平面静定桁架的内力计算

第二节平面静定桁架的内力计算桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。

桁架中各杆件的连接处称为节点。

由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。

房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。

图3－10房屋屋架杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。

本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。

在平面桁架计算中，通常引用如下假定：１）组成桁架的各杆均为直杆；２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处；３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。

满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点，图3－11 钢桁架结构的节点它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。

分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。

一、节点法因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。

由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。

例3－8 平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，试求桁架各杆的内力。

图3－12 例3－8图解：（1）求桁架的支座反力以整体桁架为研究对象，桁架受主动力2F 以及约束反力YA F 、xB F 、YB F 作用，列平衡方程并求解：1=∑=ni ixF，xB F ＝０)(1=∑=ni i BmF ， ２F ×2l－Y A F l ＝０， Y A F ＝F1=∑=ni iyF，YA F ＋YB F －２F ＝０，YB F ＝2F －Y A F =F（2）求各杆件的内力设各杆均承受拉力，若计算结果为负，表示杆实际受压力。

设想将杆件截断，取出各节点为研究对象，作A 、D 、C 节点受力图（图3－12ｂ），其中'1S F ＝1S F ，'2S F =2S F ，'3S F =3S F 。

平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力，故首先从只含两个未知力的节点A开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。

节点Ａ：1=∑=ni iyF，YA F ＋1S F sin300＝０,1S F ＝－2YA F =－２F （压）1=∑=ni ixF，2S F ＋1S F cos300＝０,2S F ＝－0.8661S F =1.73F （拉）节点Ｄ：1=∑=ni ixF， －'2S F ＋5S F ＝０,5S F ＝'2S F =2S F =1.73F （拉）1=∑=ni iyF，3S F －２F ＝０,3S F ＝２F （拉）节点Ｃ：1=∑=ni ixF， －'1S F sin600＋4S F sin600＝０，4S F ＝'1S F ＝－２F （压）至此已经求出各杆内力，节点Ｃ的另一个平衡方程可用来校核计算结果：1=∑=ni iyF， －'1S F cos600－4S F cos600－'3S F ＝０将各杆内力计算结果列于表3-2：表3－2 例3－8计算结果例3－9 试求图3－13a 所示的平面桁架中各杆件的内力，已知030=α，G=20kN 。

(a)(b)图3－13 例3－9图解 （1）画出各节点受力图，如图3－13b 所示，其中i F '＝F i (i=1,2,…,6)。

各点未知力个数、平衡方程数如表3－3。

由于A 点的平衡方程数与未知力个数相等，所以首先讨论A 点。

表3－3 未知力个数、平衡方程数（2）逐个取节点，列平衡方程并求解 节点Ａ：1=∑=ni iyF， F 1sin300－G=０,kN 4030sin 01==GF （拉）1=∑=ni ixF， －F 1cos300－F 2=０, F 2=－F 1cos300=－34.6kN （压）节点B ：1=∑=ni ixF， 062=-'F F , =6F 2F '＝－34.6kN （压）1=∑=ni iyF， F ３－G ＝０, F ３=G ＝20kN （拉）节点C ：1=∑=ni iyF， －F 5cos300－F 3cos300=０, F 5=－F 3=－20kN （压）1=∑=ni ixF， 341F F F '+-'cos600－F 5cos600=０,F 4=31F F '+'cos600－F 5cos600=40+20cos600－(－20)cos600 kN =60kN （拉）将各杆内力计算结果列于表3-4：表3－4 各杆内力计算结果二、截面法节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。

如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。

这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。

例3－10 如图3－14ａ所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0ｍ，在节点Ｅ上作用荷载F １＝21k Ｎ，在节点Ｇ上作用荷载F ２＝15k Ｎ，试计算杆１、２和３的内力。

图3－14 例3－10图解：（1）求支座反力以整体桁架为研究对象，受力图如图3－14ａ所示，列平衡方程：1=∑=ni ixF，xA F ＝０)(1=∑=ni i AmF ，YB F ×3.0－F 1×1.0－F 2×2.0＝01=∑=ni iyF，yA F ＋YB F －F １－F ２＝０解得：Y B F ＝0.30.221F F +=17k Ｎ， Y A F ＝1921=-+y B F F F k Ｎ（2）求杆１、２和３的内力作截面ｍｎ假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图3－14ｂ所示。

