087.汽轮发电机组轴系扭振特性与响应的计算与分析
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[2]
Ji -1
Z iR-1
ZiL ZiR
Zi百度文库+1
图 １ 轴盘扭振系统
将任一截面上的转角及扭矩排列成向量 Z, 称为 该截面的状态向量，即有
Ζ=[ θ Μ]
从ZR i -1 到ZR i 的传递关系为
T
& & Jφ + C φ& + Kφ = T
(1)
R Ζ iR = Η i Ζ i − 1
式中，J－系统的转动惯量矩阵，C —系统的阻尼矩 阵， K—系统的刚度矩阵，φ—系统的扭转位移列 向量，T—系统所受的外加扭力矩向量。 当 C= 0，T= 0，可以得到系统的无阻尼自由振 动的方程
目前汽轮发电机组单机容量及电网容量逐渐增 大，轴系及电网的不稳定因素逐渐增加，机组轴系 发生扭振事故的可能性越来越大，严重影响机组的 安全。通过扭振计算，掌握扭振的机理及轴系的扭
作者简介：张志(1977~)，男，汉族，内蒙古通辽人，助教，主要从事计 算机技术应用方面的研究。
振特性对预防扭振事故具有重要的意义。 汽轮发电机组在正常运行时，其机械转矩与电 磁扭矩是互相平衡的，发电机以同步频率向电网送 电。当电网出现故障时，会引起电流、电压的巨大 冲击，使定子、转子间的电磁力矩急剧变化，原先 的机电平衡遭到破坏，机组随即发生扭振。扭振产
并且 φ iR = φ i L 增量表达式为 ∆φ iR = ∆φ iL 3.2.2 无质量等截面的弹性轴段 无质量等截面的弹性轴段满足关系式
L R Ti + 1 = Ti
式中，? 和 ß是 Newmark-ß法的参数，q 为转子 的广义坐标。上式说明，如果已知瞬时 t 某结点的位 移 q t ，速度 q t ，加速度 q t ，且还知道 t + ∆t 时刻该 点的位移 q t+ ∆t ，则可由此式求出 t + ∆t 时刻该点的 速度 q t+ ∆t 和加速度 qt+∆t 。 将上式可变为增量表达式， 如下
得
& & & Jφ = −C tφ + TL( t ) + Ti R − Ti L 可写为 & & & Ti R = Ti L + Jφ + C tφ − TL( t )
改为增量表达式为
３ 扭振瞬态响应的计算
利用 Newmark-ß法和 Riccati 传递矩阵法相结合 的方法来计算转子系统在任意扭矩作用下扭振的瞬 态响应[4]。 ３．１ Ｎｅｗｍａｒｋ－β法的增量表达式 根据 Newmark-ß法，有
(7) r r r & & & ∆q ( t ) − q (t) − （ − 1) q (t)∆ t β 2β β ∆t (6 )
增量表达式为
∆T
L i +1
= ∆Ti
R
， ∆φ
L i +1
∆Ti R = ∆φ i + Kt
R
3.2.3 增量传递矩阵表达式 令转子各截面的力方向增量为 f = [ ∆T ], 位移 向量增量为 e = [ ∆φ ], 则刚性薄圆盘的扭振增量传 递方程可写成如下矩阵形式
C1 =
C2 = − J (
Cγ J + t 2 β∆t β∆t
& & q t + ∆t = q t +
r ( qt + ∆t − qt ) − β∆t r r & & & q − 1)q t −( t ∆t β 2β
(5)
1 & 1 & r & φ+ φ& ) t − Ct [ φ + β∆t 2β β r & & ( − 1)φ ∆ t ] t − ∆ TL 2β
