历年试题数学分析

河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析一、计算下列各题（每题5分，共50分）：1、22111222lim 111333nx n →∞++++++L L ; 2、2arcsin 2a x y a= ()0a >,求y '; 3、()1ln ln ln x dx x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰; 4、20sin x e xdx π⎰;5、计算广义积分21⎰; 6、求幂级数()135nnn x n ∞=-⋅∑的收敛区间;7、设,yx z x =求,z zx y∂∂∂∂; 8、展开函数()()cos2xf x x ππ=-≤≤为傅里叶级数; 9、计算二重积分22,:2,,1Dx dxdy D x y x xy y ===⎰⎰所围成;10、应用格林公式计算22Cxy dy x ydx -⎰Ñ,式中C 为按逆时针方向绕圆周22x y a +=一圈的路径.二、(10)求函数()()2012xy x x dx =--⎰的极值，并求其图形上的拐点. (下缺)河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析一、完成以下各题(每小题8分,共48分)1、()()23ln 1limln 1x x x e e →∞++;2、设()2ln 1arctan x t y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22,dy d y dx dx ;3、计算广义积分2,02παπα<<⎰;4、将()11xf x x-=+展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()»()2y y ABe x dx xe y dy ++-⎰,其中»AB 是经过()()()0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧;6、求函数()2431x f x x +=+的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数(),z f x y =的全微分. 三、(12分)展开函数 为余弦级数.四、(12分)求曲线22y x =与4y x =-所围区域的面积.五、(12分)计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是圆22x y x y +≤+外部.六、(12分)证明微积分学基本定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,则()()[],,xa x f t dt t ab Φ=∈⎰在[],a b 上可导,且有()()x f x 'Φ=.七、(12分)证明曲线1xy =上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为一常数.八、(10分)若()f x '在[],a b 上连续，对任意正整数n ，令 证明：（1）()()()11;kk nx k x k r n f x f x dx -==-⎡⎤⎣⎦∑⎰（2）()121;2kk x k x b a x x dx n --⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰（3）()22111122nnk kk k b a b a m r n Mn n ==--⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，这里(){}(){}inf ,sup kkk k x x m f x M f x ∈∆∈∆''==；（4）()()()lim 2n b an r n f b f a →∞-⋅=-⎡⎤⎣⎦. 九、(10分)设()f z 在1z ≤上解析,且()1f z ≤,试证()01f '≤.十、(10分)试证:当a e >时,方程0z n e az -=在单位圆1z <内部有n 个根.河南大学2004年硕士研究生招生入学考试数学分析说明:报考数学与信息科学学院基础数学、应用数学、运筹学与控制论专业的考生仅需要做1至13大题，报考计算机与信息工程学院应用数学专业的考生仅需要做1至5大题和14至21大题.1、(10)计算极限20lim 2xxxx a b →⎛⎫+⎪⎝⎭. 2、(10)已知()0,0x a b a b xy a b b x a=()()()>>,求y '.3、(10)计算定积分()80arctan 2x dx π⎰.4、(10)求直线段[],0,Ry x x h h=∈绕x 轴旋转一周所得的圆锥体体积. 5、(10)设()sin ,sin sin z y f u u x y =+=-其中f 为可微函数,证明:sec sec 1z zx y x y∂∂+=∂∂ 6、(10)计算二重积分2222sin,:4dxdy D x y ππ≤+≤⎰⎰.7、(10)证明曲线积分()cos sin xle ydx ydy -⎰与路径无关,并求积分()().220,0cos sin x e ydx ydy ππ⎛⎫⎪⎝⎭-⎰.8、(10)证明:若()f x 在0x x =点附近有连续的二阶导数,则有9、(10)利用格林公式计算曲线积分()()22,lx y dx x y dy l +--⎰Ñ为曲线1x y +=的正向.10、(15)已知级数357357x x x x ++++L ,(1)求它的收敛区间;(2)求它的和函数;(3)求级数()11221nn n +∞=-∑的和. 11、(15)已知f 为连续函数,利用替换u x π=-,证明()()0sin sin 2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,并计算积分20sin 1cos x xdx xπ+⎰.12、(15=9+3+3)证明:(1)111ln 1n n n n+⎛⎫<< ⎪+⎝⎭(用拉格朗日中值定理) (2)1111ln 23n a n n=++++-L ,则{}n a 收敛. (3)111122n c n n n=+++++L ,则lim ln 2n n c →∞=.13、(15)已知()f x 在(),a b 内可导,对于下列命题正确的给出证明,错误的举出反例.