二元一次方程组--辅导讲义(学)
二元一次方程组--辅导讲义(学)
二元一次方程组--辅导讲义(学)二元一次方程组一、知识梳理知识点1.二元一次方程组的有关概念二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程。
二元一次方程的解集是适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，它是这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数多个解，由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。
两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
例1.方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值为（），有正整数解，则x的取值应为（）。
A、a≠1.B、a≠-1.C、a≠1.D、a≠2例2.若二元一次方程3x-2y<A正奇数。
B、正偶数。
C、正奇数或正偶数。
D、<0，则这个方程的解集是（）。
例3.已知二元一次方程组的解是,则a+b=（）。
练1.已知x,y满足方程组，则x-y的值为（）。
x+2y=42.请写出一个以x,y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为，这样的方程组可以是___________。
知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例1：解方程组：（1）3x+2y=5（2）2x-y=8 y-3x=1例2解方程组：x+4y=14 x-3y=31/2练：已知关于x,y的二元一次方程组，求x,y的值。
知识点3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，我们可以利用列方程组来解决。
二元一次方程组--讲义
学生辅导讲义时间：_________ 学生：_________ 教师：__________ 课题一元二次方程组—讲义教学目标1、了解一元二次方程组的概念及其定义。
2、探索并掌握一元二次方程组的解法及其应用。
3、培养学生的观察辨析能力，丰富学生的数学活动经验和体验，促进学生观察、分析归纳、总结等能力的发展。
重点1．探索并掌握一元二次方程解法的灵活性、多变性。
2．认识一元二次方程的概念并理解其性质难点1、一元二次方程的简单应用2、一元二次方程解法的灵活性、多变性。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧1、把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
/2、有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
3、如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination b y substitution)，简称代入法。
加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
二元一次方程组讲义doc
龙文教育学科教师辅导讲义课题第四章 二元二次方程组教学目标1、 进一步理解并掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念；2、 能选择运用适当的方法解二元一次方程组；3、 能够运用二元一次方程组解决一些简单实际问题的能力；4、 进一步感受现实世界中有关数量关系的数学模型。
重点、难点重点：（1） 熟练掌握运用消元法解二元一次方程；（2） 熟练掌握列二元一次方程组解应用题的方法。
难点：（3） 消元法的选择运用；培养学生合理、有序地分析问题的能力考点及考试要求教学内容一、知识瞭望：主要内容有： 1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；2、二元一次方程组的解法；复习内容的逻辑结构：注意方面：消元转化思想消元（ ）（ ）法5、 建模思想根据具体问题中的数量关系，建立数学模型。
列出方程（组），让学生体会方程立刻到现实世界1、 复习要点：1、 什么样的方程是二元一次方程：（1）2x-3y=5 (2) xy=3 (3) x+y=0(4) x2+x=1 (5) 3x-y=2z (6)(1/3)x+(1/2)y=12、 二元一次方程组与二元一次方程之间有何联系与区别，它的解有何特点？3、 为何解二元一次方程组？其基本思路是（消元）； 具体方法有：（代入法）和（加减法）。
2、 典型例题解析：例1、当a 为何值时方程组 3x-5y=2a 的解互为相反数 2x+7y=a-18同步训练：一）、填空1.在二元一次方程组x－2y=3中,当x=－1时,y=_________2.在2x-3y=5中,用x的代数式表示y,则y=___________3.一个两位数,十位数字为x,个位数字为y,则这个两位数为______________4.写一个解为的二元一次方程组:________________5.若(3x+y+6)2+| x+y+2|=0,则x=____________6.二元一次方程组的解是________________7.已知二元一次方程组,则x－y=____________8.已知19 9、方程组的解中，x、y的和等于2，则2m+1=____10、写出方程4x+y=10的自然数解 （ ）知识点训练知识点一：二元一次方程的概念1、指出下列方程那些是二元一次方程？并说明理由。
二元一次方程组的解法和应用一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
教学目标1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系；2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型；3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；4、会解二元一次方程组。
重点、难点理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。
考点及考试要求考点 1：列方程考点 2：解二元一次方程组教 学 内 容第一课时二元一次方程组的解法和应用知识梳理课前检测1、若代数式 6x-5 的值与- 1互为倒数,则 x 的值为() 4A.1 B.-1 C.7 D. 366822、解下列方程 （1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x)3、若关于 x 的方程：3x 3n -2+7=0 是一元一次方程,则 n= .4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98％， 今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 .5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元。
问这种商品的定价是多少？知识梳理1.二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3.二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．第二课时二元一次方程组的解法和应用典型例题⎨⎩ ⎩⎩例 1 若方程 x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7 是二元一次方程.求 m 2＋n 的值。
浙教版七年级下册 第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组 培优讲义(含解析)
