中的点列收敛于上
的点 的极限点是W
当 趋于W上的点x0 W 例如：（1）在一维实数/复数域R/C上，可定义的距离
（2）连续时间函数空间上可定义不同的距离：
（2-20）
证明：
取，有：
说明：1) 在Hölder不等式中，取，就成为Cauchy-Schwarz不等式。 2) 在空间中，有Cauchy-Schwarz不等式：
（2-21）
3) 在空间中，有Cauchy-Schwarz不等式：
（2-22）
3. 线性泛函： 定义（算子，Operator）：为线性空间，算子T定义为
定义（强收敛，Strong convergence）：在中，收敛于， 指：，称为依范数收敛（Convergence in Norm），也称为强
收敛。
定义（弱收敛，Weak
convergence，如第一章的广义极
限）：依泛函收敛。
注意：强收敛弱收敛。
2. Banach空间：
定义（Banach空间，Banach space）：完备的称为Banach空
内积的例子：
，，
（2-15）
（约定了内积的n维复线性空间，又称为酉空间，unitary space），
（2-16）
H表示共轭转置。 ，连续函数空间
（2-17）
n维平方可积复连续函数空间
（2-18）
，则
（2-19）
2. Hilbert空间： 若定义欧氏范数，则内积(线性)空间亦为赋范线性空间。 定义（Hilbert空间）：依内积导出的欧氏范数完备的内积空 间称为Hilbert空间。亦即，若内积空间作为导出范数下的一 个赋范线性空间是完备的，则称之为Hilbert空间。 重要性：由定义可见，Hilbert空间是一类特殊的（即范数是 由内积导出的）Banach空间，这类空间是物理学中常见的物 理空间的抽象。
间。
此处所谓完备，指作为关于欧氏距离的度量空间是完备的。
例1： 例2：上若取范数，可证明其所生成的欧氏距离空间是完备 的，因此它是Banach空间。 例3：，是满足p次方Riemann可积的连续函数空间，但不完 备，因此不是Banach空间。 例4：空间，是满足p次方Lebesgue可积的连续函数空间，且 可证明其所生成的欧氏距离空间是完备的，因此它是Banach 空间。 ================================================================= 定义（勒贝格函数空间，）：设Ω为任意可测集，是Ω上可
一般地，由集合上的距离，可导出上的另一个距离：
定理：在中，每个收敛点列有唯一的极限点。
证明：设，
对
当n max {n1, n2}时，有 即。
证毕。
定义（柯西序列Cauchy Sequence）：设是中的点列，若对，
使，则称是中的柯西序列，也称基本列。
（所谓柯西序列，是趋于越来越靠近的序列。）
注：中任意收敛序列是柯西序列，但中的柯西序列未必收敛到