[1]
２ 扭振特性的计算
分析转子系统的扭振特性有有限元法，传递矩 阵法等多种方法。考虑到转子系统一般都呈典型的 链状结构，若采用有限元方法，势必带来繁琐的矩 阵特征值问题的求解，因此计算效率较低；而采用 传递矩阵法则显得简单有效。 常用的传递矩阵法是 Prohl 法[3]及 Riccati 法。 本 文计算扭振特性采用的是 Prohl 法， 其最大的优点是 传递矩阵的维数不随系统自由度数的增加而增加， 而且不会产生失根现象。 图 1 是已分成一系列单元的轴盘扭振系统，一 个典型单元包括一个无质量轴段和一个作为刚体考 虑的圆盘。设第 i 单元内轴段的扭转刚度为 k i , 长度 为 li , 圆盘的转动惯量为 Ji ，其中各截面上的转角θ， 扭矩 M 都约定为正值。
３．２ 典型部件的扭振增量传递方程（不考虑横振影 响） 3.2.1 刚性薄圆盘 刚性薄圆盘承受的扭矩有惯性矩，阻力矩，左 右截面扭矩差以及外矩，由扭矩所满足的条件，可
f 1 C1 f C 2 + = e i 0 1 e i 0
求解式（2）即可得到系统扭振固有频率及对应的振 型。
319
第 25 卷增刊 2005 年 10 月
动 力 工 程 JOURNAL OF POWER ENGINEERING
Vol.25Sup. Oct.2005
已经满足了各个单元的运动微分方程， 如果? 还满足 两端的边界条件，那末它就是某一阶固有频率。这 时圆盘的转角则组成了相应的主振型，固有频率的 阶数可根据各个转角的变号个数来判断。
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动 力 工 程 JOURNAL OF POWER ENGINEERING
Vol.25Sup. Oct.2005
生的交变剪应力将损耗轴系的寿命，大幅度的扭振 将严重影响机组的工作寿命，重者导致断轴，毁机 事件事故 。 本文通过对汽轮机轴系的模化，计算轴系扭振 固有特性。采用增量传递矩阵法，推导出用于轴系 扭振计算的增量传递矩阵公式，建立了汽轮发电机 组轴系扭振瞬态响应求解模型。利用 Ｃ＋＋语言及 ＳＱＬ 数据库开发出汽轮发电机组轴系扭振特性与响应计 算及分析软件。对 ２００ＭＷ 汽轮发电机组轴系扭振进 行计算和分析。计算分析结果对汽轮发电机组轴系 安全评估和稳定运行具有重要意义。
第 25 卷增刊 2005 年 10 月
动 力 工 程 JOURNAL OF POWER ENGINEERING
Vol.25Sup. Oct.2005
汽轮发电机组轴系扭振特性与响应的计算与分析
张 志 １ 杜冬梅 １ 何 青 ２
(1. 计算机科学与技术系, 华北电力大学, 北京 102206； 2. 电站设备状态监测与控制教育部重点实验室，华北电力大学, 北京 102206) 摘 要 ：在电网扰动等冲击载荷作用下，汽轮发电机组轴系将受到不平衡转矩的作用而激发扭振。通过 建立多质量块集中质量模型，利用传递矩阵法计算轴系扭振固有特性。采用了增量传递矩阵法，提出了 用于扭振响应计算的增量传递矩阵公式，建立了汽轮发电机组轴系扭振瞬态响应求解模型，利用 C++语 言及 SQL 数据库开发出汽轮发电机组轴系扭振计算及分析软件， 并对 200MW 汽轮发电机组轴系扭振固 有特性及其电网扰动冲击的扭振响应进行计算和分析。 关键词： 动力机械工程；汽轮发电机组；传递矩阵；响应
。 。
..
..