第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义 【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组 例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解 例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是 －3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支． 根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组 【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零． 例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？ 解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解． 解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值． 解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3， 则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ， 即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2， 则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ， 得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。
二元一次方程组辅导班讲义全
乐杰数理化教师辅导讲义基础知识：1．二元一次方程含有个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
温馨提示：二元一次方程的的解有无数个，但在限定条件的情况下，它的解会变成有限个或一个.如求方程x+y=2的正整数解只有一个，即 .3．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的，叫作这个二元一次方程组的解。
4．二元一次方程组的解法有: 和 .⑴代入法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
规律点拨一般来说，用代入法解二元一次方程组的步骤如下：①求表示式：从方程组中选一个系数比较简单的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如 y 用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；②代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解一元一次方程：求出x的值；④回代得解：将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。
⑵加减法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
规律点拨用加减法解二元一次方程组的步骤如下：①变换系数：即把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；② 加减消元：即把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程； ③ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④ 回代得解：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
初中数学讲义--第10讲 二元一次方程组
全方位教学辅导教案学 科： 数学 任课教师： 授课时间： 2020 年 月 日 （星期 ） 【针对性训练】一、 课前检测1、下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．⎩⎨⎧=-=+232y x y x B ．⎩⎨⎧=+=31y x xy C ．⎩⎨⎧=+=523y x D ．⎩⎨⎧=-=+63832z x y x 2、方程ax －4y=x －1是二元一次方程，则a 的取值为（ ）A ． a≠0B ．a≠－1C ．a≠1D ．a≠23、下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程只有一个解B ．二元一次方程组有无数个解C ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解D ． ．三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成 4、一个二元一次方程的解集，是指这个方程的（ ）A ． 一个解B ．两个解C ．三个解D ．所有解组成的集合5、关于x 的方程()()()512422+=++++-m y m x m x m ，当m = 时，是一元一次方程；当m =时，它是二元一次方程． 6、若方程3y )2a (x1a =-+-是二元一次方程，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞2B ．a=2C ．a=﹣2D ．a ＜﹣2二、知识点讲解➢ 一、二元一次方程的概念含有两个未知数(一般设为x 、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．如x ＋y ＝24，y 32x =+都是二元一次方程． 二元一次方程的一般式：0ax by c ++=（a 、b 、c 均为系数，a≠0，b≠0） ➢ 二、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 注意：1. 二元一次方程的解是一对数值，如⎩⎨⎧==0y 2x 是二元一次方程x ＋y ＝2的解；2. 每个二元一次方程都有无数组解；3. 在二元一次方程的无数组解中，每组解的一对数值是一一对应的． ➢ 三、二元一次方程组的概念把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．例如，都是二元一次方程组．注意：如果两个一次方程合起来共有两个未知数，这样的方程组也是二元一次方程组．例如，也是二元一次方程组．➢ 四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意：1. 方程组的解是一对数值．2. 一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．3. 二元一次方程组的解满足方程组的每一个方程．4. 二元一次方程组解的讨论：⎩⎨⎧=++=++0222111c y b x a c y b x a （系数均不为0）①当2121b b a a ≠时，方程组有唯一一组解（可用加减消元法求解） ②当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解（两个方程是矛盾的） ③当212121c c b b a a ==时，方程组有无穷多个解（两个方程等效）三、题型训练【题型一】二元一次方程组的概念【例1】 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．3x －2y=4zB ．6xy+9=0C ．1x+4y=6 D ．4x=24y - 【例2】 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③1x+y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例3】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 【例4】 方程3x m ＋1－2y n ＋2＝4是二元一次方程，则m ＝____，n ＝____．