基本变形的应力和强度计算
材料力学应力计算公式
材料力学应力计算公式材料力学应力计算公式主要指按照材料力学原理，预测某一种材料在不同使用情况下所受外力大小和分布状况的公式。
材料力学应力计算通过力学模型和数学方程来预测材料的力学特性，并用数字分析方法根据其力学参数（包括强度、塑性、稳定性和弹性）计算出其受力情况，从而预测出其力学特征。
1、应力计算的基本公式：应力计算的基本公式为：σ=F/A，其中F表示施加在材料上的外力，A表示给定断面上的面积。
2、应变计算的基本公式：应变计算的基本公式为：ε=A/L，其中L表示应力施加前材料的长度，A表示安装施加应力后材料的变形量。
3、体积膨胀热应力计算公式：体积膨胀热应力计算公式为：Δσ=α○ΔT，其中α为材料的热膨胀系数，ΔT表示热膨胀温度差，Δσ表示由热膨胀而引起的材料的应力变化值。
4、拉伸应力计算公式：拉伸应力计算公式为：σ=≈F/Ao，其中F表示施加在材料上的拉伸外力，Ao表示给定断面的面积。
5、压缩应力计算公式：压缩应力计算公式为：σ=-P/A，其中P表示压力，A表示施加压力前的断面积，σ表示施加压力后材料受到的应力。
6、剪切应力计算公式：剪切应力计算公式为：τ=M/I，其中M表示抵抗剪切外力的力矩，I表示断面的惯性矩，τ表示文断面的剪切应力。
7、循环应力计算公式：循环应力计算公式为：σ=±σao/2N，其中N表示经过N次循环后材料仍旧恢复原来状况，σao表示每次循环受到的应力，σ表示经过N次循环后材料受到的应力。
8、疲劳应力计算公式：疲劳应力计算公式为：σf=σa/(2Nf)^m，其中Nf表示发生应力极限疲劳破坏之前经过的循环次数，m为材料的疲劳断裂指数，σf表示发生疲劳破碎的最大应力，σa 表示材料受到的应力。
总之，材料力学应力计算公式是用数学模型和数值分析方法，结合材料的力学参数和外力的情况，对材料在某种外力作用情况下的应力分布情况进行预测，从而得出其力学特性和结构性能，进而决定材料安全性能和可靠性。
应力应变强度计算公式
应力应变强度计算公式
应力应变强度计算公式是材料力学中的一个重要公式，用于计算材料在受力时的强度和变形程度。
在工程设计和材料选择中，应力应变强度计算公式是必不可少的工具。
应力应变强度计算公式的基本形式为：σ = F/A，其中σ表示应力，F表示受力，A表示受力面积。
这个公式可以用来计算材料在受力时的强度，即材料能够承受的最大应力。
如果材料受到的应力超过了其强度，就会发生破坏。
除了计算应力，应力应变强度计算公式还可以用来计算应变。
应变是材料在受力时发生的变形程度，通常用ε表示。
应变的计算公式为：ε = ΔL/L，其中ΔL表示材料的长度变化，L表示材料的原始长度。
应变可以用来评估材料的变形程度，以及材料在受力时的变形能力。
应力应变强度计算公式还可以用来计算材料的弹性模量。
弹性模量是材料在受力时的刚度，通常用E表示。
弹性模量的计算公式为：
E = σ/ε，其中σ表示应力，ε表示应变。
弹性模量可以用来评估材料的刚度和变形能力，以及材料在受力时的变形程度。
应力应变强度计算公式是材料力学中的一个重要公式，用于计算材料在受力时的强度、变形程度和刚度。
在工程设计和材料选择中，应力应变强度计算公式是必不可少的工具。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
基本变形的应力与强度计算
1．计算轴力 kN
2.设计截面 mm
根据 ，得出 mm
因此，取d mm
注意：在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.