R ， φ iL +1 = φ i +
Ti R Kt
∆& q & q & (t + ∆t ) − q & & (t ) t = & 1 1 1 & & & = ∆q(t ) − q (t ) − ( ) q (t ) 2 β∆t β∆t 2β ∆q & & (t + ∆ t) − q & (t ) t = q =
第 i-1 单元 k i-1, li-1 | 第 i 单元 k i, li Ji | 第 i+1 单元 k i+1, li+1 Ji+1
１ 轴系扭振模型
目前轴系扭振计算所采用的轴系模型一般可分 为简单集中质量模型、多段集中质量模型和连续质 量模型 3 种 。简单质量集中模型计算量小，但精度 差，而且只能得到低阶扭振固有频率。连续质量集 中模型对计算轴系的低阶与高阶固有频率都适宜， 而且精度较高，但模型复杂，计算时需占用更多的 机时与内存。多段集中质量模型既可减少机时与内 存的占用，又可保证所需的计算精度，还可求得简 单集中质量模型无法求得的较高阶的频率和振型， 可在一定程度上准确地反映轴系的扭振特性。因而 本文采用该模型。 该模型根据轴系的实际结构按一定的原则划分 为很多的轴段，并将它们简化为若干个刚性圆盘， 圆盘与圆盘之间由无质量的弹簧连接。简化后轴系 的动力学微分方程可写成矩阵形式
& & & ∆Ti R = ∆Ti L + J∆φ + C t ∆φ − ∆ TL
将式（6） ， （7）代入，经整理，得
（8）
∆Ti R = ∆Ti L + C1∆φ + C 2
式中， (4)
(9)
& & q t +∆ t =
1 ( qt + ∆t − qt ) − β ∆t 2 1 1 & & & q − 1) q t − ( t β ∆t 2β
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ａｎｄ Ａ ｎａｌｙｚｉｎｇ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ Ｔｏｒｓｉｏｎａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｅａｍ Ｔｕｒｂｉｎｅ Ｇｅｎｅｒａｔｏｒ Ｓｈａｆｔｓ
ZHANG Zhi1 DU Dong-mei1 HE Qing2 (1. Dept. of Computer Science and Technology, North China Electric Power University, Beijing 102206; 2. Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, Ministry of Education, North China Electric Power University, Beijing 102206) Ａｂｓｔｒａｃｔ : With the disturbances due to power grid or other impulse load, there is a torsional vibration on the steam turbine generator shafts system because of the function of the uneven torque. A multi-mass model was set up. The torsional vibration characteristic of the model system is calculated by transfer matrix. An increment transfer matrix formula is put forward with increment transfer matrix method used. Set up a transient response modeling of torsional vibration of steam turbine generator. A set of software is developed which calculates and analyses torsional vibration characteristic of steam turbine generator shafts system by C++ and SQL database. The torsional vibration characteristic of 200MW steam turbine generator shafts system is calculated and analyzed. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ: power and mechanical engineering; steam turbine generator set; transfer matrix; response
其中Hi 称为第i单元的传递矩阵，它等于
Ηi
1 = − J ω
2
1 k J ω 2 1− k i
（3）
& & Jφ + Kφ = T
(2)
显然，矩阵Hi 是频率? 的函数。通过各个单元的 传递矩阵，最终可以建立链状结构最左端与最右端 的状态向量之间的传递关系， 作为? 函数的传递矩阵
Ji -1
Z iR-1
ZiL ZiR
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图 １ 轴盘扭振系统
将任一截面上的转角及扭矩排列成向量 Z, 称为 该截面的状态向量，即有
Ζ=[ θ Μ]
从ZR i -1 到ZR i 的传递关系为
T
& & Jφ + C φ& + Kφ = T
(1)
R Ζ iR = Η i Ζ i − 1