变式练习1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）A ． ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+725y x y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+043512y x x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=y y x y x 343453D ．⎩⎨⎧=+=-yy x y x 123822、 若x 3m −3﹣2y n −1=5是二元一次方程，则m=_________，n=_________．3、 已知关于x 、y 的方程2x m −3+3y n −1=8是二元一次方程，则m+n 的值为 ．【题型二】二元一次方程组的解【例4】 若3270x y --=，则696y x --的值为 ．【例5】 二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y= ． 【例6】 若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2= ．【例7】 在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是 ． 【例8】 在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y=________，用y 表示x ，则x=__________． 【例9】 写出一个解为⎩⎨⎧-==13y x 的二元一次方程___________________．变式练习1、已知332=-y x ，则代数式596+-y x 的值为2、 对二元一次方程2(5－x)－3(y －2)=10，当x=0时，则y=__________；当y=0时，则x=__________．3、若ｘ、ｙ为非负数，则方程y x 512-=的解是（ ）A ． 无解B ．无数个解C ．唯一一个解D ．不能确定 4、二元一次方程7x+y=15有几组正整数解 ( )A ． 1组B ．2组C ．3组D ．4组 5、方程2x+y=5的正整数解是 ．． 6、 方程2x+y=9在正整数范围内的解有 ．7、对于任何a 值，关于x ，y 的方程ax+（a-1）y=a+1都有一个与a 无关的解，这个解是（ ）A.⎩⎨⎧-==12y x B ．⎩⎨⎧==12y x C ．⎩⎨⎧=-=12y x D ．⎩⎨⎧-=-=12y x8、4x+1=m (x －2)+n (x －5)，则m 、n 的值是（ ）A ． A . ⎩⎨⎧-=-=14n mB ．⎩⎨⎧==14n mC ．⎩⎨⎧-==37n nD ．⎩⎨⎧=-=37n m9、关于y x 、的方程3623-=+k y kx ，对于任何k 的值都有相同的解，试求它的解．【课堂检测】1．下列方程中，属于二元一次方程的是( )A ．3x-2y=5 B.x ²+y=1 C ．x-3=2x D.651=+y x2．已知关于x ，y 的方程81||56-++m n y x是二元一次方程，则m=____，n=____．3．下列方程组中，不是二元一次方程组的是________，①⎩⎨⎧=-=+;254,10y x y x ②⎩⎨⎧==;5,3y x ③⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;21,42y x y x ④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+;52,32y x y x4.下列三组数值：①⎩⎨⎧==;2,1y x ②⎩⎨⎧==;2,3y x ③⎩⎨⎧=-=;3,2y x 其中是方程2x-y=4的解的是( )A. ① B ．② C ．③ D.①③5．解为⎩⎨⎧==;2,1y x 的方程组是( )A.⎩⎨⎧=+=-;53,1y x y xB.⎩⎨⎧=--=-;53,1y x y xC.⎩⎨⎧=-=-;13,3y x y xD.⎩⎨⎧=+-=-;53,32y x y x 6．在①⎩⎨⎧==,0,0y x ②⎩⎨⎧=-=,1,2y x ③⎩⎨⎧==,2,2y x ④⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,1y x 这四对数值中，____是x-y=0的解，____是x+2y=0的解，因此______是方程组⎩⎨⎧=+=-,02,0y x y x 的解．7．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+37,24by x y ax 的解是⎩⎨⎧==,2,1y x 求(a+b)³的值．8．如果方程组⎩⎨⎧=+=+162,★y x y x 的解为⎩⎨⎧==■6y x ．那么被“★”“■”遮住的两个数分别是( )A.10，4B.4，10C.3，10D.10，39．已知⎩⎨⎧-=-=2,3y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+2,1by cx cy ax 的解，则a 、b 间的关系是( )A ．4b-9a=1B ．3a+2b=1C ．4b-9a= -1D ．9a+4b=110．请写出一个以x ，y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成，②方程组的解为⎩⎨⎧==,3,2y x这样的方程组可以是________________． 11. 若()22320x y x -++=，则xy的值是_________ ． 12．2x 与8y 的和的2倍是10，则可用方程表示为______________.13．算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推，《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图①，从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数x ，y 的系数，且根据此图可以列出方程：x+10y= 26.请你根据图②列出方程组：________.二、解答题20．已知两个二元一次方程：①3x -y=0, ②7x -2y=2.(1)对于给出x 的值,在下表中分别写出对应的y 的值；(2)请你写出方程组的解.能力提升如图．小红和小明两人共同解方程组：⎩⎨⎧-=-=+②.24①,155byxyax根据以上他们的对话内容，请你求出a，b的正确值，并计算20171012018⎪⎭⎫⎝⎛-+ba的值．【课后作业】一、选择题1．下列各对x，y的值不是二元一次方程3x+2y=7的解的是( )A．⎩⎨⎧==21yxB．⎩⎨⎧-==13yxC．⎩⎨⎧-==45yxD．⎩⎨⎧-=-=51yx2．如果⎩⎨⎧=-=1,2yx是二元一次方程mx+y=3的一个解，则m的值是( )A.-2B.2C.-1 D．13．下列各组数中，是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+42,2yxyx的解的是( )A．⎩⎨⎧==2,0yxB．⎩⎨⎧==,2yxC.⎩⎨⎧-==1,3yxD.⎩⎨⎧==11yx4．已知⎩⎨⎧=-=2,1yx是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+1,23ynxmyx的解，则m-n的值是( ) A．1 B．2 C.3 D.45．如果x=3，y=2是方程6x+by=32的解，则b= ．6．已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程x －ky=1的解，那么k= ．7．若是关于x 、y 的二元一次方程ax ﹣3y=1的解，则a 的值为（ ）A ． ﹣5B ．﹣1C ．2D ．78．