等截面梁的强度计算，都是根据危险截面上的最大弯矩来确定截面尺寸，这时其他截面的弯矩都小于危险截面的最大弯矩，其材料未能得到充分的利用。为了使材料得到充分的利用，应在弯矩较大的截面采用较大的截面尺寸，弯矩较小的截面采用较小的截面尺寸，使得每个截面的最大正应力都同时得到材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁。阶梯轴就是根据等强度梁的近似尺寸，因为完全的等强度梁加工非常困难，也不能满足结构设计的要求。
图12.4.7
解：材料的许用拉应力和许用压应力不等，应计算出最大的拉应力和最大的压应力分别校核强度。
1、梁的支座反力为：RA＝0.6kN，RB＝2.2kN。
画出梁的弯矩图。由弯矩图可知，
最大正弯矩在截面C处，MC＝0.6kN·m；
最大负弯矩在截面B处，MB＝－0.8kN·m
2、校核梁的强度
显然截面C和截面B都是危险截面，均要进行强度校核。
上式中，如果令 ,Wz称为抗弯截面系数，则：
抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量， 越大， 越小，梁的承载能力越强，与力的大小无关，其单位为m 或mm 。一些常用截面的抗弯截面系数需要记住，下面给出矩形、圆形和圆环截面的计算方法和结果。而对工字钢角钢槽钢等的抗弯截面系数，可以查有关的手册。
矩形截面：(宽度b平行于中性轴z轴,高度h)
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
材料力学之四大基本变形
WZ
IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
第三章应力与强度计算.
第三章杆件的应力与强度计算一.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。
1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。
1.3理解许用应力、安全系数和强度条件，熟练计算强度问题。
2.扭转变形2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。
2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。
2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。
3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。
4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。
5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。
3.1 引言本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。
3.2 拉压杆的应力与应变一．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。
根据平面假设得知，横截面上各点正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。
2）由静力平衡条件确定σ的大小由于dN=σ⋅dA，所以积分得则式中：σ—横截面上的正应力FN—横截面上的轴力A—横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。
3）正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度ρ）时，有FN=⎰σdA=σA Aσ=FN Aσx=FNx Ax其中FN=P+ρAx⋅x若不考虑自重，则FNx=P对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。
而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。
例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2P=130kN，α=30 。
拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 (2)
＝l AD
l DE
l EB
l BC
＝ FNADlAD ＋ FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.857 106 m
＝1.22810－6 m＝1.22810－3 mm
在上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然 都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。
拉、压杆件的变形分析
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
l
n
Nili
i1 EA
1 EA
n
i 1
N
i
li
n
3
Δ l FNili
i EA i
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
拉、压杆件的变形分析
x
Δ
l
l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
轴力与轴力图 拉、压杆件横截面上的应力 拉、压杆件的强度设计 拉、压杆件的变形分析 拉伸与压缩时材料的力学性能 结论与讨论