式中，J－系统的转动惯量矩阵，C —系统的阻尼矩 阵， K—系统的刚度矩阵，φ—系统的扭转位移列 向量，T—系统所受的外加扭力矩向量。 当 C= 0，T= 0，可以得到系统的无阻尼自由振 动的方程
目前汽轮发电机组单机容量及电网容量逐渐增 大，轴系及电网的不稳定因素逐渐增加，机组轴系 发生扭振事故的可能性越来越大，严重影响机组的 安全。通过扭振计算，掌握扭振的机理及轴系的扭
作者简介：张志(1977~)，男，汉族，内蒙古通辽人，助教，主要从事计 算机技术应用方面的研究。
振特性对预防扭振事故具有重要的意义。 汽轮发电机组在正常运行时，其机械转矩与电 磁扭矩是互相平衡的，发电机以同步频率向电网送 电。当电网出现故障时，会引起电流、电压的巨大 冲击，使定子、转子间的电磁力矩急剧变化，原先 的机电平衡遭到破坏，机组随即发生扭振。扭振产
并且 φ iR = φ i L 增量表达式为 ∆φ iR = ∆φ iL 3.2.2 无质量等截面的弹性轴段 无质量等截面的弹性轴段满足关系式
L R Ti + 1 = Ti
式中，? 和 ß是 Newmark-ß法的参数，q 为转子 的广义坐标。上式说明，如果已知瞬时 t 某结点的位 移 q t ，速度 q t ，加速度 q t ，且还知道 t + ∆t 时刻该 点的位移 q t+ ∆t ，则可由此式求出 t + ∆t 时刻该点的 速度 q t+ ∆t 和加速度 qt+∆t 。 将上式可变为增量表达式， 如下
得
& & & Jφ = −C tφ + TL( t ) + Ti R − Ti L 可写为 & & & Ti R = Ti L + Jφ + C tφ − TL( t )
改为增量表达式为
３ 扭振瞬态响应的计算
利用 Newmark-ß法和 Riccati 传递矩阵法相结合 的方法来计算转子系统在任意扭矩作用下扭振的瞬 态响应[4]。 ３．１ Ｎｅｗｍａｒｋ－β法的增量表达式 根据 Newmark-ß法，有
(7) r r r & & & ∆q ( t ) − q (t) − （ − 1) q (t)∆ t β 2β β ∆t (6 )
增量表达式为
∆T
L i +1
= ∆Ti
R
， ∆φ
L i +1
∆Ti R = ∆φ i + Kt
R
3.2.3 增量传递矩阵表达式 令转子各截面的力方向增量为 f = [ ∆T ], 位移 向量增量为 e = [ ∆φ ], 则刚性薄圆盘的扭振增量传 递方程可写成如下矩阵形式
C1 =
C2 = − J (
Cγ J + t 2 β∆t β∆t
& & q t + ∆t = q t +
r ( qt + ∆t − qt ) − β∆t r r & & & q − 1)q t −( t ∆t β 2β
(5)
1 & 1 & r & φ+ φ& ) t − Ct [ φ + β∆t 2β β r & & ( − 1)φ ∆ t ] t − ∆ TL 2β
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２ 扭振特性的计算
分析转子系统的扭振特性有有限元法，传递矩 阵法等多种方法。考虑到转子系统一般都呈典型的 链状结构，若采用有限元方法，势必带来繁琐的矩 阵特征值问题的求解，因此计算效率较低；而采用 传递矩阵法则显得简单有效。 常用的传递矩阵法是 Prohl 法[3]及 Riccati 法。 本 文计算扭振特性采用的是 Prohl 法， 其最大的优点是 传递矩阵的维数不随系统自由度数的增加而增加， 而且不会产生失根现象。 图 1 是已分成一系列单元的轴盘扭振系统，一 个典型单元包括一个无质量轴段和一个作为刚体考 虑的圆盘。设第 i 单元内轴段的扭转刚度为 k i , 长度 为 li , 圆盘的转动惯量为 Ji ，其中各截面上的转角θ， 扭矩 M 都约定为正值。
３．２ 典型部件的扭振增量传递方程（不考虑横振影 响） 3.2.1 刚性薄圆盘 刚性薄圆盘承受的扭矩有惯性矩，阻力矩，左 右截面扭矩差以及外矩，由扭矩所满足的条件，可
f 1 C1 f C 2 + = e i 0 1 e i 0
求解式（2）即可得到系统扭振固有频率及对应的振 型。
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第 25 卷增刊 2005 年 10 月
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Vol.25Sup. Oct.2005
已经满足了各个单元的运动微分方程， 如果? 还满足 两端的边界条件，那末它就是某一阶固有频率。这 时圆盘的转角则组成了相应的主振型，固有频率的 阶数可根据各个转角的变号个数来判断。
318
第 25 卷增刊 2005 年 10 月
动 力 工 程 JOURNAL OF POWER ENGINEERING
Vol.25Sup. Oct.2005
生的交变剪应力将损耗轴系的寿命，大幅度的扭振 将严重影响机组的工作寿命，重者导致断轴，毁机 事件事故 。 本文通过对汽轮机轴系的模化，计算轴系扭振 固有特性。采用增量传递矩阵法，推导出用于轴系 扭振计算的增量传递矩阵公式，建立了汽轮发电机 组轴系扭振瞬态响应求解模型。利用 Ｃ＋＋语言及 ＳＱＬ 数据库开发出汽轮发电机组轴系扭振特性与响应计 算及分析软件。对 ２００ＭＷ 汽轮发电机组轴系扭振进 行计算和分析。计算分析结果对汽轮发电机组轴系 安全评估和稳定运行具有重要意义。
第 25 卷增刊 2005 年 10 月
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Vol.25Sup. Oct.2005
汽轮发电机组轴系扭振特性与响应的计算与分析
张 志 １ 杜冬梅 １ 何 青 ２