为了丰富学生课外活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5 m 长的彩绳截成2m 或 1m 的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法( ) A.1 B.2 C ．3 D ．4二、填空题3．已知关于x 、y 的方程112433=++-n y m x 是二元一次方程，则m+n 的值为______．4．下面三组数据：①⎩⎨⎧-==;5,1y x ②⎩⎨⎧-==;3,2y x ③⎩⎨⎧-=-=;1,2y x ； 满足方程2x-y=7的是____，满足方程x+2y= -4的是_______，同时满足这两个方程的是_______，故二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-42,72y x y x 的解是_______．（填序号）4．若关于x 、y 的二元一次方程3x-ay=1有一个解是⎩⎨⎧==,2,3y x ．则a=_________.课堂检测答案1.A 2．9;0 3．③④ 4．B 5.D 6．①③；①②④；①7．解析 把⎩⎨⎧==2,1y x 代入原方程组，得⎩⎨⎧-=-=+②,327①,28b a由①得a= -6，由②得b=5，所以(a+b)³=（- 6+5）³=-1．8．A 9.D 10．答案⎩⎨⎧-=-=+.1,5y x y x （答案不唯一） 11．32-12. 4x+16y=10 13.答案⎩⎨⎧=+=+18222y x y x 能力提升解析 因为小明看错了①中的a ，所以⎩⎨⎧-=-=1,3y x 满足方程②，即4×（-3）-b ×（-1）=-2，解得b=10；因为小红看错了②中的b ，所以⎩⎨⎧==4,5y x 满足方程①，即5a+5×4= 15，解得a=-1．所以20171012018⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a =20172018)10101()1(⨯-+-=1+（-1）=0．课后作业答案一、选择题 D C B DC 二、填空题 3．34． ①②；②③；②；② 4． 4。
二元一次方程组讲义
二元一次方程知识点一：二元一次方程（组）的概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程，一般形式可表示为ax+by+c=0(a≠ 0,b≠ 0)※注意：1)方程中含有两个不同的未知数2）方程中含有未知数的项的次数都是1，但不能理解为未知数的次数是1，例如：-3xy=6不是二元一次方程3）方程必须是整式方程，即分母中不能含有未知数4）看最终化简形式是否是二元一次方程2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组，一般形式是： a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，(其中a1,a2,b1,b2不全为0）注意：组成二元一次方程组的不一定全是二元一次方程，但必须满足两个方程中共含有两个未知数知识点二：二元一次方程（组）的解的概念1、二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解注意：1）二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值； 2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。
2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，是二元一次方程组的解，它是两个方程的公共解注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；（而每个方程的解不一定是方程组的解）2）二元一次方程组需用大括号“{”表示，方程组的解也要用大括号“{”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如()⎩⎨⎧=+=+422yxyx，有的方程组无解，如⎩⎨⎧=+=+63yxyx.知识点三：二元一次方程组的解法1、代入消元法（消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；3）把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；4）．写出方程组的解。
八年级数学下册第五章二元一次方程组(同步+复习)精品讲义课件
【例1】
1. 解决上面提出的鸡兔同笼问题。 2. 古代问题：以绳测井。若将绳三折测之，绳 多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、 井深各几何？
【典例2】
【典例3】
【典例4】
第二单元：求解二元一次方程组
一．代入消元
代入法的基本思路：通过“代入”达到“消 元” 代入 提前 整理 二元 一元 2. 代入法的一般步骤（举例说明）： 1.
① 一选：选一个未知数系数相对简单的方程（整理） ② 二变：把选中的方程变为用含有一个未知数的代 数式表示另一个未知数的形式。如 y=f(x)的形式 ③ 三代：把变化后的方程代入另一个方程，消去一 个未知数。化为一元一次方程。 ④ 四解：解一元一次方程得到一个未知数的值。 ⑤ 五求：把得到的未知数的值代入其中一个简单的 二元方程，求出另一个未知数的值。 ⑥ 六写：用大括号的形式写出方程组的解。
第四单元：二元一次方程 组的实际应用
列方程解应用题
• 思路：试设元-回头看-找关系-列方程。 • 步骤：审-设-列-解-验-答。 • 记住：未知数也是数，别把未知数不当数。
今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？
鸡兔同笼
一．和、差、倍、分问题
1.
2.
复习小学解决这类问题的思路：砍腿法和安 脚法。 仔细审题：抓住“大、小、多、少、和、差、 倍、分等关键词找准等量关系。
（加减） 思路：二元 一元 依据：等量加（减）等量，和（差）相等。 一般步骤：
① 一选：选择两方程中系数简单的一个未知数。 ② 二变：利用等式性质二，把选中的未知数的系数 变为相等或相反的数（两边同乘一个数变公倍数） ③ 三加减：变化后符合条件的方程相加（减）消去 一个未知数，得到一个一元一次方程。 ④ 四解：解一元一次方程得到一个未知数的值。 ⑤ 五求：把得到的未知数的值代入一个较简单的二 元方程求出另一个未知数的值。 ⑥ 六写：用大括号的形式写出方程组的解。
《二元一次方程组》数学教学PPT课件(7篇)
练习 已知下列各方程：
其中二元一次方程的个数是（ A ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
鸡兔同笼 《孙子算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有 趣.其中下卷第31题“鸡兔同笼”问题流传尤为广泛，飘洋过 海传到了日本等国．
今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？
鸡兔同笼 “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ ”解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，得
一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中
得16分，那么这个队胜负场数应分别是多少？ 解：设胜x场，负(10-x)场，根据题意得： 2x+(10-x)=16
2x+10-x=16 2x-x=16-10 x=6
10-6=4 答：这个队胜6场，负4场．
思考
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负 一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中 得16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?