(1)若()lim x a f x +→=∞，则()lim x a f x +→'=∞；(2)若()lim x a f x +→'=∞，则()lim x a f x +→=∞；(3)若()f x 在区间I 上可导，则()f x '在区间I 上连续； (4)若()f a +'存在，则()lim x a f x +→存在；(5)若()lim x a f x +→存在，则()f a +'存在.14、(10=5+5)从极限的定义出发,证明下列极限. (1)2ln lim0n nn →∞=(2)2lim 0n n n q →∞=15、(20=5+5+5+5)求下列积分. (1)arctan xdx ⎰(2)32231x x x dx x --+-⎰(3)(121x -+⎰(4)50sin xdx π⎰16、(12)设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内二阶可导,并且()()()0,0f a f b f c ==<(其中a c b <<).则至少存在一点(),a b ξ∈使()0f ξ''>.试证明之.17、(14)求级数1nn nx +∞=∑的和函数,并由此求级数12nn n+∞=∑的值. 18、(10)证明方程()2311023nn x x xx n-+-++-=L 当n 是奇数时有一个根,当n 是偶数时没有实根.19、(10)设()f x 是(),-∞+∞上以T 为周期的连续函数,证明:()()0a nTTaf x dx n f x dx +=⎰⎰.20、(12)计算积分VI =⎰⎰⎰,其中V 是圆柱面2220x y x +-=,平面0z =和z a =()0a >在第一卦限内所围成的区域.21、(12=6+6)计算:(1)由sin y x =及()00y x π=≤≤绕x 轴所得的旋转体体积； (2)由sin y x =及()00y x π=≤≤绕y 轴所得的旋转体体积.河南大学2005年硕士研究生招生入学考试数学分析一、(每小题12分,共60分)按要求解题: (1)用N ε-定义证明:!lim0nx n n →∞=;(2)求极限11lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(3)计算积分ba⎰;(4)设(),u u x y =具有二阶连续偏导数,在极坐标cos ,sin x r y r θθ==变换下,求2222u u u x y∂∂∆=+∂∂;(5)证明:()f x [)0,+∞上一致连续. 二、(14)设()f x 在[]0,1上连续. (1)证明:()()0sin sin 2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰;(2)计算: 20sin 1cos x xdx xπ+⎰.三、(16)问α为何值时,(1)()(),1,2,nx n f x n xe n α-==L 在[]0,1上收敛? (2)()n f x 在[]0,1上一致收敛?(3)等式()()1100lim lim n n n n f x dx f x dx →∞→∞=⎰⎰成立?四、(15)设(),00,0,0x x f x x x x ππππ-<≤⎧⎪==⎨⎪---<<⎩,(1)求()f x 的fourier 级数;(2)讨论()f x 的fourier 级数在(],ππ-上是否收敛于f ?五、(15)求曲线()222222(),,0x y xya b c a b c+=>所围图形的面积.六、(15)设S 是球面()222222200x y z ax ay az a a ++---+=>.证明:七、(15)设f 在[]0,1上可导,且()()00,11f f ==.证明:在[]0,1上存在两个不同的点12,x x ,使()()12112f x f x +=''. 河南大学2006年硕士研究生招生入学考试数学分析一、(每小题12分,共72分)完成下列各题: 1、求极限.(1))lim1ln n n n→∞;(2)()()()()11lim x af x f a x a f a →⎛⎫- ⎪⎪'--⎝⎭,其中()()0,f a f a '''≠存在. 2、证明函数()1f x x=在()0,1内连续,但不一致连续.3、计算积分110x xxI dx e e -=+⎰.4、设()(),yz xf u g u u x=+=,且()(),f u g u 都二阶可导,试计算222xx xy yy A x z xyz y z =++.5、证明级数2n ∞=∑收敛. 二、(15)计算曲面积分()()()SI x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy =-++-++-+⎰⎰,其中S 是曲面1x y z y z x z x y -++-++-+=的外侧.三、(15)设()f x 在[]0,1上有一阶连续导数,证明:在()0,1内至少存在一点c ,使 四、(16)设()012nn f x x∞==+∑.证明: (1)()f x 在[)0,∞上可导,且一致连续; (2)反常积分()0f x dx ∞⎰发散.五、(16)设0b a >>.证明:()2ln b a b a b a -<<+.六、(16)计算(要求说明理由):()()20cos 2,x I y e xy dx y ∞-=-∞<<+∞⎰.河南大学2007年硕士研究生招生入学考试数学分析一、(每小题10分,共80分)按要求解答下列各题. 1、求极限: (1)1lim[(1)]nnn n e →∞-;(2)0x →2、设函数()f u 在[]1,1-上连续,证明:()()111x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰.3、求10sup xx x <<+∞.4、求椭球体2222221x y z a b c++≤的体积.5、判断广义积分011(ln(1))1dx x x∞+-+⎰的敛散性. 6、计算1001max x t t x dt ≤≤-⎰.7、已知渐进等式()112201()1n x a b dx o n x n n n+=++→∞+⎰成立,试求,a b 之值. 