列平衡方程：)(1=∑=ni i EmF , －1S F ×1.0×sin600－yA F ×1.0=0)(1=∑=ni i DmF , F 1×0.5＋3S F ×1.0×sin600－yA F ×1.5＝０1=∑=ni iyF，yA F ＋2S F ×sin600－F 1＝０解得：1S F 060sin yA F -==－21.9k Ｎ（压）3S F ＝866.0215.0195.160sin 5.05.101⨯-⨯=-F F y A k Ｎ=20.8k Ｎ（拉）2S F ＝866.0192160sin 01-=-yA F F k Ｎ=2.3k Ｎ（拉）如果选取桁架的右半部分为研究对象，可得到相同的计算结果。

例3－11 平面桁架结构尺寸如图3－15ａ所示，试计算杆１、２和３的内力。

图3－15 例3－11图解：（1）求支座反力以整体桁架为研究对象，受力图如图3－15b 所示，列平衡方程：1=∑=ni ixF，=x A F)(1=∑=ni i AmF ， F B ×8a －F 1×a －F 1×2a －F 1×3a －F 1×4a －F 2×5a －F 2×6a －F 2×7a ＝01=∑=ni iyF，yA F ＋FB －4 F 1－3 F 2＝０解得：495818102121F F F F F B +=+=， y A F =－F B +4 F 1+3 F 2=431121F F +（2）求杆１、２和３的内力作截面I －I 假想将杆1、2、3截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图3－15c 所示。

列平衡方程：0)(1=∑=ni i FmF ,3241111=⨯+⨯++⨯--a F a F a F a F b F y A S0)(1=∑=ni i CmF ,023113=⨯++⨯-a F a F a F b F y A S1=∑=ni iy F ，32212=+--ba b F F F S A y解得：)35(211F F b a F S +-=（压），)921(4213F F b aF S +=(拉)，)3(412222F F b b a F S -+=(拉)由上面的二个例子可见，采用截面法求内力时，如果矩心取得恰当，力矩平衡方程中往往仅含一个未知力，求解方便。

另外，由于平面任意力系只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，一般每次最多只能截断三根杆件，如果截断的杆件多于３根时，它们的内力一般不能全部求出。

习 题3—1 图3－16所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？图3－16 题3—1 图3—2 试求图3－17所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。

其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。

图3－17 题3—2图3－3 静定多跨梁的荷载及尺寸如图3－18所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处的压力。

图3－18 题3—3图3－4 静定刚架所受荷载及尺寸如图3－19所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处压力。

图3－19 题3—4图3－5 如图3－20所示，杆AB重G、长度为l2，A端置于水平面上，B端置于斜面上并系一绳子，绳子绕过滑轮C吊起重物F Q。

各处摩擦均不计，求AB杆平衡时的G值及A、B 两处的约束力。

（α、β均为已知）图3－20 题3—5图3－6 如图3－21所示，在曲柄压力机中，已知曲柄OA=R=0.23m，设计要求：当α＝200,β=3.20时达到最大冲力F=315kN。

求在最大冲压力F作用时，导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩Ｍ，并求此时轴承Ｏ的约束反力。

图3－21题3—6图3－7 在图3－22所示架构中，A、C、D、E处为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N，力偶矩M=100N·m，不计各杆件重量，求A、B、C处的约束反力。

图3－22 题3—7图3－8 如图3－23所示，折梯由两个相同的部分ＡＣ和ＢＣ构成，这两部分各重0.１kＮ，在Ｃ点用铰链连接，并用绳子在Ｄ、Ｅ点互相联结，梯子放在光滑的水平地板上，今在销钉Ｃ上悬挂G＝0.５kＮ的重物，已知ＡＣ＝ＢＣ＝４ｍ，ＤＣ＝ＥＣ＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°，求绳子的拉力和ＡＣ作用于销钉Ｃ的力。