二元一次方程的解
再来看前面例子中的方程x+y=10，符合问题的实际意义的 x
、y 的值有哪些？
x 0 1 2 3 4 5 … 10 y 10 9 8 7 6 5 … 0
使二元一次方程左右两边相等的未知数
一般地，一个二元一次方程 有无数个解．如果对未知数 的取值附加某些限制条件， 则可能有有限个解．
例题 下列哪些是二元一次方程组？如果不是为什么？
3x-2y=9 y+5x=0
x=2 x+y=1
x-3y+9z=8 y+3z=5
有三个未知数
xy+y=5 x-y=4
2024年初中七年级数学下册同步讲义第18课 实际问题与二元一次方程组(学生版)
第18课 实际问题与二元一次方程组课程标准1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．3．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；4. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．知识点01 常见的一些等量关系（一）1.和差倍分问题：增长量＝ 较大量＝ ，总量＝ .2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝ ，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝ ， . 知识点02 实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；=100% 利润利润率进价目标导航知识精讲解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.知识点03 常见的一些等量关系（二）1. 行程问题=路程.顺水速度= .逆水速度= .2．存贷款问题利息= .本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝ .年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×. 3.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为 ．4．方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 知识点04 实际问题与二元一次方程组1211.列方程组解应用题的基本思路2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.考法01 和差倍分问题【典例1】在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％． (男(女)生优分率＝，全校优分率＝) (1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少? (2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．()100%()⨯男女生优分人数男女生测试人数100%⨯全校优分人数全校测试人数能力拓展【即学即练】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？考法02 配套问题【典例2】某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【即学即练】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？6020142x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩2535x y =⎧∴⎨=⎩考法03 工程问题 【典例3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）考法04 利润问题【典例4】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？【即学即练】为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？考法05 行程问题【典例5】A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【即学即练】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？考法06 存贷款问题【典例6】蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？考法07 数字问题【典例7】一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（）A．92 B．38 C．47 D．29【即学即练】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（）A．16 B．25 C．52 D．61考法08 方案选择问题【典例8】某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？【即学即练】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.题组A 基础过关练1．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是()A．()()1836024360x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B．()()1836024360x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩C．()()1836024360x yx y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩D．()()1836024360x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5152x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩B．5{1+52x yx y=+=C．5{2-5x yx y=+=D．-5{2+5x yx y==3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩分层提分C ．91181013x y x y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D ．91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） 4．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为A ．x y 50{x y 180=-+=B ．x y 50{x y 180=++=C ．x y 50{x y 90=++=D ．x y 50{x y 90=-+= 5． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（ ）A ．523220x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．522320x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．202352x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．203252x y x y +=⎧⎨+=⎩6．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了min x ，下坡用了min y ，根据题意可列方程组（ ）A ．35120016x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C ．35 1.216x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．351200606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 7．夏季来临，某超市试销A 、B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A 、B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为（ ）A ．530020015030x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．530015020030x y x y +=⎧⎨+=⎩C．302001505300x yx y+=⎧⎨+=⎩D．301502005300x yx y+=⎧⎨+=⎩8．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个.下列方程正确的是()A．7086480x yx y+=⎧⎨+=⎩B．7068480x yx y+=⎧⎨+=⎩C．4806870x yx y+=⎧⎨+=⎩D．4808670x yx y+=⎧⎨+=⎩9．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（）A．35B．45C．55D．6510．利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm题组B 能力提升练11．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排______名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．12．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD＝12cm，FG＝4cm，则图中阴影部分的总面积是__________2cm.13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．14．某人步行5小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿来的路线返回，若在平坦道路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，那么这5小时共走了路程____________千米．15．一家快餐店销售、、A B C三种套餐，其中A套餐包含一荤两素，B套餐包含两荤一素，C套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤的成本相同，一素的成本也相同，已知一份C套餐的售价是一份A套餐和一份B套餐售价之和的2,3一天下来，店长发现A套餐和B套餐的销量相同，且,A B套餐的利润和是C套餐利润的两倍，当天的总利润率是60%．第二天店内搞活动，C套餐的售价打五折，,A B套餐的售价均不变，当、、A B C 三种套餐的销量相同时，总利润率为________．16．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是_______cm．题组C 培优拔尖练17．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？18．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．19．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少别瓶？20．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨.用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完，且每辆车都满载货物.根据以上信息解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？（2）请帮助物流公司设计租车方案（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费.21．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？22．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？。