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
试求：直杆的总变形量。
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材料力学
第2章 拉伸与压缩杆件的应力变形·分析与强度计算
例题6
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
基本变形的应力和强度计算
基本变形的应力和强度计算
首先，我们来讨论应力的计算。
应力是指单位面积上的力的作用，可以通过外力和截面面积的比值来计算。
常见的应力类型包括拉应力、压应力、剪应力等。
拉应力是指垂直于加载方向的力作用在截面上，通过下式计算：
σ=F/A
其中，σ为拉应力，F为外力，A为截面面积。
压应力是指垂直于截面的力作用在截面上，计算方法与拉应力相同。
剪应力是指平行于截面的力作用在截面上，计算方法如下：
τ=F/A
其中，τ为剪应力，F为外力，A为截面面积。
不过需要注意的是，剪应力在实际工程中比较难以直接测量，通常会间接通过测量剪应变来计算。
接下来，我们来讨论强度的计算。
强度是材料在外力作用下的抵抗破坏的能力，可以通过应力的大小来衡量。
拉强度是指材料在拉应力作用下的破坏强度，计算方法如下：
σ_ult = F_max / A_0
其中，σ_ult为拉强度，F_max为材料的最大承载力，A_0为初始截面的面积。
压强度和拉强度的计算方法相同。
剪强度是指材料在剪应力作用下的破坏强度，计算方法如下：
τ_ult = F_max / A_0
其中，τ_ult为剪强度，F_max为材料的最大承载力，A_0为初始截
面的面积。
除了上述的基本应力和强度计算方法外，还有其他更复杂的计算方法，如蠕变、疲劳等变形和破坏性能的计算。
综上所述，基本变形的应力和强度计算是工程力学中的基础知识，应
用广泛。
通过对材料的应力和强度进行计算，可以帮助我们了解材料的变
形和破坏行为，从而对实际工程中的结构设计和材料选择提供指导。
梁的弯曲计算—弯曲切应力及强度计算(工程力学课件)
（3）几种特殊情况下必须进行梁的切应力强度计算。
短粗梁 自行焊接 木梁
梁的合理截面
max
M max Wz
(1) 将材料配置于离中性轴较远处
(2) 采用不对称于中性轴的截面
脆性材料
(3) 采用变截面梁
弯曲切应力及强度计算
弯曲
（内力图）
外力 —— 内力 —— 应力
弯曲变形 的条件
求约束反力
弯矩M 剪力Fs
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
梁横截面上的切应力 矩形截面梁
S
* z
bI z
x
σ 分布规律 τ 分布规律
Fs
S
* z
不同形状截面梁的最大剪应力
bI z
矩形截面梁
B
A
C
A
C
B
max l max h
梁内的主要应力是正应力！
危险截面、危险点
E右到B左
z
y
危险点
危险截面 24
D右 28
24
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
危险截面上的危险点
max ≤[ ]
max ≤[ ]
正应力强度条件 切应力强度条件
三类计算：①强度校核、②截面设计、③确定许用荷载
（1）在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力 和切应力两种强度条件。
“等强度梁”
Wz (x)
M ( x)
[ ]
工字形截面梁
max
3 2
Fs A
max
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
材料力学公式完全版
材料力学公式完全版材料力学是研究材料内部力学性能的一门学科。
它是工程学中的一个重要分支，广泛应用于机械、土木、航空航天等领域。
在材料力学中，有一些重要的公式和方程式，下面是材料力学公式的完全版，共包含了应力、应变、变形、强度和刚度等方面的内容。
1.应力方面应力（σ）：表示单位面积上的内力。
常用的单位是Pa（帕斯卡）。
σ=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
2.应变方面线性弹性应变（ε）：表示材料由于受力而发生的形变。
ε=ΔL/L其中，ΔL为长度变化，L为初始长度。
3.变形方面胀缩变形（ΔL）：表示材料由于受热导致的体积变化。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，ΔT为温度变化。
4.应力-应变关系钢材的Hooke定律：描述材料的线性弹性行为。
σ=E×ε其中，E为弹性模量。
5.弯曲方面梁的弯曲应变（ε）：表示材料在弯曲时发生的形变。
ε=M/(E×I)其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面转动惯量。
6.胀缩方面热膨胀（ΔL）：表示材料在受热时的线膨胀。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，L为初始长度，ΔT为温度变化。
7.强度方面拉伸强度（σt）：表示材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
8.刚度方面弹性模量（E）：表示材料在受力后发生弹性变形的能力。
E=σ/ε其中，σ为应力，ε为应变。
9.复合材料方面拉伸强度（σt）：表示复合材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
10.断裂方面断裂强度（σf）：表示材料在断裂前能承受的最大应力。
σf=F/A其中，F为断裂力，A为受力面积。
11.龙骨方面龙骨截面面积（A）：表示材料的截面面积。
