周练(三) 三角函数的图象与性质

周练(三) 三角函数的图象与性质
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
(时间：80分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分) 1．函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x ＋32π的周期是( )．
A ．2π
B ．π C.π
2
D ．π
4
解析 T ＝2π4＝π
2. 答案 C
2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2(x ∈R )是( )．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．无法确定 解析 ∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＝－sin x ，∴此函数为奇函数．
答案 A
3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( )． A ．2 B ．1
2 C ．4
D ．14
解析 由已知y ＝cos x 的图象经变换后得到y ＝cos 12x 的图象，所以ω＝1
2. 答案 B
4．函数y ＝－x sin x 的部分图象是( )．
解析 考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y ＝－x sin x 是偶函数，当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2时，y <0. 答案 C
5．在下列区间上函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4为增函数的是( )．
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－3π4，π4
C ．[－π，0]
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，3π4
解析 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π
4(k ∈Z )，当k ＝0时，－3π4≤x ≤π
4，故选B. 答案 B
6．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最
小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6，φ＝π
6 B ．T ＝6，φ＝π
3 C ．T ＝6π，φ＝π
6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
解析 将(0,1)点代入f (x )可得sin φ＝1
2. ∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2π
π 3
＝6.
答案 A
7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π
2，则( )．
A ．A ＝4
B ．ω＝1
C ．φ＝π6
D ．B ＝4
解析 由图象可知，A ＝2，14T ＝5π12－π6＝π
4，T ＝π， ω＝2.∵2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π
6，故选C. 答案 C
8．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3等于( )．
A ．3或0
B ．－3或0
C ．0
D ．－3或3
解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－x ，
∴f (x )关于直线x ＝π
3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3应取得最大值或最小值． 答案 D
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，
又在[－π，a ]上递增，∴[－π，a ]⊆[－π，0]，∴a ≤0. 又∵a >－π，∴－π<a ≤0. 答案 (－π，0]
10．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4的值域是________．
解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4上单调递增，
∴0≤tan x ≤1，即y ∈[0,1]． 答案 [0,1]
11．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在一个周期内当x ＝π
12时，有最大值2，当x ＝7π
12时有最小值－2，则ω＝________.
解析 由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π12－π12＝π.∴ω＝2πT ＝2.
答案 2
12．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14x －π6的初相是________，图象最高点的坐标是________．
解析 初相为－π6，当14x －π6＝π2＋2k π，即x ＝8π
3＋8k π(k ∈Z )时，函数取得最大值6. 答案 －π
6
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8π3＋8k π，6(k ∈Z ) 三、解答题(每小题10分，共40分)
13．用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3＋3的图象，并指出它的周期、频率、
相位、初相、最值及单调区间． 解 (1)列表：
x －π
3 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 4π3 11π6 7π3 y
3
5
3
1
3
(2)描点、作图(如图所示)．
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3＋3的图
象．
由图象知，周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝1
2π，
相位为x －π3，初相为－π
3
，最大值为5，最小值为1，
函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
5π6＋2k π，11π6＋2k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 14．求函数y ＝－2tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x ＋π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调
性．
解 由3x ＋π3≠π2＋k π，得x ≠π18＋k π3(k ∈Z )，∴函数y ＝－2tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x ＋π3的定义
域为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x ≠π18＋k π
3(k ∈Z ).它的值域为R ，周期为T ＝π
3，它既不是奇函数，
也不是偶函数．由－π2＋k π<3x ＋π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－5π18＋k π3<x <π18＋k π
3(k ∈Z )，所以函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π18＋k π3，π18＋k π3(k ∈Z )上单调递减． 15．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π4.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
解 (1)∵x ＝π
4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12×π4＋φ＝±1，∴π8＋φ＝k π±π2，k ∈Z ，
∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.
(2)由(1)知φ＝3π8，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋3π8.
由题意得：2k π－π2≤12x ＋38π≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 即4k π－74π≤x ≤4k π＋π
4，k ∈Z ，
∴函数的单调增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4，k ∈Z .
16．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)． (1)求f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
3，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移π
3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．
解 (1)由已知，易得A ＝2，T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13. 把(0,1)代入解析式y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3＋φ，得2sin φ＝1.
又|φ|<π2，解得φ＝π
6. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 3＋π6.
(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6，再平移得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6.
列表：
x π
6 2π3 7π6 5π3 13π6 x －π
6 0 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6
2
－2
图象如图：。