二元一次方程组讲义doc
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题二元一次方程授课时间：备课时间：教学目标1、使学生准确理解二元一次方程（组）理解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、图象法解二元一次方程组；2、举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练建模；3、进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系重点、难点重点：1、二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、图象法，、二元一次方程和一次函数的关系。
难点：1、列二元一次方程组解决实际生活问题；2、几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。
考点及考试要求教学内容【基本知识点】1、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，注明(二元一次方程组中各个方程的公共的解，叫这个二元一次方程组的解)3、解二元一次方程组：方法一：代入法方法二：加减消元法方法三：图像法 4、二元一次方程组的应用：（鸡兔同笼，增收节支等）5、二元一次方程与一次函数：（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x ba +-的图象相同.{二元一次方程的（数）对应相应一次函数的图像（形）}（2）二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数的交点坐标相对应 【高频考点与经典例题】一、二元一次方程和二元一次方程组的概念： 1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．3x －2y=4zB ．6xy+9=0C ．1x+4y=6 D ．4x=24y - 2、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y xx y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩3、若x 3m －3－2y n －1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．二、二元一次方程组的解法：1、（2009 山东青岛）解方程组：⎩⎨⎧=-=+6352y x y x2、（2009 江苏南京）解方程组：⎩⎨⎧=-=+524y x y x三、二元一次方程与一次函数：1、一次函数y=2x ﹣4上有一点坐标为（3,2），则方程2x ﹣4=y 有一个解为__________四、二元一次方程组的应用： 1、已知2316x mx y y x ny =-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______．2、当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）•有相同的解，求a 的值．3、将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？4、（2009 济南月份调整了）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到不同程度，为落实“促名声、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售有限公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：职工甲乙月销售件数（件）200 180月工资（元）1800 1700（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？练习题： 一、选择题：1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．3x －2y=4zB ．6xy+9=0C ．1x+4y=6 D ．4x=24y - 2、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y xx y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 3、二元一次方程5a －11b=21 （ ）A ．有且只有一解B ．有无数解C ．无解D ．有且只有两解4、方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3333...2422x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩5、若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．326、下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③1x+y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A ．246246216246 (22)222222x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩二、填空题8、已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________．9、方程组43235x y kx y -=⎧⎨+=⎩的解与x 与y 的值相等，则k 等于______．10、在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．11、已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程x －ky=1的解，那么k=_______．12、已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____．13、二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 14、以57x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________．三、解答题15．如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的二元一次方程，则a ，b 满足什么条件？16．二元一次方程组437(1)3x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解x ，y 的值相等，求k ．17．已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2+（2y+1）2=0，则x －y 的值是多少？18、根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，•问明明两种邮票各买了多少枚？19、方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解？20、（开放题）是否存在整数m ，使关于x 的方程2x+9=2－（m －2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m 的值？你能求出相应的x 的解吗？。
二元一次方程组讲义(封面)
武汉龙文教育七年级数学教学讲义授课对象张雅琴 授课教师 廖生学 授课时间2014.4．11 授课题目 二元一次方程组 教学目标 1、熟练掌握用代人消元法解二元一次方程组； 2、熟练掌握用加减法解二元一次方程组。
教学重点和难点 灵和运用代人消元法、加减法解二元一次方程。
教学过程： 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。
2.判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素：①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？①二元一次方程的解是成对出现的；②二元一次方程的解有无数个；③一元一次方程的解只有一个。
例1、 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值．变式：方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意：①含未知项的次数为1；②含有未知项的系数不能为03.二元一次方程的解法（1）用代入法解二元一次方程组将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.代入消元法解方程组的步骤是：①用一个未知数表示另一个未知数；②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）；③解一元一次方程，求出一个未知数的值；④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值；⑤检验，并写出方程组的解.（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