A=b×h其中，b为龙骨宽度，h为龙骨高度。
12.塑性方面屈服强度（σy）：表示材料开始产生塑性变形的最大应力。
σy=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
材料力学课件：第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用 点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时，其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断，断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开，断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”，是说对于一个沿口 不齐的木桶而言，它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板，而在于木桶上最短的那块木板。
已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100 mm，内直径d＝50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材 料的切变模量G＝80.4 GPa。
试： 1． 求该轴所能承受的最大扭矩； 2． 确定此时轴内最大剪应力。
解： 1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
＝
max
Mx WP
＝16M x πd13
＝16
1.5kN πd13
m
103
＝50.9
106
Pa
据此，实心轴的直径
d1＝3
16 1.5kN m 103＝53.1103 m＝53.1mm π 50.9 106 Pa
梁的弯曲应力与强度计算
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽 钢。求最大拉应力和压应力。 解：（1）作弯矩图
28 . 8 MPa t
y2
( 2 . 5 10 N m )( 88 10 763 10
8
3
m)
Iz
m
4
故该梁满足强度条件。
8 梁的弯曲应力与强度计算 8.3.1 梁的弯曲剪应力
8.3 梁的剪应力及其强度条件
1. 矩形截面梁的弯曲剪应力
关于横截面上剪应力的分布
M
max
2F 3W z
Wz
3 2
( 237 10
6
)( 160 10 ) N 56 . 9 kN
6
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：一矩形截面木梁，已知 F =10 kN，a =1.2 m。木材的许用应力
=10MPa。设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选梁的截面尺寸。
bh 6
2
对于直径为 D 的圆形截面
Wz Iz y max
D / 64
4
D
32
3
D /2
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz Iz y max
D (1 ) / 64
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教学课题基本变形的应力和强度计算【练习课】
教学目标或要求1、理解各种基本变形的应力特点和分布规律；
2、掌握各种基本变形的应力和强度计算方法；
3、理解材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义。
教学重点、难点
教学方法、手段讲练结合，以练为主
教学过程及内容
基本变形的应力和强度计算
强度是指材料在外力作用下对塑性变形和断裂的抵抗能力。
强度问题事关重大，强度不足，就有可能酿成大祸。
工程结构和机器零件必须具有足够的强度。
强度是材料力学研究的一个主要问题。
第一节轴向拉伸与压缩的应力和强度计算
一、横截面的正应力
例1：如图a所示一变截面直杆，横截面为圆形，d1＝200mm，d2＝150mm，承受轴向载荷F1＝30kN，F2＝100kN的作用，试求各段截面上的正应力。
图a
图 b
解：1）计算轴力：AB段的轴力：N AB＝－F2＋F1＝－70kN（压）
BC段的轴力：N BC＝F1＝30kN（拉）
画出轴力图如图12.1.2b所示。
2）求横截面面积
AB段的横截面积：
BC段的横截面积：
3）计算各段正应力
AB段的正应力：
BC段的正应力：
负号表示AB上的应力为压应力。
二、强度问题
例2：气动夹具如图所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆材料为20钢，[σ]=80MPa,试设计活塞杆的直径，
解：活塞杆两端受拉力，发生轴向拉伸变形，轴力可以由气体的压强求出，再利用N、[σ]就可以设计截面。
1．计算轴力
6.
6231
140
4
6.0
4
2
2=
⨯
⨯
=
=
π
π
D
p
N
kN
2.设计截面
[]4.
115
80
6.
9231
=
=
≥
σ
N
A
mm2
根据
2
4
d
A
π
=
，得出
1.
12
4
=
=
π
A
d
mm
因此，取d12
≥mm
注意：在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。
另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.
第一节扭转时的应力和强度计算
一、应力的计算
已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小剪应力。