二、(15)通过代换,,,11t tx t y z ut vt===++试将方程222x y x z y z z +=变为以v 为未知函数，,t u 为自变量的形式.三、(15)设级数()1,0,nx n ne x ∞-=∈∞∑.(1)证明级数1nx n ne ∞-=∑在()0,∞内收敛,但不一致收敛;(2)求其和函数. 四、(15)证明:220,02,0L xdy ydx x y ξπξ>⎧-=⎨<+⎩⎰Ñ.其中L 是以()()(),1,,1,1,1ξξ---及()1,1-为顶点的矩形的边界,积分沿L 的正向进行.五、(13)设()()1sin x t x f x e dt +=⎰,证明:()2x e f x ≤.六、(12)设()f x 在[]0,1上连续,证明:()()10lim 1n n n x f x dx f →∞=⎰. 河南大学2008年硕士研究生招生入学考试数学分析一、(每小题12分，共72分)按要求解题. 1、εδ-定义证明:()11lim 0x a a xa→=≠.2、求极限()1121lim 0n n n n x x x +→∞⎛⎫-> ⎪⎝⎭.3、设()f x 在0x =处可导,问:在什么条件下,()f x 在0x =处也可导?4、计算积分:3212⎰5、设0n u ≠,且lim 1n nn u →∞=.研究级数()111111()n n n n u u ∞+=+-+∑的收敛性与绝对收敛性. 6、计算二重积分2221x y D I y xedxdy +⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰,其中D 是由,1,1y x y x ==-=所围成的平面区域.二、（15）设（1）求()()0,0,0,0x y f f ；（2）研究()(),,,x y f x y f x y 在()0,0点的连线性； （3）研究(),f x y 在()0,0点的可微性.三、（15）设()f x 在[]0,2上有界可积，且()200f x dx =⎰，证明：[]0,1a ∃∈，使得()10a af x dx +=⎰.四（16）、计算第二型曲面积分)20axdydz a z dxdyI a ∑+-=>，其中∑是下半球面z =.五、（16）（1）设函数列(){}n f x 在D 上点态收敛于()f x ，则(){}n f x 在D 上一致收敛于()f x 的充要条件是：()()lim sup 0n n x Df x f x →∞∈-=；（2）设()(1),1,2,n n x f x n n=+=L ，研究(){}n f x 在[]()0,0δδ>上的一致收敛性. 六、（16）设()f x 在[]0,1上可微，且使得 证明:()f x 在[]0,1中只有有限个零点.河南大学2009年硕士研究生招生入学考试数学分析一、（20）设()f x 为¡上的连线函数，对所有的(),0x f x >，且()()lim lim 0x x f x f x →∞→-∞==.证明：()f x 必能取到最大值.二、(20)设11115,,1,2,2n n n a a a n a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭L ,证明:极限lim n n a →∞存在,并求之. 三、(20)证明:当0x π≤≤时,2221cos 426n nx x x n ππ∞==-+∑.四、(20)证明:21cos 21lim2t xx e dt x e-→=⎰. 五、(20)设()f x 在[)0,+∞上连续，且()f x 当x →+∞时，有渐进线y ax b =+.证明:()f x 在[)0,+∞上一致连续.六、(20)计算222Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰Ò,其中S 为单位球面2221x y z ++=的外侧.七、(15)设()f x 在[],a b 内二阶可导,()0f b =,令()()()2g x x a f x =-.证明:方程()0n g x =在(),a b 内有解.八、(15)设()f x 在[],a b 上具有有界导数,()()0f a f b ==.证明:河南大学2010年硕士研究生招生入学考试数学分析一、（10）用定义证明：()3311lim0.x aa x a →=≠二、（10）求极限：1ln(1.nn dx 三、（10）计算积分：211cos ln n edx x π-'⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰，其中n N +∈. 四、（10）证明广义积分0sin xdx x+∞⎰收敛，但不绝对收敛. 五、（10）研究二重极限(),(0,0)lim y x y x ++→的存在性，若存在并求其值.六、（10）计算二重积分：()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰，其中D 为直线,1y x y ==-和1x =所围的区域.第 11 页 七、（15）设()f x 在[]0,1上连续，且[]0,1x ∀∈，有证明：()[]0,0,1.f x x ≡∀∈八、（15）证明：()11111lim ln 2.12n n n x n x n x --∞→=-⋅=+∑ 九、（15）求()3,,f x y z ky zx =+在条件2221,0x y z z ++=≥之下的最大值和最小值，其中0k ≠.十、（15）计算第二类曲面积分：其中∑为椭圆面2222221x y z a b c++=，方向取外侧. 十一、（15）设()f x 在[]0,1上有一阶连续导数，证明存在()0,1c ∈，使十二、（15）证明：当0,1x x >≠时，成立不等式：希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。