4、典型例题分析例2、解下列方程组:213257m n x y --+=1(2)2a x a y -+-=⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩ ⑶2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩例3、 解下列方程组: ⑴()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ⑵7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩练习：1、解下列方程组（1）⎩⎨⎧=-=+②①.5n m 3,7n 2m 3（2）⎩⎨⎧=-=-②①.19y 5.0x 2.0,1y x 3.0（3）⎩⎨⎧-=+-=-②①).2y (24x ),1y (31x 2.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( ) A.49a c += B. 29a c += C. 49a c -= D. 29a c -= 3.关于x y 、的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值是 .4. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程.二元一次方程的简单应用：例5、已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值例6、已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解.例7、 若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z+---的值.例8、 求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解..例9、（1）根据下列语句，列出二元一次方程：①甲数的一半与乙数的32的和为11 ②甲数和乙数的2倍的差为17（2）方程x ＋2y=7在自然数范围内的解（ ）A 有无数个B 有一个C 有两个D 有三个（3）若mx ＋y=1是关于x,y 的二元一次方程，那么m 的值应是（ ）A. m ≠OB. m=0C. m 是正有理数D. m 是负有理数a 515 42x y x by +=⎧⎨-=-⎩① ②例10、先阅读,再做题:1.一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定:⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a=; ⑵若0a b ==,方程变形为00x⋅=,则方程ax b =有无数多个解; ⑶若0,0a b =≠,方程变为0x b ⋅=,则方程无解.2.关于x y 、的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的讨论可以按以下规律进行: ⑴若1122a b a b ≠,则方程组有唯一解; ⑵若111222a b c a b c ==,则方程组有无数多个解; ⑶若111222a b c a b c ≠=,则方程组无解.已知关于x y 、的方程组()312y kx b y k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩分别求出k 、b 为何值时, 方程组的解为: ⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?练习一、选择题：1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．3x －2y=4zB ．6xy+9=0C ．1x +4y=6 D ．4x=24y - 2．方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解为x 与y 的值相等，则k 等于（ ）3．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③1x +y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+xA ．1B ．2C ．3D ．44．某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A ．246246216246 (22222222)x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩5. 二元一次方程组225x y x y +=⎧⎨-+=⎩的解是( ) A.16x y =⎧⎨=⎩B. 14x y =-⎧⎨=⎩C. 32x y =-⎧⎨=⎩D. 32x y =⎧⎨=⎩ 6.已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩ 7. 若92x y =⎧⎨=⎩是方程组473x y a b x y a b-=+⎧⎨-=-⎩解, 则a b 、的值是( )A.81214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ B. 317a b =⎧⎨=-⎩ C. 47232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D.519a b =⎧⎨=-⎩8. 如果方程组()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是( ) A.1 B.0 C.2 D. 2-二、填空题：1.方程组()1602111x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解是 . 2.如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = .3. 若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= . 4. 已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-的值是 .5．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________．6．在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 7．若x 3m －3－2y n －1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．8．已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____．9．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．10．已知2316x mx y y x ny =-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______．三、解下列方程组:⑴()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩⑵361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩四、解答题1、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数, 求a 的值.2．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）•有相同的解，求a 的值．3．如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的二元一次方程，则a ，b 满足什么条件？4．二元一次方程组437(1)3x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解x ，y 的值相等，求k ．5、已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2+（2y+1）2=0，则x －y 的值是多少？6方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解？。
(完整)七年级下册二元一次方程组讲义(超实用word版)
二元一次方程组本章知识点题型➢ 二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程有 解． ➢ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解．一般情况下二元一次方程组的解是 的． ➢ 二元一次方程组的解法：① ；② ． 【例1】二元一次方程（组）定义1. 已知方程2132310n m n x y ---+=是二元一次方程，则m = ，n =．2. 下列方程组中：①202x y x y +=⎧⎨+=⎩；②301x y y -=⎧⎨=⎩；③0232x z x y -=⎧⎨+=-⎩；④12x y =⎧⎨=⎩，其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【例2】二元一次方程（组）的解1. 如果32x y ì=ïí=ïî是方程632x by +=的解，则b =．2. （2017春•辛集市期末）小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩●的解为5x y =⎧⎨=⎩★由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ． 【例3】二元一次方程（组）的解法 1. 解二元一次方程组：（1）23525x y x y ì+=ïí+=ïî；（2）13102428x y x y ì-+-=ïíï-+=-î；2. 已知：y kx b =+且当1x =-时，2y =；当2x =时，7y =-；求：当2x =-时，y 的值．【例4】二元一次方程组的变形若23135x y x y ++==，将原方程组化为111222a xb yc a x b y c ì+=ïí+=ïî的形式为 ．➢ 二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是 方程； ②方程组中共含有 未知数； ③每个方程都是一次方程．【例5】系数求解问题在解方程组51044ax yx by+=⎧⎨-=-⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为31xy=-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程组中的b，得到的解为54xy=⎧⎨=⎩．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【例6】方程同解1.已知关于x、y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解相同，求ab的值．2.已知关于x，y的二元一次方程组533321x y nx y n+=⎧⎨+=+⎩的解适合方程6x y+=，求n的值．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 【例8】行程问题A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A ，两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度． 【小练】已知某铁路桥长800m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s ，整列火车完全在桥上的时间是35s ，求火车的速度和长度．【例9】工程问题一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，那么甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？