二、强度问题
小结公式
弯曲的应力和强度计算
一、纯弯曲
一般情况下，两弯曲时横截面上既有剪力，又有弯矩。
对于横截面上的某点而言，既有切应力又正应力。
但梁的强度主要决定与正应力的大小，切应力居于次要的地位。
所以本节只讨论梁在纯弯曲的情况下横截面的正应力。
所谓纯弯曲指横截面上的切应力为零。
如图12.4.1所示，简支梁在两对称的集中力作用下的剪力图和弯矩图，从图中看出，在CD段，横截面上只有弯矩而没有剪力，发生纯弯曲变形，而在AC和DB段，既有弯矩又有剪力，这种弯曲称剪切弯曲。
图12.4.1
以CD段的纯弯曲为例，研究弯曲时的变形特点，从而应力在横截面上的分布情况。
变形前在表面画两条纵向线和两条横线，发生纯弯曲后，观察梁的变形（图12.4.2）：（1）横线仍然为直线，且与梁的轴线垂直，但倾斜了一定的角度。
（2）纵线缩短了，伸长了。
根据观察到的现象，可作如下推论：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直与梁的轴线，但旋转了一定的角度。
这也是梁纯弯曲时的平面假设。
M
I表示横截面对中性轴的
σ
m或mm。
一些常用截面的抗弯截面系数需
2、计算Wz对工字钢的抗弯截面系数，可查附表得：Wz=309cm
3、校核强度
]
[
MPa
157
10
309
10
48.4
3
6
max
max
σσ≤
=
⨯
⨯
=
=
z
W
M
即梁的强度合格。
图12.4.6
例12-6：T形截面外伸梁尺寸及受载如图12.4.7所示。
截面对形心轴的的惯性矩Iz=86.8cm4，y1 =3.8cm，材料的许用拉应力[ σl ]=30 MPa，许用压应力[σy] =60 MPa。
试校核其强度。
图12.4.7
解：材料的许用拉应力和许用压应力不等，应计算出最大的拉应力和最大的压应力
分别校核强度。
1、梁的支座反力为：R A＝0.6kN，R B＝2.2kN。
画出梁的弯矩图。
由弯矩图可知，
最大正弯矩在截面C处，M C＝0.6kN·m；
最大负弯矩在截面B处，M B＝－0.8kN·m
2、校核梁的强度
显然截面C和截面B都是危险截面，均要进行强度校核。
截面B：弯矩为负时产生上凸变形。
故最大拉应力发生在截面上边缘各点处，最大
压应力发生在截面下边缘各点处。
截面C：弯矩为正时产生下凹变形。
虽然截面C的弯矩绝对值比B处小，但最大拉应力发生在截面下边缘各点处，而这些点到中性轴的距离比上边缘各点到中性轴的距离大，且材料的许用拉应力小于许用压应力，所以还需校核最大拉应力。
所以梁的强度足够，工作安全。
从本题可以看出，当材料的抗拉和抗压强度不同时，截面上下边缘又不对称时，对梁的最大正负弯矩的截面都应进行校核。
五、提高梁抗弯能力的措施
由于梁的承载能力主要由正应力控制，根据正应力的强度条件可知，梁横截面上的最大正应力与最大弯矩成正比，与横截面的抗弯截面系数成反比。
提高梁
的抗弯能力主要从提高M max和降低W z两方面着手。
(一)选择合理的截面形状
1．根据比值W z/A选择
抗弯截面系数一方面与截面的尺寸有关，同时还与截面材料的分布情况即截面的形状有关，梁的合理截面形状应是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。
梁的截面经济程度可以用比值来衡量。
该比值越大，截面就越经济合理，下面把圆形、矩形、及工字形截面的比值列出，见表12.4.1中。
表12.4.1圆形、矩形及工字形截面比较
截面形状
Wz
所需尺
寸
A Wz/A
250×102
mm3
d＝
137mm
148×102
mm2
1.69
250×102
mm3
b＝
7mm
h＝
144mm
104×102
mm2
2.40
250×102
mm3
20b工
字钢
39.5×102
mm2
6.33
从表中可以看出，截面的经济程度是工字形优于矩形，而矩形优于圆形。
这是应为离中性轴越远，正应力越大，所以应使大部分的材料分布在离中性轴较远处，材料才能充分发挥作用，工字形截面就较好地符合这一点，矩形截面竖搁比横搁
合理也是这个道理。
2．根据材料特性选择
对于抗拉和抗压能力相同塑性材料，一般采用对称与中性轴的截面，使得上下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值。
如矩形、圆形和工
字形等。
对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料，最好选择不对称与中性轴的截面，使得中性
轴偏与强度较小的一侧，如铸铁梁常采用T 形截面就是这个道理。
当
][][y l y l y y σσ=
截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力,使得材料得到最充分的
利用。
如图12.4.8所示。
图12.4.8
(二)合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩值 在可能的情况下，将载荷靠近支座或将集中载荷分散布置都可以减小最大弯矩，从
而提高梁的承载能力。
如图12.4.9所示。
图12.4.9
(三)采用变截面梁
等截面梁的强度计算，都是根据危险截面上的最大弯矩来确定截面尺寸，这时其他截面的弯矩都小于危险截面的最大弯矩，其材料未能得到充分的利用。
为了使材料得到充分的利用，应在弯矩较大的截面采用较大的截面尺寸，弯矩较小的截面采用较小的截面尺寸，使得每个截面的最大正应力都同时得到材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁。
阶梯轴就是根据等强度梁的近似尺寸，因为完全的等强度梁加工非常困难，也不能满足结构设计的要求。
作业
教学效果评估。