(1. 计算机科学与技术系, 华北电力大学, 北京 102206； 2. 电站设备状态监测与控制教育部重点实验室，华北电力大学, 北京 102206) 摘 要 ：在电网扰动等冲击载荷作用下，汽轮发电机组轴系将受到不平衡转矩的作用而激发扭振。通过 建立多质量块集中质量模型，利用传递矩阵法计算轴系扭振固有特性。采用了增量传递矩阵法，提出了 用于扭振响应计算的增量传递矩阵公式，建立了汽轮发电机组轴系扭振瞬态响应求解模型，利用 C++语 言及 SQL 数据库开发出汽轮发电机组轴系扭振计算及分析软件， 并对 200MW 汽轮发电机组轴系扭振固 有特性及其电网扰动冲击的扭振响应进行计算和分析。 关键词： 动力机械工程；汽轮发电机组；传递矩阵；响应
。 。
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R ， φ iL +1 = φ i +
Ti R Kt
∆& q & q & (t + ∆t ) − q & & (t ) t = & 1 1 1 & & & = ∆q(t ) − q (t ) − ( ) q (t ) 2 β∆t β∆t 2β ∆q & & (t + ∆ t) − q & (t ) t = q =
第 i-1 单元 k i-1, li-1 | 第 i 单元 k i, li Ji | 第 i+1 单元 k i+1, li+1 Ji+1
１ 轴系扭振模型
目前轴系扭振计算所采用的轴系模型一般可分 为简单集中质量模型、多段集中质量模型和连续质 量模型 3 种 。简单质量集中模型计算量小，但精度 差，而且只能得到低阶扭振固有频率。连续质量集 中模型对计算轴系的低阶与高阶固有频率都适宜， 而且精度较高，但模型复杂，计算时需占用更多的 机时与内存。多段集中质量模型既可减少机时与内 存的占用，又可保证所需的计算精度，还可求得简 单集中质量模型无法求得的较高阶的频率和振型， 可在一定程度上准确地反映轴系的扭振特性。因而 本文采用该模型。 该模型根据轴系的实际结构按一定的原则划分 为很多的轴段，并将它们简化为若干个刚性圆盘， 圆盘与圆盘之间由无质量的弹簧连接。简化后轴系 的动力学微分方程可写成矩阵形式
& & & ∆Ti R = ∆Ti L + J∆φ + C t ∆φ − ∆ TL
将式（6） ， （7）代入，经整理，得
（8）
∆Ti R = ∆Ti L + C1∆φ + C 2
式中， (4)
(9)
& & q t +∆ t =
1 ( qt + ∆t − qt ) − β ∆t 2 1 1 & & & q − 1) q t − ( t β ∆t 2β
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ａｎｄ Ａ ｎａｌｙｚｉｎｇ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ Ｔｏｒｓｉｏｎａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｅａｍ Ｔｕｒｂｉｎｅ Ｇｅｎｅｒａｔｏｒ Ｓｈａｆｔｓ
ZHANG Zhi1 DU Dong-mei1 HE Qing2 (1. Dept. of Computer Science and Technology, North China Electric Power University, Beijing 102206; 2. Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, Ministry of Education, North China Electric Power University, Beijing 102206) Ａｂｓｔｒａｃｔ : With the disturbances due to power grid or other impulse load, there is a torsional vibration on the steam turbine generator shafts system because of the function of the uneven torque. A multi-mass model was set up. The torsional vibration characteristic of the model system is calculated by transfer matrix. An increment transfer matrix formula is put forward with increment transfer matrix method used. Set up a transient response modeling of torsional vibration of steam turbine generator. A set of software is developed which calculates and analyses torsional vibration characteristic of steam turbine generator shafts system by C++ and SQL database. The torsional vibration characteristic of 200MW steam turbine generator shafts system is calculated and analyzed. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ: power and mechanical engineering; steam turbine generator set; transfer matrix; response
其中Hi 称为第i单元的传递矩阵，它等于
Ηi
1 = − J ω
2
1 k J ω 2 1− k i
（3）
& & Jφ + Kφ = T
(2)
显然，矩阵Hi 是频率? 的函数。通过各个单元的 传递矩阵，最终可以建立链状结构最左端与最右端 的状态向量之间的传递关系， 作为? 函数的传递矩阵