【小练】2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割3.6公顷；3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割8公顷．1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．1. 下列方程（组）中，①20x +=；②321x y -=；③10xy +=；④121x x-=；⑤13x y x y +=⎧⎨-=⎩；⑥201x y x z -=⎧⎨+=⎩，其中是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的是 ．（填序号即可）2. 若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay ì+=ïí-=ïî的解是1x by ì=ïí=ïî，则b a 的值为 ．3. 若234326a b a b ì+=ïí+=ïî，则a b += ．4. 若5232m n x y +与3263m n x y +-是同类项，则m n -= ．5. 解方程组（1）3586510m n m n -=⎧⎨+-=⎩；（2）5115y z x x y z x z y +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩．6. 在解关于x ，y 的方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，老师告诉同学们正确的解是32x y =⎧⎨=-⎩，小明由于看错了系数c ，因而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，试求a b c ++的值．7. 已知方程组23109x y ax by +=⎧⎨+=⎩与方程组8432bx ay x y -=⎧⎨-=⎩的解相等，试求a 、b 的值．8. （2015•河北模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组236228x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y a -=，求该方程组的解．9. 甲乙两地相距120千米，一辆汽车和一辆摩托车从两地同时出发相向而行，1.2小时相遇．相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留10分钟后原速返回，结果在第一次相遇后半小时再次遇到摩托车，问汽车、摩托车每小时各行驶多少千米？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 例1.方程41ax yx -=-是二元一次方程，则a 的取值为（ ）A 、0a ≠B 、1a ≠-C 1a ≠D 、2a ≠ 例2.若二元一次方程321x y-=有正整数解，则x 的取值应为（ ）A 正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为 。
2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________.知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
知识点3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．例1、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：（1）求a、b的值；（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中。
（不需写出计算过程）例2、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？练习：为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”，该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒，该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？二、二元一次方程组考查目标考查目标一、确定二元一次方程组中的字母系数或字母系数的范围例1、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x m y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．2 例2、若方程组的解满足＞0，则的取值范围是（ ）A 、＜－1 B 、＜1 C 、＞－1 D 、＞1练习1.已知方程组与有相同的解，则＝ ，＝ 。
2.若二元一次方程，，有公共解，则的取值为（ ）A 、3B 、－3C 、－4D 、4 考查目标二、方程组解的判定例.方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩，的解是（ ）A ．12x y =⎧⎨=⎩，．B ．21x y =⎧⎨=⎩，．C ．11x y =⎧⎨=⎩，．D ．23x y =⎧⎨=⎩，．练习.1、二元一次方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩考查目标三、可化为解方程组的知识例1.如果|21||25|0x y x y -++--=，则x y +的值为例2.已知代数式133m x y --与52n m n x y +是同类项，那么m n 、的值分别是（ ）A ．21m n =⎧⎨=-⎩B ．21m n =-⎧⎨=-⎩C ．21m n =⎧⎨=⎩D ．21m n =-⎧⎨=⎩练习1. 若二元一次联立方程式⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-03515154632y x yx 的解为x =a ，y =b ，则a -b =？（ ）(A) 35(B) 59 (C) 329 (D) -3139 。
2、解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、、的值是（ ）A 、不能确定B 、＝4，＝5，＝－2[来源:]C 、、不能确定，＝－2D 、＝4，＝7，＝2 考查目标四、列方程组解应用题例：某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ [来源:学|科|网Z|X|X|K]练习：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。
其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。
问王大伯一共获纯利多少元？三、过关测试一. 选择题1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 27321s t t s -=⎧⎨=-⎩B. 112m n mn +=⎧⎨=⎩C. 2322239y xx y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩ D. 7116x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩2. 若437mx y x -=-是二元一次方程，则（ ）A. 2m ≠-B. 0m ≠C. 3m ≠D. 1m ≠- 3. 二元一次方程27x y +=的正整数解有（ ）个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 用加减消元法解方程组2333211x y x y +=⎧⎨-=⎩时，有下列四种变形，正确的是（ ）A. 4639611x y x y +=⎧⎨-=⎩B. 6396222x y x y +=⎧⎨-=⎩C. 4669633x y x y +=⎧⎨-=⎩D. 6936411x y x y +=⎧⎨-=⎩5. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为6，这样的两位数的个数有（ ）A. 3B. 5C. 6D. 无数个 6. 下列方程中，是二元一次方程的有（ ）A. 162563x z x -=++ B. 115x y +=C. 31xy x y ++=D. 2x y =7. 若方程()()22930m x m x y ----=是关于x y 、的二元一次方程，则m 的值为（ ） A. 3± B. 3 C. -3 D. 98. 方程27x y +=在自然数范围内的解为（ ） A. 无数个 B. 1个 C. 3个 D. 4个9. 用加减消元法解方程组2313210x y x y +=⎧⎨-=⎩时，有下列四种变形，正确的是（ ）A. 4619610x y x y +=⎧⎨-=⎩B. 6336220x y x y +=⎧⎨-=⎩C. 4629630x y x y +=⎧⎨-=⎩D. 6936410x y x y +=⎧⎨-=⎩10. 甲、乙二人按2∶5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（）A.2000元、5000元B. 5000元、2000元C. 4000元、10000元D. 10000元、4000元11.一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？A. 大盒装20瓶，小盒装12瓶B. 大盒装21瓶，小盒装12瓶C. 大盒装20瓶，小盒装15瓶D. 大盒装22瓶，小盒装12瓶12.已知32172313x yx y+=⎧⎨+=⎩，则________x y-=A.5B. 4C. 6D. 7二. 填空题1. 把方程230x y--=化成含y的式子表示x的形式：__________x=。
2. 已知二元一次方程321x y-=，若2y=-时，_______x=。
3. 已知32172313x yx y+=⎧⎨+=⎩，则________x y+=。
4. 若()235230x y x y-++-+=，则_______x y+=。
5.小红有5分和2分的硬币共20枚，共6角7分，设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，则可列方程组为。
6.某人买了60分和80分的邮票共20枚，用去13元2角，设买了60分邮票x枚，买了80分邮票y枚，则可列方程组为。
三、解答题1. 解方程组1444xyx y⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩1234311236x yx y-+⎧-=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩2. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，问大车和小车一次可以运货各多少吨？3. 一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成。
如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10立方米木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？4.已知关于x y、的方程组354522x yax by-=⎧⎨+=-⎩与234080x yax by-+=⎧⎨--=⎩有相同的解，求a b、的值。